2023年山西省渾源縣高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

線的距離為』c,則雙曲線C的離心率是（）

2

A.V2B.6C.2D.3

22

2.設(shè)尸為雙曲線C：鼻一斗=1（。＞0,6＞。）的右焦點，。為坐標(biāo)原點，以。尸為直徑的圓與圓*2+/=。2交于P、Q

兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為

A.V2B.73

D.6

2

3.設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z==在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)zu-sin-^+icos—1的共扼復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

33

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.第24屆冬奧會將于2023年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環(huán)所占面積與

單獨五個環(huán)面積之和的比值P,某學(xué)生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10,寬為6的長方形奧運會旗

內(nèi)隨機取N個點，經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點數(shù)為"個，已知圓環(huán)半徑為1,則比值尸的近似值為（）

6.若直線y=-2x的傾斜角為a,則Sin2a的值為（）

4443

B.——C.士-D.--

5555

7.已知集合河={為|-1〈%<5},"=卜|兇<2},則Mf|N=()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.{X|0<X<2}

8.近年來，隨著4G網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機的更新?lián)Q代，各種方便的同少相繼出世，其功能也是五花八門.某大學(xué)為

了調(diào)查在校大學(xué)生使用的主要用途，隨機抽取了56290名大學(xué)生進行調(diào)查，各主要用途與對應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計如

圖所示，現(xiàn)有如下說法：

①可以估計使用主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù)；

②可以估計不足10%的大學(xué)生使用。加主要玩游戲：

③可以估計使用主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的

4

其中正確的個數(shù)為()

f鼠人裨天

[44<o—iwntx>新聞,資訊

廠KI卻"□玩游戲

「6力。-I價視狼、國片

「儲百一1聽科樂

|「小)：我附近的人

[:再)「找共同興趣的人

A.0B.1C.2D.3

9.函數(shù)y=/(x)(xeR)在(-8,1]上單調(diào)遞減，且/(x+1)是偶函數(shù)，若/(2x—2)>/(2),則x的取值范圍是

()

A.(2,+oo)B.(-oo,1)U(2,+oo)

C.(1,2)D.(-oo,1)

10.設(shè)集合A={X12-5%—6V。},

B=[X\X-2<0}9則AC5=()

A.1x|-3<x<2}B.1x|—2<x<2}

C.1x|-6<x<2}D.1x|—l<x<2}

11.已知命題p:*o>2X-8>O,那么力為()

3

A.3x0>2,x0-8<0B.Vx>2,/—8<0

3

C.3x0<2,XQ-8<0D.VX<2,X-8<0

12.函數(shù)/（x）=sin（x+6）在[0,可上為增函數(shù)，則。的值可以是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3x-y-6<0

13.設(shè)/丁滿足約束條件x-y+2八20，若目標(biāo)函數(shù)z=ox+勿（。>0/>0）的最大值為12,則2*+3±的最小值為

14.從編號為1,2,3,4的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第

一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.

15.函數(shù)/(%)=sin'x+3cos2xxe的值域為_________

22n

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線與一匕=13>0）的一條漸近線方程為y=-x,則。=______.

a~43

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在直角坐標(biāo)系x0y中，長為3的線段的兩端點4B分別在1軸、>軸上滑動，點P為線段AB上的點,

且滿足|人尸|=2|尸8].記點2的軌跡為曲線七.

（1）求曲線E的方程；

（2）若點M、N為曲線E上的兩個動點，記麗■?麗=加，判斷是否存在常數(shù)”使得點。到直線MN的距離為定

值？若存在，求出常數(shù)加的值和這個定值；若不存在，請說明理由.

o

18.（12分）在底面為菱形的四棱柱ABC?！狝SGR中，AB=AAl=2,AlB=AxD,ZBAD=60,AC^BD=O,AO

面耳肛

（D證明：gC〃平面A/。；

（2）求二面角。的正弦值.

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=(l+J5tan'cos》.

（I）若a是第二象限角，且sina=￥，求/（。）的值；

（H）求函數(shù)/（x）的定義域和值域.

20.（12分）已知大幻=僅+3卜卜-2|

（1）求函數(shù)口X）的最大值a

[2336

（2）正數(shù)a,b,c滿足a+25+3c=，〃，求證：—I---1—N—.

ahc5

21.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，NDAB=60°,ZADP=90°,平面ADP±

平面ABC。，點/為棱PO的中點.

（I）在棱A8上是否存在一點E,使得AF||平面PCE,并說明理由;

（H）當(dāng)二面角?！狥C—8的余弦值為注時，求直線月？與平面ABCD所成的角.

4

22.（10分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CD是矩形，ABCD,且R1=AO,E,尸分別是棱AB,

PC的中點.求證：

B

(i)片「//平面出。；

(2)平面PCEJ_平面PCD.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

由點到直線距離公式建立c的等式，變形后可求得離心率.

【詳解】

b,ab1

由題意A(a,O),一條漸近線方程為y=即笈一@=0,;.d=-^—==-c9

Cl~b~19an)124A?4ZAI-

——=-c~f即-----3----=-c~9e4-d/+4=0，=yj2.

c4c4e

故選：A.

【點睛】

本題考查求雙曲線的離心率，掌握漸近線方程與點到直線距離公式是解題基礎(chǔ).

2.A

【解析】

準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標(biāo)，代入圓的方程得到C與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率.

【詳解】

設(shè)PQ與x軸交于點A,由對稱性可知軸,

又；|。。|=1。尸1=，，.12川=',；.PA為以。尸為直徑的圓的半徑,

c

.?.）為圓心|。4|=」

2

??.dd）,又尸點在圓J?+y2=/上，

【點睛】

本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，

運算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半

功倍，信手拈來.

3.A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡二，求得z對應(yīng)的坐標(biāo)，由此判斷對應(yīng)點所在象限.

【詳解】

,1=口=心（二）=1+":?對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（1』），位于第一象限?

故選：A.

【點睛】

本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運算，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在象限，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

由共朝復(fù)數(shù)的定義得到2,通過三角函數(shù)值的正負(fù)，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即得解

【詳解】

由題意得z—sin---icos—,

33

—sin——=---<0>-cos—=—>0,

3232

所以N在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.

故選：B

【點睛】

本題考查了共輯復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

根據(jù)比例關(guān)系求得會旗中五環(huán)所占面積，再計算比值尸.

【詳解】

設(shè)會旗中五環(huán)所占面積為S,

，十Sn~60〃

由于77Z=，所以S=--

60NN

..__S12〃

故可得?=丁=—.

5萬萬N

故選：B.

【點睛】

本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

根據(jù)題意可得：tana=-2,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,

將tana=-2代入計算即可求出值.

【詳解】

由于直線y=-2x的傾斜角為a,所以tana=-2,

.c..2sin?cosof2tantr-2x24

貝I]sin2a=2sinacosa=—：------：—=：-----=----：---=—

sin-or+cosatan-a+1(-2)+15

故答案選B

【點睛】

本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是

解本題的關(guān)鍵.

7.A

【解析】

考慮既屬于用又屬于N的集合，即得.

【詳解】

|-2<x<2},MnN={%|-1<x<2}.

故選：A

【點睛】

本題考查集合的交運算，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

根據(jù)利用〃主要聽音樂的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計算使用

主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例，可判斷②的正誤；計算使用主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例，可判斷③

的正誤.綜合得出結(jié)論.

【詳解】

使用主要聽音樂的人數(shù)為5380,使用?！āㄖ饕瓷鐓^(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為4450,所以①正確；

使用困不主要玩游戲的人數(shù)為8130,而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為56290,3工0.14,故超過10%的大學(xué)生使用主

56290

要玩游戲，所以②錯誤；

使用a印主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為16540,因為黑所以③正確.

故選：C.

【點睛】

本題考查統(tǒng)計中相關(guān)命題真假的判斷，計算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

根據(jù)題意分析/(x)的圖像關(guān)于直線x=l對稱，即可得到/(x)的單調(diào)區(qū)間，利用對稱性以及單調(diào)性即可得到x的取值

范圍。

【詳解】

根據(jù)題意，函數(shù)y=/(x)滿足/(x+1)是偶函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線x=l對稱,

若函數(shù)y=/(X)在(—8』上單調(diào)遞減，則fix)在[1,鉆)上遞增，

所以要使/(2x-2)>〃2),則有知-2-1|>1,變形可得|2%一3|>1,

解可得：X>2或X<1,即X的取值范圍為(―8,1)D(2,+8)；

故選：B.

【點睛】

本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，有一定綜合性，屬于中檔題。

10.D

【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.

【詳解】

由題意知，集合A={目-1<x<6},3=[,<2},

由集合的交運算可得,Ac8={x|-l<x<2}.

故選:D

【點睛】

本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

利用特稱命題的否定分析解答得解.

【詳解】

已知命題P：玉'o〉？，-8>0,那么一1P是7%>2,1-8VO.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

12.D

【解析】

依次將選項中的。代入，結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.

【詳解】

當(dāng)。=0時，，(乃=捕》在［0,可上不單調(diào),故A不正確；

當(dāng)。='時，/(x)=cosx在［0,句上單調(diào)遞減，故B不正確；

當(dāng)。="時，/(x)=—sinx在［(),句上不單調(diào)，故C不正確；

當(dāng)。=半時，/(x)=—COSX在［(),句上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：D

【點睛】

本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性，涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是一道容易題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

25

13.—

6

【解析】

先根據(jù)條件畫出可行域，設(shè)z=依+力，再利用幾何意義求最值，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距,只需求出直線

z=奴+外，過可行域內(nèi)的點(4,6)時取得最大值，從而得到一個關(guān)于a,b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可.

【詳解】

解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，

當(dāng)直線分+外=23>02>0)過直線工一)-2=0與直線31-丁-6=0的交點(4,6)時,

目標(biāo)函數(shù)z=ox+切(。>0*>0)取得最大12,

即4a+6/?=12,即2a+3b=6,

2a+3813(ba}13三25

—+-+->—+2=—

66yab)66

【點睛】

本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用、簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值,屬于基礎(chǔ)題.

1

14.-

2

【解析】

基本事件總數(shù)〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，由此能求

出概率.

【詳解】

解：從編號為1,2,3,4的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，

基本事件總數(shù)〃=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，分別為：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,2),(2,4),(3,3),(4,4).

Q1

所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為P=3

162

故答案為!.

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題.

⑸He

O

【解析】

利用換元法，得到g(t)=t3-3t2+3,te-#，1，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g(t)的單調(diào)性和最值，即可得到函數(shù)的值域,

得到答案.

【詳解】

7171

由題意，可得f(xjusirPx+Bcos?*=sin3x-3sin2x+3,x€

3，?2

☆t=sinx,tG--^-,1,即g(t)=-312+3,tG一_—j

貝ijg〈t)=3t2_6t=3t(t-2),

當(dāng)—￥<t<0時，g'(t)>o,當(dāng)0<t<l時，g'(t)>0,

即y=g(t)在-乎,0為增函數(shù)，在［0,1］為減函數(shù)，

又g［一等)=g(°)=3,g(l)=l，

故函數(shù)的值域為：二產(chǎn),3.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的最值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，其中解答中合理利用換元法得到函數(shù)g(。，

再利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與預(yù)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.3

【解析】

22

雙曲線的焦點在x軸上，漸近線為y=±-x,結(jié)合漸近線方程為y=-x可求a.

a3

【詳解】

r2V272

因為雙曲線J一乙=15>0)的漸近線為y=±-》，且一條漸近線方程為y=-X,

a4a3

所以a=3.

故答案為：3.

【點睛】

本題主要考查雙曲線的漸近線，明確雙曲線的焦點位置，寫出雙曲線的漸近線方程的對應(yīng)形式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考

查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)二+/=1(2)存在；常數(shù)m=0,定值拽

45

【解析】

(1)設(shè)出P,A3的坐標(biāo)，利用Q=2萬以及|4卸=3,求得曲線E的方程.

(2)當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)出直線MN的方程，求得。到直線MN的距離d.聯(lián)立直線的方程和曲線E的

方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合兩■.麗=加以及d為定值，求得〃，的值.當(dāng)直線MN的斜率不存在時，驗證

由此得到存在常數(shù)加=0,且定值d=冬叵.

5

【詳解】

(1)解析：(1)設(shè)P(x,y),A(%,0),6(0,%)

由題可得衣=2萬

XQ=3X

x-x0=-2x

解得3

y=2(%-y)卜。=矛

又v|AB|=3,即片+y；=9,

二消去飛，＞0得：—+A：2=1

4

(2)當(dāng)直線MN的斜率存在時，設(shè)直線MN的方程為)，=&+〃

設(shè)知(石,乂)，N(七,%)

由OM-ON=m可得：+M%=m

由點。到MN的距離為定值可得d=刀當(dāng)=(d為常數(shù))即/=，!_

我+1公+1

y=kx+b

/，得：僅2+4)f+2姑％+加一4=0

---FX=1

4

A=4k2h2-4(攵2+4)僅2-4)＞0

即-一。2+4＞。

-2kb從一4

?T+"總二'平2=E

又.JM?%=(3+6)(優(yōu)+5)=42][l2+kb(X[+%2)+)2

5。2—4公一4

...加=%々+>1%=―記高

5/?2=4（攵2+1）+加（攵2+4）

5b2川年+4）

?,pTT-k2+]

:.5d2=4+

k2+\

7R

.?.d為定值時，m=0,此時d=王，且符合/>0

5

當(dāng)直線MN的斜率不存在時，設(shè)直線方程為1=〃

由題可得5/=4+小，..?加=0時，n=±-,經(jīng)檢驗，符合條件

5

綜上可知，存在常數(shù)〃z=0,且定值"=歧

5

【點睛】

本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，考查橢圓中的定值問題，屬于難

題.

18.（1）證明見解析；（2）拽

7

【解析】

（1）由已知可證與?！?。，即可證明結(jié)論;

（2）根據(jù)已知可證4。±平面ABCD,建立空間直角坐標(biāo)系，求出A4,6,0坐標(biāo),進而求出平面\AB和平面A}AD

的法向量坐標(biāo)，由空間向量的二面角公式，即可求解.

【詳解】

方法一：（1）依題意，AB也AB,且AB&CD,：.AB也CD,

:.四邊形\B.CD是平行四邊形，二//4。，

?；4。電平面A/。，4。（=平面48。，

/.BC〃平面

（2）???40_￡平面48。，二4。，4。,

?.?48=4。且。為8。的中點，；.4。上8。，

???AO、BDu平面ABCDB.AODBD=O,

A。，平面ABC。，

以。為原點，分別以弧南，西為x軸、）'軸、z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-沖z,

則A(G,O,O),8(0,1,0),0(0,-1,0),A(0,0,1),

A4,'=(-x/3,O,l),AB=(-V3,l,0),AZ)=(-73,-l,0),

設(shè)平面\AB的法向量為n=(x,y,z),

則尸馬，.』一,+2=。，取.I,則[

n±AB[—氐+y=0\>

設(shè)平面471。的法向量為〃?=(5,加4),

fiJ_AA—y/3x+z—Q—(「i—\

則〈_2,：.\L，取x=l，則，〃=1,—J3,J3.

[n±AD|_氐_y=0\>

-----------m-n11

?cos<n>=i-j—j—r=—F=T=——

,,麻附布X幣7，

設(shè)二面角B-441一。的平面角為a,貝!]sina=

二二面角B-AA,-D的正弦值為迪.

7

方法二：（1）證明：連接AB1交48于點Q,

因為四邊形44BA為平行四邊形，所以。為A耳中點,

又因為四邊形ABCD為菱形，所以。為AC中點,

.?.在VA8C中，。?！ǘ?且。。=5片。，

?.?。。匚平面人乃。，4。2平面43。，

ABC〃平面ABO

(2)略，同方法一.

【點睛】

本題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法求面面角，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，

屬于中檔題.

19.(I)上普(II)函數(shù)/(x)的定義域為且xHbr+1,Zez},值域為一；,|

【解析】

(1)由a為第二象限角及sin。的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosa及tana的值，再代入/(x)中即

可得到結(jié)果.

(2)函數(shù)“X)解析式利用二倍角和輔助角公式將“X)化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)X的范圍，即可得到函數(shù)值域.

【詳解】

解：(1)因為a是第二象限角，且sina=—9

3

所以cosa=--71-sin2a=

3

rv、isinarr

所以tan(z==yJ2,

cosa

所以/(。)=(1_百入&)[_#)J,.

7+GZ}.

(2)函數(shù)的定義域為且件匕

化簡，得〃x)=(l+0tanx)=cos2x

=(1+03cos2》

kcosx)

=cos2x+V3sinxcosx

1+cos2x百.-

=---------+——sin2x

22

+21

71

因為xwR,且+—,keZ,

2

jr77r

所以2x+2/2左萬+』，

所以-1Wsin

13

所以函數(shù)〃x)的值域為-了5.

(注：或許有人會認(rèn)為“因為+所以/(X)HO"，其實不然，因為/(—Wj=O?)

【點睛】

本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問題，涉及到利用二倍角公式和

輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問題，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力，屬于?？碱}型.

20.(1)m=5(2)見解析

【解析】

(1)利用絕對值三角不等式求得/(X)的最大值.

(2)由(1)得a+28+3c=5.方法一，利用柯西不等式證得不等式成立；方法二，利用“1的代換”的方法，結(jié)合基

本不等式證得不等式成立.

【詳解】

(1)由絕對值不等式性質(zhì)得/(幻=|尤+31-1x-2兇(x+3)-。-2)|=5

3)(九一2)20

當(dāng)且僅當(dāng)1卜+3［〉卜_］即xN2時等號成立，所以〃?=5

(2)由(1)得。+2方+3c=5.

法1：由柯西不等式得

［訴2+(師2+(辰)2］卜32+(行2+(("

之(Gxp+回xg+病x#)2=(1+2+3>=36

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=^時等號成立，

即5（,+[+3]236,所以_L+2+3之迎.

bc）abc5

法2：由。+2Z?+3c=5得?|?+m+5=l,

123f123Wtz2Z?3CA

—+—+—=—+—+—*—+—+—

abc\abcJ\555）

12b3c2a46c3a6b9

=一+—+—+——+—+—+——+——+—

55a5a5b55b5c5c5

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=，時"=”成立.

6

【點睛】

本小題主要考查絕對值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式，屬于中檔題.

21.(1)見解析(2)60°

【解析】

(1)取「。的中點。，連結(jié)EQ、FQ,得到故AE//FQ且AE=FQ,進而得到AR//EQ,利用線面平行的判

定定理，即可證得A///平面PEC.

(H)以。為坐標(biāo)原點建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)FD=a,求得平面EBC的法向量為玩，和平面DFC的法向量

n,利用向量的夾角公式，求得a=JJ，進而得到NP5。為直線依與平面ABCO所成的角，即可求解.

【詳解】

(I)在棱A3上存在點E,使得AE//平面PCE,點￡為棱AB的中點.

理由如下：取PC的中點Q,連結(jié)E。、FQ,由題意，F(xiàn)Q//DC且FQ=gcD,

AE//CDS.AE=LCD,故AE//FQ且AE=FQ.所以，四邊形AEQ尸為平行四邊形.

2

所以，AF//EQ,又EQ，平面PEC,平面PEC,所以，A///平面PEC.

(H)由題意知AABD為正三角形，所以石D_LA6,亦即EDLC。，

又NADP=90°,所以尸O_LA￡>,且平面ADP_L平面ABCD,平面ADPc平面ABCD=AD,

所以PZ)，平