八年級(jí)數(shù)學(xué)講義特殊三角形二學(xué)生教師版

特殊三角形二講義

例題講解一

C1、已知：如圖，在aABC中，ZA=30°,ZACB=90°,M、D分別為AB、MB的中點(diǎn).

求證：CD1AB.

【變式】在直角三角形中，有一個(gè)銳角是另一個(gè)銳角的4倍，求這個(gè)直角三角形各個(gè)角的度數(shù).

2>在RtZXABC中，ZC=90°,CD±AB,垂足為點(diǎn)D.

(1)如果NA=60°,求證：BD=3AD；

(2)如果BD=3AD,求證：ZA=60°.

【變式】如圖，在aABC中，BA=BC,ZB=120°,AB的垂直平分線MN交AC于D,求證：AD=-DC.

2

DC

、如圖，在aABC中，已知AB=AC=2a,ZABC=15°,CD是腰AB上的高，求

CD的長.

【變式】已知：如圖，在RtaABC中，ZC=90°ZBAD=-ZBAC,過點(diǎn)D作DE_LAB,DE恰好是N

2

C4、如圖，^ABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，且DC=BF,DELCF于E.

(1)E是CF的中點(diǎn)嗎？試說明理由；

(2)試說明：NB=2NBCF.

CDB

、如圖，ZXABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn).

(1)求證：MN±DE；

(2)連結(jié)DM,ME,猜想/A與/DME之間的關(guān)系，并寫出推理過程；

(3)若將銳角AABC變?yōu)殁g角△ABC,如圖，上述(1)(2)中的結(jié)論是否都成立？若結(jié)論成立，直接回答，不

需證明；若結(jié)論不成立，說明理由.

【變式】已知：如圖，AABC中，M為BC中點(diǎn)，DM1ME,MD交AB于D,ME交AC于E.求證：BD+CE

>DE.

例題講解二

1＞如圖所示，在多邊形ABCD中，AB=2,CD=1,NA=45°,ZB=ZD=90°,求多邊形ABCD的面積.

【變式】己知：如圖，在AABC,BC=2,SAABC=3,ZABC=135°,求AC、AB的長.

C>2、已知直角三角形斜邊長為2,周長為2+遙，求此三角形的面積.

C3、長方形紙片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,求DE的

長.

C^4、如圖所示，在一棵樹的10小高的B處有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20機(jī)處的池塘A處，另外一

只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離的直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高？

D

B

【變式】如圖①，有一個(gè)圓柱，它的高等于12c、m,底面半徑等于3cm,在圓柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想

吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)的食物，需要爬行的最短路程是多少？(“取3)

Cb、(2016?貴陽模擬)一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米,

(1)這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？

(2)如果梯子的頂端下滑了4米到A，，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？

例題講解三

Ci、寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：

(1)同位角相等，兩直線平行；

(2)如果x=2,那么f=4；

(3)等腰三角形兩底角相等；

(4)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

(5)對(duì)頂角相等.

(6)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

【變式】下列定理中，有逆定理的個(gè)數(shù)是（）

①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三邊a,b,c滿足/+尸=。2,則該三角形是直角三

角形；③全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；④若。=〃，則

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

C2、如圖所示，四邊形ABCD中，AB1AD,AB=2,AD=273,CD=3,BC=5,求/ADC的度數(shù).

【變式1】aABC三邊a,b,c滿足a2+/+c2+338=10a+2助+26c,則4ABC是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【變式2】如圖所示，在aABC中，已知NACB=90°,AC=BC,P是AABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3,PB=1,PC=CD

=2,CD±CP,求/BPC的度數(shù).

▼3、（2016春?咸豐縣月考）如圖所示，在^ABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周長為36cm,點(diǎn)P從點(diǎn)

A開始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果同

時(shí)出發(fā)，則過3秒時(shí)，ABPQ的面積為多少—cm2.

Pf

▼4、如圖所示，MN以左為我國領(lǐng)海，以右為公海，上午9時(shí)50分我國緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走

私艇C并以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我國領(lǐng)海開來，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B

密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變,

最早在什么時(shí)間進(jìn)入我國海域？

同步練習(xí)一

一.選擇題

1.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為則。的值是（）

A.y/5—1B.-5/54-1C.+1D.y/i

2.如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知S尸4,S2=9,S3=8,S4=10,則S=（）

A.25B.31C.32D.40

3.如圖所示，折疊矩形ABCD一邊，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，若AB=8CM,BC=10^,EC的長為（)

cm.

A.3B.4C.5D.6

4.如圖，長方形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,8）,點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3,若將矩形沿直線AD折疊，則頂點(diǎn)C恰

好落在邊0B上E處，那么圖中陰影部分的面積為（）

A.30B.32C.34D.16

5.如圖，已知aABC中，ZABC=90°,AB=BC,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線（，12,/3±,且//%之

間的距離為2,12,4之間的距離為3,則AC的長是（）

A.2V17B.275C.4A歷D.7

6.（2016?漳州）如圖,AABC中，AB=AC=5,BC=8,D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C）.若線段AD長為正

整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

二.填空題

7.若一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為12和5,則此三角形的第三邊長為.

8.如圖，將長8cm,寬4an的長方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與C重合，則折痕EF的長為cm.

9.在aABC中，AB=13cm,AC=20cm,BC邊上的高為12cm,則AABC的面積為

2

cm.

10.如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果大正方形的面積是

13,小正方形的面積是1,直角三角形較短的直角邊長為a,較長的直角邊長為b,那么（a+b）2的值是_

11.已知長方形ABCD,AB=3cw,AD=4c/n,過對(duì)角線BD的中點(diǎn)0做BD的垂直平分線EF,分別交AD、BC于

12.在直線上依次擺著7個(gè)正方形（如圖），已知傾斜放置的3個(gè)正方形的面積分別為1,2,3,水平放置的4

個(gè)正方形的面積是件s2,S3,則6+82+53+54=.

三.解答題

13.如圖所示，一架長為2.5米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子的底端距離底0.7米，求梯子頂端離地多

少米？如果梯子頂端沿墻下滑0.4m,那么梯子底端將向左滑動(dòng)多少m?

14.現(xiàn)有10個(gè)邊長為1的正方形，排列形式如左下圖，請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形.要求：在左

下圖中用實(shí)線畫出分割線，并在右下圖的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出

拼接成的新正方形.

15.將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（aABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（AACD）的斜邊恰

好重合.已知AB=2,P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)P在/ABC的平分線上時(shí)，求DP的長；

（2）當(dāng)點(diǎn)PD=BC時(shí)，求此時(shí)NPDA的度數(shù).

同步練習(xí)二

一.選擇題

1.下列各組數(shù)中，可以構(gòu)成勾股數(shù)的是（）

A.13,16,19B.L,L,AC.18,24,36D.12,35,37

345

2.下列三角形中，不是直角三角形的是（）

A.三個(gè)內(nèi)角之比為5：6：1B.一邊上的中線等于這一邊的一半

C.三邊之長為20、21、29D.三邊之比為1.5:2:3

3.下列命題中，不正確的是（）

A.三個(gè)角的度數(shù)之比為1:3:4的三角形是直角三角形；

B.三邊之比為1:6:2的三角形是直角三角形；

C.三個(gè)角的度數(shù)之比為1:2:2的三角形是直角三角形；

D.三邊之比為、2的三角形是直角三角形.

4.如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線

段是（）

A.CD、EF、GHB.AB、EF、GHC.AB、CF>EFD.GH、AB、CD

5.五根小木棒，其長度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（）

7

代

7IS

A-B>C?D.

6.b,c為直角三角形的三邊，且c為斜邊，/?為斜邊上的高，下列說法:

①/功2,。2能組成一個(gè)三角形②赤，正能組成三角形

③c+/?,a+bM能組成直角三角形④能組成直角三角形

abh

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二.填空題

7.若AABC中，（b-a）（h+a）=c2,則/B=

8.如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1,則網(wǎng)格上的aABC是____三角形.

9.（2016春?羅定市期中）若4ABC的三邊長分別為x+1,x+2,x+3,要使此三角形成為直角三角形，則x=.

10.Z^ABC的兩邊a,8分別為5,12,另一邊c為奇數(shù)，且a+6+c是3的倍數(shù)，則c應(yīng)為,此三角形

為.

11.如果三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,則三角形為三角形.

12.如果線段a,b,c能組成一個(gè)直角三角形，那么二_____組成直角三角形.（填“能”或“不能”）.

222—

三.解答題

13.己知。、b、c,是AABC的三邊，且a2c2一。2。2=。4—試判斷三角形的形狀.

14.如圖所示，在正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，N為AD上的一點(diǎn)，且AN=2AD,試猜測△0公是什么三角形,

4

請(qǐng)證明你的結(jié)論.（提示：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角）

15.在等邊AABC內(nèi)有一點(diǎn)P,已知PA=3,PB=4,PC=5.現(xiàn)將AAPB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,使P點(diǎn)到達(dá)Q點(diǎn),

連PQ,猜想aPQU的形狀，并論證你的猜想.

答案

特殊三角形二講義

例題講解一

C1、已知：如圖，在aABC中，ZA=30°,ZACB=90°,M、D分別為AB、MB的中點(diǎn).

求證：CD1AB.

【思路點(diǎn)撥】由NACB=90°,M為AB的中點(diǎn).根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半得到CM=1AB=BM,再根據(jù)在直角三角形中，30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半得到CB=」

22

AB=BM,則CM=CB,而D為MB的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【答案與解析】

證明：VZACB=90°,M為AB中點(diǎn)，

.,.CM=-AB=BM,

2

ZACB=90°,ZA=30°,

1

.?.CB=-AB=BM,

2

；.CM=CB,

?D為MB的中點(diǎn),

ACDIBM,即CD_LAB.

【總結(jié)升華】本題考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)：30°所對(duì)的邊等于斜邊的一半；也

考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等腰三角形的性質(zhì).

舉一反三：

【變式】在直角三角形中，有一個(gè)銳角是另一個(gè)銳角的4倍，求這個(gè)直角三角形各個(gè)角的度數(shù).

【答案】解：設(shè)設(shè)一個(gè)銳角為x度，則另一個(gè)銳角為4x度，

那么根據(jù)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角之和為180。，

所以x+以+90°=180°,

x=18°,4x=72°,

答：三角分別為18°,72°,90°.

類型二、含有30°的直角三角形

2、在RtaABC中，ZC=90°,CD±AB,垂足為點(diǎn)D.

(1)如果NA=60。,求證：BD=3AD；

(2)如果BD=3AD,求證：ZA=60°.

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NACD=NB=30°,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出AB=2AC,

AC=2AD即可;

(2)取AB的中點(diǎn)0,連接C0,設(shè)AD=x,則BD=3x,AB=4x,根據(jù)直角三角形斜邊上中線求出A0=CO,AD=DO,

證△COA是等邊三角形即可求出答案.

【答案與解析】

證明：(1)VZC=90°,CD±AB,ZA=60°,

AZACD=ZB=30°,

VZC=90°,CD±AB,

AAB=2AC,AC=2AD,

/.AB=4AD,

ABD=3AD.

(2)取AB的中點(diǎn)0,連接CO,

VBD=3AD,

???設(shè)AD=x,則BD=3x,AB=4x,

VZC=90°,0是AB的中點(diǎn),

A0C=0A=2x,

1

???0D=x=—C0,

2

VCD1AB,

Z0CD=30°,

AZC0D=60°,

V0A=0C,

???△ACO是等邊三角形，

ZA=60°.

【總結(jié)升華】本題主要考查對(duì)直角三角形斜邊上的中線，含30度角的直角三角形，等邊三

角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式】如圖，在aABC中，BA=BC,NB=120°,AB的垂直平分線MN交AC于D,求證：AD二-DC.

2

NfB

【答案】解：如圖，連接DB.

???MN是AB的垂直平分線,

AAD=DB,

AZA=ZABD,

VBA=BC,ZB=120°,

AZA=ZC=-(180°-120°)=30°，

2

AZABD=30"，

又YNABC=120°,

：.ZDBC=120°-30°=90。,

ABD=-DC,

2

AAD=-DC.

2

^^3、如圖，在aABC中，已知AB=AC=2a,ZABC=15°,CD是腰AB上的高，求

CD的長.

C

【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)C作CD_LAB于D,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角與外角的關(guān)系得到N

DAC=30°.在直角4ACD中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解得CD的長.

【答案與解析】

解：VAB=AC,...zc=z

ABC=15°,z

DAC=30°,VAB=AC=2a,

.??在直角4ACD中CD=-AC=a.

2

【總結(jié)升華】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角.三角形的內(nèi)角與外角的關(guān)系以及直

角三角形中30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

舉一反三：

【變式】己知：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZBAD=-ZBAC,過點(diǎn)D作DEJ.AB,DE恰好是N

2

ADB的平分線，求證：CD=-DB.

2

A

E

CD

【答案】

解：：DE_LAB,

AZAED=ZBED=90°,

VDE是NADB的平分線,

N3=N4,又：DE=DE,△BED四△AED

(ASA),AD=BD,Z2=Z

B,ZBAD=Z2=-

2

ZBAC,Z1=Z2=ZB,

AD=BD,又：Z1+Z2+Z

B=90°,

Z.ZB=Z1=Z2=3O0,

在直角三角形ACD中，Zl=30°,

11

ACD=-AD=-BD.

22

類型三、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

、如圖，aABC中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，且DC=BF,DE_LCF于E.

(1)E是CF的中點(diǎn)嗎？試說明理由;

(2)試說明：ZB=2ZBCF.

【思路點(diǎn)撥】(1)連接DF,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DF=BF=LB,然后求出CD=DF,

2

再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可；

(2)根據(jù)等邊對(duì)等角可得NDCF=NDFC,ZB=ZBDF,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

解答即可.

【答案與解析】

(1)解：如圖，連接DF,TAD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，

.*.DF=BF=1AB,

2

VDC=BF,

，CD=DF,

VDE1CF,

???E是CF的中點(diǎn);

(2)證明：由(1)的結(jié)論DF=BF得/FDB=NFBD,

VDC=BF,

.\ZDCF=ZDFC,

由外角的性質(zhì)得NFDB=NDCF+NDFC=2NDCF,

ZFBD=2ZDCF,

即NB=2NBCF.

【總結(jié)升華】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊

對(duì)等角的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

G%、(2016春?廣饒縣期末)如圖，ZXABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的

中點(diǎn).

(1)求證：MN±DE；

(2)連結(jié)DM,ME,猜想NA與NDME之間的關(guān)系，并寫出推理過程；

(3)若將銳角△ABC變?yōu)殁g角aABC,如圖，上述(1)(2)中的結(jié)論是否都成立？若結(jié)論成立，直接回答，不

需證明；若結(jié)論不成立，說明理由.

A

22

到DM=ME,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明；

(2)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得/ABC+NACB=180°-ZA,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出NBMD+N

CME,然后根據(jù)平角等于180。表示出NDME,整理即可得解；

(3)根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得NABC+NACB=180°-NA,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形的一個(gè)外

角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和表示出/BME+/CME,然后根據(jù)平角等于180°表示出/DME,整理即可得解.

【答案與解析】

解：(1)如圖，連接DM,ME,

VCD.BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，

.?.DMJBC,ME=XBC,

22

.\DM=ME

又為DE中點(diǎn)，

AMNIDE；

(2)在△ABC中，ZABC+ZACB=180°-ZA,

VDM=ME=BM=MC,

AZBMD+ZCME=(180°-2ZABC)+(180°-2ZACB),

=360°-2(ZABC+ZACB),

二3600-2(180°-ZA),

=2ZA,

/.ZDME=180°-2NA；

(3)結(jié)論(1)成立，結(jié)論(2)不成立，

理由如下：在△ABC中，NABC+NACB=1800-ZA,

VDM=ME=BM=MC,

AZBME+ZCMD=2ZACB+2ZABC=2(180°-NA)=3600-2ZA,

AZDME=180°-(3600-2ZA)=2ZA-180°.

【總結(jié)升華】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三

角形的內(nèi)角和定理，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵.

舉一反三:

【變式】已知【：如圖，^ABC中，M為BC中點(diǎn)，DM±ME,MD交AB于D,ME交AC于E.求證：BD+CE

>DE.

【答案】

證明：如圖，延長DM到F,使MF二DM,連接EF、CF,

VBM=CM,ZBMD=ZCMF,???△BDM之△CFM

(SAS),ABD=CF,

VDM±ME,DM=FM,ME是公共邊，:.△DEMg△FEM

(SAS),/.DE=FE,

在ZXECF中,EC+FOEF,ABD+EODE.

例題講解二

Cl、如圖所示，在多邊形ABCD中，AB=2,CD=1,ZA=45°,NB=ND=90°,求多邊形ABCD的面積.

【答案與解析】

解：延長AD、BC相交于點(diǎn)E

NB=90°,ZA=45°

???ZE=45°,???AB=BE=2

?/ZADC=90°,/.ZDCE=45°,

???CD=DE=1

?*,Saw=]x2x2=2,S^DCE=—xlxl=—.

.13

,"S四邊形ABCD=S&ABE-S^DCE-

【總結(jié)升華】求不規(guī)則圖形的面積，關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形（如直角三角形、正方形、等腰三角形等）,

轉(zhuǎn)化的方法主要是割補(bǔ)法，然后運(yùn)用勾股定理求出相應(yīng)的線段，解決面積問題.

舉一反三：

【變式】已知：如圖，在aABC,BC=2,S△枇=3,ZABC=135°,求AC、AB的長.

【答案】

解：如圖，過點(diǎn)A作ADLBC交CB的延長線于D,

在aABC中，VSAABC=S,BC=2,

AAD=2SAABC=2X3=3>

BC2

VZABC=135°,

AZABD=180°-135°=45°,

.，.AB=&AD=3&,

BD=AD=3,

在RtZkADC中,CD=2+3=5,

由勾股定理得，AC={AD2+CD32+5券

周長為2+遙，求此三角形的面積.

【思路點(diǎn)撥】欲求Rt△的面積，只需求兩直角邊之積，而由已知得兩直角邊之和為布，結(jié)合勾股定理又得其

平方和為4,于是可轉(zhuǎn)化為用方程求解.

【答案與解析】

解：設(shè)這個(gè)直角三角形的兩直角邊長分別為。、b,則

a+。+2=2+a+b=a①

即

a2+h2=22/+/=4②

將①兩邊平方，^a2+2ab+b2=6③

③一②，得2ab=2,所以二,

22

因此這個(gè)直角三角形的面積為1.

2

通過變形直接得出!。匕的值，而不需要分別求出。、b的值.本

【總結(jié)升華】此題通過設(shè)間接未知數(shù)。、b,

2

題運(yùn)用了方程思想解決問題.

、長方形紙片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如圖方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,求DE的

長.

【思路點(diǎn)撥】在折疊的過程中，BE=DE.從而設(shè)BE即可表示AE.在直角三角形ADE中，根據(jù)勾股定理列方程即

可求解.

【答案與解析】

解：設(shè)DE=xcm,則BE=DE=x,AE=AB-BE=10-x,

△ADE中，DE2=AE2+AD2,BPX=(10-X)2+16.

x=-^l!(cm).

5

答：DE的長為

5

【總結(jié)升華】注意此類題中，要能夠發(fā)現(xiàn)折疊的對(duì)應(yīng)線段相等.

類型二、利用勾股定理解決實(shí)際問題

?^4、如圖所示，在一棵樹的10根高的B處有兩只猴子，一只爬下樹走到離樹20根處的池塘A處，另外一

只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離的直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，試問這棵樹有多高？

【思路點(diǎn)撥】其中一只猴子從B—C—A共走了（10+20）=30根，另一只猴子從B-D-A也共走了30根，并且樹

垂直于地面，于是這個(gè)問題可化歸到直角三角形中利用勾股定理解決.

【答案與解析】

解：設(shè)樹高CD為X,則BD=x-10,AD=30—（%—10）=40—x,

在RtAACD中，2O2+d=（40一處2,

解得：X—15.

答：這棵樹高15m.

【總結(jié)升華】本題利用距離相等用未知數(shù)來表示出DC和DA,然后利用勾股定理作等量關(guān)系列方程求解.

舉一反三：

【變式】如圖①，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm,底面半徑等于3cm,在圓柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想

吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)的食物，需要爬行的最短路程是多少？（“取3）

解：如圖②所示，由題意可得：

AA'=12,A'B=—xx3=9

2

在RtaAA'B中，根據(jù)勾股定理得：

AB2=AA'2+A'B2=122+92=225

則AB=15cvn.

所以需要爬行的最短路程是15cm.

C>5、（2016?貴陽模擬）一架梯子長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米,

（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？

（2）如果梯子的頂端下滑了4米到A，，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米?

【思路點(diǎn)撥】（1）利用勾股定理直接得出AB的長即可；（2）利用勾股定理直接得出BC的長，進(jìn)而得出答案.

【答案與解析】

解：（1）由題意得：AC=25米，BC=7米，

22=24

AB=J25-7（米），

答：這個(gè)梯子的頂端距地面有24米；

（2）由題意得：BA，=20米，

，=22=15

BC725-20（米），

則：CC=15-7=8（米），

答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米.

【總結(jié)升華】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練利用勾股定理是解題關(guān)鍵.

例題講解三

?'l、寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假：

（1）同位角相等，兩直線平行；

（2）如果x=2,那么Y=4；

（3）等腰三角形兩底角相等；

（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

（5）對(duì)頂角相等.

（6）線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

【思路點(diǎn)撥】寫一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是分清它的題設(shè)和結(jié)論，然后將其交換位置，判斷一個(gè)命題為真命題

要經(jīng)過證明，是假命題只需舉出反例說明即可.

【答案與解析】

解：（1）逆命題是：兩直線平行，同位角相等，它是真命題.

（2）逆命題是：如果/=4,那么無=2,它是假命題.

（3）逆命題是：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，它是真命題.

（4）逆命題是：對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等，它是假命題.

（5）逆命題是：如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角，它是假命題.

（6）逆命題是：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上，它是真命題.

【總結(jié)升華】寫一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是分清它的題設(shè)和結(jié)論，然后將題設(shè)和結(jié)論交換位置，寫出它的逆命

題，可以借助“如果……那么”分清題設(shè)和結(jié)論.每一個(gè)命題都有逆命題，其中有真命題，也有假命題.

舉一反三：

【變式】下列定理中，有逆定理的個(gè)數(shù)是（）

①有兩邊相等的三角形是等腰三角形；②若三角形三邊a,b,c滿足。2+〃=。2,則該三角形是直角三

角形；③全等三角形對(duì)應(yīng)角相等；④若a=〃，則

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B；

提示：①的逆命題是：等腰三角形有兩邊相等，是真命題；②的逆命題是：若三角形是直角三角形，則三邊滿

足/+〃=/（。為斜邊）；③但對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定全等；④若/=/,。與匕不一定相等，所

以③、④的逆命題是假命題，不可能是定理.

類型二'勾股定理逆定理的應(yīng)用

C2、如圖所示，四邊形ABCD中，AB±AD,AB=2,AD=28,CD=3,BC=5,求/ADC的度數(shù).

【答案與解析】

解：AB±AD,ZA=90°,

在Rt^ABD中，BD2=AB2+AD2=22+(273)2=16.

二BD=4,

AB=-BD,可知/ADB=30°,

2

在中，BD2+CD2=16+32=25,BC2=52=25,

；.BD2+CD2=BC2,：.ZBDC=90°,

二/ADC=/ADB+/BDC=30°+90°=120°.

【總結(jié)升華】利用勾股定理的逆定理時(shí)，條件是三角形的三邊長，結(jié)論是直角三角形，即由邊的條件得到角的

結(jié)論，所以在幾何題中需要進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)換時(shí)要聯(lián)想勾股定理的逆定理.

舉一反三：

【高清課堂勾股定理逆定理例4】

【變式1】Z^ABC三邊a,b,ca2+Z?2+c2+338=10a+24b+26c,則△人8（：是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【答案】D；

提示：由題意（a-5）2+（》-12y+（c-13）2=0,a=5,6=12,c=13,

因?yàn)椤?+6=。2,所以AABC為直角三角形.

【變式2】如圖所示，在AABC中，已知NACB=90°,AC=BC,P是aABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA=3,PB=1,PC=CD

=2,CD±CP,求NBPC的度數(shù).

【答案】

解：連接BD.：CD_LCP,且CD=CP=2,

...ZSCPD為等腰直角三角形，即NCPD=45°.

ZACP+/BCP=/BCP+/BCD=90°,

二ZACP=ZBCD.

CA=CB,

，ZXCAP也△CBD(SAS),

DB=PA=3.

在RtaCPD中，DP2=CP2+CD2=22+22=8.

又"：PB=1,則尸52=1.

DB-=9,

...DB2=DP2+PB2=8+1=9,

???△DPB為直角三角形，且NDPB=90°,

JZCPB=ZCPD+ZDPB=45°+90°=135°.

^^3、(2016春?咸豐縣月考)如圖所示，在AABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周長為36cm,點(diǎn)P從點(diǎn)

A開始沿AB邊向B點(diǎn)以每秒1cm的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC邊向點(diǎn)C以每秒2cm的速度移動(dòng)，如果同

時(shí)出發(fā)，則過3秒時(shí)，al^PQ的面積為多少—cm2.

【思路點(diǎn)撥】本題先設(shè)適當(dāng)?shù)膮?shù)求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形.再求出

3秒后的BP,BQ的長，利用三角形的面積公式計(jì)算求解.

【答案與解析】

解：設(shè)AB為3xcm,BC為4xcm,AC為5xcm,

?.?周長為36cm,

AB+BC+AC=36cm,

.*.3x+4x+5x=36,

得x=3,

AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm,

VAB2+BC2=AC2,

/.△ABC是直角三角形，

過3秒時(shí)，BP=9-3x1=6(cm),BQ=2x3=6(cm),

?,.SAPBQ=JBP*BQ=1X(9-3)x6=18(cm2).

22

故過3秒時(shí)，ABPQ的面積為18cm2.

【總結(jié)升華】本題是道綜合性較強(qiáng)的題，需要學(xué)生把勾股定理的逆定理、三角形的面積公式結(jié)合求解.由勾股

定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關(guān)鍵.隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力.

類型三、勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用

◎^4、如圖所示，MN以左為我國領(lǐng)海，以右為公海，上午9時(shí)50分我國緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走

私艇C并以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我國領(lǐng)海開來，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B

密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變,

最早在什么時(shí)間進(jìn)入我國海域？

【答案與解析】

解:VAB2+BC2=52+122=169=132=AC2,

：.AABC為直角三角形.：.ZABC=900.

又BD_LAC,可設(shè)CD=x,

.X2+B￡>2=122,①

"(13-x)2+SD2=52,②

①—②得V-169+26x—V=119,

144144144

解得尤=一.一+13=——仁0.85（h）=51（分）.

1313169

所以走私艇最早在10時(shí)41分進(jìn)入我國領(lǐng)海.

【總結(jié)升華】（1）本題用勾股定理作相等關(guān)系列方程解決問題，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，為

勾股定理的運(yùn)用提供了條件.

同步練習(xí)一

一.選擇題

1.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為a,則a的值是（）

A.y/5—1B.—y/s+1C.5/5+1D.yfs

2.如圖，所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形，已知Sp4,S2=9,S3=8,S4=10,則S=（)

§

Sf

S2

A.25B.31C.32D.40

3.如圖所示,折疊矩形ABCD一邊，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，若AB=8C^,BC=10^,EC的長為（）

C.5D.6

4.如圖，長方形AOBC中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,8）,點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為3,若將矩形沿直線AD折疊，則頂點(diǎn)C恰

好落在邊0B上E處，那么圖中陰影部分的面積為（）

A.30B.32C.34D.16

5.如圖，已知AABC中，NABC=90°,AB=BC,三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線（，12,/3±,且八4之

間的距離為2,/2,&之間的距離為3,則AC的長是（）

A.2V17B.2亞C.472D.7

6.（2016?漳州）如圖，△ABC中，AB=AC=5,BC=8,D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C）.若線段AD長為正

整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有（）

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

二.填空題

7.若一個(gè)直角三角形的兩邊長分別為12和5,則此三角形的第三邊長為.

8.如圖，將長8c加，寬4cm的長方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)A與C重合，則折痕EF的長為cm.

9.在AABC中，AB=13cm,AC=20cm,BC邊上的高為12cm,則4ABC的面積為

_______________cm2.

10.（2016?黃岡校級(jí)自助招生）如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方

形.如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是1,直角三角形較短的直角邊長為a,較長的直角邊長

為b,那么（a+b）2的值是.

11.已知長方形ABCD,AB=3cm,AD=4cm,過對(duì)角線BD的中點(diǎn)0做BD的垂直平分線EF,分別交AD、BC于

點(diǎn)E、F,則AE的長為.

12.在直線上依次擺著7個(gè)正方形（如圖），已知傾斜放置的3個(gè)正方形的面積分別為1,2,3,水平放置的4

個(gè)正方形的面積是品S2,S3,邑,則6+邑+53+邑=

三.解答題

13.如圖所示，一架長為2.5米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子的底端距離底0.7米，求梯子頂端離地多

少米？如果梯子頂端沿墻下滑0.4m,那么梯子底端將向左滑動(dòng)多少m?

14.現(xiàn)有10個(gè)邊長為1的正方形，排列形式如左下圖，請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形.要求：在左

下圖中用實(shí)線畫出分割線，并在右下圖的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出

拼接成的新正方形.

15.將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（4ACD）的斜邊恰

好重合.已知AB=2,P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）當(dāng)點(diǎn)P在/ABC的平分線上時(shí)，求DP的長;

（2）當(dāng)點(diǎn)PD=BC時(shí)，求此時(shí)NPDA的度數(shù).

【答案與解析】

一.選擇題

1.【答案】A；

【解析】一1所表示的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離為遙，0A的距離為、后一1.

2.【答案】B；

【解析】解：如圖，由題意得:

AB=S1+S2=13,

2

AC=S3+S^18,

.,.BC=AB2+AC2=31,

；.S=BC2=31,

故選B.

S,S,

S?

3.【答案】A；

【解析】設(shè)CE=%cm,則DE=(8—x)cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF=

y]AF2-AB2=V102-82=6cm.FC=10—6=4(a