2023學(xué)年北京石景山北京市高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，圓。是邊長(zhǎng)為26的等邊三角形ABC的內(nèi)切圓，其與邊相切于點(diǎn)O,點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn)，

的=_1麗+＞而（x,ywR）,則2x+y的最大值為（）

A.0B.V3C.2D.272

2.從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖:

A.171.25cmB.172.75cm

C.173.75cmD.175cm

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的"的值為（）

。=0,b=0."0

-----------+1----------

a=a+1

|里+2

〃二〃十］

-------

/.2〃/

E

1結(jié)一1

A.1B.2

C.3D.4

龍2V2

4.過橢圓C:三+/=1（。＞人＞0）的左焦點(diǎn)尸的直線過。的上頂點(diǎn)3,且與橢圓C相交于另一點(diǎn)A,點(diǎn)A在y軸

\FO\3

上的射影為A',若臺(tái)￡=：，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（）

\AA\4

Q

A.—B.—C.-D.-

232T

3

5.已知a,6,c分別為AABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，a=\,4csinA=3cosC,A4BC的面積為一，貝!|c=（）

2

A.25/2B.4C.5D.3也

6.設(shè)集合A={x|x>0},5={x|log2（3x-l）<2},則（）.

A.An8=（0,|）B.AnB=（0,g

C.AuB=（；,+oo）D.AUB=（0,+oo）

22

7.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系x”中，F(xiàn)是橢圓二+3=1（。>6>0）的右焦點(diǎn),直線y=，與橢圓交于B,C兩

aZr

點(diǎn)，且/BFC=90°,則該橢圓的離心率是（）

8.若非零實(shí)數(shù)。、匕滿足2“=3"，則下列式子一定正確的是（）

A.b>aB.b<a

C.|^|<|?|D.例>|《

3

9.已知a是第二象限的角，tanO+a)=--,則sin2a=()

4

24

D.

25

10.已知函數(shù)?。?儲(chǔ)，關(guān)于X的方程/（力+（m+1）/（力+加+4=0（〃?€2有四個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則加的取值范

\x\

圍是（）

A.工十號(hào)B.(<-3)c.-e—，-3D.一郵1

22

11.設(shè)耳,用是雙曲線c：=—*=1（4>0力>0）的左，右焦點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)B作C的一條漸近線的垂

線，垂足為P.若|P￡|="|OH，則C的離心率為（）

A.V2B.6C.2D.3

x+y<2

12.若變量x，）’,滿足2x-3yW9,則f+y的最大值為（）

x>0

81

A.3B.2CD.10

13

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若函數(shù)/（幻=。1，優(yōu),（。6/?）與函數(shù)8（幻=?,在公共點(diǎn)處有共同的切線，則實(shí)數(shù)。的值為.

14.已知兩圓相交于兩點(diǎn)A（a,3）,3（—1,1）,若兩圓圓心都在直線x+y+b=0上，則。+力的值是.

15.函數(shù)/"（x）=|x2—1|+/+丘+9在區(qū)間（0,3）內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是.

16.若a=log23/=log?2,則必=,\ga+\gb=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知橢圓C:=?+與=l（a>〃>0）的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-G,0）,A,8分別是橢圓的左，右頂點(diǎn)，P是橢

ab-

圓上異于A,3的一點(diǎn)，且B4,PB所在直線斜率之積為-'.

4

（1）求橢圓。的方程；

（2）過點(diǎn)。（（）』）作兩條直線，分別交橢圓。于N兩點(diǎn)（異于。點(diǎn)）.當(dāng)直線,QN的斜率之和為定值fQ/O）

時(shí)，直線MN是否恒過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理.

18.（12分）設(shè)S”為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且々=5,S6+S5=2S4+35.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）若滿足不等式2.（夜）”+（-1）1$“<0的正整數(shù)〃恰有3個(gè)，求正實(shí)數(shù)X的取值范圍.

19.（12分）小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天，每名員工休假的概率都是,，且是否

2

休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家無人休假，則調(diào)劑1人到該店維持營(yíng)業(yè)，否則該店就停業(yè).

（1）求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率；

（2）設(shè)營(yíng)業(yè)店鋪數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=eX（x—1）—a<0.

（1）求曲線y=在點(diǎn)（0,/（0））處的切線方程；

（2）求函數(shù)/（X）的極小值；

（3）求函數(shù)“X）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

21.（12分）已知函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)椋?,+8）,且滿足/（呼）=/（》）+/（y）,當(dāng)xe（l,”）時(shí)，有/（x）>0,

且/⑵=1.

（1）求不等式/（4，）一/（I一/）＜2的解集；

（2）對(duì)任意xe0,y,f2sin2（x+2]-20cos（x-工）-5。+2../（6-2公恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

-2」一\4y\4J一

「201

22.（10分）已知矩陣加=]],求矩陣M的特征值及其相應(yīng)的特征向量.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.C

【解析】

建立坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到2x+），的表達(dá)式，進(jìn)而得到最大值.

【詳解】

以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系，

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以（0,1）為圓心，1為半徑的圓；

根據(jù)三角形面積公式得到；X/周長(zhǎng)Xr=s=gXABXACXsin60°,

可得到內(nèi)切圓的半徑為1；

可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為：B（-V3,O）,C（V3,O）,A（0,3）,0（0,0）,M（cos1+sin。）

麗=(cose+6』+sing),麗=(6,3),麗=(6,0)

故得到BM=(cose+G,l+sine)=(6x+gy,3x)

故得到cos0=6x+Gy->/3,sin6=3x-1

1+sin。

3cos。sin。42./八\4、

—r=-+----+-=-sin(^+fi>)+-<2.

cos0sin。2J3333'/3

—7=---------------F—

5/333

故最大值為：2.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用，以及參數(shù)方程的應(yīng)用，以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等

式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題.通過向量的運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域,是解決這類問題的一

般方法.

2.C

【解析】

由題可得Q005x2+a+0.020*2+0.040)xl0=l,解得。=0.010,

貝!J(0.005+0.010+0.020)x10=0.35,0.35+0.040xl0=0.75>0.5,

所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為170+錚二巖xl0=173.75(cm),故選C.

10x0.040

3.B

【解析】

列出循環(huán)的每一步，進(jìn)而可求得輸出的〃值.

【詳解】

根據(jù)程序框圖，執(zhí)行循環(huán)前：。=0,b=0,〃=0,

執(zhí)行第一次循環(huán)時(shí)：a=l,b=2,所以：92+82<40不成立.

繼續(xù)進(jìn)行循環(huán)，…,

當(dāng)a=4,b=8時(shí)，6?+2?=40成立，n=\,

由于a25不成立，執(zhí)行下一次循環(huán),

。=5,〃=10,52+。2440成立，〃=2,aN5成立，輸出的〃的值為2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題型.

4.D

【解析】

FO\3LILIUUUU

求得點(diǎn)3的坐標(biāo)，由七焉=:，得出8尸=3￡4,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入橢圓C的方程，可得

\AA|4

出關(guān)于。、b.c的齊次等式，進(jìn)而可求得橢圓C的離心率.

【詳解】

由題意可得B（0,8）、F（-c,0）.

\FO\3\BF\3|BF|333

由1一/，得ICMI一/‘貝"lod一i，即BF=3FA?

\AA14\BA\4\FA\1

而而=（—c,T?）,所以可=［一-所以點(diǎn)A（一；c,-《）?

因?yàn)辄c(diǎn)gc,—g）在橢圓C：5+'=l上，則［丁）M..

a2b2

整理可得3?￡=§,所以e2=S='，所以e=也.

9/9a222

即橢圓C的離心率為注

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓離心率的求解，解答的關(guān)鍵就是要得出。、b.c的齊次等式，充分利用點(diǎn)A在橢圓上這一條件，圍繞

求點(diǎn)A的坐標(biāo)來求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

5.D

【解析】

3413

由正弦定理可知4csinA=4asinC=3cosC,從而可求出simC=-,cosC=-.通過=-"sinC=萬可求出

b=5,結(jié)合余弦定理即可求出c的值.

【詳解】

解：v4csinA=3cosC,BP4csinA=3acosC

/.4sinAsinC=3sinAcosC,即4sinC=3cosC.

34

,/sin2C+cos2C=1，貝！|sinC=g,cosC=

1133

/.S.=—absinC=—xlx/?x-=—,解得b=5.

gAR"r2252

c2=a2+h2-2abcosC=l+52-2xlx5x-=18,c=3夜

5

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的關(guān)鍵是通過

正弦定理結(jié)合已知條件，得到角C的正弦值余弦值.

6.D

【解析】

根據(jù)題意，求出集合A,進(jìn)而求出集合AU8和ACS,分析選項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】

心x/

根據(jù)題意，8={x|log2(3x-l)<2}=

33

則Au8=(0,+8),Ac8

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查集合的交并集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題目,

7.A

【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解得8和。的坐標(biāo)，然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得3c2=24,由離心率定義可得結(jié)

果.

【詳解】

X2y2小

—+=1x=±——a

a~,所以8一^~a,g,CV3b

由＜，得＜2

bb22

7/

y=2y=—

2

2、

由題意知尸（c,0）,所以即ab}

，+丁CF=C---2-Q,---2J

2/

因?yàn)?BFC=90°，所以8/J_CF,所以

BFCF^c+*a）卜-￥"+：=C2

"43—a2=0.

4442

所以3,2=242,所以e=￡='^，

a3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn)，考查了向量垂直的坐標(biāo)表示，考查了橢圓的離心率公式，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

令2"=3"=入貝h>0,rwl,將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式得“、b后,然后取絕對(duì)值作差比較可得.

【詳解】

令2"=3"=f，貝!J/>0,:.a=\og2t=^-,b=\og,t=^-,

lg2lg3

方一同=畫一畫=旭他3Tg2）〉o,因此，同>可

1111lg2lg3Ig2-lg31111

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用作差法比較大小，同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化，考查推理能力，屬于中等題.

9.D

【解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cos2a，再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.

【詳解】

3

因?yàn)閠an（乃+a）=——,

4

,_?&sina3

由誘導(dǎo)公式可得,tana=------=一一，

coscr4

3

即sincr=——cosa,

4

因?yàn)閟in?a+cos2a=l,

.216

所以cos~a=—,

25

由二倍角的正弦公式可得,

32

sin2a=2sinacosa=——cos-a,

2

所以sin2a=-3x3=_24

225-25,

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;屬于中

檔題.

10.A

【解析】

e

—,x>0

x，當(dāng)x>0時(shí)f(0=53=0"=1/€(0,1)時(shí),/(力單調(diào)遞減,x?l,+⑹時(shí)J(x)

x

單調(diào)遞增，且當(dāng)xe(o,l)吐/(x)e(e,+8),當(dāng)xe(l,+8)時(shí),/(x)e(e,+8),當(dāng)x<o時(shí)，/(%)=一，(丁)>0恒

成立，%€(-8,0)時(shí),/(力單調(diào)遞增且/(%)<0,+8),方程/2(%)+(根+1)/(%)+加+4=0(加€11)有四個(gè)相異的

實(shí)數(shù)根.令/(x)=/,/+(m+1?+機(jī)+4=0則

2

0<r,<e,t2>e,：.er+(m+l)e+m+4<0,J10+(///+l)0+/7?+4>0,gp^-4,-e-----y

11.B

【解析】

設(shè)過點(diǎn)居(c,o)作y=2x的垂線，其方程為y=—f(x—c),聯(lián)立方程，求得x=d，y=—,即p幺,或，由

abccycc)

\PF{\=46\OP\,列出相應(yīng)方程，求出離心率.

【詳解】

解：不妨設(shè)過點(diǎn)石(c,0)作y的垂線，其方程為y=—￡(x—c),

b

y=-x

a

由<解得x

.il_[7\\的m后,J"?f,Y_aa2b2>

由尸p;耳?=>/6nOpP,所以有—z—F---FC-6—z-Hz—,

c\)[cc)

化簡(jiǎn)得3a2=c，2,所以離心率e=￡=石.

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解、推理論證能力，屬于中檔題.

12.D

【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.

【詳解】

'x+y<2

解：畫出滿足條件2x-3y<9的平面區(qū)域，如圖示：

x>0

如圖點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,—3),B(3,—l),C(0,2),

2

目標(biāo)函數(shù)十+y的幾何意義為，可行域內(nèi)點(diǎn)(x,y)與坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)的距離的平方，由圖可知3(3,-1)到原點(diǎn)的距離

最大，故任+力,心=32+(_1)2=10.

故選：D

本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-

2

【解析】

函數(shù)"X)=ainx的定義域?yàn)?0,心)，求出導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=/(x)與曲線g(力=?公共點(diǎn)為(%%)由于在

公共點(diǎn)處有共同的切線，解得/=4/,?！?,聯(lián)立./'(%)=g(%)解得"的值.

【詳解】

解：函數(shù)/(x)=alnx的定義域?yàn)?0,+8),r(x)=2,=,

設(shè)曲線/(x)=alnx與曲線g(x)=4公共點(diǎn)為小,坊),

a1

由于在公共點(diǎn)處有共同的切線，...3=工商，解得.%=41,a>0.

由/(%)=g(/)，可得

聯(lián)立《解得a=5.

alnx^=yjxQ2

故答案為:

2

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題.

14.-1

【解析】

根據(jù)題意，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得AB與直線x+y+0=O垂直，且4B的中點(diǎn)在這條直線

x+y+b=O±.,列出方程解得即可得到結(jié)論.

【詳解】

由A（a,3）,6（-l,l）,設(shè)AB的中點(diǎn)為

根據(jù)題意，可得巴士+2+6=0，且陽8=2」=1，

2a+1

解得，a=l,b=—2,故a+Z?=—1.

故答案為：一1.

【點(diǎn)睛】

本題考查相交弦的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì)，即兩圓的連心線垂直平分相交弦，屬于基礎(chǔ)題.

15.丘卜"

【解析】

對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問題等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)討論交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合求解.

【詳解】

由題：函數(shù)/（幻=|/一1|+/+日+9在區(qū)間（0,3）內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，

10。“

X2+L2-1|+91

—k=——!----!—=4x

xQ

2x+-,xe(l,3)

x

10

--,XG(0,1]

等價(jià)于函數(shù)y=-Z,g(x)=1*

恰有兩個(gè)公共點(diǎn),

2x+—,XG(1,3）

1X

作出大致圖象:

要有兩個(gè)交點(diǎn)，即一人e[8,石）

所以%

故答案為：

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)零點(diǎn)問題，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于對(duì)函數(shù)零點(diǎn)問題恰當(dāng)變形，等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形

結(jié)合求解.

16.10

【解析】

①根據(jù)換底公式計(jì)算即可得解；

②根據(jù)同底對(duì)數(shù)加法法則，結(jié)合①的結(jié)果即可求解.

【詳解】

①由題：a=log23,Z>=log32,

貝jia/?=log?3.log?2=log?3=1；

log23

②由①可得：lga+lgb=lga6=Igl=0.

故答案為：①L②0

【點(diǎn)睛】

此題考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算，涉及換底公式和同底對(duì)數(shù)加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

r2(2\

17.(1)—+y2=1(2)直線MN過定點(diǎn)一一,-1

4

【解析】

(1)

小ww再由/=層+3,解方程組即可;

4

(2)設(shè)N(x2,y2),由左加+4少=，得2公注+(加一1乂玉+W)=4.，由直線MN的方程與橢圓

方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入計(jì)算即可.

【詳解】

A21

(1)由題意知：c=#),又kpA-kpB4=,，且/=￡+/

a24

解得a-2,b-\,

2

橢圓方程為±+y2=i,

4-

(2)當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為丫=區(qū)+機(jī)，設(shè)A/(x,,y),N(%,%)，

ykx+m得(1+4攵2)%2+8^+4加2-4=0.

由，7nx

尤2+4/=4')

-8km4m2-4

則X+x21+4/'%々=下/

kk

由QM+QN=

kx,+m-\kx+m-\

得」-------+--1-------

整理可得2依￡+(加-D(x+馬)=囪入2

(*)代入得2J4〃廠一4_5:二,4〃廠一4

1+4公1+4女21+4女2

整理可得(機(jī)-1)(2%-tm+t)=O,

又加H1

機(jī)=".1,

依+\,

..y=

即y+1=左+

工直線過點(diǎn)1/,一11

當(dāng)直線M/V的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為九=4,A(%,y),網(wǎng)事,必)，其中%=-不

工%+%=°，

,.y—1%一］y+%—2—2

由5+5=?，得2—+-----=-----------=一=t,

X。X。X()X。

所以X。=――

，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，直線MN也過定點(diǎn)［一：,-1)

綜上所述，直線MN過定點(diǎn)(-彳,-1).

【點(diǎn)睛】

本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓位置關(guān)系中的定點(diǎn)問題，在處理直線與橢圓的位置關(guān)系的大題時(shí)，一般要

利用根與系數(shù)的關(guān)系來求解，本題是一道中檔題.

18.(1)an=2〃+1；(2)［4,5).

【解析】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為“，根據(jù)題意得出關(guān)于q和4的方程組，解出這兩個(gè)量的值，然后利用等差數(shù)列的通

項(xiàng)公式可得出數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(-1)”.〃(鹿+2)

(2)求出S,,可得出“<-1^,可知當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)不等式不成立，只考慮〃為偶數(shù)的情況，利用數(shù)列單

調(diào)性的定義判斷數(shù)列加“｝中偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列的單調(diào)性，由此能求出正實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【詳解】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

=a,+d=5

21q+d=5

則〃6x5.<5x4.(.4x3八”，整理得［…”，

6qd+5q+—^—d=214^+—^d1+35134+13d=35

解得4=3,d=2,因此，Q〃=4+(〃—l)d=3+2(〃-1)=2〃+1

⑵?.￡=返匈=坐±*=“2+2”,

"22

得入六戶

滿足不等式A.陽.+(-1廣'S?<0的正整數(shù)〃恰有3個(gè),

(匈

(-1)"-/?(?+2)

由于2>0,若〃為奇數(shù)，則不等式力<—―^.—不可能成立.

(夜)

(一1)””(〃+2)

只考慮〃為偶數(shù)的情況，令b“

則3=如攵=等，怎(&+1)(4+2)

+22*_|

(Z+l)(Z+2)2Z(Z+1)_(Z+1)(2-左)

■,b2k+2—b2k

2k~'2&-I2*-1

當(dāng)后=1時(shí)，％-仇>0,則打<“；

當(dāng)女=2時(shí)，么一d=0,則d=4,；

當(dāng)％時(shí)，則

23b2k+2-b2k<0,4>4>40>….

所以，&<"=a>4>%>…,

又偽=

4,d="=6,4=5,Z?10=,:.4<A<5.

因此，實(shí)數(shù)；I的取值范圍是［4,5).

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查正實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

113

19.(1)-(2)見解析，—

88

【解析】

(1)根據(jù)題意設(shè)出事件，列出概率，運(yùn)用公式求解；(2)由題得，X的所有可能取值為0,1,2,根據(jù)(1)和變量對(duì)應(yīng)

的事件，可得變量對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列和期望值.

【詳解】

(1)記2家小店分別為4,B,4店有i人休假記為事件4(j=0,1,2),B店有i人，休假記為事件B,(j=0,

1,2),發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為P.

則p(Aj=P(30)=cW；,

P(A)=P(4)=G(￡|=g，

P(4)=P3)=CO：.

所以尸=P(4B2)+P(48°)=；X；+；X；=1.

答：發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率為：.

O

(2)依題意，X的所有可能取值為0,1,2.

則P(X=0)=P(4B2)=；X；=《，

1

P(X=l)=P(AB)+/3(AB,)=|xllxl-

2+4-

P(X=2)=l-P(X=0)-P(X=l)=l----=~.

所以X的分布表為：

X012

1]_11

P

16416

所以E（X）=2XU+1X」+0X-!-=U.

'）164168

【點(diǎn)睛】

本題是一道考查概率和期望的?？碱}型.

極小值一函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

20.(1)y=-lt(2)1；(3)y=/(x)1.

【解析】

(1)求出/(0)和/'(0)的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程;

(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性，進(jìn)而可得出該函數(shù)的極小值;

(3)由當(dāng)xWl時(shí)，〃x)<0以及/(2)>0,結(jié)合函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,+。)上的單調(diào)性可得出函數(shù)y=/(x)的

零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】

(1)因?yàn)?所以,r(同=旄"一旄".

所以〃o)=—1,r(°)=0-

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線為y=T；

(2)因?yàn)?'(x)=xe*-xe"=兀卜’一6"),令/"(x)=0,得x=0或x=a(a<0).

列表如下：

X(f)a(。,0)0(。,+8)

/⑴+0—0+

/(x)/極大值極小值7

所以，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(0,+。)，單調(diào)遞減區(qū)間為(。,0),

所以，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y=〃x)有極小值〃0)=-1；

⑶當(dāng)時(shí)，〃x)<(),且〃2)=e2-2/>e2-2>0.

由(2)可知，函數(shù)y=/(x)在((),+e)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程、極值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查分析問題和解決問題的能力，屬

于中等題.

21.(1)；(2)a,,-1.

【解析】

(1)利用定義法求出函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，由/(xy)=/(x)+/(y)和/(2)=1,求出/(4),求出

/(40</[4(l-r)],運(yùn)用單調(diào)性求出不等式的解集；

(2)由于/2sin2(x+?)—2夜cos(x—?)-5a+2../(6—2a)恒成立，由(1)得出y=/(x)在(0,