高中平面幾何常用定理總結(jié)及高中平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(直線、圓、橢圓、曲線)

-16-（高中）平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)（基本定理、基本性質(zhì)）勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對(duì)邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．(2)鈍角對(duì)邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．射影定理（歐幾里得定理）中線定理（巴布斯定理）設(shè)△ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有；中線長(zhǎng)：．垂線定理：．高線長(zhǎng)：．角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．

如△ABC中，AD平分∠BAC，則；（外角平分線定理）．角平分線長(zhǎng)：（其中為周長(zhǎng)一半）．正弦定理：，（其中為三角形外接圓半徑）．余弦定理：．張角定理：．斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD．圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）弦切角定理：弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角．圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長(zhǎng)定理：）布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對(duì)角線的交點(diǎn)P向一邊作垂線，其延長(zhǎng)線必平分對(duì)邊．點(diǎn)到圓的冪：設(shè)P為⊙O所在平面上任意一點(diǎn)，PO=d，⊙O的半徑為r，則d2－r2就是點(diǎn)P對(duì)于⊙O的冪．過(guò)P任作一直線與⊙O交于點(diǎn)A、B，則PA·PB=|d2－r2|．“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個(gè)結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”．三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪．當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn)．托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線之積等于兩組對(duì)邊乘積之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立)．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD、EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM．費(fèi)馬點(diǎn)：定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn)，到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離．定理2三角形每一內(nèi)角都小于120°時(shí)，在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn)，它對(duì)三條邊所張的角都是120°，該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小，稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時(shí)，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．拿破侖三角形：在任意△ABC的外側(cè)，分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF，則AE、AB、CD三線共點(diǎn)，并且AE＝BF＝CD，這個(gè)命題稱為拿破侖定理．以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C1、⊙A1、⊙B1的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形；△ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2、⊙A2、⊙B2的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形．這兩個(gè)拿破侖三角形還具有相同的中心．九點(diǎn)圓（Ninepointround或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A）：三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如:

（1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;（2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn);

（3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕．歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上．歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr．銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分；重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為△ABC的重心，連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，則； （2）設(shè)G為△ABC的重心，則；（3）設(shè)G為△ABC的重心，過(guò)G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過(guò)G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，過(guò)G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則；（4）設(shè)G為△ABC的重心，則①；②；③（P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)）；④到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是重心，即最??；⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的重心）．垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)；垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍；（2）垂心H關(guān)于△ABC的三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在△ABC的外接圓上；（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；（4）設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則．內(nèi)心：三角形的三條角分線的交點(diǎn)—內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等；內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則I到△ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則；（3）三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若平分線交△ABC外接圓于點(diǎn)K，I為線段AK上的點(diǎn)且滿足KI=KB，則I為△ABC的內(nèi)心；（4）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，平分線交BC于D，交△ABC外接圓于點(diǎn)K，則；（5）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，I在上的射影分別為，內(nèi)切圓半徑為，令，則①；②；③．外心：三角形的三條中垂線的交點(diǎn)——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；（2）設(shè)O為△ABC的外心，則或；（3）；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和．旁心：一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點(diǎn)——旁切圓圓心；設(shè)△ABC的三邊令，分別與外側(cè)相切的旁切圓圓心記為，其半徑分別記為．旁心性質(zhì)：（1）（對(duì)于頂角B，C也有類似的式子）；（2）；（3）設(shè)的連線交△ABC的外接圓于D，則（對(duì)于有同樣的結(jié)論）；（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圓半徑等于△ABC的直徑為2R．三角形面積公式：，其中表示邊上的高，為外接圓半徑，為內(nèi)切圓半徑，．三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系：梅涅勞斯（Menelaus）定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線和一條不經(jīng)過(guò)它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有．（逆定理也成立）梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q，∠C的平分線交邊AB于R，∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線．梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過(guò)任意△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線．塞瓦(Ceva)定理：設(shè)X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直線交于一點(diǎn)的充要條件是eq\f(AZ,ZB)·eq\f(BX,XC)·eq\f(CY,YA)=1．塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過(guò)邊BC的中點(diǎn)M．塞瓦定理的逆定理：（略）塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，三角形的三條高線交于一點(diǎn)，三角形的三條角分線交于一點(diǎn)．塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)．西摩松（Simson）定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simsonline）．西摩松定理的逆定理：（略）關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上．關(guān)于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點(diǎn)．史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過(guò)線段PH的中心．史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上．這條直線被叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線．牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線．這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線．牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線．笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線．笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線．波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2)．波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn)．波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn)．波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)．波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn)．卡諾定理：通過(guò)△ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線．奧倍爾定理：通過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在△ABC的外接圓上取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線．清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線．他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線．（反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長(zhǎng)線的兩點(diǎn)，如果OC2=OQ×OP則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn)）朗古來(lái)定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線，再?gòu)腜向這4條西摩松線引垂線，則四個(gè)垂足在同一條直線上．從三角形各邊的中點(diǎn)，向這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點(diǎn)圓的圓心．一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n－1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn)．康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n－2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn)．康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松線的交點(diǎn)在同一直線上．這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線．康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點(diǎn)．這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)．康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線上．這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線．費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切．莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形．這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形．布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線共點(diǎn)．帕斯卡（Paskal）定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對(duì)的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長(zhǎng)線的）交點(diǎn)共線．阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點(diǎn)P，位于將線段AB分成m：n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上．這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．庫(kù)立奇*大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓）圓周上有四點(diǎn)，過(guò)其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過(guò)這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓．密格爾（Miquel）點(diǎn)：若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn)，構(gòu)成四個(gè)三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為密格爾點(diǎn)．葛爾剛（Gergonne）點(diǎn)：△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，則AE、BF、CD三線共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為葛爾剛點(diǎn)．歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一點(diǎn)，過(guò)M向三邊作垂線，三個(gè)垂足形成的三角形的面積，其公式：．高中平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一.直線部分1．直線的傾斜角與斜率：（1）直線的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為叫做直線的傾斜角.傾斜角,斜率不存在.（2）直線的斜率：．兩點(diǎn)坐標(biāo)為、.2．直線方程的五種形式：（1）點(diǎn)斜式：(直線過(guò)點(diǎn)，且斜率為)．注：當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不能用點(diǎn)斜式表示，此時(shí)方程為．（2）斜截式：(b為直線在y軸上的截距).（3）兩點(diǎn)式：(，).注：①不能表示與軸和軸垂直的直線；②方程形式為：時(shí)，方程可以表示任意直線．（4）截距式：（分別為軸軸上的截距，且）．注：不能表示與軸垂直的直線，也不能表示與軸垂直的直線，特別是不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線．（5）一般式：(其中A、B不同時(shí)為0)．一般式化為斜截式：，即，直線的斜率：．注：（1）已知直線縱截距，常設(shè)其方程為或．已知直線橫截距，常設(shè)其方程為(直線斜率k存在時(shí)，為k的倒數(shù))或．已知直線過(guò)點(diǎn)，常設(shè)其方程為或．（2）解析幾何中研究?jī)蓷l直線位置關(guān)系時(shí)，兩條直線有可能重合；立體幾何中兩條直線一般不重合．3．直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正，可負(fù)，也可為0.（1）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等直線的斜率為或直線過(guò)原點(diǎn)．（2）直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過(guò)原點(diǎn)．（3）直線兩截距絕對(duì)值相等直線的斜率為或直線過(guò)原點(diǎn)．4．兩條直線的平行和垂直：（1）若，，有①；②.（2）若，，有①；②．5．平面兩點(diǎn)距離公式：（1）已知兩點(diǎn)坐標(biāo)、，則兩點(diǎn)間距離．（2）軸上兩點(diǎn)間距離：．（3）線段的中點(diǎn)是，則．6．點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)到直線的距離：．7．兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線的距離：．8．直線系方程：（1）平行直線系方程：①直線中當(dāng)斜率一定而變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．②與直線平行的直線可表示為．③過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線可表示為：．（2）垂直直線系方程：①與直線垂直的直線可表示為．②過(guò)點(diǎn)與直線垂直的直線可表示為：．（3）定點(diǎn)直線系方程：①經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù)．②經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)．（4）共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為(除開(kāi))，其中λ是待定的系數(shù)．9．兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)：曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)方程組的解．10.平面和空間直線參數(shù)方程：平面直線方程以向量形式給出：方向向量為下面推導(dǎo)參數(shù)方程：空間直線方程也以向量形式給出：方向向量為下面推導(dǎo)參數(shù)方程：注意：只有封閉曲線才會(huì)產(chǎn)生參數(shù)方程，對(duì)于無(wú)限曲線，例如二次函數(shù)一般不會(huì)有化為如上的參數(shù)方程。二.圓部分1．圓的方程：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（）．（2）圓的一般方程：．（3）圓的直徑式方程：若，以線段為直徑的圓的方程是：．注：(1)在圓的一般方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是，．（2）一般方程的特點(diǎn)：①和的系數(shù)相同且不為零；②沒(méi)有項(xiàng)；③（3）二元二次方程表示圓的等價(jià)條件是：①；②；③．2．圓的弦長(zhǎng)的求法：（1）幾何法：當(dāng)直線和圓相交時(shí)，設(shè)弦長(zhǎng)為，弦心距為，半徑為，則：“半弦長(zhǎng)+弦心距=半徑”——；（2）代數(shù)法：設(shè)的斜率為，與圓交點(diǎn)分別為，則（其中的求法是將直線和圓的方程聯(lián)立消去或，利用韋達(dá)定理求解）3．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種在在圓外．在在圓內(nèi)．③在在圓上．【到圓心距離】4．直線與圓的位置關(guān)系：直線與圓的位置關(guān)系有三種:圓心到直線距離為()，由直線和圓聯(lián)立方程組消去（或）后，所得一元二次方程的判別式為．；；．5．兩圓位置關(guān)系:設(shè)兩圓圓心分別為，半徑分別為，；；；；．6．圓系方程：（1）過(guò)直線與圓:的交點(diǎn)的圓系方程：,λ是待定的系數(shù)．（2）過(guò)圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程：,λ是待定的系數(shù)．特別地，當(dāng)時(shí)，就是表示兩圓的公共弦所在的直線方程，即過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線．7．圓的切線方程：（1）過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為:．（2）過(guò)圓上的點(diǎn)的切線方程為:．（3）當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，可設(shè)切方程為，利用圓心到直線距離等于半徑，即，求出；或利用，求出．若求得只有一值，則還有一條斜率不存在的直線．8.圓的參數(shù)方程：圓方程參數(shù)方程源于：那么設(shè)：得：9．把兩圓與方程相減即得相交弦所在直線方程:．10．對(duì)稱問(wèn)題：（1）中心對(duì)稱：①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)．②直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：法1：在直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式求出兩點(diǎn)關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式求直線方程．法2：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，在利用由點(diǎn)斜式得出直線方程．（2）軸對(duì)稱：①點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)，點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．②直線關(guān)于直線對(duì)稱：（設(shè)關(guān)于對(duì)稱）法1：若相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，并在直線上任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)．若，則，且與的距離相等．法2：求出上兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程．（3）其他對(duì)稱：點(diǎn)(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱：(a,-b)；關(guān)于y軸對(duì)稱：(-a,b)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：(-a,-b)；點(diǎn)(a,b)關(guān)于直線y=x對(duì)稱：(b,a)；關(guān)于y=-x對(duì)稱：(-b,-a)；關(guān)于y=x+m對(duì)稱：(b-m、a+m)；關(guān)于y=-x+m對(duì)稱：(-b+m、-a+m).11．若，則△ABC的重心G的坐標(biāo)是．12．各種角的范圍：直線的傾斜角兩條相交直線的夾角兩條異面線所成的角三.橢圓部分1.橢圓定義：①到兩定點(diǎn)距離之和為一常數(shù)的平面幾何曲線：即∣MO1∣+∣MO2∣=2a②或定義：任意一條線段，在線段中任取兩點(diǎn)（不包括兩端點(diǎn)），將線段兩端點(diǎn)置于這兩點(diǎn)處，用一個(gè)釘子將線段繃直旋轉(zhuǎn)一周得到的平面幾何曲線即為橢圓。③從橢圓定義出發(fā)得到一個(gè)基本結(jié)論：橢圓上任意一點(diǎn)引出的兩個(gè)焦半徑