高中物理微積分應(yīng)用(完美)及高中物理文學(xué)常識總結(jié)

高中物理中微積分思想偉大的科學(xué)家牛頓，有很多偉大的成就，建立了經(jīng)典物理理論，比如：牛頓三大定律，萬有引力定律等；另外，在數(shù)學(xué)上也有偉大的成就，創(chuàng)立了微積分。微積分（Calculus）是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。微積分是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的。微積分最重要的思想就是用"微元"與"無限逼近"，好像一個事物始終在變化你很難研究，但通過微元分割成一小塊一小塊，那就可以認(rèn)為是常量處理，最終加起來就行。

微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。它是一種數(shù)學(xué)思想，‘無限細(xì)分’就是微分，‘無限求和’就是積分。無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，它是用一種運動的思想看待問題。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。在高中物理中，微積分思想多次發(fā)揮了作用。1、解決變速直線運動位移問題勻速直線運動，位移和速度之間的關(guān)系x=vt；但變速直線運動，那么物體的位移如何求解呢？例1、汽車以10m/s的速度行駛，到某處需要減速停車，設(shè)汽車以等減速2m/s2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少公里？a=-2m/s2【解析】現(xiàn)在我們知道，根據(jù)勻減速直線運動速度位移公式就可以求得汽車走了0.025公里。a=-2m/s2但是，高中所謂的的勻變速直線運動的位移公式是怎么來的，其實就是應(yīng)用了微積分思想：把物體運動的時間無限細(xì)分。在每一份時間微元內(nèi)，速度的變化量很小，可以忽略這種微小變化，認(rèn)為物體在做勻速直線運動，因此根據(jù)已有知識位移可求；接下來把所有時間內(nèi)的位移相加，即“無限求和”，則總的位移就可以知道。現(xiàn)在我們明白，物體在變速直線運動時候的位移等于速度時間圖像與時間軸所圍圖形的“面積”，即?！疚⒎e分解】汽車在減速運動這段時間內(nèi)速度隨時間變化的關(guān)系，從開始剎車到停車的時間t=5s，

所以汽車由剎車到停車行駛的位移

小結(jié)：此題是一個簡單的勻變速直線運動求位移問題。對一般的變速直線運動，只要結(jié)合物理知識求速度關(guān)于時間的函數(shù)，畫出v－t圖像，找“面積”就可以?；蛘撸枚ǚe分就可解決.v2、解決變力做功問題v恒力做功，我們可以利用公式直接求出；但對于變力做功，我們?nèi)绾吻蠼饽兀坷?：如圖所示，質(zhì)量為m的物體以恒定速率v沿半徑為R的豎直圓軌道運動，已知物體與豎直圓軌道間的摩擦因數(shù)為，求物體從軌道最低點運動到最高點的過程中，摩擦力做了多少功。.xyOmg.xyOmgmgNANBBA可由圓軌道的對稱性，在圓軌道水平直徑上、下各取兩對稱位置A和B，設(shè)OA、OB與水平直徑的夾角為θ。在的足夠短圓弧上，△S可看作直線，且摩擦力可視為恒力，則在A、B兩點附近的△S內(nèi)，摩擦力所做的功之和可表示為：L（弧長）L（弧長）=α(弧度)xr(半徑)(弧度制)又因為車在A、B兩點以速率v作圓周運動，所以：F=圓周運動向心力公式

綜合以上各式得：F=圓周運動向心力公式故摩擦力對車所做的功：【微積分解】物體在軌道上受到的摩擦力，從最低點運動到最高點摩擦力所做的功為小結(jié)：這題是一個復(fù)雜的變力做功問題，利用公式直接求功是難以辦到的。利用微積分思想，把物體的運動無限細(xì)分，在每一份位移微元內(nèi)，力的變化量很小，可以忽略這種微小變化，認(rèn)為物體在恒力作用下的運動；接下來把所有位移內(nèi)的功相加，即“無限求和”，則總的功就可以知道。在高中物理中還有很多例子，比如我們講過的瞬時速度，瞬時加速度、感應(yīng)電動勢、引力勢能等都用到了微積分思想，所有這些例子都有它的共性。作為大學(xué)知識在高中的應(yīng)用，雖然微積分高中不要求，但他的思想無不貫穿整個高中物理。“微積分思想”豐富了我們處理問題的手段，拓展了我們的思維。我們在學(xué)習(xí)的時候，要學(xué)會這種研究問題的思想方法，只有這樣，在緊張的學(xué)習(xí)中，我們才能做到事半功倍。一場源點荷為Q,在距Q為r的A點有一點電荷為q,此A處電勢一場源點荷為Q,在距Q為r的A點有一點電荷為q,此A處電勢φ=kQ/r【例】問均勻帶電的立方體角上一點的電勢是中心的幾倍。分析：①根據(jù)對稱性，可知立方體的八個角點電勢相等；將原立方體等分為八個等大的小立方體,原立方體的中心正位于八個小立方體角點位置；而根據(jù)電勢疊加原理，其電勢即為八個小立方體角點位置的電勢之和，即U1=8U2；②立方體角點的電勢與什么有關(guān)呢?電荷密度ρ；二立方體的邊長a；三立方體的形狀；根據(jù)點電荷的電勢公式U=eq\f(KQ,r)及量綱知識，可猜想邊長為a的立方體角點電勢為U=eq\f(CKQ,a)=Ckρa2

；其中C為常數(shù)，只與形狀（立方體）及位置（角點）有關(guān)，Q是總電量，ρ是電荷密度；其中Q=ρa3

③大立方體的角點電勢：U0=Ckρa2

；小立方體的角點電勢：U2=Ckρ（eq\f(a,2)）2=eq\f(CKρa2,4)

大立方體的中心點電勢：U1=8U2=2Ckρa2；即U0=eq\f(1,2)U1【小結(jié)】我們發(fā)現(xiàn)，對于一個物理問題，其所求的物理量總是與其他已知物理量相關(guān)聯(lián)，或者用數(shù)學(xué)語言來說，所求的物理量就是其他物理量（或者說是變量）的函數(shù)。如果我們能夠把這個函數(shù)關(guān)系寫出來，或者將其函數(shù)圖像畫出來，那么定量或定性地理解物理量的變化情況，幫助我們解決物理問題。導(dǎo)數(shù)㈠物理量的變化率tv我們經(jīng)常對物理量函數(shù)關(guān)系的圖像處理，比如v-t圖像，求其斜率可以得出加速度a，求其面積可以得出位移s，而斜率和面積是幾何意義上的微積分。我們知道，過v-t圖像中某個點作出切線，其斜率即a=eq\f(△v,△t).tv下面我們從代數(shù)上考察物理量的變化率：【例】若某質(zhì)點做直線運動，其位移與時間的函數(shù)關(guān)系為上s=3t+2t2,試求其t時刻的速度的表達(dá)式。（所有物理量都用國際制單位，以下同）分析：我們知道，公式v=eq\f(△s,△t)一般是求△t時間內(nèi)的平均速度，當(dāng)△t取很小很小，才可近似處理成瞬時速度。s(t)=3t+2t2s(t+△t)=3(t+△t)+2(t+△t)2△s=s(t+△t)-s(t)=3(t+△t)+2(t+△t)2-3t-2t2=3△t+4t△t+2△t2v=eq\f(△s,△t)=eq\f(3△t+4t△t+2△t2,△t)=3+4t+2△t當(dāng)△t取很小，小到跟3+4t相比忽略不計時，v=3+4t即為t時刻的瞬時速度?！揪殹考僭O(shè)一個閉合線圈匝數(shù)為100匝，其磁通量為φ=3t+4t3,求感應(yīng)電動勢隨時間t的函數(shù)關(guān)系?！拘〗Y(jié)】回顧我們求物理量y=f(t)的變化率瞬時值z的步驟：①寫出t時刻y0=f(t)的函數(shù)表達(dá)式；②寫出t+△t時刻y1=f(t+△t)的函數(shù)表達(dá)式；③求出△y=y1-y0=f(t+△t)-f(t)；④求出z=eq\f(△y,△t)=eq\f(f(t+△t)-f(t),△t)；⑤注意△t取很小，小到與有限值相比可以忽略不計。㈡無窮小當(dāng)△t取很小時，可以用V=eq\f(△s,△t)求瞬時速度，也可用i=eq\f(△Q,△t)求瞬時電流,用ε=eq\f(N△φ,△t)求瞬時感應(yīng)電動勢。下面，我們來理解△t：△t是很小的不為零的正數(shù)，它小到什么程度呢？可以說，對于我們?nèi)我饨o定一個不為零的正數(shù)ε，都比△t大，即：ε>△t?；蛘邚膭討B(tài)的角度來看，給定一段時間t，我們進行如下操作：第一次，我們把時間段平均分為2段，每段時間△t=eq\f(t,2)；第二次，我們把時間段平均分為3段，每段時間△t=eq\f(t,3)；第三次，我們把時間段平均分為4段，每段時間△t=eq\f(t,4)；…………第N次，我們把時間段平均分為N+1段，每段時間△t=eq\f(t,N+1)；…………一直這樣進行下去，我們知道，△t越來越小，雖然它不為零，但永遠(yuǎn)逼近零，我們稱它為無窮小，記為△t→0。或者，用數(shù)學(xué)形式表示為△t=0。其中“”表示極限，意思是△t的極限值為0。常規(guī)計算：①（△t+C）=C②C·△t=0③f(△t)=f(0)④f(t+△t)=f(t)⑤eq\f(sin(△t),△t)=1『附錄』常用等價無窮小關(guān)系（）①；②；③；④；⑤㈢導(dǎo)數(shù)前面我們用了極限“”的表示方法，那么物理量y的變化率的瞬時值z可以寫成:z=eq\f(△y,△t),并簡記為z=eq\f(dy,dt),稱為物理量y函數(shù)對時間變量t的導(dǎo)數(shù)。物理上經(jīng)常用某物理量的變化率來定義或求解另一物理量，如v=eq\f(dx,dt)、a=eq\f(dv,dt)、i=eq\f(dq,dt)、ε=Neq\f(dФ,dt)等，甚至不限于對時間求導(dǎo)，如F=eq\f(dWF,dx)、Ex=eq\f(dU,dx)、ρ=eq\f(dm,dl)等。這個dt（也可以是dx、dv、dm等）其實相當(dāng)于微元法中的時間微元△t，當(dāng)然每次這樣用來求物理量變化率的瞬時值太繁瑣了，畢竟微元法只是草創(chuàng)時期的微積分。如果能把常見導(dǎo)數(shù)計算的基本規(guī)律弄懂，那么我們可以簡單快速地求解物理量變化率的瞬時值（導(dǎo)數(shù)）了。同學(xué)們可以課后推導(dǎo)以下公式：⑴導(dǎo)數(shù)的四則運算①eq\f(d(u±v),dt)=eq\f(du,dt)±eq\f(dv,dt)③eq\f(d(eq\f(u,v)),dt)=eq\f(eq\f(du,dt)·v-u·eq\f(dv,dt)eq\f(u,v),v2)②eq\f(d(u·v),dt)=eq\f(du,dt)·v+u·eq\f(dv,dt)eq\f(u,v)⑵常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)①eq\f(dC,dt)=0(C為常數(shù))；④eq\f(dcost,dt)=-sint；②eq\f(dtn,dt)=ntn-1(n為實數(shù))；⑤eq\f(det,dt)=et；③eq\f(dsint,dt)=cost；⑶復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)上，把u=u(v(t))稱為復(fù)合函數(shù)，即以函數(shù)v(t)為u(x)的自變量。eq\f(du(v(t)),dt)=eq\f(du(v(t)),dv(t))·eq\f(dv(t),dt)復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)——稱為鏈?zhǔn)椒▌t。在簡諧振動中，在單位時間內(nèi)物體完成全振動的次數(shù)叫頻率，用在簡諧振動中，在單位時間內(nèi)物體完成全振動的次數(shù)叫頻率，用f表示，頻率的2π倍叫角頻率，即ω=2πf【練】1、某彈簧振子在X軸上做直線運動，其位移x與時間t的關(guān)系為x=Asinωt，即，質(zhì)點在坐標(biāo)原點附近往復(fù)運動，最大位移為A（A稱為振幅），周期為eq\f(2π,ω)（ω稱為角頻率），物理上把這種運動叫簡諧運動。請完成以下幾問：①求出t時刻的速度v②寫出合力F與位移x的關(guān)系③驗證簡諧運動中質(zhì)點的機械能守恒。PQθ【練】2、某矩形線框面積為S，匝數(shù)為N，處于磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，如圖所示，線框繞PQ軸以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動，從水平位置開始計時，在PQθ三：微分和積分㈠簡單問題【例】電容器是一種存儲電荷的元件，它的基本工作方式為充電和放電，我們先考察電容器放電時的情況。某電容為C的電容器，其已充電的電量為Q0，若讓該電容與另一個阻值為R的的電阻串聯(lián)起來，該電容器將會放電，其釋放的電能轉(zhuǎn)化電阻的焦耳熱（內(nèi)能）。試討論，放電時流過電阻R的電流隨時間t的變化關(guān)系如何？分析：①根據(jù)電荷守恒定律，當(dāng)通過電阻R的電量為q時，電容器的電量從Q0變成Q1，滿足Q0=Q1+q，即q=Q0-Q1；Q0→Q1q②流過電阻R的電流i與通過電阻R的電量q滿足關(guān)系式：i=eq\f(dq,dQ0→Q1q③根據(jù)電容電量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi，那么q=Q0-CRi；④聯(lián)立上式，有i=eq\f(dq,dt)=eq\f(d(Q0-CRi),dt)=-CReq\f(di,dt)⑤進行公式變形，令x=-eq\f(t,CR),則有i=-CReq\f(di,dt)=eq\f(di,dx)同學(xué)們思考一下，i應(yīng)該是什么函數(shù)，才能滿足i=eq\f(di,dx)？，或者說什么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)本身？我們觀察到，只有y=Cex形式的函數(shù)才滿足i=eq\f(di,dx)關(guān)系，C為待定常數(shù)。故可以知道，i=Cex=Ce-t/CR當(dāng)t=0時，U0=eq\f(Q0,C)，i0=eq\f(U0,R)=eq\f(Q0,CR)；而把t=0代人，得i=Ce-t/CR=C；故C=eq\f(Q0,CR)所以，流過電阻R的電流隨時間t的變化關(guān)系為：i=eq\f(Q0,CR)e-t/CR【練】對于上例電容器放電問題，試討論，放電時電容器的電量Q隨時間t的變化關(guān)系如何？㈡微分1、從上面式子可以看出，理論上雖然我們說是要經(jīng)過無窮長的時間電容才放完電，電流為零，但實際上只需要電流減少足夠小時，電流計就檢測不到有電流了。2、對于i=-CReq\f(di,dt)或i=eq\f(di,dx)，我們稱之為微分方程，最直觀的解決方法是觀察有哪些函數(shù)滿足該微分方程的函數(shù)關(guān)系，當(dāng)然，我們要注意比如上題中的t=0之類的初始條件。3、一般來說，微積分可以幫助同學(xué)們深刻理解物理概念和公式，但微元法可以幫助同學(xué)們更細(xì)致地明了物理過程。下面我們用微元法的方式來處理這個問題。在△t的時間內(nèi)，通過電阻R的電量為△q。雖然電流隨時間發(fā)生變化，但在很短的時間△t內(nèi)，可以認(rèn)為電流幾乎不變，當(dāng)成恒定電流處理，故有△q=i△t。對電容有Q=CU=CiR，△Q=ＣＲ△i；由電量守恒，△Q=－△q，故－i△t＝ＣＲ△i，然后把“△”形式改寫成微積分語言的“d”形式，就有－idt＝ＣＲdi（dt和di稱之為微分）,數(shù)學(xué)變形為i=-CReq\f(di,dt)，即以上解法中的微分方程。微分與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系呢？對某自變量為時間t的函數(shù)F(t)，它的極其微小的變化，我們記它為微分dF，它與時間微分dt滿足關(guān)系式：dF=eq\f(dF,dt)dt，其中eq\f(dF,dt)為F對t的導(dǎo)數(shù)。下面是常見的微分公式與微分運算法則：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨㈢積分在上例問題中，在△t的時間內(nèi)，通過電阻R的電量為△q=i△t，△q稱為電量微元。如果我們把0到t時間內(nèi)的△q加起來，用求和符號“∑”表示，則有：q=∑i△t。由于t=N△t,當(dāng)△t取無窮小時，那么i△t就有N→∞個，也就是，我們要把無窮個i△t進行相加操作，為了方便，我們用微積分符號表示q=∑i△t=，稱為對i在時間上求積分。我們來看一下這么做有什么意義：①從幾何上看，對于i-t圖像，q=∑i△t=就是圖像中的面積。對于恒定電流，很簡單，△q=i△t，即小塊矩形面積；對于變化的電流，用△q=i△t來計算，發(fā)現(xiàn)有一小塊近似三角形面積的誤差，不過當(dāng)我們?nèi)‘?dāng)△t取無窮小時，用極限處理后，該誤差會無窮逼近零，可以忽略不計，那么計算的面積就無限精確接近實際面積了。②前面我們求導(dǎo)用了i=eq\f(dq,dt)，積分用了q=?？梢钥闯觯瑥哪撤N程度上說，積分實際是求導(dǎo)的逆運算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-e-t/CR),i=eq\f(Q0,CR)e-t/CR滿足求導(dǎo)和積分的運算關(guān)系i=eq\f(dq,dt)、q=。對于一般函數(shù)F，如果有f=eq\f(dF,dt)，那么就有=F+C。請思考，為什么積分中會出現(xiàn)常數(shù)C？下面是常見的積分公式，請同學(xué)們對照求導(dǎo)公式理解：①②③f④⑤現(xiàn)在我們用微積分書寫方式來來解答上題。由Q0=Q+q；Q=Q0-q；則dQ=-dq=-idt=-eq\f(U,R)dt=-eq\f(Q,CR)dt；怎么來求呢？我們知道eq\f(det,dt)=et，令F(t)=et，有t=lnF；怎么來求呢？我們知道eq\f(det,dt)=et，令F(t)=et，有t=lnF；則有eq\f(dF,dt)=F，即eq\f(dF,F)=dt=d(lnF)；那么==lnQ+C。=？請同學(xué)們自己推導(dǎo)。對等號兩邊積分：=；有l(wèi)nQ=-eq\f(t,CR)C`，或者Q=Ce-t/CR；當(dāng)t=0時，Q(0)=C=Q0；所以電容器電量為Q=Q0e-t/CR。㈣定積分【例】某質(zhì)點在X軸上做直線運動，其速度v滿足函數(shù)關(guān)系v=3t2,求從t=1s到t=3s時間內(nèi)質(zhì)點發(fā)生的位移。分析：在dt時間內(nèi)，質(zhì)點可以認(rèn)為做勻速直線運動，即ds=vdt,那么對等號兩邊積分，有，則有：s=t3+C；現(xiàn)在有問題了：當(dāng)t=0時，S(0)等于多少我們不知道！而且已知條件中的時間“從t=1s到t=3s”也沒有用上！下面我們從物理上考察C這個常數(shù)的意義。t=0時，s(0)=C。當(dāng)我們令C=0時，相當(dāng)于質(zhì)點在零時刻從坐標(biāo)原點開始運動；當(dāng)我們令C=1時，相當(dāng)于質(zhì)點在零時刻從坐標(biāo)位置X=1m處開始運動；……。tvtv那么我們就隨便選取某一參考系，使質(zhì)點在零時刻從坐標(biāo)位置X=Cm處開始運動，則位移與時間的函數(shù)關(guān)系式為：s(t)=t3+C。題目中所求的1到3秒的位移為：s1=s(3)-s(1)=（33+C）-（13+C）=8m。題目中所要求的位移（速度積分）與積分式=F+C中的C無關(guān)，當(dāng)要求t=t1到t=t2時間內(nèi)位移時，s(t1→t2)=s(t2)-s(t2)。這個相當(dāng)于我們用s=∑v△t來求v-t圖像中的從t=t1到t=t2范圍內(nèi)的面積。我們用一種簡單符號表示這種關(guān)系：=F(b)–F(a)。這種積分叫定積分?！揪殹?、已知導(dǎo)線中的電流按I=t3-0.5t+6的規(guī)律隨時間t變化，式中電流和時間的單位分別為A和s。計算在t=1s到t=3s的時間內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電荷量?！揪殹?、某質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿，長為L，繞其一端點做角速度為ω的勻速轉(zhuǎn)動，試求其動能?！揪殹?、某彈簧勁度系數(shù)為K，原長為L，若將彈簧從2L長拉伸至3L長處，問應(yīng)克服彈簧彈力做多少功？【練】4、對于某電路，通過電阻R=2Ω的電流i=2t+1(A)，問從t=0時刻開始經(jīng)過4s后，電阻產(chǎn)生的焦耳熱是多少？四：課后習(xí)題1、質(zhì)量為2kg的某物體在平面直角坐標(biāo)系中運動，已知其x軸上的坐標(biāo)為x=3+5cos2t，y軸上的坐標(biāo)為y=-4+5sin2t，t為時間物理量，問：⑴物體的速度是多少？⑵物體所受的合外力是多少?⑶該物體做什么樣的運動？⑷能否找出該物體運動的特征物理量嗎？2、一質(zhì)點在某水平力F的作用下做直線運動，該力做功W與位移x的關(guān)系為W=3x-2x2,試問當(dāng)位移x為多少時F變?yōu)榱恪?、已知在距離點電荷Q為r處Ａ點的場強大小為E=eq\f(KQ,r2),請驗證Ａ點處的電勢公式為：U=eq\f(KQ,r)。4、某復(fù)合材料制成的一細(xì)桿OP長為L，其質(zhì)量分布不均勻。在桿上距離O端點為x處取點A，令M為細(xì)桿上OA段的質(zhì)量。已知M為x的函數(shù)，函數(shù)關(guān)系為M=kx2，現(xiàn)定義線密度ρ=eq\f(dM,dx),問當(dāng)x=eq\f(L,2)處B點的線密度為何？5、某彈簧振子的總能量為2×10-5J，當(dāng)振動物體離開平衡位置eq\f(1,2)振幅處，其勢能EP=，動能Ek=。6、取無窮遠(yuǎn)處電勢為零。若將對電容器充電等效成把電荷從無窮遠(yuǎn)處移到電容器極板上，試問，用電壓U對電容為C的電容器充電，電容器存儲的電能為何？開始時電容器存放的電荷量為零。7、在光滑的平行導(dǎo)軌的右端連接一阻值為R的電阻，導(dǎo)軌寬度為L，整個導(dǎo)軌水平放置在方向豎直向下的磁場中，磁場的磁感應(yīng)強度為B。有一導(dǎo)體棒ab垂直軌桿并停放在導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌有良好的接觸。在t=0時刻，給導(dǎo)體棒一水平向左的初速度V0，若其他電阻不計，則⑴求導(dǎo)體棒的速度v隨時間t的函數(shù)表達(dá)式；⑵求導(dǎo)體棒從開始運動到停下為止，其滑行的總位移S；⑶求導(dǎo)體棒在運動過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電流I隨時間t的函數(shù)關(guān)系；⑷求全過程中流過導(dǎo)體棒的總電荷Q。一、變力做功在功的問題中，恒力做功是最簡單的，公式為．“以常代變”，功的微元應(yīng)該通過恒力做功公式得到的．例8．3．1一壓簧，原長1，把它每壓縮1時所用的力為0.05．問在彈性范圍內(nèi)把它由1（如圖8．3．1）壓縮到60（如圖8．3．2）所做的功．圖8．3．1圖8．3．2解令起點為原點，壓縮的方向為軸的正方向當(dāng)把彈簧自原點壓縮至之間的任意點處時（如圖8．3．3）圖8．3．3由胡克定律知所承受的彈簧的壓力為在此力的作用下，再繼續(xù)壓縮一點點，即壓縮至處由于很小，這個壓縮過程可認(rèn)為力不變，即恒力做功則由恒力做功公式得功的微元積分得．例8．3．2在原點處有一帶電量為的點電荷，在它的周圍形成了一個電場．現(xiàn)在處有一單位正電荷沿軸正方向移至處，求電場力所做的功．又問若把該電荷繼續(xù)移動，移動至無窮遠(yuǎn)處，電場力要做多少功．解點電荷在任意點處時所受的電場力為（為常數(shù)）電場力做功的微元為點電荷由任意點處移動至處時電場力所做的功即則移至處電場力做的功；移至無窮遠(yuǎn)處電場力做的功（物理學(xué)中稱此值為電場在處的電位）．例8．3．3一圓臺形水池，深15，上下口半徑分別為20和10，如果把其中盛滿的水全部抽干，需要做多少功?解水是被“一層層”地抽出去的，在這個過程中，不但每層水的重力在變，提升的高度也在連續(xù)地變化圖8．3．4其中抽出任意一層水（處厚為的扁圓柱體，如圖8．3．4陰影部分）所做的功為抽水做功的微元此處γ常用符號是ρ，表示水的密度，計算時為1000kg/m3此處γ常用符號是ρ，表示水的密度，計算時為1000kg/m3則．二、物體質(zhì)量對于密度均勻的物體的質(zhì)量或、，這時密度是常量；但對于密度不均勻（密度是變量）的物體的質(zhì)量就不能直接用上述公式了，而應(yīng)該用微元法．例8．3．4一半圓形金屬絲，其上任意點處的線密度與該點到連接金屬絲端點的直徑的距離成正比，求金屬絲的質(zhì)量．解建立如圖8．3．5坐標(biāo)系圖8．3．5則．例8．3．5設(shè)有一心臟線形的物質(zhì)薄片，其面密度，試求此物質(zhì)薄片的質(zhì)量．解（參照例8．1．10）．例8．3．6設(shè)一立體為曲線關(guān)于軸的旋轉(zhuǎn)體，其上任一點的體密度等于其橫坐標(biāo)的絕對值即，試求該立體的質(zhì)量．解圖8．3．6（圖8．3．6中小圓柱體體積）．三、液體壓力液面下深處水平放置的面積為的薄板承受的液體壓力可以由壓強乘以面積得到，即，其中為液體密度，壓強是個常量（勻壓強）．現(xiàn)在如若把薄板垂直放置呢？薄板上的壓強還是常量嗎？還能用上邊那個簡單的公式嗎？例8．3．7三峽大壩有一上底、下底、高分別為40、20、15米的等腰梯形閘門，閘門垂直放置且上邊與水面齊（如圖8．3．4），試計算閘門一側(cè)所承受的水壓力．解:回顧例8．3．3，我們知道抽水做功微元為把處一層水抽出所做的功；類似地，側(cè)壓力微元為處一層水對應(yīng)的閘門的一個小窄條（如圖陰影部分）所承受的水壓力，即則．思考題8.31．觀察圖8．3．4中的陰影部分，思考它在以下問題中的不同含義：（1）梯形面積；（2）梯形閘門側(cè)壓力；（3）圓臺體積；（4）圓臺形水池的抽水做功．2．試用一句話論述微元法的精髓．（用簡單方法（公式）得到微元，通過對微元積分解決復(fù)雜問題）練習(xí)題8.31．在軸上作直線運動的質(zhì)點，在任意點處所受的力為，試求質(zhì)點從運動到處所做的功．2．一半徑為1的水井，深10，水面距地面4．如果把水全部抽干（不考慮滲漏因素），要做多少功？3．物質(zhì)曲線上任意點處的線密度，求一段物質(zhì)曲線的質(zhì)量．4．一底為8高為12的矩形薄片垂直沉沒于水中，上底在水深5處并與水面平行，求薄片一側(cè)所受的側(cè)壓力．練習(xí)題8.3答案1．在軸上作直線運動的質(zhì)點，在任意點處所受的力為，試求質(zhì)點從運動到處所做的功．解．2．一半徑為1的水井，深10，水面距地面4．如果把水全部抽干（不考慮滲漏因素），要做多少功？解則．3．物質(zhì)曲線上任意點處的線密度，求一段物質(zhì)曲線的質(zhì)量．解．4．一底為8高為12的矩形薄片垂直沉沒于水中，上底在水深5處并與水面平行，求薄片一側(cè)所受的側(cè)壓力．解則．力學(xué)1、1638年，意大利物理學(xué)家伽利略在《兩種新科學(xué)的對話》中用科學(xué)推理論證重物體和輕物體下落一樣快；并在比薩斜塔做了兩個不同質(zhì)量的小球下落的實驗，證明了他的觀點是正確的，推翻了古希臘學(xué)者亞里士多德的觀點（即：質(zhì)量大的小球下落快是錯誤的）；2、1654年，德國的馬德堡市做了一個轟動一時的實驗——馬德堡半球?qū)嶒灒?、1687年，英國科學(xué)家牛頓在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》著作中提出了三條運動定律（即牛頓三大運動定律）。4、17世紀(jì)，伽利略通過構(gòu)思的理想實驗指出：在水平面上運動的物體若沒有摩擦，將保持這個速度一直運動下去；得出結(jié)論：力是改變物體運動的原因，推翻了亞里士多德的觀點：力是維持物體運動的原因。同時代的法國物理學(xué)家笛卡兒進一步指出：如果沒有其它原因，運動物體將繼續(xù)以同速度沿著一條直線運動，既不會停下來，也不會偏離原來的方向。5、英國物理學(xué)家胡克對物理學(xué)的貢獻：胡克定律；經(jīng)典題目：胡克認(rèn)為只有在一定的條件下，彈簧的彈力才與彈簧的形變量成正比（對）6、1638年，伽利略在《兩種新科學(xué)的對話》一書中，運用觀察－假設(shè)－數(shù)學(xué)推理的方法，詳細(xì)研究了拋體運動。17世紀(jì)，伽利略通過理想實驗法指出：在水平面上運動的物體若沒有摩擦，將保持這個速度一直運動下去；同時代的法國物理學(xué)家笛卡兒進一步指出：如果沒有其它原因，運動物體將繼續(xù)以同速度沿著一條直線運動，既不會停下來，也不會偏離原來的方向。7、人們根據(jù)日常的觀察和經(jīng)驗，提出“地心說”，古希臘科學(xué)家托勒密是代表；而波蘭天文學(xué)家哥白尼提出了“日心說”，大膽反駁地心說。8、17世紀(jì)，德國天文學(xué)家開普勒提出開普勒三大定律；9、牛頓于1687年正式發(fā)表萬有引力定律；1798年英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤實驗裝置比較準(zhǔn)確地測出了引力常量；10、1846年，英國劍橋大學(xué)學(xué)生亞當(dāng)斯和法國天文學(xué)家勒維烈（勒維耶）應(yīng)用萬有引力定律，計算并觀測到海王星，1930年，美國天文學(xué)家湯苞用同樣的計算方法發(fā)現(xiàn)冥王星。11、我國宋朝發(fā)明的火箭是現(xiàn)代火箭的鼻祖，與現(xiàn)代火箭原理相同；但現(xiàn)代火箭結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其所能達(dá)到的最大速度主要取決于噴氣速度和質(zhì)量比（火箭開始飛行的質(zhì)量與燃料燃盡時的質(zhì)量比）；俄國科學(xué)家齊奧爾科夫斯基被稱為近代火箭之父，他首先提出了多級火箭和慣性導(dǎo)航的概念。多級火箭一般都是三級火箭，我國已成為掌握載人航天技術(shù)的第三個國家。12、1957年10月，蘇聯(lián)發(fā)射第一顆人造地球衛(wèi)星；1961年4月，世界第一艘載人宇宙飛船“東方1號”帶著尤里加加林第一次踏入太空。13、20世紀(jì)初建立的量子力學(xué)和愛因斯坦提出的狹義相對論表明經(jīng)典力學(xué)不適用于微觀粒子和高速運動物體。14、17世紀(jì)，德國天文學(xué)家開普勒提出開普勒三定律；牛頓于1687年正式發(fā)表萬有引力定律；1798年英國物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置比較準(zhǔn)確地測出了引力常量（體現(xiàn)放大和轉(zhuǎn)換的思想）；1846年，科學(xué)家應(yīng)用萬有引力定律，計算并觀測到海王星。電磁學(xué)13、1785年法國物理學(xué)家?guī)靵隼门こ訉嶒灠l(fā)現(xiàn)了電荷之間的相互作用規(guī)律——庫侖定律，并測出了靜電力常量k的值。14、1752年，富蘭克林在費城通過風(fēng)箏實驗驗證閃電是放電的一種形式，把天電與地電統(tǒng)一起來，并發(fā)明避雷針。15、1837年，英國物理學(xué)家法拉第最早引入了電場概念，并提出用電場線表示電場。16、1913年，美國物理學(xué)家密立根通過油滴實驗精確測定了元電荷e電荷量，獲得諾貝爾獎。17、1826年德國物理學(xué)家歐姆（1787-1854）通過實驗得出歐姆定律。18、1911年，荷蘭科學(xué)家昂尼斯（或昂納斯）發(fā)現(xiàn)大多數(shù)金屬在溫度降到某一值時，都會出現(xiàn)電阻突然降為零的現(xiàn)象——超導(dǎo)現(xiàn)象。19、19世紀(jì)，焦耳和楞次先后各自獨立發(fā)現(xiàn)電流通過導(dǎo)體時產(chǎn)生熱效應(yīng)的規(guī)律，即焦耳——楞次定律。20、1820年，丹麥物理學(xué)家奧斯特發(fā)現(xiàn)電流可以使周圍的小磁針發(fā)生偏轉(zhuǎn)，稱為電流磁效應(yīng)。21、法國物理學(xué)家安培發(fā)現(xiàn)兩根通有同向電流的平行導(dǎo)線相吸，反向電流的平行導(dǎo)線則相斥，同時提出了安培分子電流假說；并總結(jié)出安培定則（右手螺旋定則）判斷電流與磁場的相互關(guān)系和左手定則判斷通電導(dǎo)線在磁場中受到磁場力的方向。22、荷蘭物理學(xué)家洛侖茲提出運動電荷產(chǎn)生了磁場和磁場對運動電荷有作用力（洛侖茲力）的觀點。23、英國物理學(xué)家湯姆生發(fā)現(xiàn)電子，并指出：陰極射線是高速運動的電子流。24、湯姆生的學(xué)生阿斯頓設(shè)計的質(zhì)譜儀可用來測量帶電粒子的質(zhì)量和分析同位素。25、1932年，美國物理學(xué)家勞倫茲發(fā)明了回旋加速器能在實驗室中產(chǎn)生大量的高能粒子。（最大動能僅取決于磁場和D形盒直徑。帶電粒子圓周運動周期與高頻電源的周期相同；但當(dāng)粒子動能很大，速率接近光速時，根據(jù)狹義相對論，粒子質(zhì)量隨速率顯著增大，粒子在磁場中的回旋周期發(fā)生變化，進一步提高粒子的速率很困難。26、1831年英國物理學(xué)家法拉第發(fā)現(xiàn)了由磁場產(chǎn)生電流的條件和規(guī)律——電磁感應(yīng)定律。27、1834年，俄國物理學(xué)家楞次發(fā)表確定感應(yīng)電流方向的定律——楞次定律。28、1835年，美國科學(xué)家亨利發(fā)現(xiàn)自感現(xiàn)象（因電流變化而在電路本身引起感應(yīng)電動勢的現(xiàn)象），日光燈的工作原理即為其應(yīng)用之一，雙繞線法制精密電阻為消除其影響應(yīng)用之一。熱學(xué)29、1827年，英國植物學(xué)家布朗發(fā)現(xiàn)懸浮在水中的花粉微粒不停地做無規(guī)則運動的現(xiàn)象——布朗運動。30、19世紀(jì)中葉，由德國醫(yī)生邁爾、英國物理學(xué)家焦?fàn)枴⒌聡鴮W(xué)者亥姆霍茲最后確定能量守恒定律。31、1850年，克勞修斯提出熱力學(xué)第二定律的定性表述：不可能把熱從低溫物體傳到高溫物體而不產(chǎn)生其他影響，稱為克勞修斯表述。次年開爾文提出另一種表述：不可能從單一熱源取熱，使之完全變?yōu)橛杏玫墓Χ划a(chǎn)生其他影響，稱為開爾文表述。32、1848年開爾文提出熱力學(xué)溫標(biāo)，指出絕對零度是溫度的下限。指出絕對零度（-273.15℃）是溫度的下限。T=t+273.15K熱力學(xué)第三定律：熱力學(xué)零度不可達(dá)到。波動學(xué)33、17世紀(jì)，荷蘭物理學(xué)家惠更斯確定了單擺周期公式。周期是2s的單擺叫秒擺。34、1690年，荷蘭物理學(xué)家惠更斯提出了機械波的波動現(xiàn)象規(guī)律——惠更斯原理。35、奧地利物理學(xué)家多普勒（1803-1853）首先發(fā)現(xiàn)由于波源和觀察者之間有相對運動，使觀察者感到頻率發(fā)生變化的現(xiàn)象——多普勒效應(yīng)?！鞠嗷ソ咏?，f增大；相互遠(yuǎn)離，f減少】36、1864年，英國物理學(xué)家麥克斯韋發(fā)表《電磁場的動力學(xué)理論》的論文，提出了電磁場理論，預(yù)言了電磁波的存在，指出光是一種電磁波，為光的電磁理論奠定了基礎(chǔ)。電磁波是一種橫波37、1887年，德國物理學(xué)家赫茲用實驗證實了電磁波的存在，并測定了電磁波的傳播速度等于光速。38、1894年，意大利馬可尼和俄國波波夫分別發(fā)明了無線電報，揭開無線電通信的新篇章。39、1800年，英國物理學(xué)家赫歇耳發(fā)現(xiàn)紅外線；1801年，德國物理學(xué)家里特發(fā)現(xiàn)紫外線；1895年，德國物理學(xué)家倫琴發(fā)現(xiàn)X射線（倫琴射線），并為他夫人的手拍下世界上第一張X射線的人體照片。光學(xué)40、1621年，荷蘭數(shù)學(xué)家斯涅耳找到了入射角與折射角之間的規(guī)律——折射定律。41、1801年，英國物理學(xué)家托馬斯·楊成功地觀察到了光的干涉現(xiàn)象。42、1818年，法國科學(xué)家菲涅爾和泊松計算并實驗觀察到光的圓板衍射—泊松亮斑。43、1864年，英國物理學(xué)家麥克斯韋預(yù)言了電磁波的存在，指出光是一種電磁波；1887年，赫茲證實了電磁波的存在，光是一種電磁波44、1905年，愛因斯坦提出了狹義相對論，有兩條基本原理：①相對性原理——不同的慣性參考系中，一切物理規(guī)律都是相同的；②光速不變原理——不同的慣性參考系中，光在真空中的速度一定是c不變。45、愛因斯坦還提出了相對論中的一個重要結(jié)論——質(zhì)能方程式。46．公元前468-前376，我國的墨翟及其弟子在《墨經(jīng)》中記載了光的直線傳播、影的形成、光的反射、平面鏡和球面鏡成像等現(xiàn)象，為世界上最早的光學(xué)著作。47．1849年法國物理學(xué)家斐索首先在地面上測出了光速，以后又有許多科學(xué)家采用了更精密的方法測定光速，如美國物理學(xué)家邁克爾遜的旋轉(zhuǎn)棱鏡法。（注意其測量方法）48．關(guān)于光的本質(zhì)：17世紀(jì)明確地形成了兩種學(xué)說：一種是牛頓主張的微粒說，認(rèn)為光是光源發(fā)出的一種物質(zhì)微粒；另一種是荷蘭物理學(xué)家惠更斯提出的波動說，認(rèn)為光是在空間傳播的某種波。這兩種學(xué)說都不能解釋當(dāng)時觀察到的全部光現(xiàn)象。相對論49、物理學(xué)晴朗天空上的兩朵烏云：①邁克遜－莫雷實驗——相對論（高速運動世界）,②熱輻射實驗——量子論（微觀世界）；50、19世紀(jì)和20世紀(jì)之交，物理學(xué)的三大發(fā)現(xiàn)：X射線的發(fā)現(xiàn)，電子的發(fā)現(xiàn)，放射性的發(fā)現(xiàn)。51、1905年，愛因斯坦提出了狹義相對論，有兩條基本原理：①相對性原理——不同的慣性參考系中，一切物理規(guī)律都是相同的；②光速不變