專題06 全等三角形常見五種輔助線添法專訓(xùn)（原卷版）

專題06全等三角形常見五種輔助線添法專訓(xùn)【目錄】輔助線添法一倍長中線法輔助線添法二截長補(bǔ)短法輔助線添法三旋轉(zhuǎn)法輔助線添法四作平行線法輔助線添法五作垂線法【經(jīng)典例題一倍長中線法】【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．【常見模型】【例1】（2021春·遼寧大連·八年級大連市第三十四中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形、都是正方形，是的中點(diǎn)，連接、．(1)當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，求證：，且．(2)當(dāng)、、三點(diǎn)不共線時，（1）中的結(jié)論是否成立，并加以證明．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）（1）閱讀理解：如圖①，在中，若，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：將繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)得到，在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是_______；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，DF交于點(diǎn)F，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點(diǎn)作一個的角，角的兩邊分別交于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．2（2022秋·湖南岳陽·八年級統(tǒng)考期末）已知中，（1）如圖1，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連并延長到點(diǎn)F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖2，若，點(diǎn)E為邊一點(diǎn)，過點(diǎn)C作的垂線交的延長線于點(diǎn)D，連接，若，求證：．（3）如圖3，點(diǎn)D在內(nèi)部，且滿足，，點(diǎn)M在的延長線上，連交的延長線于點(diǎn)N，若點(diǎn)N為的中點(diǎn)，求證：．3．（2022秋·八年級課時練習(xí)）在中，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，直線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直線于點(diǎn)．直線于點(diǎn)，連接，．（1）如圖1，若點(diǎn)，在直線的異側(cè)，延長交于點(diǎn)．求證：．（2）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，點(diǎn)，在直線的同側(cè)，其它條件不變，此時，，，求的長度．（3）若過點(diǎn)作直線于點(diǎn)．試探究線段、和的關(guān)系．【經(jīng)典例題二截長補(bǔ)短法】【模型分析】截長補(bǔ)短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系．截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補(bǔ)短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段．該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補(bǔ)短法（往往需證2次全等）．【模型圖示】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段．例：如圖，求證BE＋DC＝AD方法：①在AD上取一點(diǎn)F，使得AF＝BE，證DF＝DC；②在AD上取一點(diǎn)F，使DF＝DC，證AF＝BE（2）補(bǔ)短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE＋DC＝AD方法：①延長DC至點(diǎn)M處，使CM＝BE，證DM＝AD；②延長DC至點(diǎn)M處，使DM＝AD，證CM＝BE【例2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)．(1)如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系為；（直接寫出答案）(2)如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·全國·八年級期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，請直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．2．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀下面材料：【原題呈現(xiàn)】如圖1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長．【思考引導(dǎo)】因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點(diǎn)E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到DEC≌DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．【問題解答】（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問題；（2）拓展提升：如圖3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長．3．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點(diǎn)E是直線BC上的動點(diǎn)．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在CB的延長線上時，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點(diǎn)P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關(guān)系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．【經(jīng)典例題三旋轉(zhuǎn)法】【模型分析】旋轉(zhuǎn)：將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn)，使兩短邊構(gòu)成一條邊，證與長邊相等．注：旋轉(zhuǎn)需要特定條件（兩個圖形的短邊共線），該方法常在半角模型中使用．【模型圖示】例：如圖，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求證BM＋CN＝MN方法：旋轉(zhuǎn)△ABM至△ACF處，證NE＝MN【例3】（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）已知：，，．(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請說明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點(diǎn)，且，此時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．2．（2021秋·天津和平·八年級校考期中）在中，，，是過A的一條直線，于點(diǎn)D，于E，（1）如圖（1）所示，若B，C在的異側(cè)，易得與，的關(guān)系是____________；（2）若直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時，（），其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請予以證明；（3）若直繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，（），問與，的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需證明．3．（2021秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點(diǎn)D是直線AB上的一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點(diǎn)D在直線AB上運(yùn)動時，如圖2，是點(diǎn)D在射線AB上，如圖3，是點(diǎn)D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．【經(jīng)典例題四作平行線法】【例4】（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．求讓：【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．2．（2022秋·八年級課時練習(xí)）讀下面的題目及分析過程,并按要求進(jìn)行證明．已知:如圖,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求證:AB=CD分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個三角形中,且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此,要證明AB=CD,必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請任意選擇其中兩種對原題進(jìn)行證明．圖(1):延長DE到F使得EF=DE圖(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延長線于F圖(3):過C點(diǎn)作CF∥AB交DE的延長線于F.3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點(diǎn)M．請?zhí)骄浚?1)如圖（1），當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上，點(diǎn)D在AB延長線上時，若BD=CE，請判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖（2），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上，點(diǎn)D在AB的延長線上時，若BD=CE，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由；(3)如圖（3），當(dāng)點(diǎn)E在CA的延長線上，點(diǎn)D在線段AB上（點(diǎn)D不與A，B重合），DE所在直線與直線BC交于點(diǎn)M，若CE＝2BD，請直接寫出線段MD與線段ME的數(shù)量關(guān)系．【經(jīng)典例題五作垂直法】【例5】（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）我們定義：三角形一個內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．(1)如圖1，是中的遙望角．①直接寫出與的數(shù)量關(guān)系___________；②連接AE，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在BD的延長線上，連CE，若已知，求證：是中的遙望角．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖1，已知四邊形ABCD，連接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延長CA到點(diǎn)E，使得AE＝AD，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，連接FE、FD，F(xiàn)D交AC于點(diǎn)G．（1）求證：△EAF≌△DAF；（2）如圖2，連接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度數(shù)．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進(jìn)行證明．3．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求證：AB=CD．分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證AB=CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形請用二種不同的方法證明．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點(diǎn)E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：（1）如圖2，由已知和作圖能得到的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．ASA（2）如圖2，長的取值范圍是．A．B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖3，是的中線，交于點(diǎn)E，交于F，且．求證：．4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，平分交于點(diǎn)D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補(bǔ)短法”通過延長線段構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使=______，連接請補(bǔ)全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進(jìn)一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點(diǎn)D在的內(nèi)部，分別平分，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進(jìn)行交換，得到的命題如下：如果在中，，點(diǎn)D在邊上，，那么平分小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進(jìn)行證明．6．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在銳角中，，點(diǎn)D，E分別是邊上一動點(diǎn)，連接BE交直線于點(diǎn)F．(1)如圖1，若，且，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，連接．在點(diǎn)D，E運(yùn)動過程中，猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．7．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC．CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點(diǎn)G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）探索延伸：(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，（1）中結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．8．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是；（不需要證明）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，圖1等腰△BAC與等腰△DEC，共點(diǎn)于C，且∠BCA＝∠ECD，連結(jié)BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．（1）求證：BE＝AD；（2）若將等腰△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2、3、4情況時，其余條件不變，BE與AD還相等嗎？為什么？（請你用圖2證明你的猜想）10．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于點(diǎn)M，連接MC．(1)求證：BE＝AD；(2)用含α的式子表示∠AMB的度數(shù)（直接寫出結(jié)果）；(3)當(dāng)時，取AD，BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，連接CP，CQ，PQ，如圖2，判斷△CPQ的形狀，并加以證明．11．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D在內(nèi)，，，點(diǎn)E在外，．(1)的度數(shù)為_______________；(2)小華說是等腰三角形，小明說是等邊三角形，___________的說法更準(zhǔn)確，并說明理由；(3)連接，若，求的長．12．（2022秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖1，已知△ABC、△ADE都是等邊三角形，點(diǎn)E在直線BC上，F(xiàn)在直線AC上，且FE＝EA，DE與AB相交于點(diǎn)G，連接BD、EF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時，①求證：∠BAE＝∠BDE；②求證：BD＋CF＝BC．（2）如圖2，如果點(diǎn)E在線段BC的延長線上，其他條件不變，請直接寫出線段BD、CF、BC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．13．（2023春·陜西西安·七年級?？茧A段練習(xí)）在內(nèi)有一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，垂足分別為，．且，點(diǎn)，分別在邊和上．（1）如圖1，若，請說明；（2）如圖2，若，，猜想，，具有的數(shù)量關(guān)系，并說明你的結(jié)論成立的理由．14．（2022秋·八年級課時練習(xí)）在中，，，點(diǎn)為直線上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時，①與的位置關(guān)系是______；②線段、、之間的數(shù)量關(guān)系是______．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時，（1）中的兩個結(jié)論還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請寫出正確的結(jié)論再給出證明．15．（2023春·上海·七年級專題練習(xí)）如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結(jié)AC，BD．（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；（2）將圖①中