4.2.2 等差數(shù)列的前n項和公式（九大考點）（原卷版）

等差數(shù)列的前n項和公式1.探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式2.理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系3.能在具體的問題情景中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題一、等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項、末項與項數(shù)首項、公差與項數(shù)公式等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特點：對于等差數(shù)列,如果是確定的,前項和.若取,上式可寫成.當(即)時,是關(guān)于的二次函數(shù)式(常數(shù)項為0).數(shù)列的圖象是拋物線上的一群孤立的點.二、等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用1.等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)（1）等差數(shù)列中,其前項和為,則中連續(xù)的項和構(gòu)成的數(shù)列構(gòu)成等差數(shù)列.（2）數(shù)列是等差數(shù)列(為常數(shù))（3）等差數(shù)列奇偶項和的性質(zhì)：①若項數(shù)為,則.②$2.等差數(shù)列前n項和的最值（1）若,則數(shù)列的前面若干項為負數(shù)項(或0),所以將這些項相加即得的最小值.（2）若,則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0),所以將這些項相加即得的最大值.考點01等差數(shù)列前n項和基本量運算1．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列中，是其前項和，若，，則（

）A．7 B．10 C．11 D．133．已知等差數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的公差為（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，，則.5．已知是等差數(shù)列的前n項和，且，．(1)求的通項公式；(2)若，求n．考點02等差數(shù)列前n項和與等差中項6．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（

）A．36 B．45 C．54 D．637．已知等差數(shù)列的前n項和為，，則（

）A．60 B．120 C．180 D．2408．已知是等差數(shù)列的前n項和，，則（

）A．22 B．33 C．40 D．449．記為等差數(shù)列的前項和，，則（

）A．24 B．42 C．64 D．8410．在等差數(shù)列中，為前項和，，則.考點03等差數(shù)列的片段和性質(zhì)11．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（

）A．27 B．45 C．81 D．1812．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則.13．已知為等差數(shù)列，若，則=（

）A．73 B．120 C．121 D．12214．（多選）記為公差d不為0的等差數(shù)列的前n項和，則（

）.A．，，成等差數(shù)列B．，，成等差數(shù)列C．D．15．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則．考點04等差數(shù)列前n項和與n的比16．已知等差數(shù)列的前n項和為，從結(jié)構(gòu)特征看有何數(shù)學(xué)含義？數(shù)列是等差數(shù)列嗎？17．在等差數(shù)列中，，其前項和為，若，則（

）A．2023 B．2023 C．2024 D．202418．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．18 B．36 C．40 D．4219．已知是等差數(shù)列的前項和，若，，則.20．在等差數(shù)列中,,其前項和為,則.考點05兩個等差數(shù)列前n項和之比21．已知等差數(shù)列和的前n項和分別為，，若，則（

）．A． B． C． D．22．已知等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個數(shù)為（

）A．6 B．7 C．8 D．923．已知等差數(shù)列和的前項和為分別為和，若，則的值為（

）A． B． C． D．24．已知等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則.25．已知等差數(shù)列，，其前項和分別為，，且滿足，．26．等差數(shù)列，的前項和分別是與，且，則；.考點06兩個等差數(shù)列偶數(shù)項或奇數(shù)項的和27．一個等差數(shù)列共100項，其和為80，奇數(shù)項和為30，則該數(shù)列的公差為（

）A． B．2 C． D．28．已知等差數(shù)列的前30項中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，且，，則（

）A． B． C． D．29．等差數(shù)列共有項，所有的奇數(shù)項之和為，所有的偶數(shù)項之和為，則等于．30．在等差數(shù)列中，已知公差，且，求的值．31．求下列兩題：(1)等差數(shù)列前12項和為354，前12項中偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為32∶27，求該數(shù)列的公差；(2)項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項和為44，偶數(shù)項和為33，求該數(shù)列的中間項．考點07含絕對值的等差數(shù)列前n項和32．已知數(shù)列的通項公式為，那么滿足的正整數(shù).33．已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，，設(shè)其前n項和為，且是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．34．已知等差數(shù)列，前項和為，又．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．35．已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式(2)若，求的前項和.36．在公差為的等差數(shù)列中，已知，且.(1)求；(2)若，求.37．從①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．問題：已知等差數(shù)列的前n項和為，，且________，求數(shù)列的前n項和．考點08等差數(shù)列前n項和的最值問題38．等差數(shù)列中，已知，前n項和為，且，則最小時n的值為（

）A．11 B．11或12 C．12 D．12或1339．（多選）已知等差數(shù)列{}的前n項和，則下列選項正確的是（

）A． B．C．當取得最大值時 D．當取得最大值時40．（多選）已知是等差數(shù)列的前n項和，且，則下列選項正確的是（

）A．數(shù)列為遞減數(shù)列 B．C．的最大值為 D．41．已知數(shù)列的前項和，當且僅當時，取得最小值，那么的取值范圍是.42．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則取得最大值時的值為．43．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和的最大值考點09等差數(shù)列前n項和的二次函數(shù)特征44．已知等差數(shù)列的前項和有最小值，且，則使成立的正整數(shù)的最小值為（

）A．2022 B．2023 C．4043 D．404445．數(shù)列中，如果，則Sn取最大值時，n等于（

）A．23 B．24 C．25 D．2646．設(shè)數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，是其前n項和，且，則（

）A． B． C．或為的最大值 D．47．已知數(shù)列滿足:對恒成立,且,其前項和有最大值,則使得的最大的的值是.48．等差數(shù)列的公差，其前n項和為，若，則中不同的數(shù)值有個．基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則數(shù)列的公差是（

）A． B． C． D．32．等差數(shù)列中，，則（

）A．12 B．18 C．24 D．303．按照小方的閱讀速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分鐘.2023年10月26日，他開始閱讀《巴黎圣母院》，當天他讀了1個小時，從第二天開始，他每天閱讀此書的時間比前一天減少2分鐘，則他恰好讀完《巴黎圣母院》的日期為（

）A．2023年11月12日 B．2023年11月13日C．2023年11月14日 D．2023年11月15日4．若是等差數(shù)列的前項和，，則（

）A． B．C． D．5．（多選）已知數(shù)列的前項和為，若，，則下列說法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是數(shù)列中的項C．數(shù)列中的最小項為 D．數(shù)列是等差數(shù)列6．（多選）記為等差數(shù)列的前項和.若，則以下結(jié)論一定正確的是（

）A． B．的最大值為C． D．7．設(shè)公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，已知，則．8．一個等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為15，則這個數(shù)列的第6項是．9．等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，已知且．則使成立的最小正整數(shù)n的值為．10．等差數(shù)列中，已知是其前項和，,求與11．已知是等差數(shù)列的前項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)求的最大值.12．已知是等差數(shù)列的前項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式與前項和；(2)若，求數(shù)列的前項和.能力提升練1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，前n項和，若滿足，則使最大的為（

）A．2021 B．2022 C．4041 D．40422．已知公差的等差數(shù)列前項和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．是中的最大值 B．是中的最小值C． D．3．配件廠計劃為某項工程生產(chǎn)一種配件，這種配件每天的需求量是200件.由于生產(chǎn)這種配件時其他生產(chǎn)設(shè)備必須停機，并且每次生產(chǎn)時都需要花費5000元的準備費，所以需要周期性生產(chǎn)這種配件，即在一天內(nèi)生產(chǎn)出這種配件，以滿足從這天起連續(xù)n天的需求，稱n為生產(chǎn)周期（假設(shè)這種配件每天產(chǎn)能可以足夠大）.配件的存儲費為每件每天2元（當天生產(chǎn)出的配件不需要支付存儲費，從第二天開始付存儲費）.在長期的生產(chǎn)活動中，為使每個生產(chǎn)周期內(nèi)每天平均的總費用最少，那么生產(chǎn)周期n為（

）A． B． C． D．4．（多選）等差數(shù)列中，，公差，為其前n項和，對任意正整數(shù)n，若點在以下4條曲線中的某一條上，則這條曲線不可能是（

）A． B． C． D．5．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，滿足，數(shù)列中最大的項為第項．6．已知兩個等差數(shù)列和