專題02 特殊三角形（知識串講+熱考題型+真題訓(xùn)練）（解析版）

專題02特殊三角形【考點1】軸對稱圖形【考點2】軸對稱的性質(zhì)【考點3】利用軸對稱設(shè)計圖案．【考點4】作圖﹣軸對稱變換．【考點5】作圖-最短路線問題【考點6】等腰三角形的性質(zhì)【考點7】等腰三角形的判定．【考點8】等腰三角形的判定與性質(zhì)【考點9】逆命題和逆定理【考點10】直角三角形的性質(zhì)【考點11】勾股定理．【考點12】勾股定理的證明．【考點13】勾股定理的逆定理．【考點14】勾股數(shù)．【考點15】勾股定理的應(yīng)用．【考點16】平面展開﹣最短路徑問題．知識點1軸對稱圖形⑴軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.這條直線稱為它的對稱軸.注意：1.軸對稱圖形的對稱軸是一條直線，2.軸對稱圖形是1個圖形，3.有些對稱圖形的對稱軸有無數(shù)條。⑵兩個圖形成軸對稱：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱.這條直線稱為這兩個圖形的對稱軸.⑶線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.知識點2軸對稱性質(zhì)對稱的性質(zhì)：①兩個圖形關(guān)于某一條直線對稱，對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應(yīng)點連線段的垂直平分線.②關(guān)于某直線對稱的兩個圖形是全等形.知識點3畫軸對稱圖形（1）過已知點A作對稱軸l的垂線，垂足為O，在垂線上截取OA'，使OA'=OA，則點A'是點A的對稱點；（2）同理分別作出其它關(guān)鍵點的對稱點；（3）將所作的對稱點依次相連，得到軸對稱圖形.知識點4軸對稱之最短路徑問題基本圖模1.已知：如圖，定點A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點P，使PA+PB的值最小解：連接AB交直線l于點P，點P即為所求,PA+PB的最小值即為線段AB的長度理由：在l上任取異于點P的一點P′，連接AP′、BP′，在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P為直線AB與直線l的交點時，PA+PB最小.已知：如圖，定點A和定點B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點P，使得PA+PB值最?。ɑ颉鰽BP的周長最?。┙猓鹤鼽cA關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于P，點P即為所求；理由：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)知直線l為線段AA′的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA′，要使PA+PB最小，則需PA′+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.方法總結(jié)：1.兩點之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.中垂線上的點到線段兩端點的距離相等；4.垂線段最短.知識點5等腰三角形的概念與性質(zhì)等腰三角形概念有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的邊叫做腰，另一邊叫做底，兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角．2.等腰三角形的性質(zhì)如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等，簡稱“在同一個三角形中，等邊對等角”．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上中線和高線互相重合.簡稱“等腰三角形三線合一”．知識點2等腰三角形的判定如果一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形.可以簡單的說成：在一個三角形中，等角對等邊.要點詮釋：(1)要弄清判定定理的條件和結(jié)論，不要與性質(zhì)定理混淆．判定定理得到的結(jié)論是等腰三角形，性質(zhì)定理是已知三角形是等腰三角形，得到邊和角關(guān)系.（2）不能說“一個三角形兩底角相等，那么兩腰邊相等”，因為還未判定它是一個等腰三角形．知識點6直角三角形①直角三角形的兩個角互余。直角三角形用符號“Rt△”表示，如Rt△ABC。②有兩個角互余的三角形是直角三角形知識點7勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來，達(dá)到了解決問題的目的.理解勾股定理的一些變式：，，.運(yùn)用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段知識點8勾股定理證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.知識點9勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關(guān)系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當(dāng)時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.知識點10勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數(shù)知識點11勾股定理應(yīng)用勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結(jié)論．本專題分類進(jìn)行鞏固解決以下生活實際問題類型一、應(yīng)用勾股定理解決梯子滑落高度問題類型二、應(yīng)用勾股定理解決旗桿高度類型三、應(yīng)用勾股定理解決小鳥飛行的距離類型四、應(yīng)用勾股定理解決大樹折斷前的高度類型五、應(yīng)用勾股定理解決水杯中的筷子問題類型六、應(yīng)用勾股定理解決航海問題類型七、應(yīng)用勾股定理解決河的寬度類型八、應(yīng)用勾股定理解決汽車是否超速問題類型九、應(yīng)用勾股定理解決是否受臺風(fēng)影響問題類型十、應(yīng)用勾股定理解決選扯距離相離問題類型十一、應(yīng)用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題【考點1】軸對稱圖形1．（2022秋?泗陽縣期末）下列冬奧會會徽中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【答案】D【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：A，B，C選項中的圖形都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；D選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：D．2．（2023春?綏棱縣期末）下列四邊形中，對稱軸條數(shù)最多的是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形【考點】軸對稱圖形．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念及對稱軸的概念進(jìn)行分析解答即可，矩形有兩條對稱軸，為對邊中垂線所在的直線；菱形由兩條對稱軸，為其兩條對角線所在的直線；正方形有四條對稱軸，為其兩條對角線所在的直線，還有其對邊中垂線所在的直線；等腰梯形有一條對稱軸，為其兩底的中垂線所在的直線．【解答】解：A、矩形是兩條對稱軸；B、菱形是兩條對稱軸；C、正方形是四條對稱軸；D、等腰梯形是一條對稱軸．所以對稱軸條數(shù)最多的是正方形．故選：C．【考點2】軸對稱的性質(zhì)3．（2023春?蘭州期末）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線l對稱，∠A＝54°，∠C'＝26°，則∠B等于（）A．36° B．154° C．80° D．100°【考點】軸對稱的性質(zhì)．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠C＝∠C′，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式計算即可得解．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線l對稱，∴∠C＝∠C′＝26°，在△ABC中，∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣54°﹣26°＝100°．故選：D．4．（2023春?高碑店市校級月考）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于直線MN對稱，BB'交MN于點O，下列結(jié)論：①AB＝A'B'；②OB＝OB′；③AA'∥BB'中，正確的有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【考點】軸對稱的性質(zhì)；平行線的判定．【答案】A【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，∴OB＝OB′，△ABC≌△A′B′C′，AA′∥BB′，故②③正確，∴AB＝A′B′，故①正確，所以正確的一共有3個，故選：A．5．（2022秋?明水縣校級期末）如圖，把長方形ABCD沿EF對折后使AB與A'B'重合，若∠AEF＝110°，則∠1的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．50°【考點】軸對稱的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BFE的度數(shù)，再由圖形翻折變換的性質(zhì)求出∠EFG的度數(shù)，根據(jù)平角的定義即可得出∠1的度數(shù)．【解答】解：∵AD∥BC，∠AEF＝110°，∴∠BFE＝180°﹣∠AEF＝180°﹣110°＝70°，∵長方形ABCD沿EF對折后使兩部分重合，∴∠EFG＝∠BFE＝70°，∴∠1＝180°﹣∠BFE﹣∠EFG＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故選：C．【考點3】利用軸對稱設(shè)計圖案．6．（2023春?三明期末）如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個小正方形涂成了黑色，現(xiàn)在要從其余13個白色小方格中選出一個也涂成黑色的圖形稱為軸對稱圖形，這樣的白色小方格有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點】利用軸對稱設(shè)計圖案．【答案】C【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：如圖所示，有4個位置使之成為軸對稱圖形．故選：C．7．（2022秋?南昌期末）在3×3的正方形網(wǎng)格中，將三個小正方形涂色如圖所示，若移動其中一個涂色小正方形到空白方格中，與其余兩個涂色小正方形重新組合，使得新構(gòu)成的整個圖案是一個軸對稱圖形，則這樣的移法共有（）A．5種 B．7種 C．9種 D．10種【考點】利用軸對稱設(shè)計圖案．【答案】C【分析】利用軸對稱的性質(zhì)，以及軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案即可．【解答】解：如圖所示：一共有9種軸對稱圖形．故選：C．【考點4】作圖﹣軸對稱變換．8．（2023?青羊區(qū)校級開學(xué)）如圖，在由邊長為1個單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，三角形ABC的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．（1）作出三角形ABC關(guān)于直線MN的軸對稱圖形三角形A1B1C1；（2）求三角形A1B1C1的面積；（3）在直線MN上找一點P使得三角形BAC的面積等于三角形PAC的面積．【考點】作圖﹣軸對稱變換．【答案】（1）作圖見解析部分；（2）2；（3）作圖見解析部分．【分析】（1）利用軸對稱變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點A1，B1，C1即可；（2）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可；（3）利用等高模型畫出圖形即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）△A1B1C1的面積＝2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2＝2；（3）如圖，點P，點P′即為所求．9．（2022秋?克什克騰旗期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1，1）B（4，2）C（2，3）．（1）在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的圖形△A1B1C1；（2）在圖中，若B2（﹣4，2）與點B關(guān)于一條直線成軸對稱，則這條對稱軸是y軸，此時C點關(guān)于這條直線的對稱點C2的坐標(biāo)為（﹣2，3）；（3）求△A1B1C1的面積．【考點】作圖﹣軸對稱變換．【答案】（1）見解答；（2）y軸，（﹣2，3）；（3）2.5．【分析】（1）利用關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征得到A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點即可；（2）作BB2的垂直平分線得到軸對稱為y軸，然后利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征得到C2的坐標(biāo)；（3）用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算△A1B1C1的面積．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）這條對稱軸是y軸，C點的對稱點C2的坐標(biāo)為（﹣2，3）；故答案為：y軸，（﹣2，3）；（3）△A1B1C1的面積＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3＝2.5【考點5】作圖-最短路線問題10．（2023春?鹽湖區(qū)期末）小王準(zhǔn)備在紅旗街道旁建一個送奶站，向居民區(qū)A，B提供牛奶，要使A，B兩小區(qū)到送奶站的距離之和最小，則送奶站C的位置應(yīng)該在（）A． B． C． D．【考點】軸對稱﹣最短路線問題．【答案】C【分析】本題利用軸對稱的性質(zhì)，將折線最短問題轉(zhuǎn)化為兩點之間，線段最短問題，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系解題即可．【解答】解：如圖：作點A關(guān)于街道的對稱點A′，連接A′B交街道所在直線于點C，∴A′C＝AC，∴AC+BC＝A′B，在街道上任取除點C以外的一點C′，連接A′C′，BC′，AC′，∴AC′+BC′＝A′C′+BC′，在△A′C′B中，兩邊之和大于第三邊，∴A′C′+BC′＞A′B，∴AC′+BC′＞AC+BC，∴點C到兩小區(qū)送奶站距離之和最小．故選：C．11．（2022秋?平輿縣期末）如圖，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，點P是直線m上一動點，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，則△APC周長的最小值是（）A．13 B．14 C．15 D．13.5【考點】軸對稱﹣最短路線問題；線段垂直平分線的性質(zhì)．【答案】A【分析】根據(jù)題意知點C關(guān)于直線m的對稱點為點B，故當(dāng)點P與點D重合時，AP+CP值的最小，求出AB長度即可得到結(jié)論．【解答】解：∵直線m垂直平分BC，∴B、C關(guān)于直線m對稱，設(shè)直線m交AB于D，∴當(dāng)P和D重合時，AP+CP的值最小，最小值等于AB的長，∴△APC周長的最小值是AB+AC＝6+7＝13．故選：A．12．（2023?明水縣模擬）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，∠BAC＝60°，∠BAC的平分線交BC于點D，M，N分別是AD和AB上的動點，當(dāng)BM+MN取得最小值時，AN＝（）A．2 B．4 C．6 D．8【考點】軸對稱﹣最短路線問題．【答案】A【分析】作B點關(guān)于AD的對稱點E，過E點作EN⊥AB交AB于點N，交AD于CM于點M，連結(jié)BM，此時BM+MN的值最小，在Rt△ABE中，求出AN即可．【解答】解：作B點關(guān)于AD的對稱點E，過E點作EN⊥AB交AB于點N，交AD于CM于點M，連結(jié)BM，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴E點在AC上，∵BM+MN＝EM+MN＝EN，此時BM+MN的值最小，由對稱性可知，AE＝AB，∵AB＝4，∴AE＝4，在Rt△ABE中，∠EAN＝60°，∴∠AEN＝30°，∴AN＝2，故選：A．13．（2023春?敘州區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝a，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點M、N，當(dāng)△AMN周長最小時，則∠MAN的度數(shù)為（）A．a(chǎn) B．2a﹣180° C．180°﹣a D．a(chǎn)﹣90°【考點】軸對稱﹣最短路線問題．【答案】B【分析】延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點M、N，此時△AMN周長最小，推出∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），進(jìn)而得出∠MAN的度數(shù)．【解答】解：延長AB到A′使得BA′＝AB，延長AD到A″使得DA″＝AD，連接A′A″與BC、CD分別交于點M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′關(guān)于BC對稱，A、A″關(guān)于CD對稱，此時△AMN的周長最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝a，∴∠A′+∠A″＝180°﹣a，∴∠AMN+∠ANM＝2×（180°﹣a）＝360°﹣2a．∴∠MAN＝180°﹣（360°﹣2a）＝2a﹣180°，故選：B．14．（2022秋?天山區(qū)校級期末）如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP＝5，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于5，則α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考點】軸對稱﹣最短路線問題．【答案】A【分析】設(shè)點P關(guān)于OA的對稱點為C，關(guān)于OB的對稱點為D，當(dāng)點E、F在CD上時，△PEF的周長為PE+EF+FP＝CD，此時周長最小，根據(jù)CD＝5可求出α的度數(shù)．【解答】解：如圖，作點P關(guān)于OA的對稱點C，關(guān)于OB的對稱點D，連接CD，交OA于E，OB于F．此時，△PEF的周長最?。B接OC，OD，PE，PF．∵點P與點C關(guān)于OA對稱，∴OA垂直平分PC，∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝α，OC＝OD＝OP＝5，∴∠COD＝2α．又∵△PEF的周長＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝5，∴OC＝OD＝CD＝5，∴△COD是等邊三角形，∴2α＝60°，∴α＝30°．故選：A．15．（2023?海淀區(qū)開學(xué)）已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB的內(nèi)部，OP＝4，OA上有一點M，OB上有一點N，當(dāng)△MNP的周長取最小值時，△MNP的周長為4．【考點】軸對稱﹣最短路線問題．【答案】4．【分析】作P關(guān)于直線OA的對稱點C，作P關(guān)于直線OB的對稱點D，連接CD，交AB于M，交OB于N，則此時△PMN的周長最小，連接OC，OD，根據(jù)對稱性質(zhì)得出CM＝PM，PN＝ND，∠COE＝∠POE，∠POF＝∠DOF，OC＝OP＝OD＝4，求出∠COD＝60°，得出△COD是等邊三角形，推出CD＝OC＝OD＝4，求出△PMN的周長的最小值是PM+MN+PN＝CD，代入即可得出答案．【解答】解：作P關(guān)于直線OA的對稱點C，作P關(guān)于直線OB的對稱點D，連接CD，交AB于M，交OB于N，則此時△PMN的周長最小，連接OC，OD，∵P關(guān)于直線OA的對稱點C，P關(guān)于直線OB的對稱點D，∴CM＝PM，PN＝ND，∠COE＝∠POE，∠POF＝∠DOF，OC＝OP＝OD＝4，∵∠POM+∠PON＝∠AOB＝30°，∴∠COD＝∠COE+∠POE+∠DOF+∠POF＝30°+30°＝60°，∴△COD是等邊三角形，∴CD＝OC＝OD＝4，即△PMN的周長的最小值是PM+MN+PN＝CM+MN+DN＝CD＝4，故答案為：4．【考點6】等腰三角形的性質(zhì)15．（2023春?棗莊期末）若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（）A．9 B．7 C．12 D．9或12【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【答案】C【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【解答】解：（1）若2為腰長，5為底邊長，由于2+2＜5，則三角形不存在；（2）若5為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個三角形的周長為5+5+2＝12．故選：C．16．（2022秋?南宮市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為∠BAC的平分線，若BC＝8，則CD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，BD＝BC＝4，得到答案．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，BD＝BC＝4，故選：C．17．（2023春?富平縣期中）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD是AB邊上的高，若∠A＝42°，則∠DCB的度數(shù)為（）A．21° B．31° C．42° D．48°【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出∠B＝69°，由垂直的定義，即得∠DCB的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝42°，∴∠B＝∠ACB＝×（180°﹣42°）＝69°，又∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣69°＝21°．故選：A．18．（2023春?蓮池區(qū)校級期中）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為32°，則它的頂角的度數(shù)是（）A．32° B．58° C．122° D．58°或122°【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【答案】D【分析】根據(jù)題意分類討論，當(dāng)頂角為鈍角時，當(dāng)頂角為銳角時，分別畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的定義，以及直角三角形的兩銳角互余即可求解．【解答】解：如圖1，等腰三角形為銳角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝32°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝58°，此時頂角的度數(shù)為58°．如圖2，等腰三角形為鈍角三角形，∵BD⊥AC，∠ABD＝32°，∴∠BAC＝90°+∠ABD＝122°．此時頂角的度數(shù)為122°，故選：D．19．（2022秋?新?lián)釁^(qū)期末）如圖，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．（1）求∠DAE的度數(shù)；（2）若∠B＝30°，求證：AD＝BC．【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EAB，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)ASA可證△ADE≌△BCA，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解（1）∵AB∥DE，∠E＝40°，∴∠EAB＝∠E＝40°，∵∠DAB＝70°，∴∠DAE＝30°；（2）證明：在△ADE與△BCA中，，∴△ADE≌△BCA（ASA），∴AD＝BC【考點7】等腰三角形的判定．20．（2023?河北一模）如圖所標(biāo)數(shù)據(jù)，下面說法正確的是（）A．①是等腰三角形 B．②是等腰三角形 C．①和②均是等腰三角形 D．①和②都不是等腰三角形【考點】等腰三角形的判定．【答案】B【分析】由等腰三角形的判定方法，即可判斷．【解答】解：圖①，三角形的第三邊的長不確定，故①不一定是等腰三角形；圖②，三角形的第三個角是180°﹣50°﹣80°＝50°，三角形有兩個角都是50°，故②是等腰三角形．故選：B．21．（2022秋?巴州區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝72°，CD平分∠ACB，DE∥AC，則圖中共有等腰三角形（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點】等腰三角形的判定．【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝72°，求出∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，求出∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，推出∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°即可．【解答】解：∵∠A＝36°，∠B＝72°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠b＝72°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝36°，∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝72°，∵DE∥AC，∴∠EDB＝∠A＝36°，∠DEB＝∠ACB＝72°，∠CDE＝∠ACD＝36°，∴∠A＝∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝36°，∠B＝∠ACD＝∠DEB＝∠CDB＝72°，∴△ACB、△ACD、△CDB、△CDE、△DEB都是等腰三角形，共5個，故選：D．22．（2022秋?靖西市期末）如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，在直線BC或射線AC取一點P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點P有（）A．2個 B．4個 C．5個 D．6個【考點】等腰三角形的判定．【答案】C【分析】分為三種情況：①PA＝PB，②AB＝AP，③AB＝BP，求出即可得出答案．【解答】解：①作線段AB的垂直平分線，交AC于點P，交直線BC于一點，共2個點；②第2個點是以A為圓心，以AB長為半徑作圓，交直線BC于兩點（B和另一個點），交射線AC于一點，共2個點；③以B為圓心，以BA長為半徑作圓，交直線BC于兩點，交射線AC于一點，共3個點∵作線段AB的垂直平分線交直線BC的點，以A為圓心，AB長為半徑作圓交直線BC的點，以及以B為圓心，AB長為半徑作圓交直線BC與右側(cè)的點，這三個點是同一個點．∴答案應(yīng)該是2+2+3﹣2＝5個點故選：C【考點8】等腰三角形的判定與性質(zhì)23．（2023?南關(guān)區(qū)校級開學(xué)）如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3，則CD等于（）?A．3 B．4 C．1.5 D．2【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【答案】A【分析】OC平分∠AOB，∠AOC＝∠BOC，CD∥OB，∠C＝∠BOC，∠C＝∠AOC，CD＝OD．【解答】解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，又∵CD∥OB，∴∠C＝∠BOC，∴∠C＝∠AOC，∴CD＝OD＝3，故選：A．24．（2023春?昭通期末）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠CAD＝∠C，若AB＝5，AD＝2，則BC的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)．【答案】D【分析】延長AD交BC于點E，如圖，證明△ABD≌△EBD，得到BE＝BA＝5，AD＝ED＝2，可得AE＝4，由∠CAD＝∠C可得EC＝EA＝4，進(jìn)而可得答案．【解答】解：延長AD交BC于點E，如圖，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD（ASA），∴BE＝BA＝5，AD＝ED＝2，∴AE＝4，∵∠CAD＝∠C，∴EC＝EA＝4，∴BC＝BE+EC＝9；故選：D．【考點9】逆命題和逆定理25．（2023?大洼區(qū)校級開學(xué)）下列命題是假命題的是（）A．垂線段最短 B．兩個角的和等于180°，這兩個角是鄰補(bǔ)角 C．對頂角相等 D．等角的補(bǔ)角相等【考點】命題與定理；余角和補(bǔ)角；對頂角、鄰補(bǔ)角；垂線段最短．【答案】B【分析】根據(jù)垂線段最短、鄰補(bǔ)角的概念、對頂角相等、補(bǔ)角的概念判斷即可．【解答】解：A、垂線段最短，是真命題，不符合題意；B、兩個角的和等于180°，這兩個角是互為補(bǔ)角，不一定是鄰補(bǔ)角，故本選項說法是假命題，符合題意；C、對頂角相等，是真命題，不符合題意；D、等角的補(bǔ)角相等，是真命題，不符合題意；故選：B．26．（2023春?長樂區(qū)校級期末）下列四個命題中不正確的是（）A．對角線相等的平行四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．對角線相等的菱形是正方形 D．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【考點】命題與定理．【答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定定理逐項判斷．【解答】解：對角線相等的平行四邊形是矩形，故A正確，不符合題意；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B不正確，符合題意；對角線相等的菱形是正方形，故C正確，不符合題意；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故D正確，不符合題意；故選：B．27．（2023?德興市一模）下列選項中，可以用來證明命題“若|a﹣1|＞1，則a＞2”是假命題的反例是（）A．a(chǎn)＝2 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝0 D．a(chǎn)＝﹣1【考點】命題與定理．【答案】D【分析】所選取的a的值符合題設(shè)，則不滿足結(jié)論即作為反例．【解答】解：當(dāng)a＝﹣1時，滿足|a﹣1|＞1，但滿足a＞2，所以a＝﹣1可作為證明命題“若|a﹣1|＞1，則a＞2”是假命題的反例．故選：D．【考點10】直角三角形的性質(zhì)28．（2023春?茶陵縣期末）在Rt△ABC中，若一個銳角等于40°，則另一個銳角的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．【解答】解：∵直角三角形中，一個銳角等于40°，∴另一個銳角的度數(shù)＝90°﹣40°＝50°．故選：C．29．（2023春?電白區(qū)期中）如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分線BE交AD于點F，AG平分∠DAC．給出下列結(jié)論：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．正確結(jié)論是（）A．①② B．①②④ C．②④ D．②③④【答案】B【分析】根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD＝∠C，再根據(jù)等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AG⊥EF．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠C+∠ABC＝90°，∠BAD+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠C，故①正確；∵BE是∠ABC的平分線，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，∴∠AEF＝∠BFD，又∵∠AFE＝∠BFD（對頂角相等），∴∠AEF＝∠AFE，故②正確；∵∠ABE＝∠CBE，∴只有∠C＝30°時∠EBC＝∠C，故③錯誤；∵∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∵AG平分∠DAC，∴AG⊥EF，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論是①②④．故選：B．【考點11】勾股定理．30．（2023春?岳池縣期末）一個直角三角形的兩條直角邊分別長3和4，則斜邊的長為（）A． B．5 C．或5 D．5或7【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：∴直角三角形的兩條直角邊分別長3和4，∴斜邊的長為：．故選：B．31．（2023春?青羊區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點，則AD的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD＝CD＝3，再根據(jù)勾股定理可得答案．【解答】解：∵BC＝6，D是BC的中點，AB＝AC，∴BD＝CD＝3，AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AD＝＝4，故選：A．32．（2023春?華容縣期末）如圖，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，∠ABD＝90°，則AD＝（）A．10 B．13 C．8 D．11【答案】B【分析】首先根據(jù)勾股定理求得AB的長，再根據(jù)勾股定理求得AD的長．【解答】解：在直角三角形BCD中，BC＝3，CD＝4，根據(jù)勾股定理，得BD＝5．在直角三角形ABD中，BA＝12，BD＝5根據(jù)勾股定理，得AD＝13．故選：B．33．（2023春?楚雄州期末）如圖所示的是由一個直角三角形和三個正方形組成的圖形，若其中S正方形ABED＝16cm2，S正方形AHIC＝25cm2，則正方形BCFG的面積是（）A．3cm2 B．9cm2 C．16cm2 D．41cm2【答案】B【分析】根據(jù)已知兩正方形的面積求出直角三角形兩直角邊的長，利用勾股定理求出斜邊的長，即可求出正方形BCFG的面積．【解答】解：∵S正方形ABED＝16cm2，S正方形AHIC＝25cm2，∴AB2＝16cm2，AC2＝25cm2，∴BC2＝AC2﹣AB2＝9cm2，∴正方形BCFG的面積是9cm2，故選：B．34．（2022秋?鶴壁期末）如圖所示的2×4的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點都在小正方形的格點上，這樣的三角形稱為格點三角形，則點A到BC的距離等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)網(wǎng)格特征和勾股定理求出△ABC的邊長和面積，利用三角形的面積公式進(jìn)行解答即可．【解答】解：過點A作AD⊥BC于D，由網(wǎng)格特征和勾股定理可得，AB2＝12+12＝2，AC2＝22+22＝8，BC2＝12+32＝10，∴AB2+AC2＝2+8＝10＝BC2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AB?AC＝BC?AD，即×2＝AD，∴AD＝，故選：C．35．（2023春?江津區(qū)期中）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是4、5、2、4，則最大正方形E的面積是（）A．15 B．61 C．69 D．72【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理可知：直角三角形兩個直角邊平方的和等于斜邊的平方．兩個相鄰的小正方形面積的和等于相鄰的一個大正方形的面積．【解答】解：由勾股定理可知：SA+SB＝SF，SC+SD＝SG，∴SF＝42+52＝41，SG＝22+42＝20，∴SE＝SF+SG＝41+20＝61．故選：B．【考點12】勾股定理的證明．36．（2023春?杜爾伯特縣期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基礎(chǔ)圖形的面積公式表示出各個選項的面積，同時根據(jù)割補(bǔ)的思想可以寫出另外一種面積表示方法，即可得出一個等式，進(jìn)而可判斷能否證明勾股定理．【解答】解：A、大正方形的面積為：c2；也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，∴a2+b2＝c2，故A選項能證明勾股定理；B、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是4個直角三角形和一個小正方形組成，則其面積為：ab×4+c2＝2ab+c2，∴（a+b）2＝2ab+c2，∴a2+b2＝c2，故B選項能證明勾股定理；C、梯形的面積為：（a+b）（a+b）＝（a2+b2）+ab；也可看作是2個直角三角形和一個等腰直角三角形組成，則其面積為：ab×2+c2＝ab+c2，∴ab+c2＝（a2+b2）+ab，∴a2+b2＝c2，故C選項能證明勾股定理；D、大正方形的面積為：（a+b）2；也可看作是2個矩形和2個小正方形組成，則其面積為：a2+b2+2ab，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴D選項不能證明勾股定理．故選：D．37．（2023春?中江縣期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝60，大正方形的面積為169．則小正方形的邊長為（）A．7 B．13 C．10 D．17【答案】A【分析】勾股定理得：a2+b2＝169，又（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝169﹣2×60＝49，由此即可求出a﹣b＝7（a＞b），因此小正方形的邊長為7．【解答】解：由題意知小正方形的邊長是a﹣b，由勾股定理得：a2+b2＝169，∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝169﹣2×60＝49，∴a﹣b＝7（a＞b），∴小正方形的邊長為7．故選：A．38．（2023春?順慶區(qū)校級期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，AD⊥BC，垂足為D，（1）求BC的長；（2）求AD的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用勾股定理列式計算即可得解；（2）利用△ABC的面積列式計算即可得解．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝＝＝10；故答案為：10．（2）S△ABC＝BC?AD＝AB?AC，∴×10?AD＝×8×6，解得AD＝4.8．39．（2023春?會昌縣期中）如圖，每個小正方形的邊長都為1．求四邊形ABCD的周長及面積．【答案】周5+5+3；面積17.5．【分析】利用勾股定理求出AB、BC、CD和DA的長，即可求出四邊形ABCD的周長；利用分割法即可求出四邊形的面積．【解答】解：根據(jù)勾股定理得AB＝＝5，AD＝＝5，CD＝＝，BC＝＝2，故四邊形ABCD的周長為5+5++2＝5+5+3；面積為5×7﹣×1×7﹣×1×2﹣1﹣×3×4﹣×2×4﹣1×3＝17.5．【考點13】勾股定理的逆定理．40．（2023春?增城區(qū)期末）下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．4，7，5 B．3，4，5 C．2，3，4 D．1，2，2【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理和勾股定理的逆定理逐個判斷即可．【解答】解：A、∵42+52≠72，∴以4，7，5為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；B、∵32+42＝52，∴以3，4，5為邊能組成直角三角形，故本選項符合題意；C、∵22+32≠42，∴以2，3，4為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；D、∵12+22≠22，∴以1，2，2為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；故選：B．41．（2023?雁塔區(qū)校級開學(xué)）下列條件中，不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝7：3：11 B．∠A+∠B＝∠C C．a(chǎn)：b：c＝7：24：25 D．a(chǎn)2＝9，b2＝1，c＝【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可分析出A、B的正誤；根據(jù)勾股定理逆定理可分析出C、D的正誤．【解答】解：A、設(shè)∠A＝7x°，∠B＝3x°，∠C＝11x°，7x+3x+11x＝180，解得：x＝，則11x°＝≠90°，∴△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意．B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC為直角三角形，故此選項不合題意；C、∵設(shè)a＝7x，b＝24x，c＝25x，∵（7x）2+（24x）2＝（25x）2，∴能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；D、∵c2＝＝10＝9+1，∴c2＝a2+b2，∴能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；故選：A．42．（2023春?黃巖區(qū)期末）在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，下面的三角形是直角三角形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由勾股定理求出三角形的邊長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可得出答案．【解答】解：A、三角形的三邊為，2，3，，則這個三角形不直角三角形，本選項不符合題意；B、三角形的三邊為，，，，則這個三角形不直角三角形，本選項不符合題意；C、三角形的三邊為，，2，，則這個三角形是直角三角形，本選項符合題意；D、三角形的三邊為，，2，這個三角形不直角三角形，本選項不符合題意；故選：C．【考點14】勾股數(shù)．43．（2022秋?江都區(qū)期末）下面各組數(shù)中，勾股數(shù)是（）A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1，，2【答案】C【分析】三個正整數(shù)，其中兩個較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方，則這三個數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可．【解答】解：A、都不是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項不符合題意；B、不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項不符合題意；C、52+122＝132，能構(gòu)成直角三角形，都是整數(shù)，是勾股數(shù)，故選項符合題意；D、不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故選項不符合題意．故選：C．44．（2023春?嘉魚縣期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．1，2，3 B．1，1， C．1，2， D．5，12，13【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和勾股數(shù)的定義對各項進(jìn)行檢驗即可．【解答】解：A．∵12+22＝5≠32，∴不是勾股數(shù)；B．∵，但不是正整數(shù)，∴不是勾股數(shù)；C．∵，∴不是勾股數(shù)；D．∵52+122＝132，∴是勾股數(shù)，故選：D．【考點15】勾股定理的應(yīng)用．45．（2023春?清原縣期末）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）A．6米 B．8米 C．10米 D．12米【答案】C【分析】根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點之間的距離求出．【解答】解：如圖，設(shè)大樹高為AB＝10m，小樹高為CD＝4m，過C點作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形，連接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6（m），在Rt△AEC中，AC＝＝10（m），答：小鳥至少飛行10米．故選：C．46．（2023春?長垣市期末）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測量學(xué)校旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），同學(xué)們首先測量了多出的這段繩子長度為1米，再將繩子拉直（如圖2），測出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，則旗桿的高度為（）米．A．5 B．12 C．13 D．17【答案】B【分析】因為旗桿、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度．【解答】解：設(shè)旗桿的高度AB為x米，則繩子AC的長度為（x+1）米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗桿的高度為12米．故選：B．47．（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，在高為3米，斜坡長為5米的樓梯臺階上鋪地毯，則地毯的長度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】C【分析】先求出AC的長，利用平移的知識可得出地毯的長度．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝＝4米，故可得地毯長度＝AC+BC＝7米，故選：C．48．（2023春?浉河區(qū)校級期末）如圖，OA＝6，OB＝8，AB＝10，點A在點O的北偏西40°方向，則點B在點O的（）?A．北偏東40° B．北偏東50° C．東偏北60° D．東偏北70°【答案】B【分析】先利用勾股定理的逆定理證明△AOB是直角三角形，求出∠AOB＝90°，然后再求出40°的余角即可解答．【解答】解：∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，∴OA2+OB2＝AB2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，由題意得：90°﹣40°＝50°，∴點B在點O的北偏東50°方向，故選：B．49．（2023春?青秀區(qū)校級期末）如圖，有一個水池，水面是邊長為10尺的正方形，在水池中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度是（）A．11尺 B．12尺 C．13尺 D．14尺【答案】C【分析】找到題中的直角三角形，設(shè)水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【解答】解：設(shè)水深為x尺，則蘆葦長為（x+1）尺，根據(jù)勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，蘆葦?shù)拈L度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：蘆葦長13尺．故選：C．50．（2023春?江陵縣期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時，踏板離地0.5米，將它往前推3米時，踏板離地1.5米，此時秋千的繩索是拉直的，則秋千的長度是（）A．3米 B．4米 C．5米 D．6米【答案】C【分析】設(shè)OA＝OB＝x米，用x表示出OC的長，在直角三角形OCB中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)OA＝OB＝x米，∵BC＝DE＝3米，DC＝1.5米，∴CA＝DC﹣AD＝1.5﹣0.5＝1（米），OC＝OA﹣AC＝（x﹣1）米，在Rt△OCB中，OC＝（x﹣1）米，OB＝x米，BC＝3米，根據(jù)勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+32，解得：x＝5，則秋千的長度是5米．故選：C．51．（2022秋?橋西區(qū)期末）為了方便體溫監(jiān)測，某學(xué)校在大門入口的正上方A處裝有紅外線激光測溫儀（如圖所示），測溫儀離地面的距離AB＝2.2米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時，測溫儀就會自動測溫并報告人體體溫，當(dāng)身高為1.7米的小明CD正對門緩慢走到高門1.2米處時（即BC＝1.2米），測溫儀自動顯示體溫，此時小明頭頂?shù)綔y溫儀的距離AD等于（）A．0.5米 B．1.2米 C．1.3米 D．1.7米【答案】C【分析】過點D作DE⊥AB于點E，構(gòu)造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的長度即可．【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵AB＝2.2米，BE＝CD＝1.7米，ED＝BC＝1.2米，∴AE＝AB﹣BE＝2.2﹣1.7＝0.5（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.3（米），故選：C．52．（2023春?羅定市期中）海洋熱浪對全球生態(tài)帶來了嚴(yán)重影響，全球變暖導(dǎo)致華南地區(qū)汛期更長、降水強(qiáng)度更大，使得登錄廣東的臺風(fēng)減少，但是北上的臺風(fēng)增多．如圖，一棵大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中距地面5m處折斷，倒下后樹頂端著地點A距樹底端B的距離為12m，這棵大樹在折斷前的高度為（）A．10m B．15m C．18m D．20m【答案】C【分析】根據(jù)大樹的折斷部分與未斷部分、地面恰好構(gòu)成直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊的長度，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵樹的折斷部分與未斷部分、地面恰好構(gòu)成直角三角形，∴原來樹的高度為：＝13（m），∴這棵樹原來的高度＝5+13＝18（m）．即：這棵大樹在折斷前的高度為18m．故選：C．53．（2023春?羅莊區(qū)期中）如圖是一個長為4，寬為3，高為12矩形牛奶盒，從上底一角的小圓孔插入一根到達(dá)底部的直吸管，吸管在盒內(nèi)部分a的長度范圍是（牛奶盒的厚度、小圓孔的大小及吸管的粗細(xì)均忽略不計）（）A．5≤a≤12 B．12≤a≤3 C．12≤a≤4 D．12≤a≤13【答案】D【分析】最短距離就是牛奶盒的高度，當(dāng)吸管、牛奶盒的高及底面對角線的長正好構(gòu)成直角三角形時，插入盒子內(nèi)的吸管長度最大，用勾股定理即可解答．【解答】解：最短距離就是牛奶盒的高度，即最短為12，由題意知：牛奶盒底面對角長為＝5，當(dāng)吸管、牛奶盒的高及底面對角線的長正好構(gòu)成直角三角形時，插入盒子內(nèi)的吸管長度最長，則吸管長度為＝13，即吸管在盒內(nèi)部分a的長度范圍是12≤a≤13，故選：D．54．（2023春?武都區(qū)期末）如圖，某公園的一塊草坪旁邊有一條直角小路，公園管理處為了方便群眾，沿AC修了一條近路，已知AB＝40米，BC＝30米，則走這條近路AC可以少走（）米路．A．20 B．30 C．40 D．50【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出AC即可解決問題．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AB＝40米，BC＝30米，∴AC＝＝50（米），30+40﹣50＝20（米），∴走這條近路AC可以少走20米的路．故選：A．55．（2022秋?南陽期末）如圖，方格中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在格點（網(wǎng)格線的交點）上．（1）請判斷△ABC是不是直角三角形，并說明理由．（2）求△ABC的面積．【答案】（1）△ABC不是直角三角形，理由見解答；（2）9．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出△ABC的三條邊長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定即可；（2）根據(jù)長方形和三角形面積公式計算即可求解．【解答】解：（1）△ABC不是直角三角形，理由如下：根據(jù)勾股定理，得BC2＝32+42＝25，AC2＝22+62＝40，AB2＝22+32＝13，∵AC2≠BC2+AB2，∴△ABC不是直角三角形；（2）．故△ABC的面積是9．56．（2022秋?臥龍區(qū)校級期末）如圖，已知CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求圖中著色部分的面積．【答案】96米2．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACB為直角三角形，再根據(jù)S陰影＝AC×BC﹣AD×CD即可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ADC中，∵CD＝6米，AD＝8米，BC＝24米，AB＝26米，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10米（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676．∴AC2+BC2＝AB2，∴△ACB為直角三角形，∠ACB＝90°．∴S陰影＝AC×BC﹣AD×CD＝×10×24﹣×8×6＝96（米2）．答：圖中陰影部分的面積為96米2．57．（2023?滕州市校級開學(xué)）如圖，一架梯子AB長10米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻6米．（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了2米，那么梯子的底端在水平方向滑動了多少米？【答案】（1）這個梯子的頂端距地面有8米高；（2）梯子的底端水平后移了2米．【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的頂端距離地面的高度．（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑2米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距離墻的距離為2米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距離．【解答】解：（1）根據(jù)勾股定理：所以梯子距離地面的高度為：AO＝＝＝8（米）；答：這個梯子的頂端距地面有8米高；（2）梯子下滑了2米即梯子距離地面的高度為OA′＝8﹣2＝6（米），根據(jù)勾股定理：OB′＝＝＝8（米），∴BB′＝OB′﹣OB＝8﹣6＝2（米），答：當(dāng)梯子的頂端下滑2米時，梯子的底端水平后移了2米．58．（2023春?公安縣期中）如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，∠OPN＝30°，點A處有一所學(xué)校．AP＝240m．假設(shè)汽車在公路MN上行駛時，周圍150m以內(nèi)會受到噪音影響，則學(xué)校是否會受到噪音影響？請說明理由．如果受影響，請求出受影響的時間．（已知汽車的速度為18m/秒．）【答案】學(xué)校會受到噪聲影響；理由見解析；學(xué)校受影響的時間為10秒．【分析】過點A作AB⊥PN于點B，則可得AB＝120m，從而可判斷學(xué)校會受到影響；設(shè)從點E開始學(xué)校學(xué)到影響，點F結(jié)束，則易得AE＝AF，從而BE＝BF，由勾股定理可求得BE的長，從而得EF的長，由路程、速度與時間的關(guān)系即可求得學(xué)校受影響的時間．【解答】解：如圖，過點A作AB⊥PN于點B，∵∠QPN＝30°，AP＝240m，∴，∵120m＜150m，∴學(xué)校會受到噪音的影響；設(shè)從點E開始學(xué)校學(xué)到影響，點F結(jié)束，則AE＝AF＝150m，又∵AB⊥MN，∴BE＝BF，由勾股定理得：，∴EF＝2BE＝180m，∵汽車的速度為18m/s，∴受影響的時間為：180÷18＝10（s）．59．（2023春?澗西區(qū)期中）學(xué)過《勾股定理》后，某班興趣小組來到操場上測量旗桿AB的高度，得到如下信息：①測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長2米（如圖1）；②當(dāng)將繩子拉直時，測得此時拉繩子另一端的手到地面的距離CD為2米，到旗桿的距離CE為10米（如圖2）．根據(jù)以上信息，求旗桿AB的高度．【答案】米．【分析】設(shè)AB＝x，在Rt△ACE中根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【解答】解：設(shè)AB＝x米，則AC＝x+2，AE＝x﹣2，∵∠AEC＝90°，∴AC2＝AE2+CE2，即：（x+2）2＝（x﹣2）2+102，∴x2+4x+4＝x2﹣4x+4+100，∴x＝，∴AB＝．答：旗桿AB的高度為米．60．（2023春?慶云縣期中）如圖，有一艘貨船和一艘客船同時從港口A出發(fā)，客船每小時比貨船多走5海里，客船與貨船速度的比為4：3，貨船沿南偏東80°方向航行，2小時后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，若此時兩船相距50海里，求客船航行的方向．【答案】客船航行的方向為北偏東10°．【分析】先根據(jù)客船與貨船的速度關(guān)系求出兩條船的速度，進(jìn)而求出AC，BC，再利用勾股定理的逆定理求出∠BAC＝90°，進(jìn)而求出∠CAF＝10°即可得到答案．【解答】解：客船的速度為4x海里/小時，則貨船的速度為3x海里/小時，由題意得4x﹣3x＝5，解得x＝5，∴客船的速度為20海里/小時，則貨船的速度為15海里/小時，∵貨船沿南偏東80°方向航行，2小時后貨船到達(dá)B處，客船到達(dá)C處，∴AC＝20×2＝40海里，AB＝15×2＝30海里，∠BAE＝80°，又∵BC＝50海里，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠CAF＝180°﹣90°﹣80°＝10°，∴客船航行的方向為北偏東10°．61．（2023春?鳳慶縣期末）如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？【答案】E站應(yīng)建在離A站10km處．【分析】根據(jù)土特產(chǎn)品收購站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，在Rt△DAE和Rt△CBE中，設(shè)出AE的長，可將DE和CE的長表示出來，列出等式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等，∴DE＝CE．∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，設(shè)AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）．∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km．答：E站應(yīng)建在離A站10km處．62．（2023春?荊門期末）如圖所示，漢江是長江最大的支流，它流經(jīng)美麗的荊門，漢江一側(cè)有一村莊C，江邊原有兩個觀景臺A，B，其中AB＝AC，現(xiàn)建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，決定在漢江邊新建一個觀景臺H（點A，H，B在同一條直線上），并新修一條路CH，測得BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米．（1）CH是不是從村莊C到江邊的最短路線？請通過計算加以說明；（2）求原來的路線AC的長．【答案】（1）是，理由見解答；（2）5千米．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可；（2）根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：（1）是，理由是：在△CHB中，BC＝6千米，CH＝4.8千米，BH＝3.6千米，∴CH2+BH2＝4.82+3.62＝36，BC2＝36，∴CH2+BH2＝BC2，∴CH⊥AB，所以CH是從村莊C到河邊的最短路線；（2）設(shè)AC＝x千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x千米，AH＝（x﹣3.6）千米，CH＝4.8千米，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣3.6）2+4.82，解這個方程，得x＝5，答：原來的路線AC的長為5千米．【考點16】平面展開﹣最短路徑問題．63．（2023?中原區(qū)校級開學(xué)）如圖是一個臺階示意圖，每一層臺階的高都是20cm，寬都是50cm，長都是40cm，一只螞蟻沿臺階從點A出發(fā)到點B，其爬行的最短線路的長度是（）A．100cm B．120cm C．130cm D．150cm【答案】C【分析】展開成平面圖形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：把這個臺階示意圖展開為平面圖形得圖①：在RT△ACB中，∵AC＝50，BC＝120，∴AB＝＝＝130，∴一只螞蟻沿臺階從點A出發(fā)到點B，其爬行的最短線路AB的長度＝130cm．故選：C．64．（2023春?容縣期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（）cm（杯壁厚度不計）．A．14 B．18 C．20 D．25【答案】C【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：如圖：將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′F，此時點A’、F、B在同一條直線上，則AF+BF為螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離，即A′B的長度，∵A′B＝＝＝20（cm）．∴螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為20cm，故選：C．65．（2023?祿勸縣校級開學(xué)）如圖是一個長為6cm、寬為3cm、高為4cm的長方體木塊．一只螞蟻要沿著長方體的表面從左下角的點A處爬行至右上角的點B處，那么這只螞蟻所走的最短路線的長為cm．【答案】．【分析】把此長方體的一面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和B點間的線段長，即可得到螞蟻爬行的最短距離．在直角三角形中，一條直角邊長等于長方體的高，另一條直角邊長等于長方體的長寬之和，利用勾股定理可求得．【解答】解：因為平面展開圖不唯一，故分情況分別計算，進(jìn)行大、小比較，再從各個路線中確定最短的路線．（1）展開前面右面由勾股定理得AB2＝（6+3）2+42＝97；（2）展開前面上面由勾股定理得AB2＝（4+3）2+62＝85；（3）展開左面上面由勾股定理得AB2＝（6+4）2+32＝109．∵85＜97＜109，∴最短路徑的長為AB＝（cm）．故答案為：一．選擇題（共19小題）1．（2023春?江陰市期中）具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C【考點】直角三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【答案】D【分析】由三角形內(nèi)角和為180°求得三角形的每一個角，再判斷形狀．【解答】解：A選項，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，為直角三角形，不符合題意；B選項，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，為直角三角形，不符合題意；C選項，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A選項，不符合題意；D選項，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三個角沒有90°角，故不是直角三角形，符合題意．故選：D．2．（2023春?萊蕪區(qū)月考）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為50°，則這個等腰三角形的頂角為（）A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【答案】C【分析】先知有兩種情況（頂角是50°和底角是50°時），由等邊對等角求出底角的度數(shù)，用三角形的內(nèi)角和定理即可求出頂角的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，△ABC中，AB＝AC．有兩種情況：①頂角∠A＝50°；②當(dāng)?shù)捉鞘?0°時，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴這個等腰三角形的頂角為50°和80°．故選：C．3．（2022秋?蓮池區(qū)校級期末）如圖字母B所代表的正方形的面積是（）A．12 B．13 C．144 D．194【考點】勾股定理．【答案】C【分析】由圖可知在直角三角形中，已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊的平方，用勾股定理即可解答．【解答】解：由題可知，在直角三角形中，斜邊的平方＝169，一直角邊的平方＝25，根據(jù)勾股定理知，另一直角邊平方＝169﹣25＝144，即字母B所代表的正方形的面積是144．故選：C．4．（2023春?合肥期中）如圖，AB＝AC，則數(shù)軸上點C所表示的數(shù)為（）A．+1 B．﹣1 C．﹣+1 D．﹣﹣1【考點】勾股定理；實數(shù)與數(shù)軸．【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理列式求出AB的長，即為AC的長，再根據(jù)數(shù)軸上的點的表示解答．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝，∴AC＝，∵點A表示的數(shù)是﹣1，∴點C表示的數(shù)是﹣1．故選：B．5．（2022秋?安化縣期末）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件分別求出圖中三角形的內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的判定即可找出圖中的等腰三角形．【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形；∴圖中的等腰三角形有5個．故選：D．6．（2023春?甘州區(qū)校級期中）已知，如圖，在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，過O作DE∥BC，分別交AB、AC于點D、E，若BD+CE＝5，則線段DE的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【答案】A【分析】根據(jù)OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等和等量代換，求證出DB＝DO，OE＝EC．然后即可得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO＝∠OBC，∠ECO＝∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC＝∠DBO，∠EOC＝∠OCB＝∠ECO，∴DB＝DO，OE＝EC，∵DE＝DO+OE，∴DE＝BD+CE＝5．故選：A．7．（2023春?武勝縣校級期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（）A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．無法計算【考點】勾股定理．【答案】C【分析】小正方形的面積為AC的平方，大正方形的面積為BC的平方．兩正方形面積的和為AC2+BC2，對于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．AB長度已知，故可以求出兩正方形面積的和．【解答】解：正方形ADEC的面積為：AC2，正方形BCFG的面積為：BC2；在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，則AC2+BC2＝225cm2．故選：C．8．（2022秋?海陵區(qū)校級期末）下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標(biāo)志，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點】軸對稱圖形．【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、是軸對稱圖形，故本選項正確．故選：D．9．（2023春?梁平區(qū)期中）如圖所示，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值為（）A．﹣1﹣ B．1﹣ C．﹣ D．﹣1+【考點】勾股定理；實數(shù)與數(shù)軸．【答案】A【分析】點A在以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓上，所以在直角△BOC中，根據(jù)勾股定理求得圓O的半徑OA＝OB＝，然后由實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系可以求得a的值．【解答】解：如圖，點A在以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓上．∵在直角△BOC中，OC＝2，BC＝1，則根據(jù)勾股定理知OB＝＝＝，∴OA＝OB＝，∴a＝﹣1﹣．故選：A．10．（2023春?美蘭區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，小于AC長為半徑畫弧，分別交AB、AC于點E、F；②分別以點E、F為圓心，大于EF長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；③作射線AG，交BC邊于點D．則∠ADC的度數(shù)為（）A．40° B．55° C．65° D．75°【考點】直角三角形的性質(zhì)；作圖—基本作圖；角平分線的性質(zhì)．【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的作法可得AG是∠CAB的角平分線，然后再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠CAD＝∠CAB＝25°，然后再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠CDA＝90°﹣25°＝65°．【解答】解：根據(jù)作圖方法可得AG是∠CAB的角平分線，∵∠CAB＝50°，∴∠CAD＝∠CAB＝25°，∵∠C＝90°，∴∠CDA＝90°﹣25°＝65°，故選：C．11．（2023春?西平縣期中）已知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4，則該等腰三角形的周長為（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或12【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【答案】C【分析】分2是腰長與底邊長兩種情況討論求解．【解答】解：①2是腰長時，三角形的三邊分別為2、2、4，∵2+2＝4，∴不能組成三角形，②2是底邊時，三角形的三邊分別為2、4、4，能組成三角形，周長＝2+4+4＝10，綜上所述，它的周長是10．故選：C．12．（2022秋?泉州期末）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則△CDM周長的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【考點】軸對稱﹣最短路線問題．【答案】C【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，故AD的長為CM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關(guān)于直線EF的對稱點為點A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．故選：C．13．（2022秋?孟村縣校級期末）一個等腰三角形的兩邊長分別是3和7，則它的周長為（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【答案】A【分析】由于未說明兩邊哪個是腰哪個是底，故需分：（1）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?；（2）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?；兩種情況討論，從而得到其周長．【解答】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為