立足代數(shù)思維學(xué)習(xí)《簡(jiǎn)易方程》

算術(shù)思維與代數(shù)思維有很大的差異，代數(shù)思維具有形式化、關(guān)系化、結(jié)構(gòu)化的特點(diǎn)。布魯納說(shuō)：“如果一門學(xué)科有明確的特征概念可以代表它，那么對(duì)這些概念的全面理解也就相當(dāng)于對(duì)整個(gè)學(xué)科知識(shí)的理解。如果一門學(xué)科的知識(shí)根據(jù)某種固定的模式進(jìn)行組織，那么充分理解這些模式會(huì)使適合學(xué)科設(shè)計(jì)的主要特定要素更清晰?！蓖瑯拥?，掌握代數(shù)的思維方式，對(duì)小學(xué)生學(xué)習(xí)方程及今后系統(tǒng)學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)，發(fā)展代數(shù)思維，具有戰(zhàn)略性的作用。因此，在《簡(jiǎn)易方程》的學(xué)習(xí)過(guò)程中，要讓學(xué)生充分感受并學(xué)會(huì)用關(guān)系化思想分析問(wèn)題，促進(jìn)其思維從具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過(guò)渡和適應(yīng)。一、認(rèn)識(shí)方程：重構(gòu)方程意義，直抵關(guān)系本質(zhì)什么是方程？教材給出的形式化定義：含有未知數(shù)的等式叫方程。很明顯，這樣的表述并沒(méi)有體現(xiàn)方程的價(jià)值與本質(zhì)。因此，在課堂教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反思，去體會(huì)方程的本質(zhì)，重構(gòu)對(duì)方程的理解，對(duì)概念的理解從“教學(xué)的數(shù)學(xué)”走向“學(xué)科的數(shù)學(xué)”。在教授方程的概念時(shí)，教師就可引導(dǎo)學(xué)生感知方程的價(jià)值。如通過(guò)對(duì)列方程解決問(wèn)題過(guò)程的反思，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)方程重新認(rèn)識(shí)與定義。除了及時(shí)組織學(xué)生對(duì)用算術(shù)方法解決問(wèn)題與用方程解決問(wèn)題進(jìn)行比較，讓學(xué)生感悟到“未知數(shù)是否參與運(yùn)算”“是否順著題目的意思列式子”等，還要讓學(xué)生結(jié)合解決問(wèn)題的經(jīng)歷，引導(dǎo)學(xué)生反思：列方程的依據(jù)是什么？方程能直接求出未知數(shù)嗎？你能用自己的話說(shuō)說(shuō)什么是方程嗎。這樣，對(duì)方程的理解與解決具體問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)。學(xué)生在反思中感悟到方程只是在表達(dá)關(guān)系，將題目中的數(shù)量關(guān)系用含有未知數(shù)的等式表達(dá)出來(lái)就行了，而不需要計(jì)算出結(jié)果。弗賴登塔爾認(rèn)為，兒童的思維發(fā)展是跳躍性的，沒(méi)有內(nèi)省，學(xué)生思維就不能實(shí)現(xiàn)跳躍而達(dá)到一個(gè)新的高度。對(duì)方程意義的重構(gòu)，在于重新建立屬于學(xué)生自己的對(duì)方程的認(rèn)識(shí)，以本質(zhì)去代替形式，對(duì)方程的認(rèn)識(shí)達(dá)到一個(gè)新的高度，思維方式也在發(fā)生著改變。二、解方程：強(qiáng)化運(yùn)作特質(zhì)，走向形式運(yùn)算（一）抽象模型，反思運(yùn)作意義解方程的過(guò)程是形式化運(yùn)作，分別把等號(hào)的兩邊看成對(duì)象，這與算術(shù)思維不同。很多學(xué)生由于受算術(shù)思維的影響，不習(xí)慣這樣的運(yùn)作?！罢嬲臄?shù)學(xué)頭腦是思維的頭腦，是內(nèi)省的頭腦，這也是學(xué)校應(yīng)當(dāng)教學(xué)生的東西?！敝挥袑W(xué)生意識(shí)到每一次運(yùn)作的目標(biāo)與意義，他才能理解這樣的操作，而不是一種機(jī)械行為。反思就是把較低水平的活動(dòng)看成較高水平活動(dòng)的分析對(duì)象。在教學(xué)時(shí)，一要引導(dǎo)學(xué)生反思對(duì)比，解方程的過(guò)程與之前的計(jì)算過(guò)程中等號(hào)作用的不同之處，豐富學(xué)生對(duì)等號(hào)作用的認(rèn)識(shí)。二是在進(jìn)行方程的復(fù)習(xí)時(shí)，在對(duì)具體方程模式化表達(dá)的基礎(chǔ)上，對(duì)解法抽象分析從而達(dá)到一般化程度，有利于學(xué)生的認(rèn)識(shí)與思維更上一個(gè)層次。在復(fù)習(xí)課上，筆者讓學(xué)生小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)：對(duì)解方程，你有哪些經(jīng)驗(yàn)值得與同伴分享？筆者讓學(xué)生舉例說(shuō)出會(huì)解哪幾種類型的方程？再引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分類，將所學(xué)的方程分為簡(jiǎn)單的方程與稍復(fù)雜的方程兩大類。接著引導(dǎo)學(xué)生抽象出這些方程的模型。師：如果用字母表示這些數(shù)字，用x表示未知數(shù)，你能把這些方程表示出來(lái)嗎？學(xué)生分別用字母概括出各類方程。師：像這樣的方程，x±a=b，是如何解的？生：兩邊同時(shí)加a或減a。師：為什么要同加時(shí)或同時(shí)減a？生：抵消，然后x就解出來(lái)了。師：其他的簡(jiǎn)單方程你會(huì)解嗎？生：形如ax±b=c的方程，是在兩邊同時(shí)加或減b，把b消去，轉(zhuǎn)化為基本方程。生：形如ax±bx=c的方程，是利用分配律進(jìn)行合并，轉(zhuǎn)化為基本方程的。師：是的，復(fù)雜的方程轉(zhuǎn)化為基本的方程，但是在具體轉(zhuǎn)化方法上面有所區(qū)別。模型的深刻概括性本身對(duì)學(xué)習(xí)就具有數(shù)學(xué)意義，有利于學(xué)生思維水平的提升。而利用模型，進(jìn)行方法的抽象總結(jié)，通過(guò)關(guān)鍵性問(wèn)題：為什么要同時(shí)加或減或乘或除a？學(xué)生感悟到運(yùn)作的意義是為了抵消，這樣直接說(shuō)出了解方程的本質(zhì)。通過(guò)比較，發(fā)現(xiàn)復(fù)雜方程都可以轉(zhuǎn)化成基本方程解決的，強(qiáng)調(diào)了轉(zhuǎn)化的方法，突出了運(yùn)作思維。（二）順勢(shì)而為，體會(huì)思維差異蘇教版教材中有意回避了未知數(shù)在減數(shù)位置和除數(shù)位置的方程，因?yàn)槔玫仁降男再|(zhì)解決這兩類方程，涉及負(fù)數(shù)的運(yùn)算，而小學(xué)又不涉及負(fù)數(shù)的運(yùn)算，在教學(xué)中并不需要刻意回避。當(dāng)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中用到這樣的方程時(shí)，因勢(shì)利導(dǎo)，通過(guò)比較，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)異同，從而自己發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。在探討正確的解法時(shí)，有的學(xué)生提出，可以根據(jù)“減數(shù)等于被減數(shù)減差”直接求出未知數(shù)，實(shí)際上這是一種“倒過(guò)來(lái)想”的思路，其本質(zhì)是算術(shù)思維。還有學(xué)生想出可以通過(guò)兩邊同加x，轉(zhuǎn)化成加法方程來(lái)求解。在對(duì)兩種方法進(jìn)行比較的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)第二種方法其實(shí)是巧妙利用了等式的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為加法方程，這樣讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)解方程運(yùn)算的思維特點(diǎn)，把左右兩邊各看作一個(gè)對(duì)象，方程表示兩個(gè)對(duì)象的等價(jià)，解方程是通過(guò)運(yùn)作進(jìn)行轉(zhuǎn)化求出未知數(shù)，從而體會(huì)解方程運(yùn)作的特點(diǎn)。三、解決問(wèn)題：價(jià)值引領(lǐng)，基本模型提升能力（一）數(shù)形結(jié)合，感受基本模型的魅力方程的背后是數(shù)量關(guān)系。只有讓學(xué)生掌握了從具體情境中抽取概括數(shù)量關(guān)系，才能列出方程。因此，抽取數(shù)量關(guān)系的能力，直接影響學(xué)生列方程的能力，也是學(xué)生思維水平的體現(xiàn)。如何找題中的數(shù)量關(guān)系？有的教師讓學(xué)生根據(jù)題目中的關(guān)鍵句尋找數(shù)量關(guān)系，如根據(jù)一些提示性語(yǔ)句（）比（）多（少）多少，（）和（）共多少，（）是（）的多少倍等。且不說(shuō)一旦題目沒(méi)有這樣的“套路”表達(dá)，學(xué)生會(huì)一籌莫展，就算有這樣的語(yǔ)句，學(xué)生直接根據(jù)這些語(yǔ)句把握數(shù)量關(guān)系是有困難的，因?yàn)檫@些文字表達(dá)，與算術(shù)問(wèn)題的表達(dá)沒(méi)有異樣，學(xué)生在面對(duì)這些文字時(shí)，受長(zhǎng)期以來(lái)算術(shù)思維的影響，不自覺地就啟用算術(shù)思維方式，想到的是“是多少”的問(wèn)題，即問(wèn)題如何求解，如何求得答案等，而不是數(shù)量關(guān)系。因此，需要改變的是學(xué)生的思維方式，即建立結(jié)構(gòu)化的思維，這樣才能讓學(xué)生的思維聚焦關(guān)系而非結(jié)果。數(shù)量關(guān)系是實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)化表達(dá)，其實(shí)質(zhì)是加、減、乘、除四則運(yùn)算意義的運(yùn)用。而學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，難以發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的原因就是因?yàn)闊o(wú)法透過(guò)情境，用思維把相關(guān)數(shù)學(xué)信息進(jìn)行關(guān)聯(lián)并根據(jù)運(yùn)算意義表達(dá)出來(lái)。教學(xué)中可以把這種基本的模型結(jié)構(gòu)以一種恰當(dāng)?shù)姆绞?，整體呈現(xiàn)在學(xué)生面前，當(dāng)知識(shí)以整體進(jìn)入學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)中時(shí)，其解決問(wèn)題調(diào)用的也是整體而非部分。所謂整體，就是最簡(jiǎn)的也是最本質(zhì)的知識(shí)。在這里就是基本的數(shù)量關(guān)系模型，讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)通過(guò)基本模型，透過(guò)表面，直抵本質(zhì)。如何才能發(fā)現(xiàn)眾多數(shù)量關(guān)系中的內(nèi)在一致性而又利于學(xué)生接受呢？一是要去情境化，二是要具體化。兩者結(jié)合的最佳路徑便是直觀表達(dá)。直觀圖去掉了情境，直達(dá)本質(zhì)，同時(shí)又直觀，又具體，符合兒童的思維特點(diǎn)。方程就是數(shù)量關(guān)系的符號(hào)化表達(dá)，而數(shù)量關(guān)系是半具體半抽象的，直觀模型則具有抽象與直觀的并存。如通過(guò)不同類型的題目，引導(dǎo)學(xué)生畫出線段圖。題目1：學(xué)校里買了18個(gè)籃球和20個(gè)足球，共付了492元，每個(gè)籃球14元，每個(gè)足球多少元？題目2：一幢19層的樓房高57.8米。它的一樓是臨街店鋪，高為3.8米。其余18層平均每層高多少米？題目3：兩輛車同時(shí)從同一地點(diǎn)向相反的方向開出，一輛車每小時(shí)行駛45千米，另一輛車每小時(shí)行駛50千米，幾小時(shí)后兩車相距237.5千米？在隱去具體細(xì)節(jié)與情境后，如圖1所示。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：為什么這些題目各不相同，畫出來(lái)的圖卻是一樣的？學(xué)生在討論中感悟：其實(shí)這些題目都只不過(guò)在說(shuō)一件事，即部分與整體之間的關(guān)系。這種直觀表達(dá)學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)三個(gè)量之間的三個(gè)不同的數(shù)量關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生再回到現(xiàn)實(shí)，這樣的圖還可以表示哪些數(shù)學(xué)故事？從抽象到具體，用具體情境豐富對(duì)模型的認(rèn)識(shí)，模型在學(xué)生思維中豐富，成為一種解決問(wèn)題的工具。再如，加法模型的另一種表達(dá)，如圖2所示。需要說(shuō)明的是，模型的解釋是從抽象到具體的過(guò)程，這一過(guò)程非常重要。兒童的思維發(fā)展走向形式化并不是說(shuō)要完全脫離具體，把形式化的東西具體化，把具體的東西形式化，只有當(dāng)兩者均能自由實(shí)現(xiàn)時(shí)，才能說(shuō)明學(xué)生的理解程度，這樣才能促進(jìn)學(xué)生思維水平的發(fā)展，并且形式化的過(guò)程也不是一蹴而就的，而是一個(gè)反復(fù)的過(guò)程，不斷需要半抽象半具體表象支撐這一過(guò)程的發(fā)展。（二）體驗(yàn)價(jià)值，提升運(yùn)用方程的內(nèi)需剛剛學(xué)習(xí)解方程，最大的矛盾是學(xué)生沒(méi)有用方程的需求，不能體會(huì)到列方程解決問(wèn)題的價(jià)值。因?yàn)轭}目思考比較簡(jiǎn)單，用方程要寫設(shè)未知數(shù)，書寫反而麻煩。所以，學(xué)生是排斥方程的，除非題目明確要求列方程解答之外，學(xué)生一般不選擇用方程。如何擺脫這一困境？筆者認(rèn)為，要充分讓學(xué)生體會(huì)方程解決問(wèn)題的思維特點(diǎn)，從而體現(xiàn)方程的實(shí)用價(jià)值。教學(xué)中要有意識(shí)地不露痕跡地引導(dǎo)學(xué)生用方程解決問(wèn)題，有時(shí)也可以逼迫學(xué)生“就范”，主動(dòng)用方程。一是復(fù)雜問(wèn)題悟關(guān)系。教學(xué)中可讓學(xué)生用方程解決一些復(fù)雜問(wèn)題，從而讓學(xué)生體會(huì)到方程能達(dá)到算術(shù)方法所不能及的簡(jiǎn)單。需要注意的是，對(duì)這樣的題目，并不是要讓學(xué)生會(huì)做，重要的是讓學(xué)生感受方程的價(jià)值，這是一種思維方式的啟迪與熏陶，讓學(xué)生體會(huì)方程在解決問(wèn)題時(shí)的優(yōu)勢(shì)。因此，在教學(xué)時(shí)，可以在學(xué)生一籌莫展時(shí)，出示方程，然后讓學(xué)生去悟出其中的數(shù)量關(guān)系，從而感受方程思路之簡(jiǎn)，突出方程的價(jià)值。這可以作為一種數(shù)學(xué)欣賞、一種熏陶。二是體會(huì)方程思維的樂(lè)趣。這種體驗(yàn)不是外在的刺激，而是一種深層次的對(duì)智力活動(dòng)的驚奇，進(jìn)行思維的探究之旅。如特級(jí)教師任衛(wèi)兵老師團(tuán)隊(duì)開發(fā)的數(shù)學(xué)故事課程“方程的故事”一課，通過(guò)《丟番圖巧設(shè)未知數(shù)》的故事：丟番圖的學(xué)生帕普斯要解決問(wèn)題“有四個(gè)數(shù)，把其中每三個(gè)相加，其和分別為20、22、24、27。求這四個(gè)數(shù)”。從帕普斯設(shè)四個(gè)未知數(shù)列方程組開始，到丟番圖一反常規(guī)，只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，最后學(xué)生受到啟發(fā)，不斷優(yōu)化方法，列出更簡(jiǎn)潔的方程。學(xué)生在活動(dòng)中不斷感受到方程的魅力，感受到方程解決問(wèn)題之巧妙。實(shí)踐證明，這種形式學(xué)生能在輕松的氛圍中進(jìn)行高效、深入的數(shù)學(xué)思考，代數(shù)思維得以有效培養(yǎng)。當(dāng)學(xué)生形成了運(yùn)用方程的意識(shí)后，