建筑數學-概率4-參數估計與回歸分析166607806課件

清華大學建筑學院

參數估計與回歸分析參數估計對于許多要研究的對象（總體）不可能“窮盡”地一一調查測量，只能隨機地抽取一部分“樣本”，根據樣本的數據來估計總體的“真值”。有的情況是知道（分析出）隨機變量的分布形態(tài)：泊松分布，正態(tài)分布等，如何根據樣本數據，“估計”出該分布的參數，如泊松分布的λ，正態(tài)分布的μ和σ例：設某炸藥廠一天中發(fā)生著火現象的次數X服從

對于泊松分布，只有一個參數λ要估計。λ的估計值就是樣本平均數：驗證一下：k=0樣本計算p=75/250=0.3；公式計算：0.295k=1樣本計算p=90/250=0.36；公式計算：0.360k=2樣本計算p=54/250=0.216；公式計算：0.220k=3樣本計算p=22/250=0.088；公式計算：0.089e－λ=e－1.22

=0.29523

對于正態(tài)分布，有兩個參數μ和σ要估計。μ的估計值就是樣本平均數，σ的估計值就是樣本方差的平方根：

這在講概率分布時已經提到。對于二項分布有一個參數p要估計：p的估計值就是樣本平均數：

“十年一遇”，就是根據歷史記錄，發(fā)生該現象的統(tǒng)計平均是p=0.1

區(qū)間估計上面討論的參數估計，是用樣本的數值來估計總體的參數。但是，每一次樣本試驗得到的參數估計值是不同的。例如我們可以認定某個年齡段（10歲）兒童（男童或女童）的身高（作為總體）滿足正態(tài)分布，參數均值μ的估計值可以通過100名兒童身高的測量值的平均數得到。但再測量100名兒童，可能得到不同的值。多次做100名兒童身高的測量得到的值盡管各不相同，但都處于某個區(qū)間范圍之內，把這些值加以平均的到的值（例如6次測量，共600名兒童平均）是否更“可信”一些？比做3次測量是否更可信一些，即“置信度”更高？還有一個問題：對不同的總體（或不同的組分，如男童和女童分開），抽樣得到樣本值離散性可能不同，即計算出的方差σ不同，有的組分（男童）樣本值之間差異?。é倚。?，有的組分（女童）樣本值之間差異大（σ大）。那么試驗次數相同下，得到均值μ的估計值的“可信度”一樣嗎？方差σ大（離散性大）的組分試驗的次數（樣本的數量）是否應當多一些呢？這就要引入統(tǒng)計數據處理的“區(qū)間估計”。

通常，采用95%的置信度，有時也取99%或90%均值的區(qū)間估計已知方差，估計均值1、在總體服從正態(tài)分布的情況下，從某校學生中隨機抽選100人，調查到平均每天鍛煉時間為30分鐘，樣本方差為36。

試以95%的置信度來估計該校學生平均每天鍛煉的時間。解得：[28.81,

31.19]練習：2.某醫(yī)院欲估計一名醫(yī)生花在每個病人身上的平均時間。設要求置信度為95%，允許的誤差范圍在±2分鐘。依以前的經驗看病時間的標準差為6分鐘。

試問需要多大的樣本量（n=35）？解：上一屆同學在《建筑數學》課堂上，每人當場測量自己心律的統(tǒng)計（次/分鐘），共192人。那么，總體分布的平均數標準差在正態(tài)分布表中，置信度90%，即α=0.10，λ=1.65置信度95%，即α=0.05，λ=1.96置信度99%，即α=0.01，λ=2.58回歸分析

英國著名人類學家FranicsGalton

高爾頓（1822－1911）于1885年發(fā)表論文《身高遺傳向平均數方向的回歸》，分析兒童身高與父母身高之間的關系，發(fā)現父母的身高可以預測子女的身高，當父母越高或越矮時，子女的身高會比一般兒童高或矮，他將兒子與父母身高的這種現象擬合出一種線形關系。但他還發(fā)現，當父母非常高（或非常矮），其子女的身高不會象父母那樣非常高（或非常矮），而是比其父母更接近平均身高。高爾頓選用“回歸”（regression）一詞。高爾頓和他的學生K.Pearson觀察了1078對夫婦，分析出兒子的身高y與父親的身高x大致可歸結為以下關系：

y

=

0.516

x

+

33.73

(單位為英寸）

回歸分析（regressionanalysis)是確定兩種或兩種以上變數間相互依賴的定量關系的一種統(tǒng)計分析方法。在調查觀察中，會得到各種變量的樣本值，會發(fā)現某種變量與另一種變量之間有“相關”性。例如，住宅面積與經濟指數，經濟狀況好（指數高），住宅建設面積就大。能否用定量化的函數來表示兩者間的依賴關系？

首先觀察到樣本散點圖近似于一條直線，可以用一個線性函數來擬合：y=a＋bx稱為線性回歸。需要確定a和b兩個參數。如果按圖中紅線來擬合，所有樣本點xi的擬合值都大于樣本值yi，如果按圖中藍線來擬合，所有樣本點xi的擬合值都小于樣本值yi，兩者都不合適。顯然，擬合的直線應“貫穿”于散點之中，如圖中黑線所示，以做到各樣本點的樣本值yi與擬合值

的差值：的平方和最小。即構建一個以回歸系數a和b為變量的誤差函數：按函數的微分極值原理，求其在取極小值時的a和b的取值，就可得到線性回歸方程y=a+bx。此為最小二乘法。

相關系數0.95，表示住宅建設面積與經濟指數確實相關。具體計算方法見下表：計算x的平均數、y的平均數，∑x2、∑y2和∑xy，即可計算回歸系數a和b。

相關系數r：0<|r|<1，r為正值即正相關，x增，y也增；r為負值即負相關，x增，y減。|r|接近1，表示y與x有很強的相關性，樣本值散點分布接近直線；|r|接近0，表示y與x相關性弱，樣本值散點分布很分散。高斯最小二乘法計算谷神星軌道

1801年，高斯用數學方預測出一顆小行星的軌道。天文學家在高斯指出的位置發(fā)現了小行星，后來被命名為谷神星（Ceres）。高斯8年后系統(tǒng)地完善了相關的數學理論，才將他的方法公布于眾，即“最小二乘法”。一元非線性回歸當因變量Y與自變量x之間沒有線性關系時，一般用回歸曲線y=

f

(x)來描述它們之間的關系。但是通常可以采用簡單的變量變換，把非線性回歸的問題轉化為線性回歸來處理。

幾種常見的曲線方程，化為線性問題的變換公式：(1)列表，數據計算。多元回歸分析1.二元線性回歸方程

實際中，會需研究一個變量與多個變量之間的定量關系，就是多元分析問題。

上式稱為回歸平面，β0是常數，β1

，β2為回歸系數。

設隨機變量Y，自變量x1和x2，有：

有n

組觀測值：由多元函數極值原理，有：即整理得到：由第3式，得：代入第1，2式，消去β0得：其中：解得：例1：某公司的商品在15地區(qū)銷量y和人口數x1、戶均總收入x2資料見表。試求銷量對人口數、戶均總收入的回歸方程。按計算公式所求回歸方程：西安機場航空客運量與國民生產的總值和旅游游客量二元回歸。根據1980-1994年陜西省的GNP（X1）和旅游游客量（X2）的數據，與西安機場年旅客吞吐量（y），作二元回歸，得到回歸方程。再了解了陜西省人大制定的十年經濟發(fā)展計劃和旅游事業(yè)規(guī)劃的數據，預測未來10年的航空客運量。

年旅客吞吐量y與GNP指數x1和旅游游客量指數x2的二元回歸方程：根據1980~1993年的實際數據（樣本數據），求算回歸系數：β0β1β2

上述二元相關分析的航空客運量的實際值