第二章 從Mawell方程組到光波導(dǎo)理論-課件

第二章從Maxwell方程組到光波導(dǎo)理論

光是一種特殊波段的電磁波，它在波導(dǎo)中傳輸滿足電磁場的基本方程一一Maxwell方程

組。這一章中，我們將從Maxwell方程組出發(fā)，建立光在波導(dǎo)中傳輸?shù)碾姶挪ɡ碚撆c幾何光

學(xué)理論，進(jìn)而討論光在波導(dǎo)中的傳輸行為。

§2.1Maxwell方程組

19世紀(jì)60年代，英國物理學(xué)家麥克斯韋(JamesClerkMaxwell,1831~1879)在法拉第、

高斯等人對電磁現(xiàn)象深入研究的基礎(chǔ)上，加上他自己對電磁現(xiàn)象與力學(xué)的類比，提出了渦旋

電場和位移電流假設(shè)，建立起一組完整的定量描述宏觀電磁現(xiàn)象的基本方程，即著名的

Maxwell方程組。根據(jù)這組基本方程，麥克斯韋預(yù)言了電磁波的存在，并指出光波

就是波長極短的電磁波，從而使人類對光的本質(zhì)的認(rèn)識向前邁進(jìn)了一大步，也在

物理學(xué)發(fā)展史上建立了一座新的里程碑。迄今為止，除了光發(fā)射與吸收必須用量

子理論才能圓滿解釋外，麥克斯韋的經(jīng)典電磁理論仍是分析光波傳輸問題的理論

基礎(chǔ)。

2.1.1Maxwell方程組

宏觀電磁現(xiàn)象可以用電磁場來描述。真空中的電磁場由電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B來描

述。而為描述場對物質(zhì)的作用，如光在透明介質(zhì)中傳播，則需再引入電位移矢量方和磁場強(qiáng)

度方。在電磁場中每一點(diǎn)，這些矢量隨時(shí)間和空間的變化關(guān)系由Maxwell方程組給出

--dD

Vx/7=/+—(2.1.1a)

dt

-dB、

Vx￡=---(2.1.1b)

dt

V-B=0(2.1.1c)

VD=p(2.1.Id)

式中，J為介質(zhì)中的傳導(dǎo)電流密度；0為自由電荷密度。(2.1.1)式中四個方程不是獨(dú)立的，

如果認(rèn)為電流連續(xù)方程

V-7+—=0(2.1.2)

dt

是獨(dú)立方程，則c、d兩式可由a、b兩式推出。為了從(2.1.1)式完全確定電磁場量，尚需給

出力、月與后、后的關(guān)系，即物質(zhì)方程

J=cyE(2.1.3a)

D=￡()E+P(2.1.3b)

月=4。后+而(2.1.3c)

式中，。為介質(zhì)的電導(dǎo)率，對良好介質(zhì)可以認(rèn)為近似為零；％和〃。分別為真空的介電常數(shù)和

磁導(dǎo)率；聲稱為介質(zhì)的極化強(qiáng)度；而稱為介質(zhì)的磁化強(qiáng)度。

對于電各向異性介質(zhì)，電極化強(qiáng)度可以寫成

P=4%")?E+//⑵：EE+4/⑶:EEE+…(2.1.4)

其中％⑹是i+l階張量。如果除力⑴外，其余力⑹的元素均為零，則稱此介質(zhì)為線性介質(zhì)，否

則為非線性介質(zhì)。對于各向異性線性介質(zhì)，總可以選擇合適的坐標(biāo)系使

■/l00'

/)=00(2.1.5)

00/3_

若乂、,2、心均不相等，稱為雙軸晶體；若其中只有兩個相等，稱為單軸晶體；若三個都

相等，即?=%2=%3=，，，⑴可以用標(biāo)量力表示，從而得到

P=￡()/E(2.1.6)

D=s0(l+/)E=￡^,.E(2.1.7)

其中邑=1+7為相對介電常數(shù)。

由于一般傳光介質(zhì)均為非磁性介質(zhì)，M=0,從而

月=〃()后(2.1.8)

滿足(2.1.7)及(2.1.8)式的介質(zhì)稱為各向同性線性介質(zhì)，如未作特殊說明，本書所涉及的

介質(zhì)均為此種介質(zhì)。

通過上面的講述我們可以看出，Maxwell方程組雖然給出了電磁場的基本規(guī)律，但由于介

質(zhì)和場量的復(fù)雜性，使得求解并不容易?？紤]物質(zhì)方程，可以降低求解難度。首先，通過線

性各向同性介質(zhì)假設(shè)降低了介質(zhì)的復(fù)雜程度；其次，通過物質(zhì)方程可以使求解的場量由4個

(后、后、5、月)變?yōu)?個(巨、H),,但是，介質(zhì)和場量均是時(shí)間f與空間位置(x,y,

z)的函數(shù)，方程仍很復(fù)雜。

先在時(shí)間上將場量簡化。引入傅里葉變換

i//(x,y,z,t)=(以%,(2.1.9a)

2

”（x,y,z,0）=：Jy,z,t）e^iMd（o（2.1.9b）

式中，”（x,y,z,f）可代表所有場分量的時(shí)域表達(dá)式；〃（x,y,z,0）則為其頻域表達(dá)式。從

（2.1.9b）式可以看出，任意時(shí)域場分量都可以分解成多個頻域分量。在良好介質(zhì)（了=0,

2=0）中，且介質(zhì)的性質(zhì)不隨時(shí)間變化（定態(tài)假設(shè)），則各個頻率的場量均滿足頻域中的

Maxwell方程組

VxH=](D￡Q￡rE(2.1.10a)

VxE=-]CO/JQH(2.1.I0b)

▽?后=0(2.1.10c)

▽?（￡?！?后）=0(2.1.10d)

若不涉及色散或非線性傳輸?shù)扰c頻率有關(guān)的現(xiàn)象，對于某一工作頻率。，式中￡、后僅是空

間位置（x,?z）的函數(shù)，而時(shí)域中的電磁場量可根據(jù)（2.1.9a）式疊加而成。

再考慮場量在空間上能否簡化。若介質(zhì)均勻，即工不隨空間位置（x,y,z）變化，則（2.1.10d）

式可化為▽?巨=0,問題顯然簡單了很多。但大多數(shù)情況是，叫僅在某一局域?yàn)槌?shù)，因此

我們接下來討論電磁場的邊界條件，即兩局域交界面處電磁場的聯(lián)系。

2.1.2電磁場邊界條件

Maxwell方程組（2.1.1）式描述的是電磁性質(zhì)叫、〃，為位置坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)中電

磁場的基本規(guī)律。而當(dāng)介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生突變時(shí)，由于導(dǎo)數(shù)不存在，所以（2.1.1）式不再適用。

此時(shí)需將(2.1.1)式改成積分形式

姆田成j,dv+——ds(2.1.1la)

f￡d/=-[[—As(2.1.11b)

JLJJSQf

臚75=0(2.1.11c)

我力擊=幾沖<2,1.11d)

式中E和后的積分路徑4分別為（2.1.11a）和（2.1.11b）兩式右端面積分區(qū)域S的邊界；而月

和力在閉合曲面上面積分的積分區(qū)域S分別為（2.1.11c）和（2.1.lid）兩式右端體積分區(qū)域丫

3

的外表面。將(2.1.11a)和(2.1.11b)式應(yīng)用于圖2.1.1(a)所示的窄條型回路，可得到

nx(//,-H2)=X(2.1.12a)

nx(E1_瓦)=0(2.1.12b)

(2.1.12)式說明，兩介質(zhì)分界面處電場強(qiáng)度后切向連續(xù)，而磁場強(qiáng)度后的切向分量在邊界面

上的突變?nèi)Q于界面上的傳導(dǎo)面電流密度X。

(a)切向邊條件(b)法向邊條件

圖2.1.1確定電磁場邊條件的幾何區(qū)域

再將(2.1.11c)和(2.1.11d)式應(yīng)用于圖2.1.1(b)所示的扁平區(qū)域，可得到

鼠(A_瓦)=0(2.1.13a)

?.(D,-O2)=ps(2.1.13b)

上式說明，兩介質(zhì)分界面處磁感應(yīng)強(qiáng)度月的法向分量連續(xù)，而電位移矢量力的法向分量突變

取決于界面上的自由面電荷密度ps。

對于非導(dǎo)電介質(zhì)，其表面面電荷密度4=0,面電流密度N=0,因而可將(2.1.12)和

(2.1.13)式合并寫成

五x(凡一百2)=。(2.1.14a)

nx(E{_員)=0(2.1.14b)

心(5_瓦)=0(2.1.14c)

?-D2)=0(2.1.14d)

即電場強(qiáng)度E和磁場強(qiáng)度后切向連續(xù)，磁感應(yīng)強(qiáng)度月和電位移矢量方法向連續(xù)。

根據(jù)Maxwell方程組、物質(zhì)方程及邊界條件即可以確定所有電磁場量。由于Maxwell方

程組是偏微分方程組，還需要在適當(dāng)?shù)臈l件下進(jìn)一步消元，化簡為偏微分方程。

4

2.1.3波動方程和Helmholtz方程

良好介質(zhì)中了=0、2=0,如果介質(zhì)為均勻、各向同性、線性介質(zhì)，則j為常數(shù)。在上

述兩條件下，將(2.1.1a)和(2.1.1b)式取旋度，并注意到▽?月=〃o▽?方=。，

VD=￡0￡rVE=0,可得

2n2d2E

VE-=0(2.1.15a)

n2d-H

v2/7(2.1.15b)

c2dt2

式中，C=1/向瓦為真空中光速；〃=后為介質(zhì)的折射率。(2.1.15)式即為線性、均勻、

各向同性介質(zhì)中的波動方程，它的解即為波速為u=c/〃的電磁波。

在頻域中，所有場量都是以角頻率。振蕩的正弦量，因而其波動方程為

V2￡+^//2E=0(2.1.16a)

V?月+儲〃2后=o(2.1.16b)

式中

222

=n/c=co/J()￡0(2.1.17)

(2.1.16)式稱為Helmholtz方程。對于非均勻的各向同性線性介質(zhì)，因?yàn)?/p>

,

V-D=f0￡rV-E=4▽%-E+￡()%▽?后=0(2.1.18)

可得

-Vf-

VE=-----'--E(2.1.19)

3

從而得到

力巨+靜〃2后+▽(后.%)=0(2.1.20a)

V2H+k^n2H+—^x(Vx后)=0(2.1.20b)

式中，￡，="是位置的函數(shù)，如果介質(zhì)的折射率或相對介電常數(shù)隨位置變化得較為緩慢，即

滿足一<<1,則稱這種介質(zhì)為緩變介質(zhì)，于是(2.1.20)可化簡為

V2E+k^n2E=0(2.1.21a)

5

亡方+耳〃2后=0

(2.1.21b)

上式雖然形式上與(2.1.16)式相同，但二者有著重要區(qū)別，即(2.1.21)式中的折射率〃是

空間位置的函數(shù)，因而其求解也就要困難得多。

在分析光波導(dǎo)中光波的傳播時(shí)，我們既會遇到均勻介質(zhì)，又會遇到非均勻介質(zhì)，但光波

導(dǎo)中介質(zhì)的非均勻性總滿足緩變條件。因而(2.1.16)和(2.1.21)式是我們分析光波導(dǎo)中光

波傳播的基礎(chǔ)。

Helmholtz方程是一元二階偏微分方程，與Maxwell方程組相比要簡化了許多。但由于場

量后和后都是矢量，所以每一個矢量方程都相當(dāng)于三個標(biāo)量方程，即Helmholtz方程仍有簡

化的可能。一方面，我們可以根據(jù)介質(zhì)的對稱性，選擇合適的坐標(biāo)系，利用各分量之間的關(guān)

系，將Helmholtz方程化簡為標(biāo)量方程，如第2.2節(jié)和第3章。另一方面，我們可以將一個矢

量函數(shù)在合理的情況下簡化為常矢量和標(biāo)量函數(shù)的乘積，進(jìn)而將Helmholtz方程化簡為標(biāo)量方

程，下面就主要對此進(jìn)行論述。

2.1.4均勻平面電磁波

根據(jù)定態(tài)波假設(shè)，電磁波的振幅僅是空間位置的函數(shù)，相位是時(shí)間和空間的線性函數(shù)

。(尸,，)=心)(刃e"*")(2.1.22)

式中。。是波的振幅矢量。略去后

左=瓦"的(2.1.23a)

H=?(2.1.23b)

式中，工稱為波矢，方向?yàn)椴ǖ南嗨俜较?，大小為k=k°n=2m/幾,即波的相位常數(shù)；Eo

和方o分別是波的電場和磁場振幅矢量，與2和后一樣，僅是空間位置的函數(shù)。尤其在無界

均勻各向同性線性介質(zhì)中，對于均勻平面電磁波，后°、后。和五都是常矢量。令

k-r=kxx+kyy+kzz=C(2.1.24)

式中C為任意常數(shù)。上式在空間描述出一組平面，稱為波的等相位面。

(1)均勻平面電磁波是TEM波

將(2.1.23)式代入(2.1.10)式，得

EQ=-r]ekxHQ(2.1.25a)

-1一-

H()=—ekxEo(2.1.25b)

7

k-E()=0(2.1.25c)

晨后o=O(2.1.25d)

6

式中，〃=J〃o/￡為介質(zhì)的波阻抗,&為波矢無的單位矢量。上式說明無界介質(zhì)中的均勻

平面電磁波是TEM波，瓦、孔和E三者相互垂直，凰和凡相位始終一致。

(2)均勻平面電磁波的相速和群速

平面電磁波相位傳播的速度稱為相速

v?=—(2.1.26)

而能量傳播的速度稱為群速

對于均勻平面波，(3=kan=cD^e=amlc.如果介質(zhì)折射率〃與頻率。無關(guān)，則

v=v=—(2.1.28)

n

即對于均勻無色散介質(zhì)，其中傳播的平面電磁波的相速與群速相等，且與波源的頻率無關(guān)，

僅與介質(zhì)的折射率有關(guān)。

(3)均勻平面電磁波的偏振態(tài)

平面電磁波的偏振態(tài)是指電場強(qiáng)度矢量或磁場強(qiáng)度矢量的空間取向隨時(shí)間的變化情況。

平面電磁波的偏振態(tài)包括：自然光、部分偏振光、線偏振光、橢圓偏振光和圓偏振光，共5

種。其中，線偏振光、橢圓偏振光和圓偏振光統(tǒng)稱為完全偏振光，自然光也稱為非偏振光。

自然光和部分偏振光都可以看成多個完全偏振光的混合，因此下面我們著重討論完全偏振光。

任意場矢量總可以寫成沿兩個特征方向的分矢量之和，即

E=e}E}e'^+e2E2e^(2.1.29)

式中，自、心為與波傳播方向部垂直的兩個相互正交的單位矢量，瓦X巨2=森；片和多分

別為京和&方向上的振幅；a和圾分別為其和%方向上的相位因子。當(dāng)5=/一我=°，乃時(shí)

分別為一、三和二、四象限的線偏振態(tài)。當(dāng)3=乃/2,37/2且g=七2時(shí)分別為右旋和左旋圓

偏振態(tài)。更一般的情況下，波呈橢圓偏振態(tài)，0<3<%時(shí)為右旋偏振態(tài)，而"<5<2萬時(shí)

為左旋偏振態(tài)。需要指出，這里關(guān)于旋向的定義與工程電磁理論中的規(guī)定一致，而與一般的

光學(xué)教科書中的剛好相反。

(2.1.29)式說明，任何一種完全偏振態(tài)都可以看成兩個具有確定相位差和振幅比的線偏

振態(tài)的疊加。同樣，在研究旋光現(xiàn)象時(shí)，我們也可以將它看成是兩個旋向相反的圓偏振光的

疊加，即

E=EL(e,+je2)±EK(e,-je2)(2.1.30)

式中，EL、ER分別為左旋和右旋圓偏振態(tài)的振幅。若EL=ER,則代表線偏振態(tài)；若

EL手ER,則代表橢圓偏振態(tài)；若EL、ER其中之一為零,則為圓偏振態(tài)。

為了方便，在研究偏振態(tài)時(shí)，常引進(jìn)Stokes參數(shù)。四個Stokes參數(shù)的定義是

7

S°=或+&(2.1.31a)

=E；-E；(2.1.31b)

S2=2EiE2cos?2一Oi)(2.1.31c)

S3=2￡1E2sin(^2一族)(2.1.31d)

顯然，四個Stokes參數(shù)不是獨(dú)立的,

s：=s：+s；+s；(2.1.32)

如果以M、S2、S3為直角坐標(biāo)系中的x、y、z坐標(biāo)，則當(dāng)So為常數(shù)時(shí)，決定了一個球

面，這個球面稱為Poincare球。Poincar?球面上的點(diǎn)與完全偏振態(tài)一一對應(yīng)，如圖2.1.2所示。

如果測得Stokes參數(shù)的變化規(guī)律，則可確定光波的偏振態(tài)變化規(guī)律，這為測定單模光纖傳輸

系統(tǒng)的偏振態(tài)色散提供了理論基礎(chǔ)。

2.1.5平面電磁波的反射和折射

與2.1.2類似，當(dāng)介質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生突變時(shí)，平面電磁波將在不同介質(zhì)分界面處發(fā)生反射和

折射，如圖2.1.3所示。根據(jù)分界面兩側(cè)滿足的邊界條件，可得兩種介質(zhì)中入射波、反射波和

折射波之間的運(yùn)動學(xué)關(guān)系：

(1)入射光、反射光和折射光共面，即￡.、￡和￡共面；

(2)反射角等于入射角，即。,=

(3)Snell定律:〃]sin。,.=n2sin6,淇中々、4為兩種介質(zhì)的折射率。

8

圖2.1.3平面電磁波的反射和折射

入射波、反射波和折射波之間的動力學(xué)關(guān)系：

(1)對于平行偏振態(tài)，即電場矢量與入射面平行的線偏振態(tài)，其振幅反射和透射率分別為

r=壇=n2cosd-n1cos?,=tan(e,f)(2.1.33a)

p

Epin2cos.+cos.tan(^

E2n.cosft2sin，cos，,、

t!i

tp=上=------------=--------L----------(2.1.33b)

Epin2cos。7+〃]cos。/sin(q+a)cos(，一2)

(2)對于垂直偏振態(tài)，即電場矢量與入射面垂直的線偏振態(tài)，其振幅反射和透射率分別為

.二Eq二%cosq-叼cos,_sin?-6)(2.1.34a)

■'Esi4cos0j+n2cos0tsin(q+6,)

E,2”|COs，2sin0,cosO

”"=----------!--------!-------=----------L--------1(2.1.34b)

Esj〃]cos0i+n2cos0,sin?+q)

(2.1.33)和(2.1.34)式統(tǒng)稱為Fresnel公式。s分量始終垂直紙面向內(nèi)，p、s、左成右手系。

由Snell定律可知，當(dāng)勺>乙時(shí)，折射角。大于入射角4,有可能發(fā)生全反射。全反射

的臨界角

=sirr‘(〃2/"J(2.1.35)

當(dāng)4=3時(shí)，0,=71/2,折射光將與界面平行；當(dāng)2>6,時(shí)，折射光消失，從而發(fā)生全反

射。

由(2.1.33a)式可知,如果以Brewster角入射

4=%=tan"(%/"])(2.1.36)

則平行偏振態(tài)的反射率為零，即無論入射光的偏振態(tài)如何，均只有垂直偏振態(tài)反射。即以

Brewster角入射時(shí)，反射光總為線偏振光，因此Brewster角又稱為起偏角。

2.1.6電磁波理論的短波長極限——幾何光學(xué)理論

光波是頻率極高的電磁波，即波長極短。在光纖通信與光纖傳感中常用近紅外光波作為

9

信號的載體，其頻率在3x10MHz左右，波長在1Mm左右。這種近紅外光波的波長比起一般光

學(xué)系統(tǒng)的尺寸要小很多，因而可以可以忽略光波波長的有限大小的尺度，近似認(rèn)為光沿光線

傳播，從而形成研究光傳播規(guī)律的另一分支——幾何光學(xué)。

幾何光學(xué)的理論早在古希臘時(shí)期就已形成，其歷史與歐幾里得幾何一樣悠久，要遠(yuǎn)早于

波動光學(xué)。幾何光學(xué)的基本方程——程函方程(eikonalequation)也完全可以從變分原理得到,

而不必借助Maxwell電磁理論。本書中為了將光的傳播理論統(tǒng)一在電磁理論的框架之內(nèi)，將

幾何光學(xué)理論看成電磁波理論的短波長極限。幾何光學(xué)的優(yōu)點(diǎn)是：理論模型簡單直觀、物理

概念清晰、易于理解，所以對于初學(xué)者理解光在波導(dǎo)中傳輸及分析多模光波導(dǎo)都有著重要意

義。但因?yàn)閹缀喂鈱W(xué)是電磁波理論的短波長極限，所以幾何光學(xué)所得到的結(jié)果具有局限性，

僅適于分析幾何尺度遠(yuǎn)大于波長的情形。具體地說，幾何光學(xué)理論只能用來分析多模光波導(dǎo);

而橫向尺度與工作波長可比擬的單模光波導(dǎo)就只能波動理論才能得到正確的結(jié)果。

(1)幾何光學(xué)基本規(guī)律——程函方程

程函方程描述了光波的兒何波陣面的運(yùn)動規(guī)律。在各向同性的非磁性介質(zhì)中，頻域中的

Maxwell方程組為

Vx//=ycosE(2.1.37a)

Vx￡=-jco/J0H(2.1.37b)

▽?后=0(2.1.37c)

V?(￡?￡)=0(2.1.37d)

在各向同性均勻介質(zhì)中，均勻平面電磁波的電場和磁場強(qiáng)度可表為

E=Eoe^p(-jk-r)(2.1.38a)

H=H()e*(-jE?r)(2.1.38b)

上式描述了一個沿左方向傳播的均勻平面波，其波陣面是與k垂直的平面族。

更一般的情況下，介質(zhì)的電磁性質(zhì)不均勻，即其折射率是空間位置的函數(shù)。一般說來，

在此情況下，已不存在均勻平面波解。非均勻介質(zhì)中Maxwell方程組的試探解可以寫成

E=瓦(尸)eq[一/以°初(2.1.39a)

H=H()(r)e^p[-j^ot/(r)](2.1.39b)

式中振幅矢量M。)和后o(尸)都是位置的函數(shù)，而材(力稱為光程函數(shù)。(2.1.39)式代入

(2.1.37)式得

_/_i_

▽〃xHQ4---E0=----Vx(2.1.40a)

“ok。

Vi//xE0-T;0H0=--^-VxE0(2.1.40b)

%

10

▽“?后o=——V-HQ(2.1.40c)

ko

V-Eo=--^Vln￡-E0---L^￡(2.1.40d)

“ok。

式中〃2=￡r,q)=J4/島是自由空間的波阻抗。

在電磁波的波長趨于零，即火。趨于無窮的短波長極限情形下，(2.1.40)的右端都可以忽

略，從而有

▽后o+土耳=0(2.1.41a)

%

▽“X瓦一小后<>=0(2.1.41b)

V^Ho=O(2.1.41c)

▽〃后o=0(2.1.41d)

由(2.1.41c)和(2.1.41d)式可以看出，電場強(qiáng)度矢量E和磁場強(qiáng)度矢量后都與▽歹矢

量相垂直。如果令〃=常數(shù)，則可以得到一系列曲面，這些曲面就是波的等相位面或等程函

面。由于后和后都與等程函面法向垂直，且后和后也相互垂直，所以在折射率不均勻的介質(zhì)

中波長極短的電磁波仍是橫電磁波，即TEM波。

將(2.1.41b)式代入(2.1.41a)式，得

2

V^x(V^/x￡0)+nE0=0(2.1.42)

利用矢量恒等式，x(月xC)=(M。)月—(X?月)。及(2.1.41d)式,得

2

(V?Vy/)E0-nEQ=0(2.1.43)

由于電場強(qiáng)度矢量瓦不能處處為零，因而有

RW7W=*(2.1.44)

上式即為程函方程，它是幾何光學(xué)的基本方程。

另外，程函方程也可由費(fèi)馬原理得到。費(fèi)馬原理指出，介質(zhì)中任意兩點(diǎn)間的光線的實(shí)際

傳播路徑為這兩點(diǎn)間光程變分為零的路徑。即打、鳥兩點(diǎn)間實(shí)際路徑所滿足的方程必是變分

問題

*

nds=0(2.1.45)

J6

的Hamilton-Jacobi方程，即程函方程。詳細(xì)的推導(dǎo)可參閱M.Bom與E.Wolf合著的《光學(xué)原

理》第3章。

11

(2)光線的傳播路徑一一射線方程

前面我們定義了等相位面，與之正交的軌跡稱為光線。即

dr_

(2.1.46)

ds|V[//\

式中匕是光線傳播路徑切線方向上的單位矢量，即光線的傳播方向，如圖2.1.4所示。根據(jù)

ds

程函方程(2.1.44)式，又可以得到忖M=〃，于是

dr口

n—=VI/(2.1.47)

ds

將上式對路程s求導(dǎo)，得

d(d八d▽

(2.1.48)

dsIds)ds

交換右端的求導(dǎo)次序，得

(2.1.49)

di//du/dxdii/dzdii/dz

由于一F=—丁+#丁+麥丁，故

dsdxdvdzdvdzdv

(2.1.50)

再利用(2.1.47)式，得

(2.1.51)

上式即為折射率分布為〃行)的介質(zhì)中的射線方程。射線方程在研究其它波線乃至流線中都有

著廣泛的應(yīng)用，因此也稱流線方程或射流方程。

(3)應(yīng)用舉例

例1光線在均勻介質(zhì)中傳播。

【解】均勻介質(zhì)中〃=常數(shù)，因而▽〃=(),所以

(2.1.52)

12

積分上式即可解得

r=5C,+cz(2.1.53)

式中G和弓是兩個常矢量，6是路徑的長度。(2.1.53)式是一個直線方程，說明光線在均勻介

質(zhì)中沿直線傳播。矢量弓表示光線的起始位置，矢量弓表示光的傳播方向，如圖2.1.5所示。

例2光線在球?qū)ΨQ折射率分布介質(zhì)中傳播

【解】所謂球?qū)ΨQ分布是指在球坐標(biāo)系下，折射率僅是廠的函數(shù)，即

〃=〃(7)(2.1.54)

所以

「rdn

VH=------(2.1.55)

rdr

再由射線方程(2.1.51)式，得

d_fdry_^dn

(2.1.56)

dsIdsJrdr

將上式兩端得

d(d「、一rdn一

—n—xr=----xr=0(2.1.57)

dsydsJrdr

由力科故

d「d尸d<dr^<dr\dr

—n—xr=—n—xr+n—x——二：0(2.1.58)

dsyd5)ds\dsJIdvJds

即

“上XF=常矢量

(2.1.59)

ds

上式說明：

(1)光線的傳播方向—與位置矢量r構(gòu)成一個平面，而光線的路徑始終處于此平面內(nèi)。即

小

光線路徑是平面曲線，而非空間曲線。

(2)每條光線都對應(yīng)一個不變量

13

msin(p=nd=常數(shù)(2.1.60)

式中e為位置矢量「與光線傳播方向之間的夾角，d為原點(diǎn)到該點(diǎn)切向的距離，〃為該點(diǎn)的折

射率，如圖2.1.6所示。

圖2.1.6折射率球?qū)ΨQ分布介

質(zhì)中光線的傳播路徑

為進(jìn)一步討論光線的走向，將(2.1.56)式展開，得

d-rd/7dr_dn

n--+------=er—(2.1.61)

ds-dsdvdr

或

d2r1Fdndndr

----——e------------(2.1.62)

di2ndrdsds

式中?為位置矢量尸的單位矢量。由微分幾何可知，曲率矢量

d2r1_

K=(2.1.63)

其中0為曲率半徑，卻為曲線的主法線方向，如圖2.1.7所示。(2.1.62)式?&得

1dn_

-----e(2.1.64)

ndr'

dn

由于曲率半徑p>0,因而上式右端必為正值。即當(dāng)>0時(shí)，金與。，的夾角小于乃/2,

14

如圖2.1.7(a)所示；而當(dāng)衛(wèi)<0時(shí)，部與心的夾角大于乃/2,如圖2.1.7(b)所示。說明光線的

dr

路徑總是彎向折射率大的一側(cè)。這個結(jié)論雖然是從折射率球?qū)ΨQ分布的特例中得到的，但它

具有普遍性，一般的結(jié)果與折射定律相吻合。運(yùn)用這一結(jié)論，會為定性分析光的傳播路徑等

問題帶來很大的方便，希望讀者能夠記住。

例3折射定律和反射定律的證明

【證】前兩個例子中折射率不變或連續(xù)變化，而在此例中，光線的反射和折射發(fā)生在介

質(zhì)的分界面處，這里的折射率發(fā)生突變，射線方程中▽〃不存在。因此需從幾何光學(xué)的基本方

程出發(fā)。由光線的定義，即等程函面的正交軌線，有

dr

V</=n—(2.1.65)

小

即矢量〃它可以看成是標(biāo)量光程函數(shù)勿的梯度，因而

ds

frn-d--r--d/-r=0(2.1.66)

Jds

令兩種介質(zhì)的折射率分別為々、n2,由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的分界面的法向單位矢量為42。取

如圖2.1.8所示的扁平回路。光線傳播方向的單位矢量其在介質(zhì)1、2中分別用斗、品表示。

ds

假設(shè)扁平回路的長/比寬力大得多，即此時(shí)上面的積分近似為

〃曲?彳+n2ls2t2=0(2.1.67)

式中乙、石分別為扁平回路位于介質(zhì)1、2中的變的切向單位矢量，且％=-3。設(shè)5為扁平

回路的法向單位矢量，則彳t2=-n[2xb,從而得

〃局?(42X萬)一,(42xB)=0(2.1.68)

即

bX42)一萬,(^2^2X%2)=0(2.1.69)

由于回路的可以以42為軸任意選取，即彼為垂直42的任意矢量。故

n}s}xn12=n2s2xnI2(2.1.70)

小,

,e

圖2.1.1兩介質(zhì)界面上的扁平回路積分

上式說明，入射光線耳、折射光線$2、法線42三者共面。令&與42之間的夾角為仇，耳與

42之間的夾角為。2,則有

15

sin0t=n2sin62（2.1.71）

這就是折射定律或Snell定律。

對于反射光線，只需令%=-々（負(fù)號表示反射光與入射光的法向剛好相反，入射光由

介質(zhì)1射向介質(zhì)2時(shí)，反射光由介質(zhì)2射向介質(zhì)1）,則

61=-。2（2.1.72）

這就是反射定律。上式的表述與通常的反射定律略有不同，這跟幾何光學(xué)的符號規(guī)定有關(guān)，

即由法向逆時(shí)針轉(zhuǎn)向光線的角度為正，而由法向順時(shí)針轉(zhuǎn)向光線的角度為負(fù)。

本節(jié)著重討論了光在介質(zhì)中傳播所遵從的基本規(guī)律一一電磁波理論和幾何光學(xué)理論，是

以后分析波導(dǎo)中光的傳播規(guī)律的理論基礎(chǔ)。兩者的主要區(qū)別在于，兒何光學(xué)理論直觀、簡單,

但適用范圍僅限于多模波導(dǎo)；電磁波理論則更為精確、復(fù)雜，對于多模和單模波導(dǎo)均適用。

在下一節(jié)中，我們將應(yīng)用這些基本理論解決一些光波導(dǎo)的簡單模型。

§2光波導(dǎo)理論

廣義地講，凡是能穩(wěn)定持續(xù)傳輸光信號的結(jié)構(gòu)都可以稱為光波導(dǎo)。從形狀上，光波導(dǎo)可

分為薄膜波導(dǎo)、條形波導(dǎo)、圓柱形波導(dǎo)（光纖）等；從芯區(qū)折射率分布上，又可分為均勻介

質(zhì)波導(dǎo)和漸變介質(zhì)波導(dǎo)。本節(jié)所涉及的光波導(dǎo)特指薄膜波導(dǎo)、條形波導(dǎo)等具有平移對稱性波

導(dǎo)結(jié)構(gòu)，此類波導(dǎo)只需在直角坐標(biāo)系下進(jìn)行分析，相對比較簡單。而光纖具有軸對稱性，需

在柱坐標(biāo)系下進(jìn)行分析，我們留在下一章詳細(xì)介紹。

光纖主要承擔(dān)信號傳輸?shù)娜蝿?wù)，而光源、接收器、探測器、中繼等也是光纖通信與光纖

傳感系統(tǒng)中不可缺少的重要組成部分。這些器件的形狀往往與這一節(jié)所分析的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)相近,

這也就是我們分析此類波導(dǎo)的意義所在。

2.2.1薄膜波導(dǎo)的幾何光學(xué)分析方法

圖221薄膜波導(dǎo)結(jié)構(gòu)示意圖

均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)結(jié)構(gòu)如圖2.2.1所示?中間一層厚度為"（一般為幾微米），折射率為外,

光線主要在此進(jìn)行傳播，稱為芯區(qū)。上下兩層沿x方向的尺度遠(yuǎn)大于芯區(qū)，可認(rèn)為半無限大。

下層折射率為內(nèi)，稱為襯底。上層折射率為％，稱為敷層。為了保證光線在芯區(qū)中傳播，必

須有4>/，勺>/。薄膜波導(dǎo)外z方向的尺寸遠(yuǎn)大于x方向的尺寸，因此往往認(rèn)為y、z

方向上是無限大的，這樣就使問題簡化為一維情況?？梢?，薄膜波導(dǎo)是光波導(dǎo)中最簡單的情

16

形，關(guān)于它的討論也將為以后分析條形波導(dǎo)和光纖打下基礎(chǔ)。

(1)均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中光線的傳播

傳播路徑：均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)中芯區(qū)折射率多、襯底折射率的、敷層折射率〃3均為常數(shù)。

因而光線在芯區(qū)沿直線傳播，在上下兩界面發(fā)生反射和折射，如圖2.2.2所示。若在上下兩界

面發(fā)生全反射，光線將被束縛在芯區(qū)，形成鋸齒狀的傳播路徑。

圖2.2.2均勻介質(zhì)薄膜波導(dǎo)界面上的反射和折射

光線分類：根據(jù)襯底和敷層中是否存在折射光線，我們將波導(dǎo)內(nèi)的光線分成折射光線和

束縛光線兩類。若光線在兩界面上都滿足全反射條件，光線完全被束縛在芯區(qū)內(nèi)，則稱之為

束縛光線。若光線在某一界面或兩界面上同時(shí)不滿足全反射條件，從而導(dǎo)致光線穿過界面進(jìn)

入襯底或敷層，則稱之為折射光線。顯然只有束縛光線才能在波導(dǎo)中沿確定方向進(jìn)行遠(yuǎn)傳，

而折射光線由于能量進(jìn)入到襯底或敷層，不能遠(yuǎn)傳。

光線在芯區(qū)與襯底及芯區(qū)與敷層的界面上的全反射臨界角分別為

1

^<|2=sin"—(2.2.1a)

勺

=sin1——(2.2.1b)

不妨設(shè)〃2>〃3,則42>43,這表明成為束縛光線的必要條件為4>回2。為了討論方便，

我們常用光線與波導(dǎo)軸Z軸之間的夾角，來表示光線的方向，它與入射角互余，即

o:=90"-可。于是根據(jù)ez可將光線分類為：

束縛光線

O<0.<cos-1—(2.2.2a)

只存在襯底輻射的折射光線

1-1

cos-色■《夕<cos—(2.2.2b)

4-n]

同時(shí)存在襯底輻射和敷層輻射的折射光線

cos-'—<0.<—(2.2.2c)

2

ny2

消失光線

17

TT

夕=一(2.2.2d)

z2

這里所謂的消失光線是指，垂直于Z軸傳播的光線，即光線在Z軸分量為零。而光通信的

目的是使信號沿Z軸傳播，因此討論這種光線意義不大。在以后的各種波導(dǎo)中將不再討論。

光線不變量：由&=90"-，及折射定律可知，在光線傳播過程中

rt,cos6>;,=p(2.2.3)

是個常數(shù)。其中腳標(biāo)i=l,2,3,分別表示3種介質(zhì)?？蓪⒎?4COS%稱為光線不變量，它實(shí)

際上是光波沿z軸方向的歸一化相位常數(shù)，即

(3=kJk0=(3/k0=ncos6Z(2.2.4)

用光線不變量也可對光線進(jìn)行分類。

束縛光線

n2</?<n,(2.2.5a)

只存在襯底輻射的折射光線

n3<p<n2(2.2.5b)

同時(shí)存在襯底輻射和敷層輻射的折射光線

0<萬《〃3