模型D02 倍長中線（解析版）

中點問題一--倍長中線 中點問題一--倍長中線模型講解模型講解【模型一】已知：在△ABC中，D為AC中點，連接BD并延長到E使得DE=BD，連接AE則：BC平行且等于AE．【證明】：延長BD到E，使DE＝BD，連接CE，∵AD是斜邊BC的中線∴AD＝CD∵∠ADE＝∠BDC∴△ADE≌△BDC（SAS）∴AE＝BC，∠DBC＝∠AED∴AE∥BC【模型二】已知：在△ABC中，D為AC中點，連接BD并延長到E使得AE∥BC，連接AE則：BC=AE．

例題演練例題演練1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D為AB的中點，DC⊥BC，則△ABC的面積是8．【解答】解：∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延長CD到H使DH＝CD，∵D為AB的中點，∴AD＝BD，在△ADH與△BDC中，，∴△ADH≌△BDC（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH＝AH＝4，∴△ABC的面積＝S△ACH＝×4×4＝8，故答案為：8．2．如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別是BC、CD上一點，連接DE、EF，且AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．（1）求證：CE＝CF；（2）若∠ABC＝120°，點G是線段AF的中點，連接DG，EG．求證：DG⊥GE．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC．∵∠DAE＝∠BAF，∴∠BAE＝∠DAF．在△ABE與△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∴BC﹣BE＝DC﹣DF，即CE＝CF；（2）如圖，延長EG到點H，使HG＝EG，連接HA、HD．∵點G是AF的中點，∴AG＝FG，在△HAG與△EFG中，，∴△HAG≌△EFG（SAS），∴EF＝AH，∠HAG＝∠EFG，∴AH∥EF．∵四邊形ABCD是菱形，∴DC＝BC＝AD．∵由（1）知，BE＝DF，且∠BAE＝∠DAF，EC＝FC．∵∠ABC＝120°，∴∠C＝60°，∴△EFC是等邊三角形，∴∠FEC＝60°，∴EC＝FE．由上述知，F(xiàn)E＝HA，∴EC＝HA，∠HAG＝∠HAD+∠DAF＝∠EFG．∵AF＝AE，∴∠AFE＝∠AEF．∵∠BAD＝60°，∴∠EAF＝60°﹣∠BAE﹣∠DAF＝60°﹣2∠DAF．在△AEF中，∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠EFG＝180°﹣2∠EFG＝180°﹣2（∠HAD+∠DAF），∴∠HAD＝60°．在△HAD與△ECD中，，∴△HAD≌△ECD（SAS），∴DE＝DH，易證△DGH≌△DGE，故∠DGH＝∠DGE＝90°，即DG⊥GE．強化訓(xùn)練強化訓(xùn)練1．如圖在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E是線段AD上一點，且AE＝BC，BE的延長線交AC于F，若AF＝EF．求證：（1）AC＝BE（2）∠ADC＝60°．【解答】證明：（1）倍長AD至點T，連BT．在△ACD和△TBD中，∴△ACD≌△TBD，∴AC＝BT，∠CAD＝∠T，又∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF＝∠BET，∴BT＝BE，∴BE＝AC．（2）在DT上取DM＝DC，連接BM．∴AE+ED＝ED+DM即AD＝EM∴△DAC≌△MEB（SAS），∴BM＝CD＝BD，∴△BDM為正三角形，∴∠ADC＝∠BDM＝60°．2．【證明體驗】（1）如圖1，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，延長AD至E，使DE＝AD，連結(jié)BE．求證：△ACD≌△EBD．【遷移應(yīng)用】（2）如圖2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D為AB的中點，DC⊥AC．求△ABC面積．【拓展延伸】（3）如圖3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延長線上一點，BC＝CD，F(xiàn)是AB上一點，連結(jié)FD交AC于點E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的長．【解答】（1）證明：如圖1中，在△ACD和△EBD中，，∴△ACD≌△EBD（SAS）；（2）解：如圖2中，延長CD到T，使得DT＝CD，連接BT．由（1）可知△ADC≌△BDT，∴AC＝BT＝5，∠ACD＝∠T＝90°，∴CT＝＝＝12，∴CD＝DT＝6，∴S△ACB＝S△ADC+S△CDB＝?AC?DC+?BT?CD＝×5×6+×5×6＝30；（3）解：如圖3中，延長AC到R，使得CR＝CA，連接DR．由（1）可知，△ACB≌△RCD，∴AB＝DR，∠A＝∠R，∵FE＝FA，∴∠A＝∠AEF，∵∠AEF＝∠DER，∴∠DER＝∠R，∴DE＝DR＝AB，設(shè)DE＝DR＝AB＝x，則BF＝x﹣2，DF＝x+2，在Rt△DBF中，BF2+BD2＝DF2，∴（x﹣2）2+62＝（x+2）2，∴x＝，∴DE＝．3．如圖，在△ABC中，AD交BC于點D，點E是BC的中點，EF∥AD交CA的延長線于點F，交EF于點G．若BG＝CF，求證：AD為△ABC的角平分線．【解答】解：延長FE，截取EH＝EG，連接CH，∵E是BC中點，∴BE＝CE，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△CEH（SAS），∴∠BGE＝∠H，BG＝CH，∴∠BGE＝∠FGA＝∠H，∵CF＝BG，∴CH＝CF，∴∠F＝∠H＝∠FGA，∵EF∥AD，∴∠F＝∠CAD，∠BAD＝∠FGA，∴∠CAD＝∠BAD，∴AD平分∠BAC．4．已知：如圖所示，AB＝BC，AD為△ABC中BC邊的中線，延長BC至E點，使CE＝BC，連接AE．求證：∠DAC＝∠CAE．【解答】解：延長AD到F，使得DF＝AD，連接CF．∵AD＝DF，∠ADB＝∠FDC，BD＝DC，∴△ADB≌△FDC（SAS），∴AB＝CF，∠B＝∠DCF，∵BA＝BC，CE＝CB∴∠BAC＝∠BCA，CE＝CF，∵∠ACE＝∠B+∠BAC，∠ACF＝∠DCF+∠ACB，∴∠ACF＝∠ACE，∵AC＝AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠CAD＝∠CAE．5．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中點，連接PG、PC．（1）如圖1，當(dāng)點G在BC邊上時，若AB＝10，BF＝4，求PG的長；（2）如圖2，當(dāng)點F在AB的延長線上時，線段PC、PG有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想；并給予證明．（3）如圖3，當(dāng)點F在CB的延長線上時，（2）問中關(guān)系還成立嗎？寫出你的猜想，并給予證明．【解答】（1）解：如圖1：延長GP交DC于點E，利用△PED≌△PGF，得出PE＝PG，DE＝FG，∵△BGF是等邊三角形，∴FG＝BG，又∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴CE＝CG，∴CP是EG的中垂線，在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，∵AB＝10，BF＝4；∴CG＝6∴PG＝3（2）如圖2，證明：延長GP交DA于點E，連接EC，GC，∵∠ABC＝60°，△BGF正三角形∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP＝∠GFP，在△DPE和△FPG中∴△DPE≌△FPG（ASA）∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，∵∠CDE＝∠CBG＝60°，CD＝CB，在△CDE和△CBG中，∴△CDE≌△CBG（SAS）∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，∴∠ECG＝∠DCB＝120°，∵PE＝PG，∴CP⊥PG，∠PCG＝∠ECG＝60°∴PG＝PC．（3）猜想：PG＝PC．證明：如圖3，延長GP到H，使PH＝PG，連接CH，CG，DH，作FE∥DC∵P是線段DF的中點，∴FP＝DP，∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，點A、B、G又在一條直線上，∴∠GBC＝120°，∵△BFG是等邊三角形，∴GF＝GB，∴HD＝GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°∵CH＝CG，PH＝PG，∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，∴PG＝PC．6．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△ADE中，AD＝DE，連接EC，取EC的中點M，連接DM和BM．（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖1，探索BM、DM的關(guān)系并給予證明；（2）如果將圖1中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖2，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明．【解答】解：（1）BM＝DM，BM⊥DM，在Rt△EBC中，M是斜邊EC的中點，∴BM＝EC＝EM＝MC，∴∠EMB＝2∠ECB．在Rt△EDC中，M是斜邊EC的中點，∴DM＝EC＝EM＝MC．∴∠EMD＝2∠ECD．∴BM＝DM，∠EMD+∠EMB＝2（∠ECD+∠ECB），∵∠ECD+∠ECB＝∠ACB＝45°，∴∠BMD＝2∠ACB＝90°，即BM⊥DM．（2）：（1）中的結(jié)論仍成立，延長DM至點F，使得DM＝MF，連接CD和EF，連接BD，連接BF、FC，延長ED交AC于點H．∵DM＝MF，EM＝MC，∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴DE∥CF，ED＝CF，∵ED＝AD，∴AD＝CF．∵DE∥CF，∴∠AHE＝∠ACF．∵∠BAD＝45°﹣∠DAH＝45°﹣（90°﹣∠AHE）＝∠AHE﹣45°，∠BCF＝∠ACF﹣45°，∴∠BAD＝∠BCF．又∵AB＝BC，∴△ABD≌△CBF，∴BD＝BF，∠ABD＝∠CBF，∵∠ABD+∠DBC＝∠CBF+∠DBC，∴∠DBF＝∠ABC＝90°．在Rt△DBF中，由BD＝BF，DM＝MF，得BM＝DM且BM⊥DM．7．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若點M為AC上的任意一點，過M作MN⊥BC于點N，連接BM，取BM的中點D，連接AD、DM，求證：AD＝DN．（2）如圖2，若M為BC上的任意一點，以線段CM為底邊作等腰Rt△MCN，此時，取BM的中點D，連接AD、DN，則AD與DN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由．（3）如圖3，在（2）的條件下將Rt△MNC繞C點旋轉(zhuǎn)任意角度，連接BM，取BM的中點D，再連接AD、DN，則（2）中的結(jié)論仍然成立嗎，它們之間又有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．【解答】（1）證明：解法一：如圖1中，延長AD到K，使得DK＝AD，連接AN、KN、KM．在△ADB和△KDM中，，∴△ADB≌△KDM，∴AB＝KM＝AC，∠BAD＝∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KMC＝∠BAC＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°，∵MN⊥BC，∴∠MNC＝90°，∠NMC＝45°＝∠KMC＝∠C，∴MN＝NC，在△ANC和△KNM中，，∴△ANC≌△KNM，∴AN＝KN，∠ANC＝∠KNM，∴∠KNA＝∠MNC＝90°∵AD＝DK，∴DN＝AD＝DK，即AD＝DN．解法二：根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)，可知AD＝BM，DN＝BM，由此即可證明．（2）如圖2中，結(jié)論：AD＝DN．理由：延長AD到K，使得DK＝AD，連接AN、KN、KM．在△ADB和△KDM中，，∴△ADB≌△KDM，∴AB＝KM＝AC，∠BAD＝∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KMD＝∠B＝45°，∵∠NMC＝∠NCM＝∠ACB＝45°∴MN＝NC，∠KMN＝∠ACN＝90°在△ANC和△KNM中，，∴△ANC≌△KNM，∴AN＝KN，∠ANC＝∠KNM，∴∠KNA＝∠MNC＝90°∵AD＝DK，∴DN＝AD＝DK，即AD＝DN．（3）如圖3中，結(jié)論：AD＝DN，AD⊥DN．理由：延長AD到K，使得DK＝AD，連接AN、KN、KM，延長KN交AC于G．在△ADB和△KDM中，，∴△ADB≌△KDM，∴AB＝KM＝AC，∠BAD＝∠MKD，∴AB∥KM，∴∠KGC＝∠BAC＝90°，∴∠ACN+∠NMG＝180°，∵∠KMN+∠NMG＝180°，∴∠ACN＝∠NMK，在△ANC和△KNM中，，∴△ANC≌△KNM，∴AN＝KN，∠ANC＝∠KNM，∴∠KNA＝∠MNC＝90°∵AD＝DK，∴DN＝AD＝DK，DN⊥AK，即AD＝DN．AD⊥DN．8．△ABC中，點D為BC上一點，E為AC上一點，連接AD，BE，DE，已知BD＝DE，AD＝DC，∠ADB＝∠EDC．（1）如圖1，若∠ACB＝40°，求∠BAC的度數(shù)；（2）如圖2，F(xiàn)是BE的中點，過點F作AD的垂線，分別交AD、AC于點G、H．求證：AH＝CH．【解答】解：（1）如圖1，∵AD＝DC，∠ACB＝40°，∴∠DAC＝∠ACB＝40°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°，在△ADB和△CDE中，∵，∴△ADB≌△CDE（SAS），∴∠BAD＝∠ACB＝40°，∴∠BAC＝40°+40°＝80°；（2）如圖2，過B作BN∥AC，交HF的延長線于N，直線HF交AB于M，連接DH、DM，∴∠BNM＝∠EHF，∵BF＝EF，∠BFN＝∠EFH，∴△EFH≌△BFN（AAS），∴BN＝EH，由（1）得：∠BAD＝∠DAC，∵FH⊥AD，∴∠AGF＝∠AGH＝90°，∵AG＝AG，∴△AMG≌△AHG（ASA），∴AH＝AM，∠AHM＝∠AMH，∵∠AMH＝∠BMN，∴∠BNM＝∠BMN，∴BN＝BM，∵△ABD≌△CED，∴∠ABD＝∠CED，∵BD＝DE，∴△DEH≌△DBM，∴∠BMD＝∠AHD，∵AM＝AH，∠BAD＝∠DAH，AD＝AD，∴△AMD≌△AHD，∴∠AMD＝∠AHD，∴∠AMD＝∠BMD，∵∠AMD+∠BMD＝180°，∴∠AMD＝90°，∴∠AHD＝90°，∵AD＝CD，∴AH＝CH．9．直角三角形有一個非常重要的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，比如：如圖1，Rt△ABC中，∠C＝90°，D為斜邊AB中點，則CD＝AD＝BD＝AB．請你利用該定理和以前學(xué)過的知識解決下列問題：如圖2，在△ABC中，點P為BC邊中點，直線a繞頂點A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點M，CN⊥直線a于點N，連接PM、PN；（1）求證：PM＝PN；（2）若直線a繞點A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，點B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時PM＝PN還成立嗎？若成立，請給予證明：若不成立，請說明理由；（3）如圖4，∠BAC＝90°，a旋轉(zhuǎn)到與BC垂直的位置，E為BC上一點且AE＝AC，EN⊥a于N，連接EC，取EC中點P，連接PM，PN，求證：PM⊥PN．【解答】（1）證明：如圖2中，延長NP交BM的延長線于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BG∥CN，∴∠PCN＝∠PBG，在△PNC和△PGB中，，∴△PNC≌△PGB，∴PN＝PG，∵∠NMG＝90°，∴PM＝PN＝PG．（2）解：結(jié)論：PM＝PN．如圖3中，延長NP交BM于G．∵BM⊥AM，CN⊥AM，∴BM∥CN，∴∠PCN＝∠PBG，在△PNC和△PGB中，，∴△PNC≌△PGB，∴PN＝PG，∵∠NMG＝90°，∴PM＝PN＝PG．（3）如圖4中，延長NP交BM于G．∵∠EAN+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，∴∠EAN＝∠ACM，在△EAN和△CAM中，，∴△EAN≌△CAM，∴EN＝AM，AN＝CM，∵EN∥CG，∴∠ENP＝∠CGP，在△ENP和△CGP中，，∴△ENP≌△CGP，∴EN＝CG＝AM，PN＝PG，∵AN＝CM，∴MG＝MN，∴PM⊥PN．1．（2017?唐河縣四模真題）已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，點F為BE中點，連接DF、CF．（1）如圖1，當(dāng)點D在AB上，點E在AC上，請直接寫出此時線段DF、CF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系（不用證明）；（2）如圖2，在（1）的條件下將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°