選修4-4-第一講-坐標系

課前思考：（1）怎樣由正弦曲線y=sinx得到曲線y=sin2x?第一頁第二頁，共55頁。問題分析：第二頁第三頁，共55頁。第三頁第四頁，共55頁。坐標壓縮變換：歸納總結：第四頁第五頁，共55頁。問題分析：第五頁第六頁，共55頁。第六頁第七頁，共55頁。坐標伸長變換歸納總結：第七頁第八頁，共55頁。問題分析：第八頁第九頁，共55頁。第九頁第十頁，共55頁。坐標伸縮變換歸納總結：第十頁第十一頁，共55頁。歸納總結：第十一頁第十二頁，共55頁。例題分析：第十二頁第十三頁，共55頁。例題分析：第十三頁第十四頁，共55頁。例題分析：第十四頁第十五頁，共55頁。由上所述可以發(fā)現(xiàn)，在伸縮變換下，直線仍然變成直線，而圓可以變成橢圓。思考：在伸縮變換下，橢圓是否可以變成圓？拋物線、雙曲線變成什么曲線？結論分析：第十五頁第十六頁，共55頁。在同一平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形第十六頁第十七頁，共55頁。鞏固練習：第十七頁第十八頁，共55頁。鞏固練習：第十八頁第十九頁，共55頁。極坐標系的概念第十九頁第二十頁，共55頁。某同學在教學樓處，（1）向東偏北60°方向走120m到達什么位置（2）如果有人打聽實驗樓和辦公樓的位置，他應如何描述？60°60m45°C圖書館D實驗樓50m120mB體育館A教學樓辦公樓E？在生活中，這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。右圖為某校園的平面示意圖第二十頁第二十一頁，共55頁。在平面內取一個定點O，叫極點。自極點O引一條射線Ox，叫做極軸。再選定一個長度單位和角度單位（通常取弧度）及它的正方向（通常取逆時針方向）XO極坐標系的建立第二十一頁第二十二頁，共55頁。XOM

極點o與M的距離|OM|叫做點M的極徑，記為

；一般地，不作特殊說明時，我們認為≥0，可取任意實數(shù)。以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點M的極角，記為

.有序數(shù)對（，）叫做M的極坐標，記作M（

，）.M是平面內一點，|OM|叫做點M的極徑，記為

；角xOM叫做點M的極角，記為

.點的極坐標系表示第二十二頁第二十三頁，共55頁。PPMNMN例1說出下列各點的坐標，并找出點第二十三頁第二十四頁，共55頁。解：以A為極點，AB所在的射線為極軸建立極坐標系。點A（0，0）B（60，0），C（120，）E60°60m45°C圖書館D實驗樓50m120mB體育館A教學樓辦公樓E（O）x例2建立適當?shù)淖鴺讼担懗龈鼽c的極坐標第二十四頁第二十五頁，共55頁。60°60m45°C圖書館D實驗樓50m120mB體育館A教學樓辦公樓E（O）xC點坐標唯一嗎？…思考：第二十五頁第二十六頁，共55頁。XOM

如圖：OM的長度為120，它們是終邊相同的角。極徑相同，不同的是極角這些極坐標之間有何異同？這些極角有何關系？第二十六頁第二十七頁，共55頁。極坐標系下點與它的極坐標的對應情況OXPM(ρ,θ)(ρ,θ+2kπ)一般地,若（，）是一點的極坐標,則(ρ,θ+2kπ)都可以作為它的極坐標.特別的：極點的坐標為(0,θ)第二十七頁第二十八頁，共55頁。如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π,那么除極點外,平面內的點和極坐標就可以一一對應了.給定平面上一點M，有無數(shù)個極坐標與之對應。原因在于：極角有無數(shù)個。極坐標系下點與它的極坐標的對應情況第二十八頁第二十九頁，共55頁。極坐標和直角坐標的互化第二十九頁第三十頁，共55頁?；セ疤?.極點與直角坐標系的原點重合;2.極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合;3.兩種坐標系的單位長度相同.互化關系式第三十頁第三十一頁，共55頁。反饋練習第三十一頁第三十二頁，共55頁。例2.將點M的直角坐標化成極坐標.第三十二頁第三十三頁，共55頁。例3已知兩點（2，），（3，）求兩點間的距離.第三十三頁第三十四頁，共55頁。例3已知兩點（2，），（3，）求兩點間的距離.oxAB解：∠AOB=用余弦定理求AB的長即可.第三十四頁第三十五頁，共55頁。極坐標下兩點間距離公式（ρ1，θ1），（ρ2，θ2）第三十五頁第三十六頁，共55頁。簡單的極坐標方程（圓與直線）第三十六頁第三十七頁，共55頁。一般地，求曲線的極坐標方程的基本步驟（1）建立極坐標系，設動點坐標；（2）找出曲線上的點滿足的幾何條件；（3）將幾何條件用極坐標表示；（4）化簡小結.

下結論建立極坐標系設點（

,）找

,的關系化簡F(,)=0第三十七頁第三十八頁，共55頁。圓的極坐標方程第三十八頁第三十九頁，共55頁。思考：一般地，在極坐標系中，以極點為圓心，半徑為r的圓的極坐標方程是什么？MθρxO總結：極點為圓心，半徑為r的圓

ρ＝r

第三十九頁第四十頁，共55頁。思考：在極坐標系中，若半徑為a的圓的圓心坐標為C(a，0)(a＞0)，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標(ρ，θ)滿足的條件嗎？xCMθρxOCA總結：圓心為C(a，0)半徑為a的圓ρ＝2acosθ思考：點O，A的極坐標可以分別是什么？它們都滿足等式ρ＝2acosθ嗎？點

，A(2a，0)都滿足等式.第四十頁第四十一頁，共55頁?？偨Y：一般地，在極坐標系中，對于平面曲線C和方程f(ρ，θ)＝0，在下列條件下，方程f(ρ，θ)＝0是曲線C的極坐標方程（1）曲線C上任意一點的極坐標中至少有一個滿足方程f(ρ，θ)＝0；（2）坐標適合方程f(ρ，θ)＝0的點都在曲線C上.第四十一頁第四十二頁，共55頁。思考：在極坐標系中，圓心坐標為C(a，π)(a＞0)，半徑為a的圓的極坐標方程是什么？圓心坐標為C(a，)(a＞0)，半徑為a的圓的極坐標方程是什么？

ρ＝－2acosθ

ρ＝2asinθMθρxOCAMθρxOCA第四十二頁第四十三頁，共55頁。MθρxOC思考：在極坐標系中，圓心坐標為C(a，

０)(a＞0)，半徑為a的圓的極坐標方程是什么？第四十三頁第四十四頁，共55頁。思考：一般地，在極坐標系中，圓心坐標為C(

0,

０)，半徑為r的圓的極坐標方程是什么？MθρxOC

2+

0

2-2

0cos(-

０)=

r2還可以轉化為直角坐標去解決第四十四頁第四十五頁，共55頁。2.在極坐標系中，圓心為(4，0)，半徑為4的圓4.以極坐標系中的點(1,)為圓心，1為半徑的圓1.在極坐標系中，圓心為極點，半徑為2的圓3.在極坐標系中，圓心為(3，)，半徑為3的圓5.以極坐標系中的點(,)為圓心，1為半徑的圓練習1：寫出下列條件所滿足的圓的極坐標方程第四十五頁第四十六頁，共55頁。ρ＝4

練習：說出下列極坐標方程所對應的圓第四十六頁第四十七頁，共55頁。思考：如圖，過極點作射線OM，若從極軸到射線OM的最小正角為450，則射線OM的極坐標方程是什么？過極點作射線OM的反向延長線ON，則射線ON的極坐標方程是什么？直線MN的極坐標方程是什么？M45°xON射線OM：；射線ON：；和直線MN：；第四十七頁第四十八頁，共55頁。思考：M45°xON或可以考慮允許極徑可以取全體實數(shù)。如果允許極徑可以取全體實數(shù)，MN的極坐標方程是什么？第四十八頁第四十九頁，共55頁。探究：過點A(a，0)(a≠0)，且垂直于極軸的直線l的極坐標方程是什么？Mρθρcosθ＝a

xOAxOAMρθ-ρcosθ＝a.過點A(a，π)(a≠0)第四十九頁第五十頁，共55頁。在極軸上方與極軸平行且到極軸距離為a的極坐標方程：在極軸上方與極軸平行且到極軸距離為a的極坐標方程：-第五十頁第五十一頁，共55頁。思考：設點P的極坐標為

，直線過點P且與極軸所成的角為,求直線的極坐標方程。

解：如圖，設點為直線上異于P的點連接OM，﹚oMxp在中有

即顯然P點也滿足上述方程。第五十一頁第五十二頁，共55頁。思考

：設點P的極坐