空間向量的正交分解及其坐標表示

空間向量的正交分解及其坐標表示共線向量定理共面向量定理復習回憶平面向量根本定理問題：我們知道，平面內(nèi)的任意一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示〔平面向量根本定理〕。對于空間任意一個向量，有沒有類似的結(jié)論呢？xyzOQP由此可知，如果是空間兩兩垂直的向量，那么，對空間任一向量，存在一個有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}使得我們稱為向量在上的分向量。探究：在空間中，如果用任意三個不共面向量代替兩兩垂直的向量，你能得出類似的結(jié)論嗎？任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底?？臻g向量根本定理：

如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使都叫做基向量任意不共面的三個向量都可做為空間的一個基底空間向量根本定理定理：如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝___________，其中{a，b，c}叫做空間的一個_____，a，b，c都叫做_______．試一試：空間的基底是唯一的嗎？提示由空間向量根本定理可知，任意三個不共面向量都可以組成空間的一個基底，所以空間的基底有無數(shù)個，因此不唯一．自學導引1．xa＋yb＋zc基底基向量空間直角坐標系單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，那么這個基底叫做單位正交基底,常用e1,e2,e3表示

空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底e1,e2,e3,以點O為原點，分別以e1,e2,e3的正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸.這樣就建立了一個空間直角坐標系O--xyz

點O叫做原點，向量e1,e2,e3都叫做坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面.空間向量的直角坐標系xyzOe1e2e3給定一個空間坐標系和向量,且設(shè)e1,e2,e3為坐標向量，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使

p=xe1+ye2+ze3

空間向量的正交分解及其坐標表示(1)單位正交基底：三個有公共起點O的兩兩垂直的單位向量e1，e2，e3稱為單位正交基底．(2)空間直角坐標系：以e1，e2，e3的公共起點O為原點，分別以e1，e2，e3的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系O－xyz.2．自學導引xe1＋ye2＋ze3x，y，zp＝(x，y，z)自學導引BANCOMQP例4、如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，P，Q是MN的三等分點。用向量表示和。3.已知平行六面體OABC－O’A’B’C’,且，，，用表示如下向量:(1)；

(2)（點G是側(cè)面BB’C’C的中心）C/BACOA/B/O/G課本94頁向量{a，b，c}是空間的一個基底．求證：向量a+b，a-b，c能構(gòu)成空間的一個基底．練習1課本94頁題型一基底的判斷假設(shè){a，b，c}是空間的一個基底，判斷{a＋b，b＋c，c＋a}能否作為該空間的一個基底．【例1】解假設(shè)a＋b，b＋c，c＋a共面，那么存在實數(shù)λ，μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c.∵{a，b，c}為基底，∴a，b，c不共面，規(guī)律方法判斷三個向量a，b，c能否作為基底，關(guān)鍵是理解基底的概念，只有空間中三個不共面的向量才能構(gòu)成空間向量的一個基底．判斷a，b，c三個向量是否共面，常用反證法，即判斷三個向量是否滿足a＝λb＋μb，假設(shè)滿足那么共面，假設(shè)不滿足那么不共面．【變式3】活頁標準訓練3．A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，假設(shè)，那么C的坐標是()．A.B.C.D.解析設(shè)點C坐標為(x，y，z)，那么＝(x，y，z)．又＝(－3，－2，－4)，，∴x＝，y＝，z＝.答案A8．點A在基底{a，b，c}下的坐標為(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，那么點A在基底{i，j，k}下的坐標為()．A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，10，12)D．(4，2，3)解析8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k∴點A在{i，j，k}下的坐標為(12，14，10)．答案A12．(創(chuàng)新拓展){i，j，k}是空間的一個基底設(shè)a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.試問是否存在實數(shù)λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，請給出證明．解假設(shè)存在實數(shù)λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，那么有3i＋2j＋5k＝λ(2i－j