三章工程數學2012 ch03

第三級第三級3.101復數項級復數項級數是復數序列znxniyn復數項級復數項級數是復數序列znxniynz1z2...znnSnz1z2...znk若當n時Sn的極限存在,knkSlimSnzkk2級數收斂的充要條件－柯西收斂判級數收斂的充要條件－柯西收斂判對任意的0,都存在正整數NN(),使得當nN時對一切正整數p,nkSn復數項級數的收斂條x1x2...xny1y2...yn3limxnlimynlimzn絕對收斂和條件收...若級收斂limxnlimynlimzn絕對收斂和條件收...若級收斂z1z2...則級也收斂并稱后者為絕對收斂.事實y,.n若zn收斂,發(fā)散稱前者為條件收斂4級數的乘如果Saan級數的乘如果Saanbncn Sanak其中k5達朗貝爾(d’Alembert)判別若級達朗貝爾(d’Alembert)判別若級zn滿足條則當l時zn絕對收斂.當l時,zn發(fā)散6討論級數zn的斂散性例1(1)S1zz2(z解n討論級數zn的斂散性例1(1)S1zz2(z解n1Slim lim1n111時Sz根據收斂定義,,級數收11時,S不存在,級數發(fā)散當zz根據達朗貝爾判別1時,級數zn1時,級數發(fā)散當zz7復變函數項級復變函數項級 (z)復變函數項級復變函數項級 (z)構成的無窮級fn(z)f1(z)f2(z)fn(z)其中fn(z)是定義在區(qū)域內的復變函數nfk(z).(z)級數的部分和構成函數序列kDzlimSn(z)S(z)存在fn(zz點收斂S(z)是它的和8?fn(x)n1x?1x2x2?fn(x)n1x?1x2x21x2212?11x21x2kn11x2 1x2Sn(x)k1 1x2?S(x)limSn(x)19PDF"pdfFactoryPro?1(x)S(x)Sn1x2?1(x)S(x)Sn1x21N(,x)ln1x2n即(x)在(0,1]上點點收斂（收斂）但非一致收斂但(x)在x0,1]上一致收斂（稱內閉一致收斂PDF"pdfFactoryPro?1x2lim1x2?1x2lim1x2121x2(2)fn(x)n1在x0連續(xù)，但S(x)不連續(xù)xxS(x)21xS(x)dxfn(x)dxf(x)dxn(4)dS(x)df(x)df(x)dxnnPDF"pdfFactoryPro收斂和一致收對任意的0,都存在正整數NN(收斂和一致收對任意的0,都存在正整數NN(z)nN時對一切正整數p,nSnfk(z)k則稱級數fn(z)在z點收斂所有z都有N(z)N(就稱級數fn(z)在區(qū)域使級數fn(z收斂(一致收斂)收斂達朗貝爾判別若級數fn(z達朗貝爾判別若級數fn(z)滿足條fn1fn則當l時fn(z)在z點絕對收斂.當l時,fn(z)在z點發(fā)散.當l時,fn(z)在z點的斂散性不能由方法判別一致收斂的復變函數項級數的性（1）若f一致收斂的復變函數項級數的性（1）若fk(z)是區(qū)域D內的連續(xù)函數,并且級數fk(z)k在D內一致收斂,則級數和S(z)fk(z)也是kfn(z)dzfnll（3）外爾斯特拉斯（Weierstrass)定理fn(z)（3）外爾斯特拉斯（Weierstrass)定理fn(z)fn(z)在D的邊界上一致收斂,(i級數fn(z)在內收斂,并且其和S(z)fn(z)(iif(z在D內也收斂（mkfk(zD內的任意一點z(即zkfk(zD內的任意一點z(即z1kfk(f(1212 ddk(z)zkkfk(同理,對整數m1m!zk1fk(fk(同理,對整數m1m!zk1fk(f(m!f(z)dmdkk1km小(1)若fk(z)在區(qū)域D內連續(xù),則當級數fk(z)在Dk其和F(z)limf(z)f小(1)若fk(z)在區(qū)域D內連續(xù),則當級數fk(z)在Dk其和F(z)limf(z)f(z)FlimF(z)fkk 0kzzkk(2)若fk(z)在曲線l上的積分存在(即fk(z)在分段光滑的曲線l分段連續(xù)且有界),則當級數fk(z)在l上一致收斂時,其和FkF(z)dzfk(z)dzfkkklll(3)若fk(z)D內解析,在分段光滑的邊界數fk(z)在上一致收斂時其和F(z)也在D內解析,并且其mk(F(z)(m)fk)kkk?若級數fn?若級數fn(z)在內一致收斂，且S(z)fn(z)）fn(z連續(xù)S(z連續(xù)，且取值和求和順序可互換；(2)fn(z)可積S(z)可積，且積分和求和順序可互換；(3)fn(z)可導S(z)可導，且求導和求和可互(4)fn(z)解析S(z)PDF"pdfFactoryPro冪級c(zn冪級c(zn(nc(za)cc(za)c(za)2n012冪級數的斂散性阿貝爾定nczz0z冪級數的斂散性阿貝爾定nczz0zzzzc(za)nn00c n證 zM.q1,n有c z0zccc n證 zM.q1,n有c z0zccnn nz0nncc nn冪級數的斂散性達朗貝爾判別將達朗貝爾判別法用于冪級數cn(za)n,并cn1(z冪級數的斂散性達朗貝爾判別將達朗貝爾判別法用于冪級數cn(za)n,并cn1(zzzacn(zR因此當zR時,冪級數絕對zR時,冪級zR時,冪級數的斂散性必須由其它方法判定發(fā)散R為一圓,稱收斂圓.收斂圓的半徑(收斂半徑收斂域z R.在收斂圓的邊界(即收斂圓周zR上,級數的斂散性能由此方法確定(依賴級數的具體形式和z值冪級數斂散性柯西判別冪級數c (za)k冪級數斂散性柯西判別冪級數c (za)k斂散性的柯西判別法kkzc(za)l.kkRkl時,冪級數絕對收斂 時,冪級數的斂散性必須由其它方法判定z為收斂半徑冪級數的收斂域1zz2nn對于任意固定z,總可以找到一個N2z,從而當nN2z時112z1zz2nn對于任意固定z,總可以找到一個N2z,從而當nN2z時112z., nn nn02n(2)/(nznnnn1n1 /所以,級數的收斂半徑Rnn(3)limz/0.所以,收斂半徑R/n例2(p為正整數)pnlimn1) )n例2(p為正整數)pnlimn1) )ncnn R1,級數發(fā)散1上的特性z收斂(1)p級在1上的特性z收斂(1)p級在收斂圓上無收斂點(2)p1在點z發(fā)散在其它點都收斂(3)p2在收斂圓上處處收斂2n冪級數在收斂圓內的性(1f(zcn(z冪級數在收斂圓內的性(1f(zcn(za)n內是解析函數zf(z)在收斂圓內的導數可以通過冪級數逐項求導得f(z)ncn(z逐項求導以后級數的收斂半徑不變f(z)在收斂圓內的積分可以通過冪級數逐項積分得f(z)dzcn(za)nczcc逐項積分以后級數的收斂半徑不變解析函數與冪級解析函數的冪級數(泰勒Taylor級數)展解析函數滿足柯西公f()f(z)zazaf(f(f(解析函數與冪級解析函數的冪級數(泰勒Taylor級數)展解析函數滿足柯西公f()f(z)zazaf(f(f(1k fzakak0 f( zaf(z)zad得cakkkkf(11d (k)其fkk1k1f(z)(aza此即解析函數的泰勒級數展k(kf所kkPDF"pdfFactoryPro泰勒級數展開的唯一假設f(z)可以在以a為中心的收斂圓內展開為泰勒級數泰勒級數展開的唯一假設f(z)可以在以a為中心的收斂圓內展開為泰勒級數f(z)czakcczaczk012kc0f從上式可以得fc11fc21 (k)fkk即當f(z)和a確定后,所有泰勒系數都是唯一確定的.所以對應的泰勒級數展開是唯一的解析函數與雙邊冪級由3.1節(jié)例1得到,冪級1zz2k1在該收斂域內級數的收斂域zF解析函數與雙邊冪級由3.1節(jié)例1得到,冪級1zz2k1在該收斂域內級數的收斂域zF(z)1 1zk11在區(qū)是解析函數.但除zz也是解析函數1z1顯然,在區(qū)11111 1z2z1z1zz問題:任何函數在解析區(qū)域內是否一定可以展開為冪級數?是,如何展開kck(za)kkck(za)kck(za)kck(z證明kkkz解析函數.作變 ,負冪級數可以化為正冪級zck(za)kck(za)kckkkkkzR2.在此收斂域內,負冪級數的和為解析函數所以,若R2R1ck(za)kkR2zzf(z)R2f()df(f(z)zf(z)R2f()df(f(z) 121 f()dcz kkf(f(11d kkk11f()d1f()d1 z (za)(222f) d1f()d1f()d1 z (za)(222f) dazz2af()zazn121 f( nnzcckzakznkf(1 1f(f(1d kkk1f(z)1f()d1f() f(z)1f()d1f() 12czakczakkkkczakkf(1 kk1雙邊冪級數f(z) z 稱為洛朗級數,c稱為洛朗系數kkkk假設f(z)可以在圍繞a的環(huán)形收斂區(qū)域R2zf(z)czakkk1z,然后沿環(huán)形區(qū)域內繞a的正向圍線積分,z假設f(z)可以在圍繞a的環(huán)形收斂區(qū)域R2zf(z)czakkk1z,然后沿環(huán)形區(qū)域內繞a的正向圍線積分,z11m1dzkf(z)dzmk1zzzk dz2i,mk mk(za)mk2i,km f(z)dzc kmkzk1f kk1az所以,給定f(z)和a在環(huán)形收斂區(qū)域R2z附2.1節(jié)例1為例2dzC是以(z00中心,r為半徑的正向圓周,n為整數yz解C的參數方程附2.1節(jié)例1為例2dzC是以(z00中心,r為半徑的正向圓周,n為整數yz解C的參數方程rzz0re,02π.dzirern1ei1dz(zx0o0i,nir1den0積dz與z和C的半徑無關0(z0PDF文件使用Pro"試用版本創(chuàng)建解析函數的泰勒展開方給定f(z直接求泰勒系解析函數的泰勒展開方給定f(z直接求泰勒系1 ),n0,1,(n)fn0從而得f(z)z0為中心的泰勒展開f(z)k1)z(k)f00k例1(p.92).求ln(1z)以z0為中心的泰勒展開式Ln(1z)ln(1z)ln(1z)ln1z例1(p.92).求ln(1z)以z0為中心的泰勒展開式Ln(1z)ln(1z)ln(1z)ln1ziarg(1解ln(10)由ln(11(1)01(2)(1)2ln(1ln(1ln(1c01(2)(1)n1(n得ln(1z)1 f(n)(z0),nnnln(1z)cnnznzn借助于一些已知函數的借助于一些已知函數的展開結合解析函的性質(逐項求導積分等)冪級數運算性,求函數的泰勒展開式附1) 1z z(z111附1) 1z z(z111zz2znzn(z(1)nzn(1)n11z1(zz2n1(2n 4)sinzn(,(z z2n5)coszn((zn 6)ln(1z z2n5)coszn((zn 6)ln(1z)n(23n(1)n(z7)(1z)1z(1)(1)(2)((n(zzsinzz0為中心的泰勒展開式例1eizsinz解1sinzz0為中心的泰勒展開式例1eizsinz解1z2n1(1)n (2n1z的冪級數1z的冪級數11zz2z,1 11z12z3z2z求arctanz在z0的冪級數展開例z解arctanz,1z01且n(z2)n求arctanz在z0的冪級數展開例z解arctanz,1z01且n(z2)nz1)1zz(1)n(z2arctanz所1200z2n1(1),nz2n求cos2z的冪級數例5因為cos2z1(1cos2z),解2cos2z1(2z)2(2z)4(2z)6求cos2z的冪級數例5因為cos2z1(1cos2z),解2cos2z1(2z)2(2z)4(2z)62224261z所以cos2z1(1cos2z)2123252z2z解析函數的洛朗展開方直接展開f(z),1f解析函數的洛朗展開方直接展開f(z),1fc(n0,1,,n(zz1C0f(z以f(z)czn0f(z)z0的領域作洛朗級數展開例1f(z)1dz解cn(zz0CCnf(z)z0的領域作洛朗級數展開例1f(z)1dz解cn(zz0CCn31d,n2ez(n2)!zf(z)z0=0 0znzn2(n2)!2z間接展開間接展開根據正、負冪項組成的的級數的唯一性可代數運算、代換、求導和積分等方法去展1ez1z z2 2z1z1ez1z z2 2z1z11z1例2a.(p.95)將f(z)以z0z(1f(z)在z0及z解0內解析zz11z11f1例2a.(p.95)將f(z)以z0z(1f(z)在z0及z解0內解析zz11z11f(z)z(1 1zn k1zz2z111f(z)1z(1z1111zk1例2b.將f(z)以zz(1解:函數f(z)在z0及z點不解析,但在環(huán)形區(qū)域0z1和1z1內解析z1111111f(z)1例2b.將f(z)以zz(1解:函數f(z)在z0及z點不解析,但在環(huán)形區(qū)域0z1和1z1內解析z1111111f(z)z(1 1 1 1(z(z1)11(z1)(z1)2(1)k(zkz1(2)在11111f(z)z(1z)(z1)(z(z z11111zk(zk(z (zk§3.8孤立奇f(z)zaa0z§3.8孤立奇f(z)zaa0zaf(z)1z0是ezsinz1zz1sin1/z01n,0zn0zag(z)f z zzazz zzz zz,0zz zzz z f(z)0zaRf(z)cm(f(z)0zaRf(z)cm(zcm1(za)m1c0c1(za)c(za) kf(z) c(za)2(z1(zf(z)cm(za)mf(z)cm(za)mcm1(za)m1c1(za)c(za)km1(zlim(za)mf(z)cm1例討論函的奇性z11由,解z2z(z1)(z所以,孤立奇點z1例討論函的奇性z11由,解z2z(z1)(z所以,孤立奇點z1是函數的一階極點或單極點z1是函數的二階極點1例討論函的奇sin11,zn是函的極點(n整數z解sinsin11lim(zn1)n,zn是一sincoszz極點f(z)0zaf(z)0zaRf(z)cm(za)mcm1(za)m1c0c1(za)c(zka)k1f11f1z(z)f z(z)c0c1(za)c2(za)2假設c1c2cm10cm0,(z)cm(za)mcm1(za)m1(za)m111g(a)c, (zm (zll(za)l(za)2 21ez11101zz,z含有無限多個z的1ez11101zz,z含有無限多個z的負冪次項,所以z0為本性奇點111,limez0,所以limez不存在同時,由于limezz函數的零點函數的零點:如果解析函數f(z)可以寫f(z)(zz0)m其中m正整數,(z0)0且解析,則稱zz0為f(z)的m階零點如果zz0為解析函數f(z)的m階零點,則zz0是函數1f(z)m階極點,反之亦然例.z0是函數f(zz(z1)3的一階零點z1是函數f(z)z(z1)3的三階零點§3.9無限遠內解析1,則函設函數f(z)在區(qū)域R§3.9無限遠內解析1,則函設函數f(z)在區(qū)域Rzz1()f()f(z)在0R)ckkkf(z)1所ckzkk此即函數f(z)展開為以z為中心的洛朗級數0,g(c,kkkkc111f0,g(c,kkkkc111f(z)ck12zk則稱z為f(z)的可去奇點,f(0,g(c,kkkk11f(z)c1zc1zz2mcmk則稱z為f(z)的m階極點,f(f(z)g()ckk.0,kzkk則稱z為f(z)的本性奇點,f()不確定內解析的函數f(z)可以作以zzf(z)內解析的函數f(z)可以作以zzf(z)1ckk此即函數f(z)展開為以z0一般地,在區(qū)域R1zR2內解析的函數f(z)可以作以z (za)kf(z)k此即函數f(z)展開為以za例1.f(ze1/z以z解:令1,則(例1.f(ze1/z以z解:令1,則(e以0z() 1201 1f(z)e1/z0z2!z2是z為中心的洛朗級數展開式,同樣也是z01z1z例2.f(z)以z解:令 ,則() 1z1z例2.f(z)以z解:令