三章工程數(shù)學(xué)2012 ch03

第三級(jí)第三級(jí)3.101復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是復(fù)數(shù)序列znxniyn復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是復(fù)數(shù)序列znxniynz1z2...znnSnz1z2...znk若當(dāng)n時(shí)Sn的極限存在,knkSlimSnzkk2級(jí)數(shù)收斂的充要條件－柯西收斂判級(jí)數(shù)收斂的充要條件－柯西收斂判對任意的0,都存在正整數(shù)NN(),使得當(dāng)nN時(shí)對一切正整數(shù)p,nkSn復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂條x1x2...xny1y2...yn3limxnlimynlimzn絕對收斂和條件收...若級(jí)收斂limxnlimynlimzn絕對收斂和條件收...若級(jí)收斂z1z2...則級(jí)也收斂并稱后者為絕對收斂.事實(shí)y,.n若zn收斂,發(fā)散稱前者為條件收斂4級(jí)數(shù)的乘如果Saan級(jí)數(shù)的乘如果Saanbncn Sanak其中k5達(dá)朗貝爾(d’Alembert)判別若級(jí)達(dá)朗貝爾(d’Alembert)判別若級(jí)zn滿足條則當(dāng)l時(shí)zn絕對收斂.當(dāng)l時(shí),zn發(fā)散6討論級(jí)數(shù)zn的斂散性例1(1)S1zz2(z解n討論級(jí)數(shù)zn的斂散性例1(1)S1zz2(z解n1Slim lim1n111時(shí)Sz根據(jù)收斂定義,,級(jí)數(shù)收11時(shí),S不存在,級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)zz根據(jù)達(dá)朗貝爾判別1時(shí),級(jí)數(shù)zn1時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散當(dāng)zz7復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí) (z)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí) (z)構(gòu)成的無窮級(jí)fn(z)f1(z)f2(z)fn(z)其中fn(z)是定義在區(qū)域內(nèi)的復(fù)變函數(shù)nfk(z).(z)級(jí)數(shù)的部分和構(gòu)成函數(shù)序列kDzlimSn(z)S(z)存在fn(zz點(diǎn)收斂S(z)是它的和8?fn(x)n1x?1x2x2?fn(x)n1x?1x2x21x2212?11x21x2kn11x2 1x2Sn(x)k1 1x2?S(x)limSn(x)19PDF"pdfFactoryPro?1(x)S(x)Sn1x2?1(x)S(x)Sn1x21N(,x)ln1x2n即(x)在(0,1]上點(diǎn)點(diǎn)收斂（收斂）但非一致收斂但(x)在x0,1]上一致收斂（稱內(nèi)閉一致收斂PDF"pdfFactoryPro?1x2lim1x2?1x2lim1x2121x2(2)fn(x)n1在x0連續(xù)，但S(x)不連續(xù)xxS(x)21xS(x)dxfn(x)dxf(x)dxn(4)dS(x)df(x)df(x)dxnnPDF"pdfFactoryPro收斂和一致收對任意的0,都存在正整數(shù)NN(收斂和一致收對任意的0,都存在正整數(shù)NN(z)nN時(shí)對一切正整數(shù)p,nSnfk(z)k則稱級(jí)數(shù)fn(z)在z點(diǎn)收斂所有z都有N(z)N(就稱級(jí)數(shù)fn(z)在區(qū)域使級(jí)數(shù)fn(z收斂(一致收斂)收斂達(dá)朗貝爾判別若級(jí)數(shù)fn(z達(dá)朗貝爾判別若級(jí)數(shù)fn(z)滿足條fn1fn則當(dāng)l時(shí)fn(z)在z點(diǎn)絕對收斂.當(dāng)l時(shí),fn(z)在z點(diǎn)發(fā)散.當(dāng)l時(shí),fn(z)在z點(diǎn)的斂散性不能由方法判別一致收斂的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性（1）若f一致收斂的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性（1）若fk(z)是區(qū)域D內(nèi)的連續(xù)函數(shù),并且級(jí)數(shù)fk(z)k在D內(nèi)一致收斂,則級(jí)數(shù)和S(z)fk(z)也是kfn(z)dzfnll（3）外爾斯特拉斯（Weierstrass)定理fn(z)（3）外爾斯特拉斯（Weierstrass)定理fn(z)fn(z)在D的邊界上一致收斂,(i級(jí)數(shù)fn(z)在內(nèi)收斂,并且其和S(z)fn(z)(iif(z在D內(nèi)也收斂（mkfk(zD內(nèi)的任意一點(diǎn)z(即zkfk(zD內(nèi)的任意一點(diǎn)z(即z1kfk(f(1212 ddk(z)zkkfk(同理,對整數(shù)m1m!zk1fk(fk(同理,對整數(shù)m1m!zk1fk(f(m!f(z)dmdkk1km小(1)若fk(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),則當(dāng)級(jí)數(shù)fk(z)在Dk其和F(z)limf(z)f小(1)若fk(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù),則當(dāng)級(jí)數(shù)fk(z)在Dk其和F(z)limf(z)f(z)FlimF(z)fkk 0kzzkk(2)若fk(z)在曲線l上的積分存在(即fk(z)在分段光滑的曲線l分段連續(xù)且有界),則當(dāng)級(jí)數(shù)fk(z)在l上一致收斂時(shí),其和FkF(z)dzfk(z)dzfkkklll(3)若fk(z)D內(nèi)解析,在分段光滑的邊界數(shù)fk(z)在上一致收斂時(shí)其和F(z)也在D內(nèi)解析,并且其mk(F(z)(m)fk)kkk?若級(jí)數(shù)fn?若級(jí)數(shù)fn(z)在內(nèi)一致收斂，且S(z)fn(z)）fn(z連續(xù)S(z連續(xù)，且取值和求和順序可互換；(2)fn(z)可積S(z)可積，且積分和求和順序可互換；(3)fn(z)可導(dǎo)S(z)可導(dǎo)，且求導(dǎo)和求和可互(4)fn(z)解析S(z)PDF"pdfFactoryPro冪級(jí)c(zn冪級(jí)c(zn(nc(za)cc(za)c(za)2n012冪級(jí)數(shù)的斂散性阿貝爾定nczz0z冪級(jí)數(shù)的斂散性阿貝爾定nczz0zzzzc(za)nn00c n證 zM.q1,n有c z0zccc n證 zM.q1,n有c z0zccnn nz0nncc nn冪級(jí)數(shù)的斂散性達(dá)朗貝爾判別將達(dá)朗貝爾判別法用于冪級(jí)數(shù)cn(za)n,并cn1(z冪級(jí)數(shù)的斂散性達(dá)朗貝爾判別將達(dá)朗貝爾判別法用于冪級(jí)數(shù)cn(za)n,并cn1(zzzacn(zR因此當(dāng)zR時(shí),冪級(jí)數(shù)絕對zR時(shí),冪級(jí)zR時(shí),冪級(jí)數(shù)的斂散性必須由其它方法判定發(fā)散R為一圓,稱收斂圓.收斂圓的半徑(收斂半徑收斂域z R.在收斂圓的邊界(即收斂圓周zR上,級(jí)數(shù)的斂散性能由此方法確定(依賴級(jí)數(shù)的具體形式和z值冪級(jí)數(shù)斂散性柯西判別冪級(jí)數(shù)c (za)k冪級(jí)數(shù)斂散性柯西判別冪級(jí)數(shù)c (za)k斂散性的柯西判別法kkzc(za)l.kkRkl時(shí),冪級(jí)數(shù)絕對收斂 時(shí),冪級(jí)數(shù)的斂散性必須由其它方法判定z為收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂域1zz2nn對于任意固定z,總可以找到一個(gè)N2z,從而當(dāng)nN2z時(shí)112z1zz2nn對于任意固定z,總可以找到一個(gè)N2z,從而當(dāng)nN2z時(shí)112z., nn nn02n(2)/(nznnnn1n1 /所以,級(jí)數(shù)的收斂半徑Rnn(3)limz/0.所以,收斂半徑R/n例2(p為正整數(shù))pnlimn1) )n例2(p為正整數(shù))pnlimn1) )ncnn R1,級(jí)數(shù)發(fā)散1上的特性z收斂(1)p級(jí)在1上的特性z收斂(1)p級(jí)在收斂圓上無收斂點(diǎn)(2)p1在點(diǎn)z發(fā)散在其它點(diǎn)都收斂(3)p2在收斂圓上處處收斂2n冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性(1f(zcn(z冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性(1f(zcn(za)n內(nèi)是解析函數(shù)zf(z)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可以通過冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得f(z)ncn(z逐項(xiàng)求導(dǎo)以后級(jí)數(shù)的收斂半徑不變f(z)在收斂圓內(nèi)的積分可以通過冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分得f(z)dzcn(za)nczcc逐項(xiàng)積分以后級(jí)數(shù)的收斂半徑不變解析函數(shù)與冪級(jí)解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)(泰勒Taylor級(jí)數(shù))展解析函數(shù)滿足柯西公f()f(z)zazaf(f(f(解析函數(shù)與冪級(jí)解析函數(shù)的冪級(jí)數(shù)(泰勒Taylor級(jí)數(shù))展解析函數(shù)滿足柯西公f()f(z)zazaf(f(f(1k fzakak0 f( zaf(z)zad得cakkkkf(11d (k)其fkk1k1f(z)(aza此即解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展k(kf所kkPDF"pdfFactoryPro泰勒級(jí)數(shù)展開的唯一假設(shè)f(z)可以在以a為中心的收斂圓內(nèi)展開為泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開的唯一假設(shè)f(z)可以在以a為中心的收斂圓內(nèi)展開為泰勒級(jí)數(shù)f(z)czakcczaczk012kc0f從上式可以得fc11fc21 (k)fkk即當(dāng)f(z)和a確定后,所有泰勒系數(shù)都是唯一確定的.所以對應(yīng)的泰勒級(jí)數(shù)展開是唯一的解析函數(shù)與雙邊冪級(jí)由3.1節(jié)例1得到,冪級(jí)1zz2k1在該收斂域內(nèi)級(jí)數(shù)的收斂域zF解析函數(shù)與雙邊冪級(jí)由3.1節(jié)例1得到,冪級(jí)1zz2k1在該收斂域內(nèi)級(jí)數(shù)的收斂域zF(z)1 1zk11在區(qū)是解析函數(shù).但除zz也是解析函數(shù)1z1顯然,在區(qū)11111 1z2z1z1zz問題:任何函數(shù)在解析區(qū)域內(nèi)是否一定可以展開為冪級(jí)數(shù)?是,如何展開kck(za)kkck(za)kck(za)kck(z證明kkkz解析函數(shù).作變 ,負(fù)冪級(jí)數(shù)可以化為正冪級(jí)zck(za)kck(za)kckkkkkzR2.在此收斂域內(nèi),負(fù)冪級(jí)數(shù)的和為解析函數(shù)所以,若R2R1ck(za)kkR2zzf(z)R2f()df(f(z)zf(z)R2f()df(f(z) 121 f()dcz kkf(f(11d kkk11f()d1f()d1 z (za)(222f) d1f()d1f()d1 z (za)(222f) dazz2af()zazn121 f( nnzcckzakznkf(1 1f(f(1d kkk1f(z)1f()d1f() f(z)1f()d1f() 12czakczakkkkczakkf(1 kk1雙邊冪級(jí)數(shù)f(z) z 稱為洛朗級(jí)數(shù),c稱為洛朗系數(shù)kkkk假設(shè)f(z)可以在圍繞a的環(huán)形收斂區(qū)域R2zf(z)czakkk1z,然后沿環(huán)形區(qū)域內(nèi)繞a的正向圍線積分,z假設(shè)f(z)可以在圍繞a的環(huán)形收斂區(qū)域R2zf(z)czakkk1z,然后沿環(huán)形區(qū)域內(nèi)繞a的正向圍線積分,z11m1dzkf(z)dzmk1zzzk dz2i,mk mk(za)mk2i,km f(z)dzc kmkzk1f kk1az所以,給定f(z)和a在環(huán)形收斂區(qū)域R2z附2.1節(jié)例1為例2dzC是以(z00中心,r為半徑的正向圓周,n為整數(shù)yz解C的參數(shù)方程附2.1節(jié)例1為例2dzC是以(z00中心,r為半徑的正向圓周,n為整數(shù)yz解C的參數(shù)方程rzz0re,02π.dzirern1ei1dz(zx0o0i,nir1den0積dz與z和C的半徑無關(guān)0(z0PDF文件使用Pro"試用版本創(chuàng)建解析函數(shù)的泰勒展開方給定f(z直接求泰勒系解析函數(shù)的泰勒展開方給定f(z直接求泰勒系1 ),n0,1,(n)fn0從而得f(z)z0為中心的泰勒展開f(z)k1)z(k)f00k例1(p.92).求ln(1z)以z0為中心的泰勒展開式Ln(1z)ln(1z)ln(1z)ln1z例1(p.92).求ln(1z)以z0為中心的泰勒展開式Ln(1z)ln(1z)ln(1z)ln1ziarg(1解ln(10)由ln(11(1)01(2)(1)2ln(1ln(1ln(1c01(2)(1)n1(n得ln(1z)1 f(n)(z0),nnnln(1z)cnnznzn借助于一些已知函數(shù)的借助于一些已知函數(shù)的展開結(jié)合解析函的性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo)積分等)冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性,求函數(shù)的泰勒展開式附1) 1z z(z111附1) 1z z(z111zz2znzn(z(1)nzn(1)n11z1(zz2n1(2n 4)sinzn(,(z z2n5)coszn((zn 6)ln(1z z2n5)coszn((zn 6)ln(1z)n(23n(1)n(z7)(1z)1z(1)(1)(2)((n(zzsinzz0為中心的泰勒展開式例1eizsinz解1sinzz0為中心的泰勒展開式例1eizsinz解1z2n1(1)n (2n1z的冪級(jí)數(shù)1z的冪級(jí)數(shù)11zz2z,1 11z12z3z2z求arctanz在z0的冪級(jí)數(shù)展開例z解arctanz,1z01且n(z2)n求arctanz在z0的冪級(jí)數(shù)展開例z解arctanz,1z01且n(z2)nz1)1zz(1)n(z2arctanz所1200z2n1(1),nz2n求cos2z的冪級(jí)數(shù)例5因?yàn)閏os2z1(1cos2z),解2cos2z1(2z)2(2z)4(2z)6求cos2z的冪級(jí)數(shù)例5因?yàn)閏os2z1(1cos2z),解2cos2z1(2z)2(2z)4(2z)62224261z所以cos2z1(1cos2z)2123252z2z解析函數(shù)的洛朗展開方直接展開f(z),1f解析函數(shù)的洛朗展開方直接展開f(z),1fc(n0,1,,n(zz1C0f(z以f(z)czn0f(z)z0的領(lǐng)域作洛朗級(jí)數(shù)展開例1f(z)1dz解cn(zz0CCnf(z)z0的領(lǐng)域作洛朗級(jí)數(shù)展開例1f(z)1dz解cn(zz0CCn31d,n2ez(n2)!zf(z)z0=0 0znzn2(n2)!2z間接展開間接展開根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性可代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展1ez1z z2 2z1z1ez1z z2 2z1z11z1例2a.(p.95)將f(z)以z0z(1f(z)在z0及z解0內(nèi)解析zz11z11f1例2a.(p.95)將f(z)以z0z(1f(z)在z0及z解0內(nèi)解析zz11z11f(z)z(1 1zn k1zz2z111f(z)1z(1z1111zk1例2b.將f(z)以zz(1解:函數(shù)f(z)在z0及z點(diǎn)不解析,但在環(huán)形區(qū)域0z1和1z1內(nèi)解析z1111111f(z)1例2b.將f(z)以zz(1解:函數(shù)f(z)在z0及z點(diǎn)不解析,但在環(huán)形區(qū)域0z1和1z1內(nèi)解析z1111111f(z)z(1 1 1 1(z(z1)11(z1)(z1)2(1)k(zkz1(2)在11111f(z)z(1z)(z1)(z(z z11111zk(zk(z (zk§3.8孤立奇f(z)zaa0z§3.8孤立奇f(z)zaa0zaf(z)1z0是ezsinz1zz1sin1/z01n,0zn0zag(z)f z zzazz zzz zz,0zz zzz z f(z)0zaRf(z)cm(f(z)0zaRf(z)cm(zcm1(za)m1c0c1(za)c(za) kf(z) c(za)2(z1(zf(z)cm(za)mf(z)cm(za)mcm1(za)m1c1(za)c(za)km1(zlim(za)mf(z)cm1例討論函的奇性z11由,解z2z(z1)(z所以,孤立奇點(diǎn)z1例討論函的奇性z11由,解z2z(z1)(z所以,孤立奇點(diǎn)z1是函數(shù)的一階極點(diǎn)或單極點(diǎn)z1是函數(shù)的二階極點(diǎn)1例討論函的奇sin11,zn是函的極點(diǎn)(n整數(shù)z解sinsin11lim(zn1)n,zn是一sincoszz極點(diǎn)f(z)0zaf(z)0zaRf(z)cm(za)mcm1(za)m1c0c1(za)c(zka)k1f11f1z(z)f z(z)c0c1(za)c2(za)2假設(shè)c1c2cm10cm0,(z)cm(za)mcm1(za)m1(za)m111g(a)c, (zm (zll(za)l(za)2 21ez11101zz,z含有無限多個(gè)z的1ez11101zz,z含有無限多個(gè)z的負(fù)冪次項(xiàng),所以z0為本性奇點(diǎn)111,limez0,所以limez不存在同時(shí),由于limezz函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn):如果解析函數(shù)f(z)可以寫f(z)(zz0)m其中m正整數(shù),(z0)0且解析,則稱zz0為f(z)的m階零點(diǎn)如果zz0為解析函數(shù)f(z)的m階零點(diǎn),則zz0是函數(shù)1f(z)m階極點(diǎn),反之亦然例.z0是函數(shù)f(zz(z1)3的一階零點(diǎn)z1是函數(shù)f(z)z(z1)3的三階零點(diǎn)§3.9無限遠(yuǎn)內(nèi)解析1,則函設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域R§3.9無限遠(yuǎn)內(nèi)解析1,則函設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域Rzz1()f()f(z)在0R)ckkkf(z)1所ckzkk此即函數(shù)f(z)展開為以z為中心的洛朗級(jí)數(shù)0,g(c,kkkkc111f0,g(c,kkkkc111f(z)ck12zk則稱z為f(z)的可去奇點(diǎn),f(0,g(c,kkkk11f(z)c1zc1zz2mcmk則稱z為f(z)的m階極點(diǎn),f(f(z)g()ckk.0,kzkk則稱z為f(z)的本性奇點(diǎn),f()不確定內(nèi)解析的函數(shù)f(z)可以作以zzf(z)內(nèi)解析的函數(shù)f(z)可以作以zzf(z)1ckk此即函數(shù)f(z)展開為以z0一般地,在區(qū)域R1zR2內(nèi)解析的函數(shù)f(z)可以作以z (za)kf(z)k此即函數(shù)f(z)展開為以za例1.f(ze1/z以z解:令1,則(例1.f(ze1/z以z解:令1,則(e以0z() 1201 1f(z)e1/z0z2!z2是z為中心的洛朗級(jí)數(shù)展開式,同樣也是z01z1z例2.f(z)以z解:令 ,則() 1z1z例2.f(z)以z解:令