初三培優(yōu)班教材

模塊一函數(shù)的實際應用

一、一次函數(shù)的實際應用

1.2013年4月四川發(fā)生7.0級地震，為支持四川抗震救災，重慶市A、B、C三地現(xiàn)在分別有賑災物資100噸、100

噸、80噸，需要全部運往四川重災地區(qū)的。、￡兩縣.根據(jù)災區(qū)的情況，這批賑災物資運往。縣的數(shù)量比運往E縣

的數(shù)量的2倍少20噸.

（1）求這批賑災物資運往力、E兩縣的數(shù)量各是多少？

（2）若要求C地運往?？h的賑災物資為60噸，A地運往。縣的賑災物資為x噸（尤為整數(shù)），B地運往?？h的

賑災物資數(shù)量小于A地運往?？h的賑災物資數(shù)量的2倍.其余的賑災物資全部運往E縣，且B地運往E縣的賑災

物資數(shù)量不超過25噸.則A、8兩地的賑災物資運往。、E兩縣的方案有幾種？

（3）已知A、B、C三地的賑災物資運往。、E兩縣的費用如下表：

A地B地(:地

運往D縣的費用（元/噸）220200200

運往E縣的費用（元/噸）250220210

為及時將這批賑災物資運往。、E兩縣，某公司主動承擔運送這批賑災物資的總費用，在第（2）問的要求下，該

公司承擔運送這批賑災物資的總費用最多是多少？

2.抗震救災中，某縣糧食局為了保證庫存糧食的安全，決定將甲、乙兩個倉庫的糧食，全部轉移到具有較強抗震功

能的A、B兩倉庫.已知甲庫有糧食100噸，乙?guī)煊屑Z食80噸，而A庫的容量為70噸，B庫的容量為110噸.從甲、

乙兩庫到A、B兩庫的路程和運費如下表：（表中“元/噸?千米”表示每噸糧食運送1千米所需人民幣）

路程（千米）運費（元/噸?千米）

甲庫乙?guī)旒讕煲規(guī)?/p>

20151212

2520108

（1）若甲庫運往A庫糧食x噸，請寫出將糧食運往A、B兩庫的總運費y（元）與x（噸）的函數(shù)關系式;

（2）當甲、乙兩庫各運往A、B兩庫多少噸糧食時，總運費最省，最省的總運費是多少？

3.A城有某種農機30臺，B城有該農機40臺，現(xiàn)要將這些農機全部運往C,D兩鄉(xiāng)，調運任務承包給某運輸公司.已

知C鄉(xiāng)需要農機34臺，D鄉(xiāng)需要農機36臺，從A城往C,D兩鄉(xiāng)運送農機的費用分別為250元/臺和200元/臺，

從B城往C,D兩鄉(xiāng)運送農機的費用分別為150元/臺和240元/臺.

（1）設A城運往C鄉(xiāng)該農機x臺，運送全部農機的總費用為W元，求W關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x

的取值范圍；

（2）現(xiàn)該運輸公司要求運送全部農機的總費用不低于16460元，則有多少種不同的調運方案？將這些方案設計出

來；

（3）現(xiàn)該運輸公司決定對A城運往C鄉(xiāng)的農機，從運輸費中每臺減免a元作為優(yōu)惠，其它費用不變，如何調運，

使總費用最少？

4.某商業(yè)集團新進了40臺空調機，60臺電冰箱，計劃調配給下屬的甲、乙兩個連鎖店銷售，其中70臺給甲連鎖店,

30臺給乙連鎖店.兩個連鎖店銷售這兩種電器每臺的利潤（元）如下表：

空調機電冰箱

甲連鎖店200170

乙連鎖店160150

設集團調配給甲連鎖店x臺空調機，集團賣出這100臺電器的總利潤為y（元）.

（1）求y關于x的函數(shù)關系式，并求出x的取值范圍；

（2）為了促銷，集團決定僅對甲連鎖店的空調機每臺讓利a元銷售，其他的銷售利潤不變，并且讓利后每臺空調

機的利潤仍然高于甲連鎖店銷售的每臺電冰箱的利潤，問該集團應該如何設計調配方案，使總利潤達到最大？

5.某校校園超市老板到批發(fā)中心選購甲、乙兩種品牌的文具盒，乙品牌的進貨單價是甲品牌進貨單價的2倍，考慮

各種因素，預計購進乙品牌文具盒的數(shù)量y（個）與甲品牌文具盒的數(shù)量x（個）之間的函數(shù)關系如圖所示.當購

進的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120個時，購進甲、乙品牌文具盒共需7200元.

（1）根據(jù)圖象，求y與x之間的函數(shù)關系式；

（2）求甲、乙兩種品牌的文具盒進貨單價；

（3）若該超市每銷售1個甲種品牌的文具盒可獲利4元，每銷售1個乙種品牌的文具盒可獲利9元，根據(jù)學生需

求，超市老板決定，準備用不超過6300元購進甲、乙兩種品牌的文具盒，且這兩種品牌的文具盒全部售出后獲利

不低于1795元，問該超市有幾種進貨方案？哪種方案能使獲利最大？最大獲利為多少元？

6.某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降.今年2月份A款汽車的售價比去

年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元.

（1）今年2月份A款汽車每輛售價多少萬元？

（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每

輛進價為6萬元，公司預計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛，請問有哪幾種進貨

方案？

（3）如果B款汽車每輛售價為8萬元，在（2）的條件下，哪種方案可使公司獲利最大？最大利潤是多少？

二、二次函數(shù)的實際應用（利潤問題）

1.某企業(yè)設計了一款工藝品，每件的成本是50元，為了合理定價，投放市場進行試銷.據(jù)市場調查，銷售單價是

100元時，每天的銷售量是50件，而銷售單價每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價不得低于成本.

（1）求出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式；

（2）求出銷售單價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？

（3）如果該企業(yè)要使每天的銷售利潤不低于4000元，且每天的總成本不超過7000元，那么銷售單價應控制在什

么范圍內？（每天的總成本=每件的成本X每天的銷售量）

2.某超市在“元宵節(jié)”來臨前夕，購進一種品牌元宵，每盒進價是20元，超市規(guī)定每盒售價不得少于25元，根

據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)：當售價定為每盒25元時，每天可賣出250盒，每盒售價每提高1元，每天要少賣出10盒.

（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關系式；

（2）當每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？

（3）為穩(wěn)定物價，有關管理部門限定：這種元宵的每盒售價不得高于38元，如果超市想要每天獲得不低于2000

元的利潤，那么超市每天至少銷售元宵多少盒？

3.為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了相關政策：由政府協(xié)調，本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)

生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔.張剛按照相關政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈.己知

這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元，每月銷售量y（件）與銷售單價X（元）之間的關系近似

滿足一次函數(shù)：y=-10x4-500.

（1）張剛在開始創(chuàng)業(yè)的第一個月將銷售單價定為20元，那么政府這個月為他承擔的總差價為多少元？

（2）設張剛獲得的利潤為W（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？

（3）物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元.如果張剛想要每月獲得的利潤不低于3000元，那么政

府為他承擔的總差價最少為多少元？

4.某商家計劃從廠家采購空調和冰箱兩種產(chǎn)品共20臺，空調的采購單價/（元/臺）與采購數(shù)量匹（臺）滿足

%=-20%+1500（0<x,<20,』為整數(shù)）；冰箱的采購單價當（元/臺）與采購數(shù)量乙（臺）滿足

超為整數(shù)）.

y2=-10X2+1300（0<X2<20,

（1）經(jīng)商家與廠家協(xié)商，采購空調的數(shù)量不少于冰箱數(shù)量的U,且空調采購單價不低于1200元，問該商家共有

9

幾種進貨方案？

（2）該商家分別以1760元/臺和1700元/臺的銷售單價售出空調和冰箱，且全部售完.在（1）的條件下，問采購

空調多少臺時總利潤最大？并求最大利潤.

5.某商家經(jīng)銷一種綠茶，用于裝修門面已投資3000元.已知綠茶每千克成本50元，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)銷量w（kg）隨

銷售單價X（元/kg）的變化而變化，具體變化規(guī)律如下表所示:

銷售單價X（元/kg）......7075808590......

月銷售量w（kg）......10090807060......

設該綠茶的月銷售利潤為y（元）（銷售利潤=單價X銷售量一成本）

（1）請根據(jù)上表，寫出w與x之間的函數(shù)關系式（不必寫出自變量x的取值范圍）；

（2）求y與x之間的函數(shù)關系式（不必寫出自變量x的取值范圍），并求出x為何值時，y的值最大？

（3）若在第一個月里，按使y獲得最大值的銷售單價進行銷售后，在第二個月里受物價部門干預，銷售單價不得

高于90元，要想在全部收回投資的基礎上使第二個月的利潤達到1700,那么第二個月時里應該確定銷售單價為多

少元？

6.我市高新技術開發(fā)區(qū)的某公司，用480萬元購得某種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術后，并進一步投入資金1520萬元購買生產(chǎn)

設備，進行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工.已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品每件還需成本費40元.經(jīng)過市場調查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品的銷售單價，需

定在200元到300元之間較為合理，銷售單價x元與年銷售量y萬件之間的變化可近似的看作是如下表所反映的一

次函數(shù)：

銷售單價X（元）200230250

年銷售量y（萬件）1075

（1）請求出y與x間的函數(shù)關系式；并直接寫出自變量x的取值范圍；

（2）請說明投資的第一年，該公司是盈利還是虧損？若贏利，最大利潤是多少?若虧損，最少虧損多少？

（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或虧損最小時，第二年公司重新確定產(chǎn)品售價，能否使兩年共盈利達

1790萬元，若能，求出第二年的產(chǎn)品售價；若不能，請說明理由.

7.某科技開發(fā)公司研制出一種新型的產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為2400元，銷售單價定為30（）0元，在該產(chǎn)品的試銷

期間，為了促銷，鼓勵商家購買該新型產(chǎn)品，公司決定商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時，每件按3000元

銷售；若一次購買該種產(chǎn)品超過10件時，每多購買一件，所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低10元，但銷售單價

均不低于2600元.

（1）商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時，銷售單價恰好為2600元？

（2）設商家一次購買這種產(chǎn)品x件，開發(fā)公司所獲得的利潤為y元，求y（元）與x（件）之間的函數(shù)關系式，并寫

出自變量x的取值范圍；

（3）該公司的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當商家一次購買產(chǎn)品的件數(shù)超過某一數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著一次購買的數(shù)量的增多，

公司所獲得的利潤反而減少這一情況.為使商家一次購買的數(shù)量越多，公司所獲得的利潤越大，公司應將最低銷售單

價調整為多少元？（其它銷售條件不變）

8.某文具店去年8月底購進了一批文具1160件，預計在9月份進行試銷.購進價格為10元/件，若售價為12元/件,

則可全部售出；若每漲價0.1元，銷售量就減少2件.

（1）求該文具店在9月份銷售量不低于1100件，則售價應不高于多少元？

（2）由于銷量好，10月份該文具進價比8月底的進價每件增加20%,該店主增加了進貨量，并加強了宣傳力度,

結果10月份的銷售量比9月份在（1）的條件下的最低銷售量增加了m%,但售價比9月份在（1）的條件下的最

2

高售價減少一機％,結果10月份利潤達到3388元，求m的值（m>10）.

9.經(jīng)統(tǒng)計分析，某市跨河大橋上的車流速度v（千米/小時）是車流密度x（輛/千米）的函數(shù)，當橋上的車流密度

達到220輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為80千

米/小時，研究表明：當20WXW220時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù).

（1）求大橋上車流密度為100輛/千米時的車流速度；

（2）在交通高峰時段，為使大橋上的車流速度大于40千米/小時且小于60千米/小時，應控制大橋上的車流密度在

什么范圍內？

（3）車流量（輛/小時）是單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，即：車流量=車流速度x車流密度，求大橋上車

流量y的最大值.

10.受中日釣魚島事件的影響，在釣魚島被“國有化”的2012年9月份，某日本品牌食用油價格開始回落，食用

油批發(fā)商批發(fā)這種品牌的食用油，每桶在9月份前四周每周的平均銷售價格變化如下表：

周數(shù)X1234

價格以（元/桶）60595857

進入10月份后，由于受中日關系趨于緩和等因素的影響，食用油的價格開始回升，該品牌食用油銷售價格為（元/

桶）從10月份第1周的54元/桶，上升至第2周的57元/桶，且銷售價格當（元/桶）與周數(shù)x（X為整數(shù)）的變化

1,

=x

情況滿足二次函數(shù)：y2~~^+bx+c.

（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關知識，直接寫出9月份必與x的函

數(shù)關系式；并求出10月份內與x的函數(shù)關系式；

（2）若9月份該品牌的食用油進價町（元/桶）與周數(shù)x滿足函數(shù)關系為：班=；尤2-3x+50,10月份該品牌的

781

食用油進價加，（元/桶）與周數(shù)X滿足函數(shù)關系為：,機，=一%+一，試問在9月份和10月份中，哪月的哪一周銷

?"22

售一桶該品牌的食用油利潤最大？最大利潤是多少？

（3）在第（2）問的條件下，該批發(fā)商在10月份的第2周以該周的進價購入該品牌食用油1200桶，準備在10月

份第3周進行銷售.在第3周以該周的銷售價銷售了a%后，為了加快銷售的進度，該批發(fā)商決定在原銷售價格的

基礎上每桶降價4元進行銷售，這樣順.利的完成了第三周銷售1200桶的任務，且獲利12000元，算出a的值.

三、分段函數(shù)的實際應用

1.在“習近平新時代”精神的指引下，長沙市某企業(yè)積極響應政府“創(chuàng)新發(fā)展''的號召，研發(fā)了一種新產(chǎn)品.已知研發(fā)、

生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為30元/件，且年銷售量y（萬件）關于售價x（元/件）的函數(shù)解析式為：

-2x+140(40<x<60)

—x+80(60<x<70)

（1）若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤為W（萬元），請直接寫出年利潤W（萬元）關于售價x（元/件）的函數(shù)解析式;

（2）當該產(chǎn)品的售價x（元/件）為多少時，企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大？最大年利潤是多少？

（3）若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元，試確定該產(chǎn)品的售價x（元/件）的取值范圍.

2.荊州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進行小龍蝦養(yǎng)殖，已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元，在整個銷售旺季的80天里，銷售單

價P（元/千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關系為：

L+16（lW40,t為整數(shù)）

4

'=1

——r+46（41W80/為整數(shù)）

、2

日銷售量y（千克）與時間第t（天）之間的函數(shù)關系如圖所示:

（1）求日銷售量y與時間t的函數(shù)關系式？

（2）哪一天的日銷售利潤最大?最大利潤是多少？

（3）該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤不低于2400元？

（4）在實際銷售的前40天中，該養(yǎng)殖戶決定每銷售1千克小龍蝦，就捐贈m（m<7）元給村里的特困戶.在這前

40天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求m的取值范圍.

3.某大學生利用業(yè)余時間參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營，銷售一種成本為30元/件的文化衫，根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗，他整理

出這種文化衫的售價3（元/件），銷量為（件）與第x（1<%<90）天的函數(shù)圖象分別如圖1、圖2所示.（銷

售利潤=(售價-成本)X銷量)

(1)求口與力的函數(shù)表達式；

(2)求每天的銷售利潤w與x的函數(shù)關系表達式；

(3)銷售這種文化衫的第多少天，每天銷售利潤最大，最大利潤是多少？

4.東坡商貿公司購進某種水果的成本為20元/kg,經(jīng)過市場調研發(fā)現(xiàn)，這種水果在未來48天的銷售單價p(元/kg)

T+30（lW24J為整數(shù)）,

4

與時間t（天）之間的函數(shù)關系式為，=<,且其日銷售量y（kg）與時間t（天）

-$+48（254/48/為整數(shù)）,

的關系如表:

時間t（天）136102040

日銷售量y（kg）1181141081008040

（1）已知y與t之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關系，試求在第30天的日銷售量是多少？

（2）問哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤為多少？

（3）在實際銷售的前24天中，公司決定每銷售1kg水果就捐贈n元利潤（n<9）給“精準扶貧”對象.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)：在

前24天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大，求n的取值范圍.

5.某企業(yè)接到一批粽子生產(chǎn)任務，按要求在15天內完成，約定這批粽子的出廠價為每只6元，為按時完成任務,

該企業(yè)招收了新工人，設新工人李明第x天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為y只，y與x滿足如下關系式：

’54x（04x45）

V="{,

-30x+120（5<x<15）

（1）李明第幾天生產(chǎn)的粽子數(shù)量為420只？

（2）如圖，設第x天每只粽子的成本是p元，p與x之間的關系可用圖中的函數(shù)圖象來刻畫.若李明第x天創(chuàng)造的

利潤為w元，求w與x之間的函數(shù)表達式，并求出第幾天的利潤最大？最大值是多少元？（利潤=出廠價-成本）

（3）設（2）小題中第m天利潤達到最大值，若要使第（m+1）天的利潤比第m天的利潤至少多48元，則第（m+1）

天每只粽子至少應提價幾元？

P/G6/只）

o915v天

6.為了扶持大學生自主創(chuàng)業(yè),市政府提供了80萬元無息貸款，用于某大學生開辦公司生產(chǎn)并銷售自主研發(fā)的一種電

子產(chǎn)品，并約定用該公司經(jīng)營的利潤逐步償還無息貸款.已知該產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為每件40元，員工每人每月的工資

為2500元，公司每月需支付其它費用15萬元,該產(chǎn)品每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系如

圖所示.

（1）求月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式；

（2）當銷售單價定為50元時，為保證公司月利潤達到5萬元（利潤=銷售額-生產(chǎn)成本-員工工資-其它費用），該

公司可安排員工多少人？

（3）若該公司有80名員工，則該公司最早可在幾個月后還清無息貸款？

406080x（7L）

7.在長株潭建設兩型社會的過程中，為推進節(jié)能減排，發(fā)展低碳經(jīng)濟，我市某公司以25萬元購得某項節(jié)能產(chǎn)品的

生產(chǎn)技術后，再投入100萬元購買生產(chǎn)設備，進行該產(chǎn)品的生產(chǎn)加工.已知生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本價為每件20元.經(jīng)

過市場調研發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品的銷售單價定在25元到35元之間較為合理，并且該產(chǎn)品的年銷售量y（萬件）與銷售單

'40-x(25<x<30)

價（元）之間的函數(shù)關系式為:

x'25-0.5x(30<x<35)

（年獲利=年銷售收入-生產(chǎn)成本-投資成本）

（1）當銷售單價定為28元時，該產(chǎn)品的年銷售量為多少萬件？

（2）求該公司第一年的年獲利W（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關系式，并說明投資的第一年，該公司是

盈利還是虧損？若盈利，最大利潤是多少？若虧損，最小虧損是多少？

（3）第二年，該公司決定給希望工程捐款Z萬元，該項捐款由兩部分組成：一部分為10萬元的固定捐款；另一部

分則為每銷售一件產(chǎn)品，就抽出一元錢作為捐款.若除去第一年的最大獲利（或最小虧損）以及第二年的捐款后，

到第二年年底，兩年的總盈利不低于67.5萬元，請你確定此時銷售單價的范圍.

四、反比例函數(shù)的實際應用

1.小萬利用暑假40天社會實踐參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關

信息如下表所示.

銷售量P（件）P=50-x

當時，q=30+—X；

2

銷售單價q（元/件）

525

當214X<40時，q=20+------

X

（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？

（2）求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關于x的函數(shù)關系式；

（3）這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大?最大利潤是多少？

2.月電科技有限公司用160萬元，作為新產(chǎn)品的研發(fā)費用，成功研制出了一種市場急需的電子產(chǎn)品，已于當年投入

生產(chǎn)并進行銷售.已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為4元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：每年的年銷售量y（萬件）與銷售

價格x（元/件）的關系如圖所示，其中AB為反比例函數(shù)圖象的一部分，BC為一次函數(shù)圖象的一部分.設公司銷售這

種電子產(chǎn)品的年利潤為Z（萬元）.（注：若上一年盈利，則盈利不計入下一年的年利潤;若上一年虧損，則虧損計

（1）請求出y（萬）與X（元/件）之間的函數(shù)關系式；

（2）求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤z（萬元）與x（元/件）之間的函數(shù)關系式，并求出第一年年利潤的最大值;

（3）假設公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤z（萬元）取得最大值時進行銷售，現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況,

決定第二年將這種電子產(chǎn)品每件的銷售價格x（元）定在8元以上（x>8）,當?shù)诙甑哪昀麧櫜坏陀?03萬元時,

請結合年利潤z（萬元）與銷售價格x（元/件）的函數(shù)示意圖，求銷售價格x（元/件）的取值范圍.

模塊二圓

一、與圓的切線有關的計算與證明

1.如圖，AABC內接于。0,AB是直徑，00的切線PC交BA的延長線于點P,OFIIBC交AC于點E,交PC于點

F,連接AF.

(1)判斷AF與。。的位置關系并說明理由;

(2)若。。的半徑為4,AF=3,求AC的長.

2.已知如圖，以內△ABC的AC邊為直徑作00交斜邊AB于點E,連接E0并延長交BC的延長線于點D,點F為

BC的中點，連接EF.

(1)求證：EF是。0的切線；

(2)若。。的半徑為3,ZEAC=60,求AD的長.

C

3.如圖，AB是。。的直徑，點F,C是。。上兩點，且AR=FC=CB,連接AC,

AF,過點C作CDLAF交AF延長線于點D,垂足為D.

(1)求證：CD是。。的切線;

(2)若CD=2，L求。。的半徑.

4.如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC,BC的交點分別為D,E,且

(1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(2)已知半圓的半徑為5,BC=12,求AD的長.

5.如圖所示，MN是。。的切線，B為切點，BC是。。的弦且NCBN=45‘，過C的直線與。0,MN分別交于A,D

兩點，過C作CEJLBD于點E.

(1)求證：CE是。0的切線；

(2)若ND=30'，BD=2+2若，求。0的半徑r.

nN

6.如圖，在RtZ^ABC中，ZB=90,NBAC的平分線交BC于點D,E為AB上的一點，DE=DC,以D為圓心，DB

長為半徑作。D,AB=5,EB=3.

(1)求證：AC是。D的切線;

(2)求線段AC的長.

7.如圖，AB是。。的直徑，AM,BN分別切于點A,B,CD交AM,BN于點D,C,DO平分NADC.

(1)求證：CD是。0的切線：

(2)若AD=4,BC=9,求OD的長.

R

8.如圖，已知BC是。。的直徑，點A,D在。。上，ZB=2ZCAD,在BC的延長線上有一點P,使得NP=NACB,

弦AD交直徑BC與點E.

(1)求證：DP與。0相切；

(2)判斷AOCE的形狀，并證明你的結論；

(3)若CE=2,DE=5,求線段BC的長度.

9.如圖，AH是。。的直徑，AE平分NFAH,交。。于點E,過點E的直線FG1.AF,垂足為F,B為半徑0H上一點,

點E、F分別在矩形ABCD的邊BC、CD上.

(1)求證：直線FG是。。的切線；

(2)若CD=10,EB=5,求。。的直徑.

10.如圖，在心△ABC中，NC=9O,BD是角平分線，點。在AB上，以點。為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過點D,

交BC于點E.

(1)求證：AC是。O的切線；

(2)若OB=10,CD=8,求BE的長.

11.如圖，在直角坐標系中，G)M經(jīng)過原點0(0,0),點A(J80)與點8(0,-痣)，點D在劣弧。4上，連接BD

交x軸于點C,且/C0D=/CB0.

(1)求。M的半徑；

(2)求證：BD平分/ABO；

(3)在線段BD的延長線上找一點E,使得直線AE恰好為OM的切線，求此時點E的坐標.

12.如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90,以AC為直徑作。0,交AB邊于點D,過點。作0E〃AB,交BC邊于點E.

(1)試判斷ED與。0位置關系，并給出證明;

3

(2)如果。0的半徑為一，ED=2,求AB的長.

2

13.如圖，AB是。。的直徑，M是線段0A上一點，過M作AB的垂線交AC于點N,交BC的延長線于點E,直線CF

交EN于點F,且NECF=/E.

(1)求證：CF是。。的切線；

(2)設00的半徑為1,且AC=CE=g,求AM的長.E

14.如圖，。。為4ABD的外接圓,E為4ABD的內心,DE的延長線交。。于C.

(1)如圖1,求證：CE=AC；

(2)如圖2,AB為。0的直徑,AB=1O,AD=8.

①求SAX/"：；

AE

②求在的值.

15.如圖，。。中，直徑CD_L弦AB于E,AMJ_BC于M,交CD于N,連AD.

(1)求證：AD=AN；

(2)若AB=4j^,ON=1,求。。的半徑.

二、與圓有關的弧長與面積計算

1.如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。0分別與BC,AC交于點D,E,過點

D作。0的切線DF,交AC于點F.

(1)求證：DFXAC;

C

(2)若。。的半徑為4,NCDF=22.5,求陰影部分的面積.

2.如圖，在內△ABC中，ZC=90,NBAC的角平分線AD交BC邊于D.以AB上某一點。為圓心作00,使。。

經(jīng)過點A和點D.

(1)判斷直線BC與O0的位置關系，并說明理由；

(2)若AC=3,ZB=30°.

①求。。的半徑；

②設。。與AB邊的另一個交點為E,求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的陰影部分的圖形面積.(結果保留根號和

71)

3.如圖，AB是。。的直徑，延長弦BD到點C,使DC=BD,連接AC,過點D作DE_LAC,垂足為E.

(1)判斷直線DE與。。的位置關系，并證明你的結論；

(2)若OO的半徑為6,NBAC=60,延長ED交AB延長線于點F,求陰影部分的面積.

4.如圖，AB與。。相切于點C,OA,OB分別交。。于點D,E,CD=CE.

(1)求證：OA=OB；

(2)已知AB=4百，0A=4,求陰影部分的面積.

5.如圖，AA6C中，以AB為直徑的。。交AC于點D,NDBC=NBAC.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若。。的半徑為2,ABAC=3Q,求圖中陰影部分的面積.

6.如圖，以等邊三角形ABC一邊AB為直徑的0。與邊AC、BC分別交于點D、E,過點D作DF_LBC,垂足為F.

(1)求證：DF為。的切線；

(2)若等邊三角形ABC的邊長為4,求DF的長;

(3)求圖中陰影部分的面積.

三、與圓有關的相似三角形的證明與計算

1.如圖，四邊形ABCD內接于對角線AC為。。的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E,點F為CE

的中點，連接DB,DC,DF.

(1)求NCDE的度數(shù)；

(2)求證：DF是。。的切線；

(3)若AC=2正DE,求且2的值.

AD

R

2.如圖，△ABC是。。的內接三角形，AB為直徑，過點B的切線與AC的延長線交于點D,E是BD中點，連接CE.

(1)求證：CE是。0的切線；

(2)若AC=4,BC=2,求BD和CE的長.

3.如圖，在平面直角坐標系中，OP經(jīng)過x軸上一點C,與y軸分別相交

于A、B兩點，連接AP并延長分別交。P,x軸于點D,點E,連接DC并

延長交y軸于點F,若點F的坐標為(0,1),點D的坐標為(6,-1).

(1)求證：DC=FC；

(2)判斷OP與x軸的位置關系，并說明理由：

(3)求直線AD的解析式.

4.如圖，。。是RtZXABC的外接圓，ZABC=90,點P是。。外一點，PA切。。于點A,且PA=PB.

(1)求證：PB是。0的切線；

(2)已知PA=2，^,BC=2,求。0的半徑.

5.如圖，在RtZ\ABC中，ZABC=90-,D是AC的中點，。。經(jīng)過A、B、D三點，CB的

延長線交。。于點E,F為AC延長線上一點，且NF=/BAC.

(1)求證：EF為。0的切線；

(2)若CD=CF=2,求sin/CAB的值.

B

6.如圖，AB是。。的直徑，點P在AB的延長線上,弦CE交AB于點D.連接OE、AC,且NP=NE,

ZP0E=2ZCAB.

(1)求證：CE1AB；

(2)求證:PC是。。的切線；

(3)若BD=20D,PB=9,求。。的半徑.

7.如圖，在。O中，AB為直徑，C為弧AB的中點,弦CD與OB交于點F,在AB的延長線上有點E,且EF=ED

(1)求NADC的度數(shù)；

(2)求證：DE是。0的切線；

D

(3)連接BD,若OF：OB=1：3,。。的半徑R=3,求——的值.

ADC

8.如圖，己知點E在AABC的邊AB上，ZC=90,NBAC的平分線交BC于點D,且D在以AE為直徑的。O

上.

(1)證明：BC是。0的切線；

(2)若DC=4,AC=6,求圓心0到AD的距離；

9.如圖，AB是。O的直徑，點C是。。上一點，AD_LDC于D,且AC平分NDAB,延長DC交AB的延長線于點P,

弦CE平分NACB,交AB于點F,連接BE.

(1)求證：PD是。0的切線;

（2）若4c=9,BE=l41,求線段PC的長.

BC3

E

10.已知AB是。。的直徑，P是AB延長線上一點，PC切于C,CD_LAB交。。于另一點D,連接PD.

(1)求證：PD是。。的切線；

(2)若PD=3,PB=1,求。。的半徑.

11.如圖，已知。0是△ABC的外接圓，AD是00的直徑，且BD=BC,延長AD到E,且有NEBD=NCAB.

(1)求證：BE是。。的切線；

(2)若BC=JLAC=5,求圓的直徑AD及切線BE的長.

0E

12.如圖，AB是。。的直徑，。。_1_弦設于點F,交。。于點E,連結CE、AE、CD,若NAEC=NODC.

(1)求證：直線CD為。。的切線；

(2)若AB=5,BC=4,求線段CD的長.

13.如圖，△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作OO,交BC于點D,交CA的延長線于點E,連接AD、DE.

(1)求證：D是BC的中點；

(2)若DE=3,BD-AD=2,求。。的半徑;

(3)在(2)的條件下，求弦AE的長.

BrDC

14.如圖，直線EF交。。于A、B兩點，AC是。。直徑，AD平分NCAE交。。于點D,且DE_LEF,垂足為E.

(1)求證：DE是。0的切線；

(2)若DE=4cm,AE=2cm,求。。的半徑.

15.如圖，在△ABC中，ZC=90,NBAC的平分線AD交BC于點D,過點D作DE1.AD交AB于點E,以AE為直

徑作。。.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若AC=3,BC=4,求BE的長.

16.如圖，AB是。0的直徑，點D事AE上一點，且/BDE=NCBE,BD與AE交于點F.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若BD平分NABE,求證：DE?=DF.DB；

(3)在(2)的條件下，延長ED,BA交于點P,若PA=AO,DE=3,求。0的半徑.

17.如圖，AB是。。的直徑，C、G是。。上兩點，且AC=CG,過點C的直線CD_LBG于點D,交BA的延長線于點

E,連接BC,交0D于點F.

(1)求證：CD是。。的切線；

若"=2,求NE的度數(shù);

FD3

(3)連接AD,在(2)的條件下，若CD=VL求AD的長.

18.如圖，AABC內接于半圓，AB是直徑，過A作直線MN,若/MAC=NABC.

(1)求證：MN是半圓的切線；

(2)設D是弧AC的中點，連接BD交AC于點G,過點D作DE_LAB于E,交AC于F.求證：FD=FG；

(3)在(2)的條件下，若ADFG的面積為4.5,且DG=3,GC=4,試求A5CG的面積.

19.如圖所示，AB是。。的直徑，OC_LAB,弦CD與OB交于點F,過圓心。作0G1IBD,交過點A所作的切

線于點G,連結GD并延長與AB的延長線交于點E.

(1)求證：GD是。。的切線；

(2)試判斷ADEF的形狀，并說明理由；

(3)若OF:OB=1:3,的半徑為3,求AG的長.

20.如圖，在A46C中，AB=AC,以AC為直徑的。。交8C于點D,交AB與點E,過點D作。垂

足為F,連接OE.

(1)求證：直線。尸與。。相切；

(2)若AE=7,BC=6,求AC的長.

21.如圖，已知AB是。0的直徑，點C在。。上，過點C的直線與AB的延長線交于點P,AC=PC,ZCOB=2ZPCB.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)求證：BC=-AB；

2

(3)點M是AB的中點，CM交AB于點N,若AB=4,求的值.

\f

四、圓和相似、銳角三角函數(shù)

1.如圖，D為。0上一點，點C在直徑BA的延長線上，NCDA=NCBD.

(1)求證：CD是。0的切線；

2

(2)過點B作。0的切線交CD的延長線于點E,若3C=6,tanNCD4=-,求BE的長.

3

2.如圖，已知AB是。0的直徑，點P在BA的延長線上，PD切。于點D,過點B作BE垂直于PD,交PD的延長線

于點C,連接AD并延長，交BE于點E.

(1)求證：AB=BE；

3

(2)若PA=2,COSB=-,求半徑的長.

5r

3.如圖，AA6C中，AB=AC,點D為BC上一點，且AD=DC,過A,B,D三點作。0,AE是。。的直徑，連結DE.

(1)求證：AC是。。的切線；

4

(2)若sin/C=—，AC=6,求。。的直徑.

4.如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC=10,AB=12,以BC為直徑作。。交AB于點D,交AC于點G,DF1AC,垂

足為F,交CB的延長線于點E.

(1)求證：直線EF是。。的切線；

(2)求cosE的值.

5.如圖1,AB為半圓的直徑，。為圓心，C為圓弧上一點，AD垂直于過C點的切線，垂足為D,AB的延長線交直

線CD于點E.

(1)求證：AC平分NDAB；

(2)若AB=4,B為0E的中點，CF±AB,垂足為點F,求CF的長；

(3)如圖2,連接0D交AC于點G,若一=一，求sin/E的值.

GA4

6.如圖，AABC內接于。0,AB為直徑，NCBA的平分線交AC于點F,交。O于點D,DELAB于點E,且交

AC于點P,連接AD.

(1)求證：ZDAC=ZDBA；

(2)求證：P是線段AF的中點；

12

(3)若。。的半徑為5,AF=y,求tan/ABF的值.

7.如圖，以AABC的邊AB為直徑的。O與邊