第十七章 勾股定理 單元測(cè)試-2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)十分鐘同步課堂（人教版）（解析版）

第十七章勾股定理單元測(cè)試

一、單選題

1.由下列條件不能判定A4BC為直角三角形的是()

A.Z_\+Z_B=Z.CB.atb:c=]:\-.2

C.(A+c)(〃-c)=a~D.a=l,b--y2'c—>/3

【答案】B

【解析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可.解：選項(xiàng)A：由三角形內(nèi)角和定理可知

ZA+ZB+ZC=180°,結(jié)合己知，得到2NC=180。，...NC=90。，故△ABC為直角三角形，選項(xiàng)A不符合題

忌；

選項(xiàng)B：；a2+b2￥c2,由勾股定理逆定理可知，△ABC不是直角三角形，選項(xiàng)B符合題意；

選項(xiàng)C：對(duì)等式左邊使用平方差公式得到：b2-c2=a2,再由勾股定理逆定理可知△ABC為直角三角形，不符

合題意；

選型D：由勾股定理逆定理可知：a2+b2=l+2=3=c2,.'△ABC為直角三角形，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理及其逆定理，熟練掌握各定理是解決本題的關(guān)鍵.

2.如圖，圓柱的底面周長是24,高是5,一只在A點(diǎn)的螞蟻想吃到B點(diǎn)的食物，沿著側(cè)面需要爬行的最短

路徑是()

第1頁共49頁

A.9B.13C.14D.25

【答案】B

【解析】

畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑即為AB,然后根據(jù)

勾股定理求出AB即可求出結(jié)論.解：該圓柱的側(cè)面展開圖，如下圖所示，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑即為AB

AB恰為一個(gè)矩形的對(duì)角線，該矩形的長為圓柱的底面周長的一半，叩長為24+2=12

寬為5

，AB=,52+122=13

即沿著側(cè)面需要爬行的最短路徑長為13.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

此題考查的是勾股定理與最短路徑問題，掌握勾股定理和兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵.

3.如圖，在AABC中，AB=BC,NABC=120。，過點(diǎn)3作交AC于點(diǎn)。，若"）=1，

則C￡）的長度為（）

第2頁共49頁

c

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

根據(jù)題意可求出NA=NA6O=30°,即推出AD=BD=1.在RBCD中，利用含30。角的直角三角形的性

質(zhì)即可求出CD長.???NABC=120°,ZDBC=90°,

：.ZABD=ZABC-NDBC=120°-90°=30°.

VAB=AC,Z/WC=120°,

ZA=NC=30°,

：.ZA=ZABD=30°,

.*.AD=BD=1,

在RtBCD中，ZDBC=90°,NC=30°,BD=1.

:.8=230=2*1=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì).掌握含30。角的直角三角形中，30。角

所對(duì)的邊等于斜邊的一半是解答本題的關(guān)鍵.

4.在△ABC中，NA,ZB,NC的對(duì)邊分別記為a,b,c,下列結(jié)論中不正確的是（）

A.如果/A-/B=NC,那么△ABC是直角三角形

第3頁共49頁

B.如果a2=b2-c2,那么△ABC是直角三角形，且/C=90。

C.如果NA:ZB:NC=1：3：2,那么△ABC是直角三角形

D.如果a2：b2：c2=9：16:25,那么△ABC是直角三角形

【答案】B

【解析】

根據(jù)勾股定理的逆定理、三角形內(nèi)角和定理、直角三角形定義即可.解：A；NA-NB=NC,

.,.ZA=ZB+ZC,

VZA+ZB+ZC-18O0,

.,.ZA=90°,

...△ABC是直角三角形，此選項(xiàng)正確；

B、如果a?=b2-c2,

a2+c2=b2,

.?.△ABC是直角三角形且NB=90。，此選項(xiàng)不正確；

C、如果/A：ZB：/C=l：3：2,

設(shè)/A=x,則NB=3x,ZC=2x,貝！|x+3x+2x=180°,

解得:x=30°,則3x=90°,

.?.△ABC是直角三角形，此選項(xiàng)正確；

D、如果a?：b2：c2=9：16：25,則a?+b2=c2,

.'.△ABC是直角三角形，此選項(xiàng)正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

第4頁共49頁

本題考查了三角形內(nèi)角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角

形就是直角三角形.

5.如圖，已知A6C中，NA5C=45°,F是高AO和BE的交點(diǎn)，AC=^，BD=2,則線段。尸的

長度為（）

A.2aB.2C.6D.1

【答案】D

【解析】

先證明△BDF^AADC,得至UBF=AC=V5，再根據(jù)勾股定理即可求解.解：：和BE是△ABC的高線,

，ZADB=ZADC=ZBEC=90°,

.,.ZDBF+ZC=90°,ZCAD+ZC=90°,

.,.ZDBF=ZCAD,

NABC=45。，

，ZBAD=45°,

，BD=AD,

.,.△BDF^AADC,

.?.BF=AC=B

第5頁共49頁

在RtABDF中，DF=yjBF2-BD2=-22=1-

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明△BDF0ZXADC是解題關(guān)鍵.

6.如圖，在△ABC中，AB=6,AC=9,AD_LBC于D,M為AD上任一點(diǎn)，則MC2—MB?等于（）

A.29B.32C.36D.45

【答案】D

【解析】

在RsABD及RSADC中可分別表示出BD2及CD2,在RtABDM及RtACDM中分別將BD2及CD2的

表示形式代入表示出BM2和MC2,然后作差即可得出結(jié)果.解：在RtAABD和RtAADC中，

BD2=AB2-AD2,CD2=AC2-AD2,

在RtABDM和RtACDM中，

BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2,MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+MD2,

.\MC2-MB2=(AC2-AD2+MD2)-(AB2-AD2+MD2)

=AC2-AB2

=45.

故選：D.

第6頁共49頁

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的知識(shí)，題目有一定的技巧性，比較新穎，解答本題需要認(rèn)真觀察，分別兩次運(yùn)用勾

股定理求出MC2和MB?是本題的難點(diǎn)，重點(diǎn)還是在于勾股定理的熟練掌握.

7.如圖，在3x3的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A，B,C都在格點(diǎn)上，若3D是ABC

的邊AC上的高，則BO的長為（）

A.—V26B.—A/26C.—713D.—V13

1313713

【答案】D

【解析】

根據(jù)勾股定理計(jì)算AC的長，利用割補(bǔ)法可得△ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論.解：由

勾股定理得：AC=722+32=713-

..111-7

?SAABC=3'3x1x2x1x3----x2x3=一,

2222

?17

J—AC?BD=一，

22

V13?BD=7,

7_

/?BD——Vo.

13

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理與三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

第7頁共49頁

8.如圖，△ABC和"ECZ）都是等腰直角三角形，△A8C的頂點(diǎn)A在AECD的斜邊OE上.下列結(jié)論：其

中正確的有（）

①△ACE之△BCQ；?ZDAB=ZACE-,?AE+AC=AD；?AE1+AD2=2AC2

E

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【解析】

由等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出②正確；由SAS證出△4CE絲△88,①正確;證出AADB

是直角三角形，由勾股定理得出④正確；由全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)得出③不正確；即可得出

答案.解：和△￡口）都是等腰直角三角形，

：.CA=CB,CE=CD,ZACB=AECD=90°,ZE=ZCDE=45°,NCAB=/CBA=45°,

NOAB+NCAB=ZACE+ZE,

.?./￡>A5=/ACE,故②正確；

二ZACE+ZACD^ZACD+ZDCB^90°,

；.NACE=NDCB,

在4BCD中，

CA=CB

<NECA=ZDCB,

CE=CD

：.AACE^ABCD(SAS),故①正確:

第8頁共49頁

；.AE=BD,ZCEA=ZCDB=45°,

：.NADB=ZCDB+ZEDC^9Q0,

.?.△AOB是直角三角形，

：.AD2+BD2^AB2,

：.AD1+AE2=AB2,

'：/\ABC是等腰直角三角形，

：.AB=y/2AC,

：.AE2+AI>1=2AC2,故④正確；

在4。上截取連接C凡如圖所示:

在△4?！旰?fC￡>中，

AE=FD

<ZE=Z.CDF=45°,

CE=CD

：.AACE^AFCD(SAS),

：.AC=FC,

當(dāng)NC4尸=60。時(shí)，AAC尸是等邊三角形,

貝|JAC=AF,止匕時(shí)AE+AC=￡>F+AF=A。，故③不正確;

第9頁共49頁

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題是考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定與性質(zhì)等

知識(shí)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖1,分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為如圖2,分別以直角三

角形三邊長為半徑向外作半圓，面積分別為S-S5、S6.其中號(hào)=16,02=45,$5=11,§6=14,則S3+S4=

()

【答案】c

【解析】

分別用AB、BC和AC表示出Si、S2、S3,然后根據(jù)AB2=AC2+BC2即可得出，、S2,S3的關(guān)系.同理,

得出S4、S5、S6的關(guān)系，即可得到結(jié)果.解：如圖1,過點(diǎn)E作AB的垂線，垂足為D,

ABE是等邊三角形，

NAED=NBED=30。，設(shè)AB=x,

/.AD=BD=-AB=-x,

22

???DE=y/AE2-AD2二日x,

第10頁共49頁

.iG5/3?

??SQ2二—xxx——x=——ADB~,

224

同理：S尸且S3=是BC?,

44

VBC2=AB2-AC2,

:.S3=S2-S|,

如圖2,S4=—xf—AB>I7r=—AB2,

2(2J8

2

同理S5=^AC2,S6=-BC,

88

則S4=S5+S6,

AS3+S4M5-16+11+14=54.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理、等邊三角形的性質(zhì).勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊

長為c,那么a2+b2=c2.

10.如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個(gè)三角形為“勻稱三角形”.若RtABC是“勻

稱三角形“，且NC=90°，AC>BC，則4cBe:48為（）

A.百：1：2B.2:百：J7C.2:1:75D.無法確定

第11頁共49頁

【答案】B

【解析】

作RSABC的三條中線AD、BE、CF,由“勻稱三角形”的定義可判斷滿足條件的中線是BE,它是AC邊

上的中線，設(shè)AC=2a,則CE=a,BE=2a,在RsBCE中NBCE=90。，根據(jù)勾股定理可求出BC、AB,則

AC：BC：AB的值可求出.解：如圖①，作RtZkABC的三條中線AD、BE、CF,

；NACB=90。，

CF^-AB^AB,

2

又在RSABC中，AD>AC>BC,

AD豐BC,

,滿足條件的中線是BE,它是AC邊上的中線，

設(shè)AC=2a,則CE=AE=a,BE=2a,

在RtABCE中NBCE=90。，

BC=\IBE2-CE2=y/3a,

在RtAABC中，AB=\IBC2+AC2=yj（2a）2=^7a,

AAC：BC：AB=2a:拒a:不a=2:6：幣.

故選:B.

第12頁共49頁

【點(diǎn)睛】

考查了新定義、勾股定理的應(yīng)用，算術(shù)平方根的含義，解題的關(guān)鍵是理解“勻稱三角形”的定義，靈活運(yùn)用所

學(xué)知識(shí)解決問題.

11.如圖，在RtABC中，AB=AC,ZBAC=90。，點(diǎn)D,E為BC上兩點(diǎn)./DAE=45°,F為ABC

外一點(diǎn)，且EBLBC,FALAE，則下列結(jié)論：

@CE=BF；?BD2+CE2=DE2;③SAADE?CE2+BE2=2AE2.其中正確的是（

）

A.①②③④B.①②④C.①③④D.②③

【答案】A

【解析】

①利用全等三角形的判定得AFB^AEC,再利用全等三角形的性質(zhì)得結(jié)論；②利用全等三角形的判定

和全等三角形的性質(zhì)得FD=DE，再利用勾股定理得結(jié)論；③利用等腰三角形的性質(zhì)得

AD±EF,EF=2EG，再利用三角形的面積計(jì)算結(jié)論；④利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算得

結(jié)論.解：如圖：

第13頁共49頁

對(duì)于①，因?yàn)?BAC=90°,FA1AE,/DAE=45°,

所以NCAE=90°—㈤AE—4AD=45°—/BAD,

/AB=90°—CAE-4AD=45°-4AD，

因此NCAE=/FAB.

又因?yàn)镹BAC=90°,AB=AC,

所以/ABC=NACB=45°.

又因?yàn)镕BJ_BC，所以/FBA=/ACB=45°.

因此AFBAAEC(ASA),所以CE=BF.

故①正確.

對(duì)于②，由①知AFBgAEC.所以AF=AE.

又因?yàn)?DAE=45°,FA±AE,

所以NFAD=NDAE=45°,連接FD,

因此VAFD絲AAED(SAS).

所以FD=DE.

在RtZ^FBD中，因?yàn)镃E=BF,

所以BD2+CE2=BD2+BF2=FD2=DE2.

故②正確.

對(duì)于③，設(shè)EF與AD交于G.

因?yàn)?FAD=/DAE=45°,AF=AE,

所以AD_LEF,EF=2EG.

第14頁共49頁

因此SAADF=』xADxEG=^xADxEF.

故③正確.

對(duì)于④，因?yàn)镃E=BF,

又在RtAFBE中，CE2+BE2=BF2+BE2=FE2

又AAEF是以EF為斜邊的等腰直角三角形，

所以EF?=2AE2

因此，CE2+BE2=2AE2

故④正確.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的面積.

12.如圖甲，直角三角形A6C的三邊a,b,c,滿足"+"2=/的關(guān)系.利用這個(gè)關(guān)系，探究下面的問

題：如圖乙，OA6是腰長為1的等腰直角三角形，NQ46=90。，延長。4至用，使431=04,以。與

為底，在Q46外側(cè)作等腰直角三角形。4內(nèi)，再延長。4至與，使4與今1，以。約為底，在。4片

外側(cè)作等腰直角三角形……,按此規(guī)律作等腰直角三角形。勺紇（〃之1,"為正整數(shù)），則人與的

長及。402乃2021的面積分別是（）

第15頁共49頁

甲乙

A.2,22020B.4,22021C.272,22020D.2,22019

【答案】A

【解析】

根據(jù)題意結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)，即可判斷出人與的長，再進(jìn)一步推出一般規(guī)律,利用規(guī)律求解

%仙與⑼的面積即可?由題意可得：OA=AB=AB}=1,°片=2，

。4百為等腰直角三角形，且“直角三角形A3C的三邊a,b,c,滿足。2+/=(2的關(guān)系”,

...根據(jù)題意可得：

OB,=204]=2A/2,

2

0A2=A,B2=(V2)=2,

二總結(jié)出0A“=(0)”,

x

?；SAOAS=；xlxl=3,=-V2xV2=1,S^OAB=-x2x2=2,

22^-22-2

.?.歸納得出一般規(guī)律：SOA,B“=gx(&)“x(夜)"=2"T,

第16頁共49頁

.s_,^2020

,'a3202G/=/'

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，圖形變化類的規(guī)律探究問題，立即題意并靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性

質(zhì)歸納一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

二、填空題

13.如圖，等腰AABC中，AB^AC,BC=10,3。_1_4。于。，且3。=8.則5小鼠=.

【答案】華

【解析】

在RSBCD中，由勾股定理求出CD,再設(shè)AD=x,則AB=AC=AD+CD=6+x,最后在RSABD中由勾股

定理求出x即可求解.解：在RSBCD中，由勾股定理可知8==JK)2—82=6,

設(shè)AD=x,貝ijAB=AC=AD+CD=x+6,

在RSABD中，由勾股定理可知AB2=AD2+BD2,代入數(shù)據(jù):

7

(x+6)2=x2+82,解得x=一,

3

25

**-AC=x+6=—,

3

S&'BD=—AC,BD=-x—x8=---,

AA和2233

第17頁共49頁

100

故答案為:

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理解直角三角形，本題的關(guān)鍵是設(shè)AD=x,進(jìn)而將AB用x的代數(shù)式表示，在RSABD

中使用勾股定理求出x求解.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B,C1兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0)和(6,0),AHC為等邊三角形，則

點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

【答案】(2,46)

【解析】

過點(diǎn)A作AD_LBC于D,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=CD,再求出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，然后利用

勾股定理列式求出AD的長度，再寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可.如圖，過點(diǎn)A作ADJ_BC于D,

：B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0)和(6,0),

，BC=6-(-2)=8,

「△ABC為等邊三角形

第18頁共49頁

，AB=AC=BC=8,BD=CD=4,

...點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為6-4=2,

在RtAABD中，AD=^AB1-BD2=782-42=4G，

所以，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4百），

故答案為：（2,4月）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，主要利用了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是

解題的關(guān)鍵.

15.在RtAABC中，ZACB=90°,8c=2cm,CDLAB,在AC上取一點(diǎn)E.使EC=8C,過點(diǎn)E作E凡LAC

交CD的延長線于點(diǎn)尸，若E尸=5cm,則AB=cm.

【答案】V29

【解析】

證明△ABC絲Z\FCE,進(jìn)而得至【JEF=AC=5,再在RtAABC中由勾股定理即可求解.解：：ZACB=90°,

，ZECF+ZDCB=90°,

VCD1AB,

第19頁共49頁

，ZB+ZDCB=90°,

，ZECF=ZB,

且BC=CE,ZFEC=ZACB=90°,

.,.△ABC絲△FCE（ASA）,

；.EF=AC=5,

在RSABC中，AB=ylAC2+BC2=A/52+22=^9-

故答案為：，溝.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理及三角形全等的判定方法，熟練掌握三角形全等的判定方法是解決本題的關(guān)鍵.

16.在AABC中，AB=c,AC=b,BC=a,當(dāng)a、b、c滿足時(shí)，ZB=90°.

【答案】a2+c2=b2

【解析】

根據(jù)勾股定理的逆定理可得到滿足的條件，可得到答案.解：：a2+c2=b2時(shí)，△ABC是以AC為斜邊的直角

三角形，

.,.當(dāng)a、b、c滿足a?+c2=b2時(shí),ZB=90°.

故答案為：a2+c2=b2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查勾股定理的逆定理，掌握當(dāng)兩邊平方和等于第三邊的平方時(shí)第三邊所對(duì)的角為直角是解題的

關(guān)鍵.

17.如圖，已知格點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,-2）,格點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,2）,在4x4的正方形網(wǎng)格中（小正方形

的邊長為1）取一格點(diǎn)C,構(gòu)建三邊都為無理數(shù)的直角三角形ABC,則格點(diǎn)C的坐標(biāo)可為.

第20頁共49頁

B

【答案】（0,-1）,（0,1）

【解析】

根據(jù)AHC為直角三角形和ABC三邊長都為無理數(shù)即可推出C點(diǎn)的位置上，即可知道C點(diǎn)坐標(biāo).根據(jù)

A點(diǎn)坐標(biāo)和B點(diǎn)坐標(biāo)可建立直角坐標(biāo)系.

A3C為直角三角形，

AC點(diǎn)不能在AB右側(cè).

又A3C三邊長都為無理數(shù)，

.,?點(diǎn)C位置如圖，①BC1=3日故G（0,-l）；

②AG=MBG=M.故

第21頁共49頁

4（1，-2）

故答案為：（0，-1）、（0,1）.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理和勾股定理逆定理.了解勾股定理和勾股定理逆定理的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

18.在ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,AD平分N54C交3c于點(diǎn)O,DE//AB,nDE交AC

于點(diǎn)E，則OE的長為.

12

【答案】y

【解析】

首先利用勾股定理逆定理證明A6c為直角三角形，然后利用角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)求得

Za4D=ZC4D=45°,/BAD=ZADE=45°,NAOE=NC4D=45°,根據(jù)角平分線定理可知

DO=DE,再根據(jù)5』=5.0+5.℃求得?！甑拈L.；45=3，AC=4,BC=5,

/?AB2+AC2=BC2，

.../a4c=90。，ABC為直角三角形，

：AO平分NBAC=90°,

第22頁共49頁

N8W=NCW=45°，

DEIIAB,

：.ZBAD=ZADE^45°,

：.ZADE=ZCAD=45°,

ADE為等腰直角三角形，

???ZAE￡>=ZT>EC=90。，

如圖作DOLAB于點(diǎn)。，

???AO平分ZBAC,AB=3,ACM,BC=5,

DO=DE,

在RfABC中，

q___=L4A乂"=&4s

即S.?=-xABxAC^-xABxDO+-xACxDE,

ABrC222

7

可得一DE=6,

2

DE=—,

故答案對(duì)y.

【點(diǎn)睛】

第23頁共49頁

本題考查了勾股定理逆定理、角平分線、平行線、三角形面積，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用角平分線定理

和三角形面積相等求解.

19.如圖，點(diǎn)P是等邊A6C內(nèi)的一點(diǎn)，PA=6,PB=S,PC=10.若點(diǎn)P'是ABC外的一點(diǎn)，且

△PZ3=△B4C,則NAP3的度數(shù)為.

【答案】150°

【解析】

由△PAB且ZkQ4c可知：PA=P,A,NPAB=/PAC,BP，=CP,然后依據(jù)等式的性質(zhì)可得到NP，AP=NBAC

=60°,從而可得到△APP，為等邊三角形，可求得PP，，由△APP，為等邊三角形，得NAPP，=60。，在△PPB

中，用勾股定理逆定理證出直角三角形，得出NP'PB=90。，進(jìn)而可求NAPB的度數(shù).連接PP，，

???△P'4涇△Q4C,

，PA=P，A=6,NP，AB=NPAC,BP,=CP=10,

.,.ZP,AP=ZBAC=60°,

.??△APP，為等邊三角形，

.*.PP'=AP=AP'=6,

又「PB=8,

第24頁共49頁

.,.PP'2+BP2=BP'2,

.?.△BPP為直角三角形，且/BPP，=90。

AZAPB=90°+60°=150°,

故答案是：150。

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，證得AAPP，為等邊

三角形、△BPP，為直角三角形是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，一個(gè)池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦A3生長在它的中央，高出水面的部分8C

為1尺.如果把這根蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，蘆葦?shù)捻敳?恰好碰到岸邊的"，則這根蘆葦

的長度是尺.

【答案】13

【解析】

設(shè)出AB=AB，=x尺，表示出水深A(yù)C,根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L.解：設(shè)

蘆葦長AB=AB，=x尺，則水深A(yù)C=(x-l)尺，

因?yàn)榈酌媸沁呴L為10尺的正方形，所以B'C=5尺

在RtAAB'C中，52+(x-l)2=x2,

解之得x=13,

即蘆葦長13尺.

第25頁共49頁

故答案為：13.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵.

21.如圖，等腰直角ABC中，NACB=90°,AC=BC=4,。為8c的中點(diǎn)，AD=2亞，若P為AB

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD的最小值為.

【答案】275

【解析】

根據(jù)中點(diǎn)的含義先求解8。，作點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱點(diǎn)C',則@'，連接。C',交AB于P,連接BC',

此時(shí)PD+PC=PD+PC'=DC的值最小，由對(duì)稱性可知ZC'BA=/CBA=45°,AB±CC',于是得到

NC'6C=90°,再證明3C'=3C=4,然后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.解：AC=BC=4,D為BC

的中點(diǎn)，ZACB=90°,

：.CD=BD=2,NCB4=45°,

C

作點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱點(diǎn)C,CC'交AB于。，則OC=OC',連接。C',交AB于P,連接BC'.

此時(shí)PD+PC=PD+PC'=DC的值最小.

由對(duì)稱性可知ZC'BA=ZCBA=45°,AB±CC,

第26頁共49頁

，ZCBC^90°,

：.BC±BC,點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱點(diǎn)C',

AAB垂直平分CC',

:.BC=BC'=4,

根據(jù)勾股定理可得

DC=y/42+22=2^5.

故答案為：26.

【點(diǎn)睛】

此題考查了軸對(duì)稱-線路最短的問題，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，確定動(dòng)點(diǎn)P何位置

時(shí)，使PC+PD的值最小是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，N84C=ND4E=90°,AB=AC,AT>=4/—^D、E為8C邊上的兩點(diǎn)，且ND4E=45°,

連接EF、BF，已知3E=2,￡>E=3,則。C的長為.

【答案】石

【解析】

先證AAFE名AADE,得EF=DE=3；再證△ADC^Z\AFB,得BF=DC,NFBA=/C=45°得NFBE=90°,得

△FBE為直角三角形,最后在RTAFBE中用勾股定理算得BF的長就是DC的長.解：VAB=AC,ZBAC=90°

.,.ZABC=ZC=45°；

：/DAF=90°,/DAE=45°

第27頁共49頁

???ZFAE=45°

???ZFAE=ZDAE

又AF=AD,AE=AE

AAAFE^AADE

/.FE=DE=3；

VZBAC=90°,ZDAE=45°

AZBAE+ZCAD=45°

VZDAF=90°,NDAE=45。

AZBAE+ZBAF=45°

AZBAF=ZCAD

又AB=AC,AF=AD

/.△ADC^AAFB

AFB=CD,ZFBA=ZC=45°

又NABC=45。

ZFBE=ZFBA+ZABC=90°

得^FBE是直角三角形；

在RTAFBE中由勾股定理得

FB=VFE2-BE2=732-22=>/5

ACD=FB=V5.

故答案為：逐.

第28頁共49頁

【點(diǎn)睛】

此題綜合考查全等三角形，等腰直角三角形和勾股定理等知識(shí)，掌握旋轉(zhuǎn)變換中的全等三角形是解題之關(guān)

鍵.

三、解答題

23.如圖，在四邊形ABCD中，ZB=90°,AB=BC=3a,CD=8,AD=10.

(1)求/BCD的度數(shù);

(2)求四邊形ABCD的面積.

【答案】(1)ZBCD=135°；(2)S四邊序ABCD=33.

【解析】

(1)連接AC,在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AC的長，再由CD與AD的長，利用勾股定理

的逆定理判斷得到三角形ACD為直角三角形，再由等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)/BCD=/ACB+NACD

即可求出：

(2)四邊形ABCD面積=三角形ABC面積+三角形ACD面積，求出即可.

(1)連接AC,在RtAABC中，ZB=90°,AB=BC=3后，

根據(jù)勾股定理，得AC=以序+5c2=6,NACB=45。,

VCD=8,AD=10,

???AD2=AC2+CD2

第29頁共49頁

...△ACD為直角三角形，即/ACD=90。,

則/BCD=NACB+NACD=135。；

(2)根據(jù)題意，得S㈣邊彩ABCD=SAABC+SAACD

1,1

=-x3&rx3Jr2+-x6x8

22

=9+24

=33.

故答案為⑴NBCD=135。；(2)S四娜ABCD=33.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理的逆定理，勾股定理.

24.如圖，在△ABC中，AC=21,BC=13,D是AC邊上一點(diǎn)，BD=12,AD=16.

⑴求證:BD1AC.

(2)若E是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，求線段DE的最小值.

【答案】(1)證明見解析；(2)線段DE使得最小值為9.6.

【解析】

(1)利用勾股定理的逆定理解決問題即可.

(2)根據(jù)垂線段最短可得出當(dāng)DELAB時(shí)，DE長度最小，再利用面積法可求出線段DE的最小值.解:

(1)VAC=21,AD=16,

ACD=AC-AD=5,

第30頁共49頁

在△BCD中，BD2+CD2=122+52=169=BC2,

，/BDC=90。，

ABDIAC.

(2)當(dāng)DEJ_AB時(shí)，DE最短，

在RtAABD中，AB=7AZ)2+BD2=7162+122=20,

—?AD?DB=—?AB?DE,

22

線段DE使得最小值為9.6.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理以及逆定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí).

25.如圖，NAOB=90，線段Q4=18m，OB=6m,一機(jī)器人。在點(diǎn)8處.

(1)若3C=AC,求線段8c的長.

(2)在(1)的條件下，若機(jī)器人。從點(diǎn)B出發(fā)，以3加/min的速度沿著AO8C的三條邊逆時(shí)針走一圈后

回到點(diǎn)5,設(shè)行走的時(shí)間為rmin,則當(dāng)?為何值時(shí)，公。6。是以。點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形？

【答案】(1)10m(2)6.8

【解析】

第31頁共49頁

⑴此時(shí)設(shè)BC=x,則OC=18-x,在直角三角形OBC中利用勾股定理可解得x的值.

(2)以Q點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則可利用。夕+。。2=01建立方程求解.(1)設(shè)BC=x

BC=AC

/.OC=OA-CA=OA-BC=18-x

在直角三角形OBC中有082+002

即6?+(18—X)2=%2

解得x=10

即BC=10m.

(2)

B

如圖所示：當(dāng)BQJ_BC時(shí)符合條件.

此時(shí)QC=3t-(OB+OC)=3t-(6+8)=3t-14

BQ=BC-QC=24-3t

在直角三角形OQC中，^OQ2+QC2=OC2

即OU=。。2_。。2=82_(31—14)2=-9/+84—132

在直角三角形BOQ中，有OQ2+QB2=O52

即0。=OB2-QB2-(24-3r)2=-540+144/-9t2

第32頁共49頁

則有一9r+84,一132=-540+144r-9t2

解得：r=6.8

則當(dāng)，=6.8時(shí)，AOBQ是以。點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.

故答案為:(1)10m(2)6.8

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形勾股定理的運(yùn)用，解題關(guān)鍵在于找準(zhǔn)直角三角形中直角邊和斜邊，利用勾股定理,

兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

26.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，44。=NACD=90°,8E，4。于￡；,

(1)求證：BE=AC；

(2)若A3=10,CD=6,求四邊形ABC。的面積.

【答案】⑴詳見解析;(2)S明影ABCD=56

【解析】

(1)由等角的余角相等可得NDAC=NABE,再根據(jù)題意可得RtaBAE^RtAADC,即可證3E=AC.

⑵根據(jù)勾股定理算出AC,由全等可得BE=AC,再算出△ACD的面積和4ABC的面積相加即

可.(1)?.?BE_LAC,

JZABE+ZBAE=90°,

VBAD=90°,

AZBAE+ZDAC=90°,

第33頁共49頁

AZDAC=ZABE,

又?:AB=AD,ZBEA=ZACD,

ARtABAE^RtAADC(AAS),

ABE=AC.

(2)VAB=10,CD=6,ZACD=90°,

??AC=>/102—62=8，

VRtABAE^RtAADC,

JBE=AC=8,

S四邊形ABCO=SAcn+SaABcU；,AC+CO+g.AC-8E=gx8x6+gx8x8=24+32=56.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵在于牢記基礎(chǔ)知識(shí)并靈活使用.

27.中國古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

研究中的繼承和發(fā)展，現(xiàn)用4個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.RtAABC中，NAC8=90。.AC=

b,BC=a,A8=c,請(qǐng)你利用這個(gè)圖形解決下列問題：

(1)試說明：a2+b2=c2；

(2)如果大正方形的面積是13,小正方形的面積是3,求(a+b)2的值.

【答案】(1)證明見解析；(2)23

第34頁共49頁

【解析】

(1)根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三

角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達(dá)式.

(2)根據(jù)完全平方公式的變形解答即可.解：(1)?.?大正方形面積為。2,直角三角形面積為4帥，小正方

2

形面積為(…)2,

/.c2=4x—ab+(a-b)2=2ab+a2-2ab+b2即c2=a2+b2；

2

(2)由圖可知：

(b-a)2=3,4x—〃萬=13-3=10,

2

/.2ab=10,

/.(a+b)2=(/?-a)2+4ab=3+2x10=23.

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)勾股定理的證明和以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握三角形和正方形面積計(jì)算公式是解決問題的關(guān)鍵.

28.如圖，AABC中，AB>AC,AD是3c邊上的高，將ADC沿AO所在的直線翻折，使點(diǎn)。落在

邊上的點(diǎn)正處.

(1)若A3=20,AC=13,C3=5,求AABC的面積;

(2)求證：AB2-AC2=BEBC-

第35頁共49頁

【答案】（1）126；（2）見解析

【解析】

（1）利用勾股定理容易求出AD長；進(jìn)而求出BD,從而得到BC長，再由三角形面積公式即可求解；

（2）利用勾股定理易得AB?—=一。后2,再利用平方差公式分解因式可得

AB?一一DE）（8D+OE）,根據(jù)折疊性質(zhì)和線段和差關(guān)系即可得出結(jié)論.⑴解：A￡＞是8C

邊上的高，

:.ZADB=ZADC=9Q

在RfADC中，

AC=13,CO=5,

.-.Ar）=V132-52=7144=12

在RfAO8中，

AB=20,AD=12,

BD=A/202-122=V256=16

8C=50+CO=16+5=21,

...SABC=LX8CXAO=1X21X12=126（平方單位）.

22

（2）證明：ADC沿A￡）所在的直線翻折得到ADE,

第36頁共49頁

AC=AE,DC=DE,

在RfADC中，由勾股定理，得=

在RfAD3中，由勾股定理，得BO?=A8?-A。?，

AB2-AC2=AB2-(AD2+DC2)

=AB2-AD2-DC2

^BEr-DE1

=(BD-DE)(BD+DE),

BE=BD-DE,BC=BD+DC=BD+DE,

:.AB2-AC2=BEBC-

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，利用由勾股定理求解是解決問題的關(guān)鍵.

29.在A8C中，AB=AC,ZBAC=9(f.

(1)如圖1,點(diǎn)P,Q在線段3C上，AP=AQ,NA4P=15°,求/AQ6的度數(shù)；

(2)點(diǎn)、P,Q在線段3。上(不與點(diǎn)8,C重合)，AP=AQ,點(diǎn)。關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)