訓(xùn)練01空間向量及其運(yùn)算50道真題訓(xùn)練（解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末重難點(diǎn)歸類及真題訓(xùn)練 （人教A版2019）

第第頁訓(xùn)練01空間向量及其運(yùn)算50道真題訓(xùn)練一、單選題1．（2022秋·福建泉州·高二?？计谥校┮阎蛄?，，若，則（

）A． B． C． D．7【答案】A【分析】根據(jù)，設(shè)，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得，從而得到答案.【詳解】由，設(shè)，則，解得：，，，所以，故選：A.2．（2023秋·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，若，則“”是“四點(diǎn)共面”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)的值可推導(dǎo)得到，由此可得四點(diǎn)共面，知充分性成立；由空間向量共面定理可知四點(diǎn)共面時(shí)，，知必要性不成立，由此可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，，三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面，充分性成立；當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，，滿足條件的數(shù)據(jù)不止，必要性不成立；“”是“四點(diǎn)共面”的充分不必要條件.故選：B.3．（2022秋·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，已知，，，，則（

）．

A． B．C． D．【答案】A【分析】先用表示，然后由可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，故選：A.4．（2022秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W(xué)校考期末）已知向量在基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示，利用向量相等列方程組即可求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)橄蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)為，即，設(shè)，、、，所以，令，解得，，；所以在基底下的坐標(biāo)為．故選：B.5．（2023春·江西吉安·高二校聯(lián)考期末）已知斜三棱柱所有棱長均為，點(diǎn)滿足，則（

）

A． B． C．2 D．【答案】D【分析】以向量為基底向量，則根據(jù)條件由向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，兩邊平方運(yùn)算即可.【詳解】斜三棱柱所有棱長均為.故選:.6．（2022秋·北京·高二北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知四邊形為矩形，平面，連接，，，，，則下列各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（

）

A．與 B．與 C．與 D．與【答案】A【分析】逐項(xiàng)判斷各選項(xiàng)中向量對(duì)應(yīng)的直線是否垂直即可解答.【詳解】對(duì)于A?與不一定垂直，即向量?不一定垂直，則向量?的數(shù)量積不一定為0，故A符合題意；對(duì)于B?由于平面，平面，則，又，平面，則有平面，而平面，則有，即向量?一定垂直，則向量?的數(shù)量積一定為0，故B不符合題意；對(duì)于C?由于平面，平面，則，又，平面，則有平面，而平面，則有，即向量?一定垂直，則向量?的數(shù)量積一定為0，故C不符合題意；對(duì)于D?由于平面，平面，則，即向量?一定垂直，則向量?的數(shù)量積一定為0，故D不符合題意；故選：A.7．（2023春·甘肅天水·高二秦安縣第一中學(xué)?？计谥校┮阎臻g向量，，，則（

）A． B．0 C．4 D．【答案】A【分析】先根據(jù)已知條件求出，再由可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所以，所以，故選：A8．（2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）若正方體上的點(diǎn)是其所在棱的中點(diǎn)，則直線與直線異面的圖形是（

）A．

B．

C．

D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出滿足每個(gè)選項(xiàng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量平行的定義，結(jié)合異面直線的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

對(duì)于A，由A選項(xiàng)的圖可知,，所以,即，所以，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，由C選項(xiàng)的圖可知,，所以，即，所以，即與共面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由D選項(xiàng)的圖可知,，所以,即，即與共面，故D錯(cuò)誤.對(duì)于B，由B選項(xiàng)的圖可知,，所以,即不存在實(shí)數(shù)使得，即與不平行，由圖可知與不相交，所以與是異面直線，故B正確.故選：B.9．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知向量在向量上的投影向量是，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量求出，代入的定義式即可.【詳解】，設(shè)向量在向量的夾角為，所以向量在向量上的投影向量為，所以，所以.故選：C.10．（2023春·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)校考期末）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根據(jù)空間基底的概念逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，假設(shè)向量共面，則，即，無解，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，可以構(gòu)成基底，故B正確；對(duì)于C，，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因此向量共面，故不能構(gòu)成基底，故D錯(cuò)誤；故選：B.11．（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），為直線外一點(diǎn)，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理推論可得且，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，又點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)），所以，且，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：D.12．（2022秋·吉林長春·高二校考期末）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，若，且，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】用、、表示出，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，然后根據(jù)數(shù)量積公式即可求出結(jié)果.【詳解】由已知可得，，，，，，所以，.又因?yàn)?，，所?又.所以.故選：A.13．（2023春·安徽滁州·高二安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)?？计谀┰O(shè)，，，是半徑為1的球的球面上的四個(gè)點(diǎn)．設(shè)，則不可能等于（

）A．3 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，得到，利用判斷等號(hào)成立條件，確定不可能取的值.【詳解】因?yàn)?，且，所以，而，?dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)，等號(hào)成立，而A，，，在球面上，不可能共線，即不同向，所以且均小于直徑長2，即，綜上，.根據(jù)選項(xiàng)可知A不符合.故選：A14．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中校考期中）在三棱錐中，已知，且，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】以，，為基底，根據(jù)已知列方程，結(jié)合重要不等式可解.【詳解】設(shè)，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是．故選：B15．（2022秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）在棱長為1的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)和的長度都為最短時(shí)，的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件確定點(diǎn)M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點(diǎn)M在平面內(nèi)，又，即，于是得點(diǎn)N在直線上，棱長為1的正四面體中，當(dāng)長最短時(shí)，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長最短時(shí)，點(diǎn)N是點(diǎn)D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點(diǎn)，，而，，所以.故選：A16．（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，則的最小值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，，根據(jù)異面直線距離定義利用空間兩點(diǎn)距離公式即可得到答案.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則可設(shè)，其中，，其中，根據(jù)圖中可知直線和直線為異面直線，若能取到兩異面直線間的距離，則此時(shí)距離最小，根據(jù)異面直線公垂線的定義知，，，，，，則，則，，解得，滿足范圍，則此時(shí)，則.故選：C.

17．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求，再由投影向量的定義，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，模的坐標(biāo)運(yùn)算公式求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐?biāo)是，故選：D.18．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┮阎臻g直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量表示出點(diǎn)Q坐標(biāo)，再求出，的坐標(biāo)，借助數(shù)量積建立函數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】因點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)，則，設(shè)，于是有，因?yàn)?，，所以，，因此，，于是得，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)Q，所以當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.故選：C二、多選題19．（2023春·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）在正方體中，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由題意畫出幾何體，再由平面向量的加法運(yùn)算逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.【詳解】如圖，

對(duì)于A,,故A正確;對(duì)于B，，易知，則為等邊三角形,，即，故B正確;對(duì)于C,，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D，，故D正確.故選:ABD.20．（2023春·陜西寶雞·高一寶雞中學(xué)?？计谀┤?、、是空間任意三個(gè)向量，，下列關(guān)系中，不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷A、B，根據(jù)向量數(shù)乘的運(yùn)算律判斷C，利用反例說明D.【詳解】對(duì)于A：，則表示與向量共線的一個(gè)向量，，則表示與向量共線的一個(gè)向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：根據(jù)向量數(shù)乘的分配律知，故C正確；對(duì)于D：若與不共線時(shí)，不存在使得，且當(dāng)，時(shí)與共線，但是也不存在使得，故D錯(cuò)誤；故選：ABD21．（2022秋·河北唐山·高二唐山市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）已知平行六面體，則下列各式運(yùn)算結(jié)果是的為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用空間向量的加法化簡可得出合適的選項(xiàng).【詳解】如下圖所示：對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D錯(cuò).故選：ABC.22．（2022秋·浙江紹興·高二紹興魯迅中學(xué)?？计谥校┫铝忻}正確的是（）A．若，則與共面B．若與共面，則C．若＝x＋y，則M，P，A，B共面D．若M，P，A，B共面，則＝x＋y【答案】AC【分析】根據(jù)向量共面定理判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】AC：由向量共面定理知，則與共面；＝x＋y，則M，P，A，B共面，正確；B：若共線，與不共線，則就不成立；D：若M，A，B共線，點(diǎn)P不在此直線上，則＝x＋y不正確．故選：AC23．（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考期中）關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（

）．A．空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面B．若，則是鈍角C．設(shè)是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則四點(diǎn)共面【答案】AC【分析】根據(jù)空間向量共面的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；利用向量夾角的取值范圍判斷選項(xiàng)B；根據(jù)基底的定義判斷選項(xiàng)C；根據(jù)空間向量共面的充要條件判斷選項(xiàng)D．【詳解】選項(xiàng)A，空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，由于空間任意兩個(gè)向量一定共面，因此這三個(gè)向量一定共面，正確；選項(xiàng)B，若，則是鈍角或者，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，設(shè)是空間中的一組基底，則不共面，假設(shè)向量共面，則，則無解，所以向量不共面，所以也是空間的一組基底，正確；選項(xiàng)D，對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，，四點(diǎn)不共面，錯(cuò)誤；故選：AC24．（2023秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）以下能判定空間四點(diǎn)P、M、A、B共面的條件是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念結(jié)合四點(diǎn)共面的結(jié)論逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)A：若，結(jié)合向量基本定理知：為共面向量，故四點(diǎn)P、M、A、B共面，A正確；對(duì)B：若，且，結(jié)合向量共面的性質(zhì)知：四點(diǎn)P、M、A、B共面，B正確；對(duì)C：若，則，可知直線的位置關(guān)系：異面或相交，故四點(diǎn)P、M、A、B不一定共面，C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，可知直線的位置關(guān)系：平行或重合，故四點(diǎn)P、M、A、B共面，D正確；故選：ABD.25．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)x的值可能為（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【分析】依題意可得且與不同向，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到不等式，求解即可.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角，所以，解得，當(dāng)與共線時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是，經(jīng)檢驗(yàn)，選項(xiàng)C、D符合題意.故選：CD26．（2023春·浙江·高二浙江省開化中學(xué)校聯(lián)考期中）空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（

）A．B．是等腰直角三角形C．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或D．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為【答案】AC【分析】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量的加減法得出坐標(biāo)，再利用向量的模長公式，可判斷A選項(xiàng)；計(jì)算出三角形三條邊長，可判斷B選項(xiàng)；與已知向量平行的單位向量計(jì)算公式：可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)在方向上的投影向量與向量共線的性質(zhì)，可判斷D選項(xiàng).【詳解】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，，選項(xiàng)A正確；計(jì)算可得，三條邊不相等，選項(xiàng)B不正確；與平行的單位向量為：選項(xiàng)C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項(xiàng)D不正確，故選：AC.27．（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖，在平行六面體中，與交于點(diǎn)，且，，.則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由向量的分解和向量數(shù)量積公式、向量的求模公式即可判斷.【詳解】如圖，由題意得，，，，，對(duì)于選項(xiàng)A，所以，即.故選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，故選項(xiàng)B正確.對(duì)于選項(xiàng)C，所以即故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB28．（2023秋·湖北恩施·高二校聯(lián)考期末）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)滿足，，，則以下說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)，使得與直線的夾角為C．當(dāng)時(shí)，長度的最小值為D．當(dāng)時(shí)，與平面所成的角不可能為【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量關(guān)系，分別對(duì)答案進(jìn)行空間關(guān)系的判斷和求值即可.【詳解】A選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，的軌跡為線段，由正方體的結(jié)構(gòu)特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正確；B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段，直線直線，當(dāng)與重合時(shí)，與直線所成角最大，即與直線所成角最大，最大為，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軌跡為線段，到線段的距離為，長度的最小值為．故C正確；D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軌跡為線段，過點(diǎn)做垂直平面于點(diǎn)，則在線段上，為直線與平面所成角，若，則，又點(diǎn)到線段上點(diǎn)的最小距離為，不存在，所以與平面所成角不可能為，故D正確．故選：ACD．三、填空題29．（2022秋·全國·高二期中）設(shè)，是兩個(gè)不共線的空間向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】/【分析】由列方程，化簡求得的值.【詳解】∵，，，∴，又∵A，C，D三點(diǎn)共線，∴，∵，不共線，∴，∴，∴.故答案為：30．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體.已知一個(gè)正八面體的棱長都是2（如圖），分別為棱的中點(diǎn)，則.

【答案】/【分析】根據(jù)題意得到，，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】由題意，可得，，又由正八面體的棱長都是，且各個(gè)面都是等邊三角形，在中，由，可得，所以，所以.故答案為：.

31．（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）定義：設(shè)是空間向量的一個(gè)基底，若向量，則稱實(shí)數(shù)組為向量在基底下的坐標(biāo)．已知是空間向量的單位正交基底，是空間向量的另一個(gè)基底．若向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為．【答案】【分析】根據(jù)基底的定義結(jié)合題意直接求解即可【詳解】因?yàn)橄蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)為，所以，所以向量在基底下的坐標(biāo)為，故答案為：32．（2022秋·上海徐匯·高二位育中學(xué)校考期末）已知為空間任意一點(diǎn)，、、、滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則的值為.【答案】4【分析】根據(jù)空間中四點(diǎn)共面的推論結(jié)合，求解即可.【詳解】解：因?yàn)闉榭臻g任意一點(diǎn)，、、、滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，所以，故.故答案為：.33．（2023春·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，兩個(gè)正方形ABCD，CDEF的邊長都是6，且二面角為，M為對(duì)角線AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N為對(duì)角線DF的中點(diǎn)，則線段MN=.

【答案】【分析】用表示,平方求模即可.【詳解】根據(jù)題意，所以即為二面角的平面角，即，因?yàn)闉闉閷?duì)角線DF的中點(diǎn)，所以,又M為對(duì)角線AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則所以,所以,所以.所以所以線段故答案為：34．（2022秋·廣東茂名·高二?？计谥校┫铝嘘P(guān)于空間向量的命題中，正確的有．①若向量、與空間任意向量都不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則；②若非零向量、、滿足，，則有；③若、、是空間向量的一組基底，且，則、、、四點(diǎn)共面；④若向量、、是空間向量的一組基底，則、、也是空間向量的一組基底．【答案】①③④【分析】利用反證法可判斷①④；利用空間向量的位置關(guān)系可判斷②；利用共面向量的基本定理可判斷可判斷③.【詳解】對(duì)于①，假設(shè)、不共線，則存在空間向量，使得當(dāng)與、不共線，此時(shí)，、、能構(gòu)成空間向量的一組基底，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，所以，若向量、與空間任意向量都不能構(gòu)成空間向量的一組基，則，①對(duì)；對(duì)于②，若非零向量、、滿足，，則與不一定共線，②錯(cuò)；對(duì)于③，若、、是空間向量的一組基，且，則，即，所以，、、、四點(diǎn)共面，③對(duì)；對(duì)于④，因?yàn)橄蛄?、、是空間向量的一組基底，假設(shè)、、共面，若，不妨設(shè)，設(shè)存在、，使得，，所以，，，，此時(shí)，向量、、共線，與題設(shè)矛盾；若、、共面，且、不共線，則存在、，使得，則，，所以，、、共面，與題設(shè)矛盾，故、、也是空間向量的一組基底，④對(duì).故答案為：①③④.35．（2023春·四川德陽·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)為棱長等于1的正方體內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，且，則的值達(dá)到最小時(shí)，與夾角大小為．【答案】/【分析】取線段的中點(diǎn)，可得出，分析可知當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，求出的最小值可得可得解.【詳解】取線段的中點(diǎn)，則，，因?yàn)?，所以在以為球心的正方體內(nèi)部的球面上，

所以，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，此時(shí)，此時(shí)，所以，所以與的夾角為.故答案為：.36．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是.【答案】4【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量線性運(yùn)算，不等式思想即可求解．【詳解】是空間相互垂直的單位向量，設(shè)，，設(shè)，又，，又，，，其中，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，的最小值是4．故答案為：4．37．（2023春·浙江嘉興·高一?？计谥校┤鐖D，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直，點(diǎn)在上移動(dòng)，點(diǎn)在上移動(dòng)，若，則的長的最小值為．【答案】【分析】首先根據(jù)垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示，再求的長的最小值．【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以兩兩垂?過點(diǎn)M作，垂足分別為G，H，連接，易證.因?yàn)?，所以以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以當(dāng)，的長最小，且最小值為．故答案為：．38．（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)校考期中）在如圖所示的三棱錐中，平面，，，，為中點(diǎn)，為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且.當(dāng)在上時(shí)，；點(diǎn)的軌跡的長度為.【答案】【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系可得當(dāng)在上時(shí)，滿足，求得的長；當(dāng)為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界）時(shí)，再取中點(diǎn)，，再過作，可證平面，得到的軌跡，求解三角形可得點(diǎn)的軌跡的長度．【詳解】因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所以，又平面，所以平面，過，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，則①當(dāng)在上時(shí)，設(shè)，因?yàn)椋?，故，則所以；②為內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界）時(shí)，如圖，取中點(diǎn)，過作，垂足為由①可得，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫约丛诰€段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，點(diǎn)的軌跡為線段．則．故答案為：；.39．（2022秋·高二北京市第十二中學(xué)校考期末）在棱長為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面（包含邊界）．（1）若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)到平面的距離是；（2）若，則線段長度的取值范圍是．【答案】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，由正方體的性質(zhì)可證面，面，即可得到點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由得到，再根據(jù)及二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：在正方體中，，面，面，所以面，連接交于點(diǎn)，所以，又面，面，所以，因?yàn)椋悦妫驗(yàn)檎襟w的棱長為，所以，即點(diǎn)到平面的距離為若點(diǎn)與點(diǎn)重合，則點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離為；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，因?yàn)榻獾?，所以，即故答案為：?0．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）如圖，已知正方體的棱長為4，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，設(shè)是該正方體表面上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是；的最大值為．【答案】12【分析】如圖，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，可證明六邊形為正六邊形，從而可求其面積，利用向量數(shù)量積的幾何意義可求的最大值.【詳解】∵，∴點(diǎn)在平面上，如圖，分別取，，的中點(diǎn)，，，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故，又由正方體可得，，故，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，故五點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，故六點(diǎn)共面，由正方體的對(duì)稱性可得六邊形為正六邊形.故點(diǎn)的軌跡是正六邊形，因?yàn)檎襟w的棱長為4，所以正六邊形的邊長為，所以點(diǎn)的軌跡圍成圖形的面積是．如圖，，∴的最大值為12．故答案為：，12．四、解答題41．（2023秋·浙江溫州·高二?？计谀┰谡拿骟w中，點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過的平面分別與，，交于，，三點(diǎn).(1)若，求的值；(2)設(shè)，，，求的值.【答案】(1)0(2)6【分析】（1）為正的中心，利用空間向量的線性運(yùn)算，把用表示，可求的值；（2）根據(jù)已知條件，把用表示，由，，，共面，可求的值.【詳解】（1）正四面體中，在底面內(nèi)的投影為正的中心，∴，∴，，，∴.（2）因?yàn)?，且，，，所以，即，因?yàn)?，，，共面，所以，?42．（2022秋·湖南懷化·高二?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，，且，(1)試用表示向量.(2)若，，，求的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形法則以及數(shù)乘運(yùn)算得出；（2）計(jì)算，得出的長.【詳解】（1）（2）即，∴.43．（2022秋·遼寧大連·高二大連市第二十三中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點(diǎn)．(1)用，，表示向量；(2)求的模．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用線性運(yùn)算計(jì)算即可；（2）根據(jù)得到，然后求即可.【詳解】（1）.（2）由（1）可得：∴.44．（2023秋·上海浦東新·高三上海市川沙中學(xué)?？计谀┤鐖D，在圓柱中，底面直徑AB等于母線．(1)若AB＝2，求圓柱的側(cè)面積；(2)設(shè)AB與CD是底面互相垂直的兩條直徑，求異面直線AC與所成角的大?。敬鸢浮?1)；(2).【分析】（1）由已知得到底面半徑以及母線的值，代入公式即可求出；（2）用向量、、來表示出、，進(jìn)而求出它們的夾角，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由已知可得，底面半徑，母線，所以圓柱的側(cè)面積.（2）由已知可得，兩兩垂直，且相等，設(shè)，則，，.又，，則.所以，又，所以，所以異面直線AC與所成角的大小為.45．（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學(xué)校聯(lián)考期中）（1）如圖，在三棱錐中，．求證：．（2）平行六面體中，，，，，，，求對(duì)角線的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）選擇為基底，用向量表示出已知條件，整理即可得到，即；（2）選擇為基底，根據(jù)平行六面體對(duì)角線的幾何意義，可得.然后可求出，開方即可得到對(duì)角線的長．【詳解】（1）證明：選擇為基底.∵，∴，∴同理由，得∴，∴∴（2）平行六面體中，，選擇為基底，則∵，，，∴∴則對(duì)角線的長為．·46．（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中校考期中）平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱，且，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，設(shè)，，；

(1)用向量，，表示向量；(2)求線段的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理利用向量的加減法法則求解即可，（2）先根據(jù)題意可得，，，然后對(duì)平方化簡可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，，，，所以；（2）因?yàn)槠叫辛骟w中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱，且，所以，，，所以所以，即線段PM長為47．（2023秋·全國·高二期中）在四棱柱中，，，，.

(1)當(dāng)時(shí)，試用表示；(2)證明：四點(diǎn)共面；(3)判斷直線能否是平面和平面的交線，并說明理由.【答案】(1)(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）直接利用空間向量線性運(yùn)算可得，再根據(jù)已知關(guān)系，，進(jìn)行化簡可得出結(jié)果.（2）可設(shè)，不為)，由題意可化簡得到，將代入并結(jié)合題意可化簡得出，即可證明