訓練01空間向量及其運算50道真題訓練（解析版）2023-2024學年高二數(shù)學上學期期中期末重難點歸類及真題訓練 （人教A版2019）

第第頁訓練01空間向量及其運算50道真題訓練一、單選題1．（2022秋·福建泉州·高二?？计谥校┮阎蛄浚?，若，則（

）A． B． C． D．7【答案】A【分析】根據(jù)，設，結合空間向量的坐標運算，求得，從而得到答案.【詳解】由，設，則，解得：，，，所以，故選：A.2．（2023秋·新疆·高二校聯(lián)考期末）已知空間任意一點和不共線的三點，若，則“”是“四點共面”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．即不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)的值可推導得到，由此可得四點共面，知充分性成立；由空間向量共面定理可知四點共面時，，知必要性不成立，由此可得結論.【詳解】當時，，即，，三點共線，四點共面，充分性成立；當四點共面時，，滿足條件的數(shù)據(jù)不止，必要性不成立；“”是“四點共面”的充分不必要條件.故選：B.3．（2022秋·安徽馬鞍山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，已知，，，，則（

）．

A． B．C． D．【答案】A【分析】先用表示，然后由可得結果.【詳解】因為，所以，因為，所以，故選：A.4．（2022秋·廣東珠?！じ叨楹Ｊ械谝恢袑W校考期末）已知向量在基底下的坐標為，則在基底下的坐標為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的坐標表示，利用向量相等列方程組即可求出結果．【詳解】因為向量在基底下的坐標為，即，設，、、，所以，令，解得，，；所以在基底下的坐標為．故選：B.5．（2023春·江西吉安·高二校聯(lián)考期末）已知斜三棱柱所有棱長均為，點滿足，則（

）

A． B． C．2 D．【答案】D【分析】以向量為基底向量，則根據(jù)條件由向量的數(shù)量積的運算性質，兩邊平方運算即可.【詳解】斜三棱柱所有棱長均為.故選:.6．（2022秋·北京·高二北京市陳經(jīng)綸中學?？计谥校┤鐖D，已知四邊形為矩形，平面，連接，，，，，則下列各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（

）

A．與 B．與 C．與 D．與【答案】A【分析】逐項判斷各選項中向量對應的直線是否垂直即可解答.【詳解】對于A?與不一定垂直，即向量?不一定垂直，則向量?的數(shù)量積不一定為0，故A符合題意；對于B?由于平面，平面，則，又，平面，則有平面，而平面，則有，即向量?一定垂直，則向量?的數(shù)量積一定為0，故B不符合題意；對于C?由于平面，平面，則，又，平面，則有平面，而平面，則有，即向量?一定垂直，則向量?的數(shù)量積一定為0，故C不符合題意；對于D?由于平面，平面，則，即向量?一定垂直，則向量?的數(shù)量積一定為0，故D不符合題意；故選：A.7．（2023春·甘肅天水·高二秦安縣第一中學校考期中）已知空間向量，，，則（

）A． B．0 C．4 D．【答案】A【分析】先根據(jù)已知條件求出，再由可求得結果.【詳解】因為，所以，因為，，所以，所以，故選：A8．（2022秋·陜西渭南·高一統(tǒng)考期末）若正方體上的點是其所在棱的中點，則直線與直線異面的圖形是（

）A．

B．

C．

D．【答案】B【分析】建立空間直角坐標系，寫出滿足每個選項點的坐標，利用向量的坐標運算以及向量平行的定義，結合異面直線的定義逐項判斷即可.【詳解】不妨設正方體的棱長為，建立空間直角坐標系，如圖所示

對于A，由A選項的圖可知,，所以,即，所以，即，故A錯誤；對于C，由C選項的圖可知,，所以，即，所以，即與共面，故C錯誤；對于D，由D選項的圖可知,，所以,即，即與共面，故D錯誤.對于B，由B選項的圖可知,，所以,即不存在實數(shù)使得，即與不平行，由圖可知與不相交，所以與是異面直線，故B正確.故選：B.9．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）已知向量在向量上的投影向量是，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量求出，代入的定義式即可.【詳解】，設向量在向量的夾角為，所以向量在向量上的投影向量為，所以，所以.故選：C.10．（2023春·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W?？计谀┤魳嫵煽臻g的一個基底，則下列向量可以構成空間的一個基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根據(jù)空間基底的概念逐項判斷，可得出合適的選項.【詳解】對于A，，因此向量共面，故不能構成基底，故A錯誤；對于B，假設向量共面，則，即，無解，這與題設矛盾，假設不成立，可以構成基底，故B正確；對于C，，因此向量共面，故不能構成基底，故C錯誤；對于D，，因此向量共面，故不能構成基底，故D錯誤；故選：B.11．（2023春·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）點在線段上（不含端點），為直線外一點，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量共線定理推論可得且，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因為，所以，又點在線段上（不含端點），所以，且，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，故的最小值為.故選：D.12．（2022秋·吉林長春·高二?？计谀┤鐖D，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，若，且，則（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】用、、表示出，根據(jù)數(shù)量積的運算律求出，然后根據(jù)數(shù)量積公式即可求出結果.【詳解】由已知可得，，，，，，所以，.又因為，，所以.又.所以.故選：A.13．（2023春·安徽滁州·高二安徽省定遠中學校考期末）設，，，是半徑為1的球的球面上的四個點．設，則不可能等于（

）A．3 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，得到，利用判斷等號成立條件，確定不可能取的值.【詳解】因為，且，所以，而，當且僅當同向時，等號成立，而A，，，在球面上，不可能共線，即不同向，所以且均小于直徑長2，即，綜上，.根據(jù)選項可知A不符合.故選：A14．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谥校┰谌忮F中，已知，且，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】以，，為基底，根據(jù)已知列方程，結合重要不等式可解.【詳解】設，，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，當且僅當時，等號成立，即的最小值是．故選：B15．（2022秋·浙江湖州·高二統(tǒng)考期末）在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當和的長度都為最短時，的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件確定點M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點M在平面內，又，即，于是得點N在直線上，棱長為1的正四面體中，當長最短時，點M是點A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當長最短時，點N是點D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點，，而，，所以.故選：A16．（2022秋·吉林長春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，在棱長為1的正方體中，點在上，點在上，則的最小值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】以為坐標原點建立合適的空間直角坐標系，設，，，，根據(jù)異面直線距離定義利用空間兩點距離公式即可得到答案.【詳解】以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，則可設，其中，，其中，根據(jù)圖中可知直線和直線為異面直線，若能取到兩異面直線間的距離，則此時距離最小，根據(jù)異面直線公垂線的定義知，，，，，，則，則，，解得，滿足范圍，則此時，則.故選：C.

17．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則向量在上的投影向量的坐標是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求，再由投影向量的定義，結合數(shù)量積的坐標運算，模的坐標運算公式求解.【詳解】因為，，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐標是，故選：D.18．（2022秋·廣東佛山·高二佛山市榮山中學校考期中）已知空間直角坐標系中，，點在直線上運動，則當取得最小值時，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量表示出點Q坐標，再求出，的坐標，借助數(shù)量積建立函數(shù)關系即可求解.【詳解】因點Q在直線上運動，則，設，于是有，因為，，所以，，因此，，于是得，則當時，，此時點Q，所以當取得最小值時，點Q的坐標為.故選：C二、多選題19．（2023春·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）在正方體中，設，，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由題意畫出幾何體，再由平面向量的加法運算逐一分析四個選項得答案.【詳解】如圖，

對于A,,故A正確;對于B，，易知，則為等邊三角形,，即，故B正確;對于C,，故C錯誤;對于D，，故D正確.故選:ABD.20．（2023春·陜西寶雞·高一寶雞中學?？计谀┤簟?、是空間任意三個向量，，下列關系中，不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律判斷A、B，根據(jù)向量數(shù)乘的運算律判斷C，利用反例說明D.【詳解】對于A：，則表示與向量共線的一個向量，，則表示與向量共線的一個向量，故A錯誤；對于B：，，故B錯誤；對于C：根據(jù)向量數(shù)乘的分配律知，故C正確；對于D：若與不共線時，不存在使得，且當，時與共線，但是也不存在使得，故D錯誤；故選：ABD21．（2022秋·河北唐山·高二唐山市第二中學校聯(lián)考期中）已知平行六面體，則下列各式運算結果是的為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用空間向量的加法化簡可得出合適的選項.【詳解】如下圖所示：對于A選項，，A對；對于B選項，，B對；對于C選項，，C對；對于D選項，，D錯.故選：ABC.22．（2022秋·浙江紹興·高二紹興魯迅中學?？计谥校┫铝忻}正確的是（）A．若，則與共面B．若與共面，則C．若＝x＋y，則M，P，A，B共面D．若M，P，A，B共面，則＝x＋y【答案】AC【分析】根據(jù)向量共面定理判斷各項正誤即可.【詳解】AC：由向量共面定理知，則與共面；＝x＋y，則M，P，A，B共面，正確；B：若共線，與不共線，則就不成立；D：若M，A，B共線，點P不在此直線上，則＝x＋y不正確．故選：AC23．（2023春·甘肅武威·高二統(tǒng)考期中）關于空間向量，以下說法正確的是（

）．A．空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B．若，則是鈍角C．設是空間中的一組基底，則也是空間的一組基底D．若對空間中任意一點，有，則四點共面【答案】AC【分析】根據(jù)空間向量共面的性質判斷選項A；利用向量夾角的取值范圍判斷選項B；根據(jù)基底的定義判斷選項C；根據(jù)空間向量共面的充要條件判斷選項D．【詳解】選項A，空間中的三個向量，若有兩個向量共線，由于空間任意兩個向量一定共面，因此這三個向量一定共面，正確；選項B，若，則是鈍角或者，錯誤；選項C，設是空間中的一組基底，則不共面，假設向量共面，則，則無解，所以向量不共面，所以也是空間的一組基底，正確；選項D，對空間中任意一點，有，，四點不共面，錯誤；故選：AC24．（2023秋·福建福州·高二校聯(lián)考期末）以下能判定空間四點P、M、A、B共面的條件是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的相關概念結合四點共面的結論逐項分析判斷.【詳解】對A：若，結合向量基本定理知：為共面向量，故四點P、M、A、B共面，A正確；對B：若，且，結合向量共面的性質知：四點P、M、A、B共面，B正確；對C：若，則，可知直線的位置關系：異面或相交，故四點P、M、A、B不一定共面，C錯誤；對D：若，可知直線的位置關系：平行或重合，故四點P、M、A、B共面，D正確；故選：ABD.25．（2023春·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)x的值可能為（

）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【分析】依題意可得且與不同向，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示得到不等式，求解即可.【詳解】因為與的夾角為銳角，所以，解得，當與共線時，，解得，所以實數(shù)x的取值范圍是，經(jīng)檢驗，選項C、D符合題意.故選：CD26．（2023春·浙江·高二浙江省開化中學校聯(lián)考期中）空間直角坐標系中，已知，，，，則（

）A．B．是等腰直角三角形C．與平行的單位向量的坐標為或D．在方向上的投影向量的坐標為【答案】AC【分析】本題考查空間向量的坐標運算，利用向量的加減法得出坐標，再利用向量的模長公式，可判斷A選項；計算出三角形三條邊長，可判斷B選項；與已知向量平行的單位向量計算公式：可判斷C選項；根據(jù)在方向上的投影向量與向量共線的性質，可判斷D選項.【詳解】根據(jù)空間向量的線性運算，，選項A正確；計算可得，三條邊不相等，選項B不正確；與平行的單位向量為：選項C正確；在方向上的投影向量與向量共線，，選項D不正確，故選：AC.27．（2023春·山東菏澤·高二統(tǒng)考期末）如圖，在平行六面體中，與交于點，且，，.則下列結論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】由向量的分解和向量數(shù)量積公式、向量的求模公式即可判斷.【詳解】如圖，由題意得，，，，，對于選項A，所以，即.故選項A正確.對于選項B，故選項B正確.對于選項C，所以即故選項C錯誤.對于選項D，故選項D錯誤.故選：AB28．（2023秋·湖北恩施·高二校聯(lián)考期末）在棱長為1的正方體中，點滿足，，，則以下說法正確的是（

）A．當時，平面B．當時，存在唯一的點，使得與直線的夾角為C．當時，長度的最小值為D．當時，與平面所成的角不可能為【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件，結合向量關系，分別對答案進行空間關系的判斷和求值即可.【詳解】A選項：當時，的軌跡為線段，由正方體的結構特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正確；B選項：當時，點的軌跡為線段，直線直線，當與重合時，與直線所成角最大，即與直線所成角最大，最大為，故B錯誤；C選項：當時，點軌跡為線段，到線段的距離為，長度的最小值為．故C正確；D選項：當時，點軌跡為線段，過點做垂直平面于點，則在線段上，為直線與平面所成角，若，則，又點到線段上點的最小距離為，不存在，所以與平面所成角不可能為，故D正確．故選：ACD．三、填空題29．（2022秋·全國·高二期中）設，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點共線，則實數(shù)的值為.【答案】/【分析】由列方程，化簡求得的值.【詳解】∵，，，∴，又∵A，C，D三點共線，∴，∵，不共線，∴，∴，∴.故答案為：30．（2023秋·安徽蚌埠·高二統(tǒng)考期末）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結構，是所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體.已知一個正八面體的棱長都是2（如圖），分別為棱的中點，則.

【答案】/【分析】根據(jù)題意得到，，結合向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解.【詳解】由題意，可得，，又由正八面體的棱長都是，且各個面都是等邊三角形，在中，由，可得，所以，所以.故答案為：.

31．（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）定義：設是空間向量的一個基底，若向量，則稱實數(shù)組為向量在基底下的坐標．已知是空間向量的單位正交基底，是空間向量的另一個基底．若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為．【答案】【分析】根據(jù)基底的定義結合題意直接求解即可【詳解】因為向量在基底下的坐標為，所以，所以向量在基底下的坐標為，故答案為：32．（2022秋·上海徐匯·高二位育中學校考期末）已知為空間任意一點，、、、滿足任意三點不共線，但四點共面，且，則的值為.【答案】4【分析】根據(jù)空間中四點共面的推論結合，求解即可.【詳解】解：因為為空間任意一點，、、、滿足任意三點不共線，但四點共面，且，所以，故.故答案為：.33．（2023春·江蘇淮安·高二江蘇省鄭梁梅高級中學?？计谥校┤鐖D，兩個正方形ABCD，CDEF的邊長都是6，且二面角為，M為對角線AC靠近點A的三等分點，N為對角線DF的中點，則線段MN=.

【答案】【分析】用表示,平方求模即可.【詳解】根據(jù)題意，所以即為二面角的平面角，即，因為為為對角線DF的中點，所以,又M為對角線AC靠近點A的三等分點，則所以,所以,所以.所以所以線段故答案為：34．（2022秋·廣東茂名·高二?？计谥校┫铝嘘P于空間向量的命題中，正確的有．①若向量、與空間任意向量都不能構成空間向量的一組基底，則；②若非零向量、、滿足，，則有；③若、、是空間向量的一組基底，且，則、、、四點共面；④若向量、、是空間向量的一組基底，則、、也是空間向量的一組基底．【答案】①③④【分析】利用反證法可判斷①④；利用空間向量的位置關系可判斷②；利用共面向量的基本定理可判斷可判斷③.【詳解】對于①，假設、不共線，則存在空間向量，使得當與、不共線，此時，、、能構成空間向量的一組基底，與題設矛盾，假設不成立，所以，若向量、與空間任意向量都不能構成空間向量的一組基，則，①對；對于②，若非零向量、、滿足，，則與不一定共線，②錯；對于③，若、、是空間向量的一組基，且，則，即，所以，、、、四點共面，③對；對于④，因為向量、、是空間向量的一組基底，假設、、共面，若，不妨設，設存在、，使得，，所以，，，，此時，向量、、共線，與題設矛盾；若、、共面，且、不共線，則存在、，使得，則，，所以，、、共面，與題設矛盾，故、、也是空間向量的一組基底，④對.故答案為：①③④.35．（2023春·四川德陽·高二統(tǒng)考期末）已知點為棱長等于1的正方體內部一動點，且，則的值達到最小時，與夾角大小為．【答案】/【分析】取線段的中點，可得出，分析可知當、、三點共線時，取最小值，求出的最小值可得可得解.【詳解】取線段的中點，則，，因為，所以在以為球心的正方體內部的球面上，

所以，，當、、三點共線時，取最小值，此時，此時，所以，所以與的夾角為.故答案為：.36．（2023春·上海寶山·高二統(tǒng)考期末）已知、是空間互相垂直的單位向量，且，，則的最小值是.【答案】4【分析】利用坐標法，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標運算，向量線性運算，不等式思想即可求解．【詳解】是空間相互垂直的單位向量，設，，設，又，，又，，，其中，，，當且僅當時取得等號，的最小值是4．故答案為：4．37．（2023春·浙江嘉興·高一?？计谥校┤鐖D，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直，點在上移動，點在上移動，若，則的長的最小值為．【答案】【分析】首先根據(jù)垂直關系，建立空間直角坐標系，利用坐標表示，再求的長的最小值．【詳解】因為平面平面，平面平面，所以平面，所以兩兩垂直.過點M作，垂足分別為G，H，連接，易證.因為，所以以B為坐標原點，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則所以當，的長最小，且最小值為．故答案為：．38．（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學?？计谥校┰谌鐖D所示的三棱錐中，平面，，，，為中點，為內的動點（含邊界），且.當在上時，；點的軌跡的長度為.【答案】【分析】由題意建立空間直角坐標系可得當在上時，滿足，求得的長；當為內的動點（含邊界）時，再取中點，，再過作，可證平面，得到的軌跡，求解三角形可得點的軌跡的長度．【詳解】因為平面，平面，所以，又，所以，又平面，所以平面，過，如圖建立空間直角坐標系，則，設，所以，則①當在上時，設，因為，所以，故，則所以；②為內的動點（含邊界）時，如圖，取中點，過作，垂足為由①可得，又，平面，所以平面，因為平面，所以即在線段上運動時，，點的軌跡為線段．則．故答案為：；.39．（2022秋·高二北京市第十二中學?？计谀┰诶忾L為2的正方體中，是棱的中點，點在側面（包含邊界）．（1）若點與點重合，則點到平面的距離是；（2）若，則線段長度的取值范圍是．【答案】【分析】（1）連接交于點，由正方體的性質可證面，面，即可得到點到平面的距離，當點與點重合時，點到平面的距離即為點到平面的距離；（2）建立空間直角坐標系，設，由得到，再根據(jù)及二次函數(shù)的性質計算可得；【詳解】解：在正方體中，，面，面，所以面，連接交于點，所以，又面，面，所以，因為，所以面，因為正方體的棱長為，所以，即點到平面的距離為若點與點重合，則點到平面的距離即為點到平面的距離為；如圖建立空間直角坐標系，則，，，，設，則，，，因為，所以，所以，即，所以，因為解得，所以，即故答案為：；40．（2023春·江蘇鹽城·高二校聯(lián)考期中）如圖，已知正方體的棱長為4，，，分別是棱，，的中點，設是該正方體表面上的一點，若，則點的軌跡圍成圖形的面積是；的最大值為．【答案】12【分析】如圖，分別取，，的中點，，，連接，可證明六邊形為正六邊形，從而可求其面積，利用向量數(shù)量積的幾何意義可求的最大值.【詳解】∵，∴點在平面上，如圖，分別取，，的中點，，，連接，因為為中點，故，又由正方體可得，，故，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四點共面，同理可證四點共面，故五點共面，同理可證四點共面，故六點共面，由正方體的對稱性可得六邊形為正六邊形.故點的軌跡是正六邊形，因為正方體的棱長為4，所以正六邊形的邊長為，所以點的軌跡圍成圖形的面積是．如圖，，∴的最大值為12．故答案為：，12．四、解答題41．（2023秋·浙江溫州·高二?？计谀┰谡拿骟w中，點在平面內的投影為，點是線段的中點，過的平面分別與，，交于，，三點.(1)若，求的值；(2)設，，，求的值.【答案】(1)0(2)6【分析】（1）為正的中心，利用空間向量的線性運算，把用表示，可求的值；（2）根據(jù)已知條件，把用表示，由，，，共面，可求的值.【詳解】（1）正四面體中，在底面內的投影為正的中心，∴，∴，，，∴.（2）因為，且，，，所以，即，因為，，，共面，所以，即.42．（2022秋·湖南懷化·高二?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，，且，(1)試用表示向量.(2)若，，，求的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形法則以及數(shù)乘運算得出；（2）計算，得出的長.【詳解】（1）（2）即，∴.43．（2022秋·遼寧大連·高二大連市第二十三中學校聯(lián)考期中）如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點．(1)用，，表示向量；(2)求的模．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用線性運算計算即可；（2）根據(jù)得到，然后求即可.【詳解】（1）.（2）由（1）可得：∴.44．（2023秋·上海浦東新·高三上海市川沙中學校考期末）如圖，在圓柱中，底面直徑AB等于母線．(1)若AB＝2，求圓柱的側面積；(2)設AB與CD是底面互相垂直的兩條直徑，求異面直線AC與所成角的大?。敬鸢浮?1)；(2).【分析】（1）由已知得到底面半徑以及母線的值，代入公式即可求出；（2）用向量、、來表示出、，進而求出它們的夾角，即可求出結果.【詳解】（1）由已知可得，底面半徑，母線，所以圓柱的側面積.（2）由已知可得，兩兩垂直，且相等，設，則，，.又，，則.所以，又，所以，所以異面直線AC與所成角的大小為.45．（2022秋·湖北武漢·高二武漢市第十七中學校聯(lián)考期中）（1）如圖，在三棱錐中，．求證：．（2）平行六面體中，，，，，，，求對角線的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）選擇為基底，用向量表示出已知條件，整理即可得到，即；（2）選擇為基底，根據(jù)平行六面體對角線的幾何意義，可得.然后可求出，開方即可得到對角線的長．【詳解】（1）證明：選擇為基底.∵，∴，∴同理由，得∴，∴∴（2）平行六面體中，，選擇為基底，則∵，，，∴∴則對角線的長為．·46．（2023春·江蘇連云港·高二連云港高中?？计谥校┢叫辛骟w中，底面是邊長為1的正方形，側棱，且，為中點，為中點，設，，；

(1)用向量，，表示向量；(2)求線段的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理利用向量的加減法法則求解即可，（2）先根據(jù)題意可得，，，然后對平方化簡可求得結果.【詳解】（1）因為為中點，為中點，，，，所以；（2）因為平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱，且，所以，，，所以所以，即線段PM長為47．（2023秋·全國·高二期中）在四棱柱中，，，，.

(1)當時，試用表示；(2)證明：四點共面；(3)判斷直線能否是平面和平面的交線，并說明理由.【答案】(1)(2)證明見解析(3)答案見解析【分析】（1）直接利用空間向量線性運算可得，再根據(jù)已知關系，，進行化簡可得出結果.（2）可設，不為)，由題意可化簡得到，將代入并結合題意可化簡得出，即可證明