【高中數(shù)學(xué)】獨(dú)立性檢驗(yàn)教學(xué)課件 高二數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)）

1第8章《成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析》人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)1.了解隨機(jī)變量χ2的意義，通過對(duì)典型案例分析，2.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法.學(xué)習(xí)目標(biāo)

前面我們通過2×2列聯(lián)表整理成對(duì)分類變量的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，并根據(jù)隨機(jī)事件頻率的穩(wěn)定性推斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)．

對(duì)于隨機(jī)樣本而言，因?yàn)轭l率具有隨機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大．因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算．環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題根據(jù)我們通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如表8.3-3所示．XY合計(jì)Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d對(duì)于隨機(jī)樣本，表8.3-3中的頻數(shù)a，b，c，d都是隨機(jī)變量，而表8.3-2中的響應(yīng)數(shù)據(jù)是這些隨機(jī)變量的一次觀測(cè)結(jié)果．思考：如何基于②中的四個(gè)等式及列聯(lián)表8.3-3中的數(shù)據(jù)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，對(duì)成對(duì)的分類變量X和Y是否相互獨(dú)立作出推斷？環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念顯然，分別考慮③中的四個(gè)差的絕對(duì)值很困難．我們需要找到一個(gè)既合理又能夠計(jì)算分布的統(tǒng)計(jì)量，來推斷是否成立．一般來說，若頻數(shù)的期望值較大，則③中相應(yīng)的差的絕對(duì)值也會(huì)較大；而若頻數(shù)的期望值較小，則③中相應(yīng)的差的絕對(duì)值也會(huì)較小．為了合理地平衡這種影響，我們將四個(gè)差的絕對(duì)值取平方后分別除以相應(yīng)的期望值再求和，得到如下的統(tǒng)計(jì)量：環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828表8.3-40.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828表8.3-4環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念學(xué)校數(shù)學(xué)成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀(Y=0)優(yōu)秀(Y=1)甲校(X=0)331043乙校(X=1)38745合計(jì)711788思考：例1和例2都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析，但卻得出了不同的結(jié)論，你能說明其中的原因嗎？事實(shí)上，如前所述，例1只是根據(jù)一個(gè)樣本的兩個(gè)頻率間存在差異得出兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異的結(jié)論，并沒有考慮由樣本隨機(jī)性可能導(dǎo)致的錯(cuò)誤，所以那里的推斷依據(jù)不太充分．解：零假設(shè)為H0：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒有差異．將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，如表8.3-5所示．表8.3-5單位：人療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136觀察表8.3-6單位：人吸煙肺癌合計(jì)非肺癌患者肺癌患者非吸煙者7775427817吸煙者2099492148合計(jì)9874919965環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運(yùn)用解：零假設(shè)為H0：吸煙與患肺癌之間無關(guān)聯(lián)．吸煙肺癌合計(jì)非肺癌患者肺癌患者非吸煙者7775427817吸煙者2099492148合計(jì)9874919965總結(jié)上面的例子，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié)：（1）提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋．（3）根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論．（4）在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．注意，上述幾個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進(jìn)行調(diào)整例如，在有些時(shí)候，分類變量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問題中給定的．思考：獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類似于我們常用的反證法，你能指出二者之間的相同和不同之處嗎？簡(jiǎn)單地說，反證法是在某種假設(shè)H0之下，推出一個(gè)矛盾結(jié)論，從而證明H0不成立；而獨(dú)立性檢驗(yàn)是在零假設(shè)H0之下，如果出現(xiàn)一個(gè)與H0相矛盾的小概率事件，就推斷不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于這個(gè)小概率．另外，在全部邏輯推理正確的情況下，反證法不會(huì)犯錯(cuò)誤，但獨(dú)立性檢驗(yàn)會(huì)犯隨機(jī)性錯(cuò)誤．1.小概率值α的臨界值:忽略χ2的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得P(χ2≥xα)=α成立.我們稱xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)，概率值α越小，臨界值xα越大.2.χ2計(jì)算公式：3.基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是:當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；當(dāng)χ2<xα?xí)r，我們沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨(dú)立.環(huán)節(jié)六:歸納總結(jié)，反思提升4.分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：5.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨(dú)立,并給出在問題中的解釋.(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計(jì)算χ2的值,并與臨界值xα比較.(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論.(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.n=a+b+c+db+da+c合計(jì)c+ddcX=1a+bbaX=0Y=1Y=0合計(jì)YX

先假設(shè)兩個(gè)分類變量X與Y無關(guān)系，利用上述公式根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)求出K2的觀測(cè)值k，再得出X與Y有關(guān)系的程度．(1)如果k≥10.828，就有______的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”

(2)如果k≥7.879，就有______的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；99.9%99.5%(3)如果k≥_____，就有99%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”

(4)如果k≥5.024，就有97.5%的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”

(5)如果k≥3.841，就有_____的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”

(6)如果k≥2.706，就有_____的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”.6.63595%90%環(huán)節(jié)七：目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材：練習(xí)3．并完成自主學(xué)習(xí)課本例3，練習(xí)

第134頁療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)211151362．根據(jù)同一抽查數(shù)據(jù)推斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)，應(yīng)用不同的小概率值，是否會(huì)得出不同的結(jié)論？為什么？3．為考察某種藥物A對(duì)預(yù)防疾病B的效果，進(jìn)行了動(dòng)物試驗(yàn)，根據(jù)105個(gè)有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：藥物A疾病B合計(jì)未患病患病未服用291544服用471461合計(jì)7629105單位：只零假設(shè)H0為：藥物A與預(yù)防疾病B無關(guān)聯(lián)，即藥物A對(duì)預(yù)防疾病B沒有效果．4．從某學(xué)校獲取了容量為400的有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，將所得數(shù)學(xué)和語文期末考試成績(jī)的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)整理如下：數(shù)學(xué)成績(jī)語文成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀優(yōu)秀不優(yōu)秀21261273優(yōu)秀5473127合計(jì)266134400單位：人零假設(shè)為H0：數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)獨(dú)立，即數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī)沒有關(guān)聯(lián)．由此可以看出，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人中語文成績(jī)優(yōu)秀的頻率明顯高于數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀的人中語文成績(jī)優(yōu)秀的頻率．根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人其語文成績(jī)優(yōu)秀的概率較大．習(xí)題8.3（第135頁）1．為什么必須基于成對(duì)樣本數(shù)據(jù)推斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)？我們要研究的問題是同一個(gè)總體的兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)，成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)是來自于對(duì)同一個(gè)總體的兩個(gè)分類變量的觀測(cè)，只有成對(duì)樣本數(shù)據(jù)才能反映兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)，以及關(guān)聯(lián)的方式和程度．3．等高堆積條形圖在兩個(gè)分類變量之間關(guān)聯(lián)性的研究中能夠起到什么作用？可以更加直觀地反映兩個(gè)分類變量之間是否具有關(guān)聯(lián)性．4．對(duì)于已經(jīng)獲取的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)結(jié)論“兩個(gè)變量之間有關(guān)聯(lián)”的實(shí)際含義是什么？檢驗(yàn)結(jié)論“兩個(gè)變量之間沒有關(guān)聯(lián)”的實(shí)際含義又是什么？檢驗(yàn)結(jié)論“兩個(gè)變量之間有關(guān)聯(lián)”是“兩個(gè)變量不獨(dú)立”的另一種說法，指在零假設(shè)“兩個(gè)變量獨(dú)立”之下，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)顯示在一次試驗(yàn)中某個(gè)不利于這個(gè)假設(shè)的小概率事件發(fā)生了，由此推斷零假設(shè)不成立，從而得出“兩個(gè)變量不獨(dú)立”的檢驗(yàn)結(jié)論．檢驗(yàn)結(jié)論“兩個(gè)變量之間沒有關(guān)聯(lián)”是“兩個(gè)變量獨(dú)立”的另一種說法，指在零假設(shè)“兩個(gè)變量獨(dú)立”之下，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)顯示在一次試驗(yàn)中某個(gè)不利于這個(gè)假設(shè)的小概率事件沒有發(fā)生，因此不能推斷零假設(shè)不成立，按照通常的習(xí)慣接受零假設(shè)，即得出“兩個(gè)變量獨(dú)立”的檢驗(yàn)結(jié)論．5．為了研究高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高是否大于170cm的關(guān)聯(lián)性，調(diào)查了某中學(xué)所有高三年級(jí)的學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：性別身高合計(jì)低于170cm不低于170cm女811697男2875103合計(jì)10991200單位：人請(qǐng)畫出列聯(lián)表的等高堆積條形圖，判斷該中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生的性別和身高是否有關(guān)聯(lián)．如果結(jié)論是性別與身高有關(guān)聯(lián)，請(qǐng)解釋它們之間如何相互影響．性別身高合計(jì)低于170cm不低于170cm女811697男2875103合計(jì)109912006．第5題中的身高變量是數(shù)值型變量還是分類變量？為什么？分類變量．因?yàn)榈?題中的身高變量只有兩個(gè)不同的取值(低于170cm和不低于170cm)，用于區(qū)分兩類不同的身高現(xiàn)象．7．從第5題的高三學(xué)生中獲取容量為40的有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，由樣本數(shù)據(jù)整理得到如下列聯(lián)表：性別身高合計(jì)低于170cm不低于170cm女14721男81119合計(jì)221840單位：人性別身高合計(jì)低于170cm不低于170cm女14721男81119合計(jì)2