人教A版選擇性必修第二冊523簡單復合函數(shù)的導數(shù)課件

5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)第五章5.22023內容索引010203自主預習新知導學合作探究釋疑解惑隨堂練習課標定位素養(yǎng)闡釋1.理解并能應用復合函數(shù)的求導法則求導.2.通過復合函數(shù)的求導法則的應用,增強運算求解的數(shù)學素養(yǎng).自主預習新知導學一、復合函數(shù)的概念2.一般地,對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過中間變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復合函數(shù),記作y=f(g(x)).3.下列函數(shù)是復合函數(shù)的是(

)解析:f(x)=log4(x+1)是復合函數(shù),它由y=log4u和u=x+1(x>-1)復合而成.選項A,B,D中的函數(shù)不是復合函數(shù).答案:C二、復合函數(shù)的求導法則2.一般地,對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)間的關系為

yx'=yu'·ux'.即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.3.若y=f(x)=(2x+a)2,且f'(2)=20,則a=

.

解析:函數(shù)y=f(x)=(2x+a)2可以看作函數(shù)y=u2和u=2x+a的復合函數(shù),根據(jù)復合函數(shù)的求導法則,有yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+a)'=2u×2=4(2x+a)=8x+4a.由f'(2)=16+4a=20,得a=1.答案:1【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)函數(shù)f(x)=sin(-x)的導數(shù)是f'(x)=cosx.()(2)函數(shù)y=ln(2x)不是復合函數(shù),是對數(shù)函數(shù).()×××合作探究釋疑解惑探究一復合函數(shù)的導數(shù)【例1】

求下列復合函數(shù)的導數(shù):(1)y=(3x-2)5;反思感悟求復合函數(shù)的導數(shù)的步驟

【變式訓練1】

求下列函數(shù)的導數(shù).(1)y=(2x+3)2;(2)y=sin(πx+φ)(φ為常數(shù)).解:(1)函數(shù)y=(2x+3)2可以看作函數(shù)y=u2和u=2x+3的復合函數(shù),則yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+3)'=2u×2=4(2x+3)=8x+12.(2)函數(shù)y=sin(πx+φ)可以看作函數(shù)y=sin

u和u=πx+φ的復合函數(shù),則yx'=yu'·ux'=(sin

u)'·(πx+φ)'=cos

u×π=πcos(πx+φ).探究二復合函數(shù)導數(shù)的綜合應用求曲線y=e2x+1過點(1,0)的切線方程.反思感悟解決復合函數(shù)導數(shù)的應用問題,首先要正確求出復合函數(shù)的導數(shù),因此熟練掌握復合函數(shù)的求導法則是關鍵.【變式訓練2】

已知曲線y=e3x在點(0,1)處的切線與直線l平行,且與l的距離為,求直線l的方程.解:因為y'=(e3x)'=3e3x,所以y'|x=0=3.故切線方程為y-1=3(x-0),即3x-y+1=0.由題意知,直線l與切線平行,則可設直線l的方程為3x-y+c=0.故直線l的方程為3x-y+11=0或3x-y-9=0.【易錯辨析】

對復合函數(shù)求導不完全而致錯【典例】

求函數(shù)y=xe1-2x的導數(shù).錯解1

y'=x'·(e1-2x)'=e1-2x.錯解2

y'=x'·e1-2x+x(e1-2x)'=e1-2x+xe1-2x=(1+x)e1-2x.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯解1,求導公式用錯;錯解2,y=e1-2x是復合函數(shù),應按照復合函數(shù)的求導法則進行.正解:y'=x'·e1-2x+x·(e1-2x)'=e1-2x+x·e1-2x·(1-2x)'=(1-2x)e1-2x.防范措施復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘中間變量對自變量的導數(shù),分步計算時,每一步都要明確是對哪個變量求導.【變式訓練】

(1)函數(shù)y=cos(5x+3)的導數(shù)是

.

(2)函數(shù)y=ln(7x-9)的導數(shù)為

.

解析:(1)∵y=cos(5x+3),∴y'=-sin(5x+3)×5=-5sin(5x+3).隨堂練習1.函數(shù)y=cos(-x)的導數(shù)是(

)A.y'=cosx B.y'=-cosxC.y'=-sinx D.y'=sinx解析:y'=-sin(-x)(-x)'=-sin

x.答案:C2.已知曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=(

)A.0 B.1

C.2

D.3由題意知y'|x=0=a-1=2,解得a=3.答案:D4.曲線y=sin2x在點M(π,0)處的切線方程是

.

解析:由y'=(sin

2x)'=cos

2x·(2x)'=2cos

2x,得切線的斜率k=y'|x=π=2.因為切線過點(π,0),所以切線方程為y=2(x-π),即2x-y-2π=0.答案:2x-y-2π=05.求下列函數(shù)的導數(shù):(1)y=x3e8x+5;(2)y=

ln(3x-1);(3)y=sin2xcos3x.解:(1)y'=(x3e8x+5)'=(x3)'·e8x+5+x3·(e8x+5)'=3x