第12章-靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)

1一、金屬導(dǎo)體的靜電平衡(electrostaticequilibrium)當(dāng)把導(dǎo)體放入靜電場E0中，導(dǎo)體中的自由電子在外電場E0的作用下定向運(yùn)動(dòng)，并在導(dǎo)體一側(cè)集結(jié)出現(xiàn)負(fù)電荷，而另一側(cè)出現(xiàn)正電荷，稱靜電感應(yīng)現(xiàn)象。集結(jié)的電荷稱為感應(yīng)電荷。

§9-5靜電場中的金屬導(dǎo)體23456當(dāng)導(dǎo)體內(nèi)部和外表都無電荷定向移動(dòng)的狀態(tài)稱為靜電平衡狀態(tài)。外電場與自由電荷移動(dòng)后的附加場之和為總場強(qiáng)73.導(dǎo)體內(nèi)部不存在凈電荷，所有過剩電荷都分布在導(dǎo)體外表上。因?yàn)閷?dǎo)體內(nèi)部的電場強(qiáng)度為零，上式積分為零，所以導(dǎo)體內(nèi)部必定不存在凈電荷。在導(dǎo)體內(nèi)部任取一閉合曲面S，運(yùn)用高斯定理，應(yīng)有1.整個(gè)導(dǎo)體是等勢體，導(dǎo)體的外表是等勢面。在導(dǎo)體內(nèi)部任取兩點(diǎn)P和Q，它們之間的電勢差可以表示為2.由于電場線與等勢面垂直，因此導(dǎo)體外表附近的電場強(qiáng)度處處與外表垂直。8910二、導(dǎo)體外表的電荷和電場導(dǎo)體外表電荷的分布與導(dǎo)體本身的形狀以及附近帶電體的狀況等多種因素有關(guān)。大致的規(guī)律為：在導(dǎo)體外表凸起部尤其是尖端處，面電荷密度較大；外表平坦處，面電荷密度較小；外表凹陷處，面電荷密度很小，甚至為零。1112金屬針上的電荷形成的“電風(fēng)〞會將蠟燭的火焰吹向一邊，這就是尖端放電現(xiàn)象。13在帶電導(dǎo)體外表任取一面元S，可認(rèn)為其電荷面密度為均勻分布。包圍S作一圓柱狀閉合面，使其上、下底面與導(dǎo)體外表平行。通過整個(gè)圓柱狀閉合面的電通量等于通過圓柱上底面的電通量。上式表示，帶電導(dǎo)體外表附近的電場強(qiáng)度大小與該處面電荷密度成正比。DS根據(jù)高斯定理，有靜電平衡導(dǎo)體，外表附近場強(qiáng)的大小與該處表面的電荷面密度成正比14三、空腔導(dǎo)體1.內(nèi)外表上不存在凈電荷，所有凈電荷都只分布在外外表。2.空腔內(nèi)部電場強(qiáng)度為零，即它們是等電勢?？赡苡袃煞N情形，第一種情形是等量異號電荷宏觀上相別離，并處于內(nèi)外表的不同位置上，與靜電平衡條件相矛盾。因此只能是第二種情形，即內(nèi)外表上處處電量為零。腔內(nèi)假設(shè)存在電場，那么電場線只能在腔內(nèi)空間閉合，而靜電場的環(huán)路定理已經(jīng)說明其電場線不可能是閉合線，所以整個(gè)腔內(nèi)不可能存在電場，電勢梯度為零。即電勢處處相等并等于導(dǎo)體的電勢。15假設(shè)金屬空腔導(dǎo)體內(nèi)部有帶電體,由高斯定理可得:q–q'S說明空腔內(nèi)外表所帶總電量與空腔內(nèi)帶電體的電量相等、符號相反。導(dǎo)體空腔是等勢體，腔內(nèi)場強(qiáng)不為零，不是等電勢區(qū)間。在導(dǎo)體內(nèi)：在空腔內(nèi)：Q16

利用導(dǎo)體靜電平衡的性質(zhì)，使導(dǎo)體空腔內(nèi)部空間不受腔外電荷和電場的影響，或者將導(dǎo)體空腔接地，使腔外空間免受腔內(nèi)電荷和電場影響，這類操作都稱為靜電屏蔽。無線電技術(shù)中有廣泛應(yīng)用，例如，常把測量儀器或整個(gè)實(shí)驗(yàn)室用金屬殼或金屬網(wǎng)罩起來，使測量免受外部電場的影響。

四、導(dǎo)體靜電平衡性質(zhì)的應(yīng)用＋q＋q-q＋q-q1.靜電屏蔽(electrostaticshielding)174.庫侖平方反比律的精確證明由于庫侖定律是電磁理論的根本規(guī)律之一，另外，庫侖定律是否為嚴(yán)格的平方反比律，即在下式中是否嚴(yán)格等于零，是與一系列重大物理問題相聯(lián)系的

在證明高斯定理時(shí)我們已經(jīng)看到，高斯定理的成立是由于庫侖定律滿足平方反比律，即

=0；而處于靜電平衡的金屬導(dǎo)體內(nèi)部不存在凈電荷的結(jié)論，是高斯定理的直接結(jié)果。試設(shè)想，庫侖平方反比律不嚴(yán)格成立，高斯定理就不存在，處于靜電平衡的金屬導(dǎo)體內(nèi)部就可能存在凈電荷。所以，用實(shí)驗(yàn)方法測量導(dǎo)體內(nèi)部不存在凈電荷，可以精確地驗(yàn)證庫侖平方反比律。18例1：

兩塊導(dǎo)體平板平行并相對放置，所帶電量分別為Q和Q

，如果兩塊導(dǎo)體板的面積都是S，且視為無限大平板，試求這四個(gè)面上的面電荷密度。解：設(shè)四個(gè)面的面電荷密度分別為1、2、3和4，空間任一點(diǎn)的場強(qiáng)都是由四個(gè)面的電荷共同提供的。由高斯定理，各面上的電荷所提供的場強(qiáng)都是i/20。另外，由于導(dǎo)體內(nèi)部的合成場強(qiáng)為零。假設(shè)取向右為正方向，那么處于導(dǎo)體內(nèi)部的點(diǎn)A和點(diǎn)B的場強(qiáng)可以表示為19根據(jù)條件S(12)=QS(34)=Q.可解得上式說明兩塊無限大的導(dǎo)體平板，相對的內(nèi)側(cè)外表上面電荷密度大小相等、符號相反，相反的外側(cè)外表上面電荷密度大小相等、符號相同。如果Q=Q，可以求出：S例3.金屬球A帶電q1=110–9C,外有一同心金屬球殼B帶電q2=

310–9C,并且R1=2cm,R2=5cm,R3=10cm求〔1〕假設(shè)B接地，VA、VB各等于多少？2〕假設(shè)A接地(地在無限遠(yuǎn)),A、B球上電荷分布及電勢？解：

靜電感應(yīng)〔1〕B接地VB

=0=270V19那么20〔2〕假設(shè)A接地,A、B球上電荷分布及電勢？解：球殼B內(nèi)外表帶電球殼B外外表帶電q1q2?q1是否全跑掉？〔2〕那么有q1=110–9Cq2=

310–9C22半徑為R的不帶電導(dǎo)體球附近有一點(diǎn)電荷+q，它與球心O相距d，求(1)導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度及此時(shí)球心處的電勢；(2)假設(shè)將導(dǎo)體球接地，球上的凈電荷為多少？解:(1)建立如圖所示的坐標(biāo)系設(shè)導(dǎo)體球外表感應(yīng)出電荷±q’.球心O處場強(qiáng)為零，是±q’的電場和q的電場疊加的結(jié)果23即因?yàn)樗懈袘?yīng)電荷在O處的電勢為而q在O處的電勢為2425262728293031電容只與導(dǎo)體的幾何因素和介質(zhì)有關(guān)，與導(dǎo)體是否帶電無關(guān)三.導(dǎo)體的電容電容器1.孤立導(dǎo)體的電容單位:法拉(F)孤立導(dǎo)體的電勢孤立導(dǎo)體的電容++++++++++++++++Qu↑E↑

求半徑為R的孤立導(dǎo)體球的電容.電勢為電容為R反映了孤立導(dǎo)體儲存電荷和電能的能力。33二、電容器：

在周圍沒有其它帶電導(dǎo)體影響時(shí)，由兩個(gè)導(dǎo)體組成的導(dǎo)體體系，稱為電容器。＋Q-QRARB如下圖，用導(dǎo)體空腔B把導(dǎo)體A包圍起來，B以外的導(dǎo)體和電場都不會影響導(dǎo)體A以及A、B之間的電場。可以證明，導(dǎo)體A、B之間的電勢差VAVB與導(dǎo)體A所帶電量成正比，而與外界因素?zé)o關(guān)。電容器的電容定義為341.平行板電容器平行板電容器面積為S，板間距為d,且三、電容的計(jì)算平行板電容器的電容與極板的面積S成正比，與兩極板之間的距離d成反比。平行板間無電介質(zhì)時(shí),〔1〕平行板電容器設(shè)極板面積為S，間距為d，帶電荷q極板間任意點(diǎn)的電場38結(jié)論平行板間有電介質(zhì)時(shí),〔2〕球形電容器的電容球殼間電場是球?qū)ΨQ的極板間電勢差設(shè)兩個(gè)同心金屬球殼,半徑為R1,R2,中間充滿電介質(zhì)

,

帶電+Q，-Q；

R1R2+Q–Q40當(dāng)——導(dǎo)體球的電容++++++++++––––––––––LR1R2〔3〕圓柱形電容器由電荷分布可知電場具有軸對稱性兩圓柱面間的場強(qiáng)

兩極間電勢差

兩個(gè)半徑分別為R1、R2,長為L的同軸導(dǎo)體圓柱面單位長度帶等量異號電荷

(L>>R2

–R1

)。

假設(shè)兩圓柱面間充滿電介質(zhì)r,那么39只與結(jié)構(gòu)及

r

有關(guān)與

無關(guān)求電容的方法：1o

假定兩極板帶等量異號電荷+q、

q2o求出板間場強(qiáng)〔利用高斯定理〕3o求出板間電勢差V〔用定義法〕4o

根據(jù)

C=Q/V

求出電容41歸納內(nèi)39例:兩根距離為d的平行無限長直導(dǎo)線帶等量異號電荷,構(gòu)成電容器，設(shè)導(dǎo)線半徑a<<d，求單位長度的電容。xdoxa

解:如圖建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)軸上x處的場強(qiáng)可由高斯定理求出方向沿x軸正方向。式中

是正電導(dǎo)線單位長度所帶電量。兩導(dǎo)線間的電勢差為由此可算得單位長度的電容為

在電路中一個(gè)電容器的電容量或耐壓能力不夠時(shí),可采用多個(gè)電容連接。如增大電容，可將多個(gè)電容并聯(lián)：…假設(shè)增強(qiáng)耐壓，可將多個(gè)電容串聯(lián)：…耐壓強(qiáng)度但是電容減小：電容器的串、并聯(lián)45411.并聯(lián)電容器的電容等效令422.串聯(lián)電容器的電容等效令例三個(gè)電容器按圖連接，其電容分別為C1、C2和C3。求當(dāng)電鍵K翻開時(shí)，C1將充電到U0，然后斷開電源，并閉合電鍵K。求各電容器上的電勢差。解在K閉合前，C1極板上所帶電荷量為q0=C1U0，C2和C3極板上的電荷量為零。K閉合后，C1放電并對C2、C3充電，整個(gè)電路可看作為C2、C3串聯(lián)再與C1并聯(lián)。設(shè)穩(wěn)定時(shí)，C1極板上的電荷量為q1，C2和C3極板上的電荷量為q2，因而有KU0+q0-q0C1C2C3解兩式得因此，得C1

、C2和C3上的電勢差分別為45將充電后的電容器去掉電源，再插入某種介質(zhì)〔如：玻璃，硬橡膠等〕，結(jié)果如下：其中U0、E0、C0和U、E、C依次表示插入介質(zhì)前、后電容器的極間電壓、場強(qiáng)和電容?！?2.3

靜電場中的電介質(zhì)一.電介質(zhì)對電場的影響電介質(zhì):

絕緣體46這種在電場作用下發(fā)生變化，同時(shí)又對電場產(chǎn)生影響的物質(zhì)稱為電介質(zhì)。電介質(zhì)在外電場作用下，其外表出現(xiàn)凈電荷的現(xiàn)象稱為電介質(zhì)的電極化，簡稱極化。極化時(shí)電介質(zhì)外表處出現(xiàn)的凈電荷稱為極化電荷或束縛電荷。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，系數(shù)主要依賴于電介質(zhì)種類，此外還與介質(zhì)所處的環(huán)境有關(guān)，今后我們稱其為相對介電常數(shù)。

r—電介質(zhì)的相對介電常數(shù)二.電介質(zhì)的極化束縛電荷無極分子有極分子

+

-無外場時(shí)〔熱運(yùn)動(dòng)〕整體對外不顯電性(無極分子電介質(zhì))(有極分子電介質(zhì))-------+++++++有外場時(shí)(分子)位移極化(分子)取向極化束縛電荷

′束縛電荷

′

無極分子電介質(zhì)

有極分子電介質(zhì)

′1o電介質(zhì)中的電子受原子核很強(qiáng)的束縛，即使在外電場作用下,也只能沿電場方向相對于原子核作微觀位移,無自由電荷的宏觀運(yùn)動(dòng)。2o對均勻電介質(zhì)體內(nèi)無凈電荷,極化電荷只出現(xiàn)在外表上。3o極化電荷與自由電荷在激發(fā)電場方面,具有同等的地位。一般地，E外不同，那么介質(zhì)的極化程度不同。23

說明24束縛電荷產(chǎn)生場影響原來的場內(nèi)部：削弱場外部：改變場金屬導(dǎo)體和電介質(zhì)比較有大量的自由電子基本無自由電子，正負(fù)電荷只能在分子范圍內(nèi)相對運(yùn)動(dòng)金屬導(dǎo)體特征電介質(zhì)（絕緣體）模型與電場的相互作用宏觀效果“電子氣”電偶極子靜電感應(yīng)有極分子電介質(zhì):無極分子電介質(zhì):轉(zhuǎn)向極化位移極化靜電平衡導(dǎo)體內(nèi)導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷內(nèi)部：分子偶極矩矢量和不為零表面：出現(xiàn)束縛電荷（極化電荷）52平行板電容器為例求極化電荷面密度介質(zhì)內(nèi)電場即介質(zhì)的介電常數(shù)12.4電介質(zhì)中的電場，電位移和高斯定理電極化強(qiáng)度矢量對于介質(zhì)極化的程度和方向，可以用極化強(qiáng)度矢量P來描述，它是某點(diǎn)處單位體積內(nèi)因極化而產(chǎn)生的分子電矩之和，即式中是在電介質(zhì)體元分子電矩的矢量和。在國際單位制中，極化強(qiáng)度的單位是C×m-2(庫侖/米2)。如果電介質(zhì)內(nèi)各處極化強(qiáng)度的大小和方向都相同，就稱為均勻極化。54極化強(qiáng)度與極化電荷的關(guān)系在極化了的電介質(zhì)內(nèi)切出一個(gè)長度為l、底面積為DS的斜柱體，使極化強(qiáng)度P的方向與斜柱體的軸線相平行，而與底面的外法線n的方向成q角，如圖9-31所示。出現(xiàn)在兩個(gè)端面上的極化電荷面密度分別用和表示?？梢园颜麄€(gè)斜柱體看為一個(gè)“大電偶極子〞，它的電矩的大小為，顯然這個(gè)電矩是由斜柱體內(nèi)所有分子電矩提供。對于均勻極化的情形，極化電荷只出現(xiàn)在電介質(zhì)的外表上。55斜柱體內(nèi)分子電矩的矢量和的大小可表示為斜柱體的體積為根據(jù)定義，極化強(qiáng)度的大小為束縛電荷面密度=Pn

56極化強(qiáng)度通過某封閉曲面的通量等于曲面內(nèi)極化電荷代數(shù)和的負(fù)值極化面電荷密度等于極化強(qiáng)度的外法線分量對于任一閉合曲面就有這說明，穿出任意閉合曲面的電極化強(qiáng)度的通量，等于這個(gè)閉合曲面所包圍的極化(束縛)電荷。57介質(zhì)中的高斯定理總場=外場+極化電荷附加電場：靜電場高斯定理自由電荷極化電荷凈自由電荷定義：電位移矢量58

電介質(zhì)中的高斯定理：電位移矢量通過靜電場中任意封閉曲面的通量等于曲面內(nèi)自由電荷的代數(shù)和與一切均有關(guān)電位移矢量穿過閉合曲面的通量僅與有關(guān).◆特例：真空——特別介質(zhì)◆回到：59各向同性電介質(zhì)：令介質(zhì)的相對電容率為常數(shù)得真空電容率介質(zhì)電容率式中，總場

r+++++++++---------+++++++++++++++++--------------------兩平行金屬板之間充滿相對介電常數(shù)為

r

的各向同性均勻電介質(zhì),金屬板上的自由電荷面密度為

0。兩金屬板之間的電場強(qiáng)度和介質(zhì)外表的束縛電荷面密度.解求解:〔1〕設(shè)場強(qiáng)分別為E1和E2，電位移分別為D1和D2，E1和E2與板極面垂直，都屬均勻場。先在兩層電介質(zhì)交界面處作一高斯閉合面S1，在此高斯面內(nèi)的自由電荷為零。由電介質(zhì)時(shí)的高斯定理得例題4平行板電容器兩板極的面積為S，如下圖，兩板極之間充有兩層電介質(zhì)，電容率分別為ε1和ε2，厚度分別為d1和d2，電容器兩板極上自由電荷面密度為±σ。求〔1〕在各層電介質(zhì)的電位移和場強(qiáng)，〔2〕電容器的電容.+

E1E2D1D2S2S1d1d2AB

1E2

2所以即在兩電介質(zhì)內(nèi)，電位移和的量值相等。由于所以可見在這兩層電介質(zhì)中場強(qiáng)并不相等，而是和電容率〔或相對電容率〕成反比。

為了求出電介質(zhì)中電位移和場強(qiáng)的大小，我們可另作一個(gè)高斯閉合面S2

，如圖中左邊虛線所示，這一閉合面內(nèi)的自由電荷等于正極板上的電荷，按有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理，得再利用可求得方向都是由左指向右。q=σS是每一極板上的電荷，這個(gè)電容器的電容為可見電容電介質(zhì)的放置次序無關(guān)。上述結(jié)果可以推廣到兩極板間有任意多層電介質(zhì)的情況〔每一層的厚度可以不同，但其相互疊合的兩外表必須都和電容器兩極板的外表相平行〕?！?〕正、負(fù)兩極板A、B間的電勢差為例平行板電容器，其中充有兩種均勻電介質(zhì)。求(1)各電介質(zhì)層中的場強(qiáng)(2)極板間電勢差解做一個(gè)圓柱形高斯面同理，做一個(gè)圓柱形高斯面66例圖中是由半徑為R1的長直圓柱導(dǎo)體和同軸的半徑為R2的薄導(dǎo)體圓筒組成，其間充以相對電容率為r的電介質(zhì).設(shè)直導(dǎo)體和圓筒單位長度上的電荷分別為+和-.求(1)電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度、電位移和極化強(qiáng)度；(2)電介質(zhì)內(nèi)外外表的極化電荷面密度.〔3〕此圓柱形電容器的電容解(1)67(2)r真空圓柱形電容器電容由〔１〕可知單位長度電容3〕此圓柱形電容器的電容12-5電場的能量開關(guān)倒向a,電容器充電。開關(guān)倒向b,電容器放電。燈泡發(fā)光

電容器釋放能量

電源提供

計(jì)算電容器帶有電量Q，相應(yīng)電勢差為U時(shí)所具有的能量。一、帶電系統(tǒng)的能量§12-5靜電場的能量能量密度以平行板電容器為例一、電容器的電能設(shè)一個(gè)電容為C的電容器正在充電充電過程：通過電源內(nèi)部非靜電力做功，使得正電荷的電勢能增大，也是把其他形式的能量轉(zhuǎn)化為了電能。任一時(shí)刻終了時(shí)刻外力做功電容器的電能非靜電力克服靜電力做功，把非靜電能轉(zhuǎn)化為電容器的電能，即：