高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)練習(xí)題含答案

高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)練習(xí)題含答案

一、解答題

1.已知函數(shù)f(x)=《-“(x-lnx)+a(a為實(shí)數(shù)).

X

⑴當(dāng)。=一1時(shí)，求函數(shù)，(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)“X)在(0,1)內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

2.已知函數(shù)/(x)=alnx-x+?a＞0).

⑴當(dāng)xNl時(shí)，/(x)?0恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

⑵當(dāng)。=1時(shí),g(x)=#(x)+d—1,方程g(x)=m的根為與、x2,且占，求

證：＞\+em.

2

3.已知aeR,^^/(x)=e2x+^--7ex.

⑴求曲線y=/(x)在x=o處的切線方程

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)與三，且0＜芭氣＜1,

(i)求a的取值范圍；

(ii)當(dāng)。＜一9時(shí)，證明：+.

aa+4

(注：e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

4.已知函數(shù)/(x)=lnx,g(x)=f—x+l.

⑴求函數(shù)力(x)=/(x)-g(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若直線/與函數(shù)“X),g(x)的圖象都相切，求直線/的條數(shù).

5.設(shè)函數(shù)f(x)=ae"'-Inx-1，其中a＞0

⑴當(dāng)a=l時(shí)，討論〃x)單調(diào)性；

(2)證明：〃x)有唯一極值點(diǎn)％,且/1)20.

6.已知函數(shù)/(x)=-^--1,a^O.

e+a

(1)當(dāng)a=l時(shí),

①求曲線y=/(x)在x=o處的切線方程；

②求證：/a)在(0,+8)上有唯一極大值點(diǎn)；

⑵若/(X)沒有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

7.已知函數(shù)/(x)=e*-ar+l(aeR).

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性與極值；

(2)若對(duì)任意x＞0,/⑶之-丁-*恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

8.已知函數(shù)f(x)=R，g(x)=%(xT).

⑴證明：VZeR,直線y=g(x)都不是曲線y=〃x)的切線；

(2)若Vxe[e,e2],使〃x)Vg(x)恒成立，求實(shí)數(shù)Z的取值范圍.

9.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之"美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之

美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若

制火是“X)的導(dǎo)函數(shù)，/⑺是制x)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=〃x)在點(diǎn)(xj(x))處

⑴若曲線〃x)=lnx+x與g(x)=4在(1,1)處的曲率分別為叫，K2,比較K2

大小；

⑵求正弦曲線/?(x)=sinx(xeR)曲率的平方色的最大值.

10.已知函數(shù)f(x)=《+S-l)x+l

a

⑴當(dāng)a=g6=-1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，恒成立，求b的值.

【參考答案】

一、解答題

1.(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1),遞增區(qū)間為。，”)

(2)(e,+oo)

【解析】

【分析】

(1)求導(dǎo):(x)=("F(f一3,易知a=-l時(shí)，e-ax=ex+x>Q,然后由_f(x)<0

X

和ra)>o求解；

(2)由(1)知，4,0時(shí)，不符合題意，a>0時(shí)，根據(jù)函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)

存在唯一極值點(diǎn)，得到/'(幻=0在(0,1)內(nèi)存在唯一變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為

X

在(0,1)內(nèi)存在唯一根求解.

(1)

解：函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?0,+8),解X)==(X-D?一以).

%-Vx)x-

當(dāng)a=-1時(shí)，e'-ar=ex+x>0?

所以當(dāng)xe(0,l)時(shí)，/V)<0；當(dāng)時(shí)，f'(x)>0.

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),遞增區(qū)間為(1,內(nèi)).

⑵

由(1)知，當(dāng)4,0時(shí),f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，

所以Ax)在(0,1)內(nèi)不存在極值點(diǎn)；

當(dāng)。>0時(shí)，要使函數(shù)"X)在(0,1)內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，

則/。)=“7)￡-")=0在(O，1)內(nèi)存在唯一變號(hào)零點(diǎn)，

x

即方程e'-ar=O在(0,1)內(nèi)存在唯一根，

所以a=f在(0,1)內(nèi)存在唯一根，

X

即y=a與g(x)=3的圖象在(0，1)內(nèi)存在唯一交點(diǎn)，

因?yàn)?(X)="—?e<o,

x-

所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減.又g(l)=e,

當(dāng)X—0時(shí)，g(X)f+8,

所以”>e,即a的取值范圍為(e,+8).

2.(l)0<a<2

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)分析可知xNl,〃x)40=/(l),分0<“42、。>2兩種情況討論，利用導(dǎo)

數(shù)分析函數(shù)“X)在口，口)上的單調(diào)性，驗(yàn)證⑴對(duì)任意的xNl是否恒成

立，由此可求得實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

(2)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性，可得出0<%<3<々<1，證明出尤3>玉,

證明出當(dāng)時(shí)，g(x)<=(x-l),可得出±>為=1+仁-1)“，結(jié)合不等式

的性質(zhì)可證得結(jié)論成立.

⑴

解：因?yàn)?(x)=alnx-x+,(a>0),則/(彳)，_］_［=+廣1,且/⑴=0,

XXX"X

由題意可知，對(duì)任意的X21,/(%)<0=/(1),

設(shè)y=~x~+ax—\,則△=/-4,

(i)當(dāng)0<“42時(shí),A<0,r(x)V0恒成立且尸(x)不恒為零，f(x)在［1,+?0上

是減函數(shù)，

又因?yàn)?⑴=0,所以〃x)<0恒成立；

(ii)當(dāng)。>2時(shí)，△>(),方程_/+◎_1=0的根為%=匕烏三，

a+y/a^-4

X)=-，

2

又因?yàn)檎?=1,所以不<1<々.

由/'(x)>0得14尤<0+手匚,由r(x)<0,得x>竺日三,

所以“X)在1,空岑亙］上是增函數(shù)，在［竺"三,+［上是減函數(shù)，

_7\7

因?yàn)?1)=0,所以1(x)4。不恒成立.

綜上所述，0<?<2.

(2)

證明：當(dāng)°=1時(shí)，g(x)=V(x)+x2-l=xlnx,g'(x)=l+lnx,

由g，(x)<0,可得0<x<g,由g'(x)>0,可得x>:,

所以g(x)在10,口上是減函數(shù)，在(%+8)上是增函數(shù)，則g(xL=g(j=T，

當(dāng)Ovxvl時(shí),g(x)=xlnx<0,所以,0<^<-<x2<1,且一，<加<0,

ee

當(dāng)時(shí)，lnx<-l,所以xlnxv-x,即g(x)<-工.

設(shè)直線尸T與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為七，則七=-m=-％1呻>x,,

下面證明當(dāng)xeg」)時(shí)，g(x)〈占(x-l),

/?(x)=xlnx----(X_1)=xInx-----F----：—,

乂~e-r)Le-1(e-l)x

令p(x)=lnx-9+小，則"(")=:一昌)=需竟，

當(dāng)—<x<---時(shí)，p<0,當(dāng)---</<1時(shí)，pfxl>0,

ee-1e-1

所以P(X)在((去)上是減函數(shù)，在(±，1)上是增函數(shù)，

又因?yàn)閜(：)=o,P⑴=0,所以當(dāng)g<x<l時(shí)，P(x)<0,/?(x)<0,

故當(dāng)時(shí)，g(A-)<-^-y(X-l).

設(shè)直線卜=一二(》-1)與y=m的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為匕，則汜=，"，可得

e—1e-1

x4=l+(e-l)m,

x,=l+e〃j得證.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式〃x)>g(x)(或〃x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明

/(x)-g(x)>0(或〃x)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)Mx)=/(x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造"形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)

構(gòu)造輔助函數(shù).

3.(l)y=(2-旬X+1

(2)(i)-2e\-4五)；(H)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；

(2)(i)原問(wèn)題等價(jià)于4，三是方程生二匹=-a的兩根，且。氣<1,從而

x

構(gòu)造函數(shù)g(A-)=2-：-a>0),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線y=-“與函數(shù)g(x)的圖象有兩

個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0小于1即可求解；

(ii)由x+14e，，利用放縮法可得2(2玉+1)+叫-人W尸(%)=0,即

逅二2,又由(i)知從而可證<”史立；先證明

。+44。+4

e-<l1^(O<x<l),然后利用放縮法可得2?巖+3-瓜>尸(為)=。。=1,2),

即-ox；+(。+2+正)苦+2一血>o(i=1,2),最后構(gòu)造二次函數(shù)

>n(x)=-ax2+(a+2+^)x+2-^,利用根的分布即可證明入用>-空正，從

a

而得證原不等式.

⑴

解：因?yàn)槭?x)=2e“+奴-五

所以((0)=2-五，又〃0)=1,

所以曲線y=/(x)在x=0處的切線方程為y=(2-旬x+1；

⑵

解：(i)因?yàn)楹瘮?shù)〃x)有兩個(gè)極值點(diǎn)苦,當(dāng)，

所以占，%是關(guān)于x的方程/'(x)=2e2'+6-五=()的兩根，也是關(guān)于x的方程

-~=^=一”的兩正根，

X

設(shè)8(月=至鏟(》>0),則g，(x)=曳貯亨土立，

令力(x)=4xe2x-2e2x+Ve(x>0),則〃'(x)=8xe2x,

當(dāng)x>0時(shí)，//(x)>0,所以?shī)yx)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又?￡|=。，

所以，當(dāng)0<x<；時(shí)，/i(x)<0,gf(x)<0；當(dāng)時(shí)，/7(x)>0,g[x)>0,

所以函數(shù)g(x)在(o,￡)上單調(diào)遞減，在《T上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?<占<三<1,所以<<g⑴，即4\/e<-a<2e2->/e,

所以a的取值范圍是(6-2葭-4五)；

(ii)證明：結(jié)合(i)可知五-2e2<a<-9,

因?yàn)閤+14e*,所以2(2%+1)+西-五W/'(xJ=0,

所以（〃+4）%W人一2,所以工12立一-,又由（i）知＜1,

。+44

所以XX心「五二一十6-五

。+4。+4

下面先證明不等式e2,<>1。<x<1),

1-x

]2犬2巳2工

設(shè)，(力=77%?e?"(°<x<1),貝lj/(x)=_,+x)2,

所以，當(dāng)Ovxvl時(shí),/(x)vO,/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

所以，r(x)<r(O)=l,所以不等式e，*〈產(chǎn)(0<x<l)成立，

因?yàn)槲?馬，(0"<々<1)是廣(x)=2e"+"-&=0的兩個(gè)根，所以

尸(x,)=0(i=1,2),又e2「〈手(0<x<1),

所以2?盧土+ax,.-Ve>//(x,.)=0(/=1,2),即

if

-axj+(々+2+A)七+2—五>0(z=1,2),

設(shè)函數(shù)機(jī)(x)=-/+(a+2+yfe\x+2-y/e,對(duì)稱軸x=t="+2+”,

''2a

因?yàn)锳=(〃+2+&)+4〃(2-五)=(〃+6-五)+16(公-2)>0,且加(0)>0,

機(jī)⑴>0,

所以函數(shù)旭(%)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),記為叫目("￡),且Ovavrv卜<1,

_1?f—(6?4-6—>/cV4-16(\/e-2^

因?yàn)槭?2e*/+at—\/e<2--------at-x/e=------------------------示--------<0,且

l-t2(”2-五)

r(0)>0,//(1)>0,

所以0"氣<1,

因?yàn)閙(x)在(0")上單調(diào)遞減，且〃?(占)>0=”(a),所以0"<a<r；

因?yàn)榧?x)在(f,l)上單調(diào)遞增，且〃7(W)>0=加(￡)，所以廣<乙<1；

所以0"<口</<々<1,所以工2-%>夕-。，

又_1＜在二名與＜0（〃＜一9）,所以夕—a＞-也叵,

aa

所以%-七＞一21逅

i2+>/e〃+6—5/e

,----------<x—x.<-------------.

a2~a+4

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題(2)問(wèn)(ii)小題證明的關(guān)鍵是，利用x+lKe3進(jìn)行放縮可

得王，逅二，從而可證々一王<絲空在；再利用e2,〈產(chǎn)(0<x<l),進(jìn)行放

縮可得2?產(chǎn)+axi-^>/⑷=0(i=1,2),從而構(gòu)造二次函數(shù)

l-xi

%(x)=—?2+(。+2+丘)X+2—血，利用根的分布即可證明X

a

4.⑴在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,討)上單調(diào)遞減

(2)兩條

【解析】

【分析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)

間；

(2)設(shè)直線/分別與函數(shù)“X),g(x)的圖象相切于點(diǎn)Aa，ln1),

川9/-赴+1),依題意可得ra)=g'u)=%,即可得到方程組，整理得

1呻+至4-2=0,令F(x)=lnx+包匕2,利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，利

用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可得解；

⑴

解：由題設(shè)，/z(^)=/(^)-g(x)=lnx-x2+x-l,定義域?yàn)?0,+8),

則〃(X)」_2X+1=/X2T-1=_(2X+1)(X-1)

XXX

當(dāng)0cx<1時(shí)，/?,(x)>0；當(dāng)x>l時(shí)，〃(尤)<(),所以人(無(wú))在(0,1)上單調(diào)遞增，在

(1,+00)上單調(diào)遞減.

(2)

解：因?yàn)椤▁)=lnx,g(x)=f—x+1,所以/'(x)=T，g'(x)=2x-l,

設(shè)直線/分別與函數(shù)〃x),g(x)的圖象相切于點(diǎn)A(N，lnxJ,8卜芯-9+1)

貝匹'(xj=g'(w)=k.,即工=2%-1=M「二二1

由二得土注=]n%-x：+x,-l

X,Xf-X2X

K|J1—-=InXj~4-—1,g|JInXj—+/4—--2=0

為須

\2

由;=2超-1,得々=+F，代入上式，得In%-X+1

4-+2=0

2%,<W-

即匹+筌-2=。,貝什⑺=皿+察一2=lnx+1+*V

2刀2一彳[(2x+l)(x-l)

設(shè)/(x)=9白一2=(x>°)

2/

當(dāng)0<x<l時(shí),F(x)<0；當(dāng)x>l時(shí)，F(xiàn)(x)>0,所以尸(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在

(1,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增.

因?yàn)槭?x)而n=F(l)=T<。，/圖=1刈+0+：)一2=(*：)>0,

I'4e44e4

則尸(x)在(1,+8)上僅有一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)槭?2)=-2+〈+號(hào)_:=4+二>0,則網(wǎng)外在(0,1)上僅有一個(gè)零點(diǎn).

、724424

所以F(x)在(0，+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)，故與函數(shù)/(x),g(x)的圖象都相切的直線/

有兩條.

5.(l)〃x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,位)上單調(diào)遞增；

⑵證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)首先確定“X)定義域，再應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷/?x)的單調(diào)性，進(jìn)而

分區(qū)間判斷/Rx)的符號(hào)，即可確定“X)的單調(diào)性.

(2)求f(x)的二階導(dǎo)，根據(jù)其符號(hào)知在(0,y)上單調(diào)遞增，令力^)=0得

到lnx+；=l,構(gòu)造〃(x)=lnx+；-l結(jié)合其單調(diào)性，注意利用導(dǎo)數(shù)研究

e(x)=lnx-x+l的符號(hào)，再用放縮法判斷/?(胃j、的符號(hào)，即可判斷零

點(diǎn)看的唯一性，進(jìn)而得到孑T=lnJ=-lnx。，結(jié)合基本不等式求證“不)2

a玉)

⑴

當(dāng)a=l時(shí),/(x)=ev-l-lnx-l,定義域?yàn)?0,+oo),

則/'(x)=e--f/(力=-+±>0,

所以制x)在(0,也)上單調(diào)遞增，又(⑴=0,

當(dāng)0<x<l時(shí)，制勾<0,所以〃x)在區(qū)間(0』)上單調(diào)遞減；

當(dāng)X>1時(shí)，/V)>0>所以在區(qū)間(1，內(nèi))上單調(diào)遞增.

綜上，“X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

⑵

由題意，r(x)=e?-'-l,尸(司=1]+±>0,則制x)在(0,物)上單調(diào)遞增，

至多有一個(gè)零點(diǎn)，

11-r

令0(x)=lnx-x+l,其中x>l,貝U"(x)=--1=—,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，d(x)>0,S(x)單調(diào)遞增.

當(dāng)x?l,+8)時(shí)，”(x)<0,Q(x)單調(diào)遞減，

所以夕(x)49(1)=0,Inx—x+1<0,于是InxWx-l,

令/4萬(wàn))=0,則『e；=e，兩邊取自然對(duì)數(shù)可得lnx+?=l,

令/i(x)=lnx+；-1,則/z(x)在(0,+°°)上單調(diào)遞增.

故旦+—-1<---1+——-1=-1<0,又

叱(a+Ua+1a+\a+\a+l

1pa+l

/!(en+l)=lnea+'+--e<,+l-l=a+—>0,

所以力(x)在(0,M)上有唯一零點(diǎn)看,則/qx)有唯一零點(diǎn)看,即/(x)有唯一極值

點(diǎn)看.

下證/(%)":

7)[1^0_i1YI

因?yàn)?'(Xo)=e"---=0,所以e"=—,可得qT=ln_=TnXo,

毛毛a%

所以〃x0)=“e--加與-1=巴+區(qū)-1-122戶石-2=0,當(dāng)且僅當(dāng)與=。時(shí)等號(hào)成

ax0a

立，

綜上，f(x)有唯一極值點(diǎn)司且得證.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，利用二階導(dǎo)數(shù)研究一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)所得的

等量關(guān)系構(gòu)造Mx)=lnx+?-1,結(jié)合單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理判斷了?X)零點(diǎn)的

唯一性，進(jìn)而利用基本不等式證明不等式.

6.⑴①y=/-i；②證明見解析

(2){-l}u(0,e2)

【解析】

【分析】

(1)①利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，直接求出切線方程；

②令g(x)=e'+l-xe"利用導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)在(0,+8)上有唯一零點(diǎn)方,利用列表

法證明出/(x)在。口)上有唯一極大值點(diǎn)；

(2)令/?(x)=e'+a-or.對(duì)a分類討論：①a<0,得到當(dāng)a=T時(shí)，f(x)無(wú)零

點(diǎn)；②a>0,/(x)無(wú)零點(diǎn)，符合題意.

⑴

若。=1，則=，/，(-t)=e

'，e+1(eV+1.)7，?

，±

①在x=o處，/(°)=77l7^1,/(o)=-i.

(1+1)/

所以曲線y=〃x)在x=o處的切線方程為y=*i.

②令g(x)=e*+l-xe",g'(x)=-xex,

在區(qū)間(0,+8)上，g<x)<0,則g(x)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù).

又g(i)=i>o,g(2)=-e2+1<0,,

所以g(x)在(0,")上有唯一零點(diǎn)看.

列表得：

(x,+oo)

X(O,xo),%0

/(X)+0-

“X)7極大值

所以/(x)在(0,m)上有唯一極大值點(diǎn).%.

(2)

h^x)=e,x+a-ax,則〃(x)=e*_a.

①若。<0,則〃'(x)>0,力(x)在R上是增函數(shù).

因?yàn)??(』)=e【一l+a<Q,/z(l)=e>0,

所以〃(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)%.

令e*+a=0,得Xo=ln(-a).

代入/?(%)=0,得一a+a-aln(—4)=0,

解得a=-l.

所以當(dāng)。=-1時(shí)，〃(x)的唯一零點(diǎn)為0,此時(shí)/(x)無(wú)零點(diǎn)，符合題意.

②若空0,此時(shí)/(x)的定義域?yàn)镽.

當(dāng)x<lna時(shí)，"(x)<(),〃(x)在區(qū)間(-℃[na)上是減函數(shù)；

當(dāng)x>lna時(shí)，h'(x)>0,萬(wàn)⑺在區(qū)間(Ina,+8)上是增函數(shù).

所以心濡=〃(lna)=2a-aIna.

又/i(0)=l+a>0,

由題意，當(dāng)2a-alna>0,即Ovave?時(shí),/")無(wú)零點(diǎn)，符合題意.

綜上，。的取值范圍是{-1}=(0芳).

【點(diǎn)睛】

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值(最值)；

(3)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.

7.⑴答案見解析

(2)(^o,e+3]

【解析】

【分析】

(1)求導(dǎo)得到r(x)="-a,討論%。和a>0兩種情況，分別計(jì)算得到答案.

(2)x>0時(shí)，°J+x'x+l,令g(x)=e'+x2+x+%>o),求函數(shù)的最小值，得到

XX

答案.

⑴

f(x)=eA-ar+1,fr(x)=ex-a.

①當(dāng)“VO時(shí)，/'(x)=e，-a>0恒成立，

??J。)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極大值也無(wú)極小值；

②當(dāng)a>0,xe(e』na)時(shí)，

xe(Ina,+oo)時(shí)，f'(x)>0,

???/(x)在(-30,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,+oo)單調(diào)遞增.

???函數(shù)/(*)有極小值為/(加°)=*"-3114+1=0-01.+1,無(wú)極大值.

(2)

若對(duì)任意X>O,F(x)N-x2-x恒成立，

ex+x2+x+1

則巴以包恒成立，即“Va>o).

X

Xmin

設(shè)g(x)二巴Xl(x>0),則3竺明山,令g，⑶二空埠巴

xXX

解得X=l,當(dāng)xe(O,l)時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，g'(x)>0,

.?.g(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+°°)上為增函數(shù)，，g(x)2g⑴，

.■.g(x)min=g6=e+3,.,.當(dāng)aVe+3時(shí)滿足對(duì)任意x>0,/(xR-x。-x恒成立，

；?實(shí)數(shù)a的取值范圍為(f，e+3].

8.(1)證明見解析

⑵后用)

【解析】

【分析】

(1)求出〃x)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，可得切線的斜率，根據(jù)斜率相等，進(jìn)而構(gòu)

造函數(shù)〃(x)=lar+x-l,求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，即可證明；

(2)由Vxe[e,e2],使恒成立轉(zhuǎn)化為ZN(.；)欣xe[e,e]，再

利用導(dǎo)數(shù)法求出夕(、)=/而在上1]的最大值即可求解.

⑴

由題意可知，〃x)的定義域?yàn)?O,I)U(I,E),

由/'(》)=+，得/

'Inx(Inx)

直線y=g(%)過(guò)定點(diǎn)(LO)，

若直線y=g(x)與曲線y=/(x)相切于點(diǎn)院產(chǎn)]伍>0肋產(chǎn)1),則

為0

lnx0-lliv,)gplnxo+xo-l=0(l)

(皿)2*。-1

設(shè)/?(x)=lar+x-l,xG(0+oo),則+1>0,

所以?shī)yx)在(0+8)上單調(diào)遞增,又〃⑴=lnl+l-l=0,

從而當(dāng)且僅當(dāng)%=1時(shí)，①成立，這與不#1矛盾.

所以，VZeR,直線y=g(x)都不是曲線y=/(x)的切線.

(2)

由，(x)4g(x)，得,”(xT)，

x

e4x<e-,「.0<e-IWx-l<e--1,??[)]注(

x

若Vxe[e,e2],使f(x)Wg(x)恒成立轉(zhuǎn)化為k>xe[e,e]即可.

(x-l)lnx

max

/、xl-ii/\—inx—Xii

令"(”=記麗，xe［e,e］則"g)時(shí),

令，(x)=-lnx-x+l,xe［e,e2］,則(尤)=---1<0,

所以工(“在［e,e［