定積分與重積分定義與性質(zhì)的應(yīng)用(一)

一、定義與性質(zhì)的應(yīng)用1.定義〔1〕定積分：<1>定積分定義與夾逼定理的綜合應(yīng)用例1：<2>取對數(shù)，求積變求和后用定積分定義例2：求<3>使用定義累次積分例3：<4>不是所有和式一看到就用定積分定義例4：〔stolz定理〕例5：根本代數(shù)變換技巧A.〔隔項約分〕例5.1：B.〔連環(huán)反響(分子分母同乘)〕a.例5.2：變式：；b.例5.3：C.本身就有公式〔下例分母〕例5.4：〔2〕二重積分例6：計算，這里為不超過x的最大整數(shù)。分析：假設(shè)二元函數(shù)在矩形區(qū)域上可積,那么將閉區(qū)間進行等份,閉區(qū)間進行等份,得到的一種劃分-----把其劃分為個小矩形,，，.取,，.那么.特別當(dāng)時,有.解:因為二元函數(shù)在矩形區(qū)域上可積，所以.2.積分上下限可加性(1)拆分的一半a-x型，利用函數(shù)性質(zhì)例7：求證：?f(x+y)≥f(x)+f(y),f(1)=1,x、y∈[0,1],≤0.5。例8：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上為下凸函數(shù)，那么證：例9：另解：第二步直接π-x換元，得到不定積分方程。拆分的一半取倒數(shù)型，湊出好求的積分例10：求解：步驟1：法1：法2：步驟2：例11：注：并非另一個區(qū)間一定只是取倒數(shù)，如果好算的話，也可以令，即。利用可加性去絕對值與min、max函數(shù)例12：例13：例14：解：例15：求積分提示：將D分為在拋物線上方和下方兩段D1和D2，分別去絕對值求二重積分。無窮等分上下限〔和求和符號交換〕例16：例17：例18：例19：例20：f(x)=x-[x],求解：利用可加性分段用中值定理例21：拆分的一半為0例22：例23：奇偶對稱性定積分：〔積分區(qū)間對稱〕特殊的，假設(shè)f(x)是奇函數(shù)，函數(shù)積分為0。例24：例9中對的化簡即用到了奇偶性。例25：例10中是奇函數(shù)，積分區(qū)間對稱，直接得到定積分得0。例26：=0例27：=a^3/3例28：先換元至區(qū)間對稱例29、30：例40、41中，先通過周期性將積分上下限變成對稱區(qū)間。二重積分在D上，假設(shè)D關(guān)于x軸對稱，，其中D1是D對稱軸一邊的區(qū)域。在D上，假設(shè)D關(guān)于y軸對稱，，其中D2是D對稱軸一邊的區(qū)域。特殊的，假設(shè)D關(guān)于x軸對稱，f(x,y)是關(guān)于y的奇函數(shù)，那么原式=0.特殊的，假設(shè)D關(guān)于y軸對稱，f(x,y)是關(guān)于x的奇函數(shù)，那么原式=0.例31：解：如圖，D1關(guān)于y軸對稱，D2關(guān)于x軸對稱，關(guān)于x和y都是奇函數(shù)，所以原式=0.4.兩邊作積分變換解方程〔1〕兩邊1次取積分解一元方程例32：f(x，y)連續(xù)，且例33：〔換元后得出常見形式〕提示：<1>兩邊從0到1定積分，設(shè)，那么下面的任務(wù)就是求右式的累次積分。<2>法一：轉(zhuǎn)化為三重積分，積分區(qū)域是如下圖的一個四面體DOAC。△OAC是該四面體在yOz平面上的投影，且△OAC={(y,z)|0≤z≤1,z≤y≤1}.法二：<3>解關(guān)于A的方程，求出A=2或-2，求得f(x)?！?〕f(x)作變換后兩邊取1次積分例34：〔兩邊平方〕函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-1,1]連續(xù)，且滿足方程例35：〔兩邊乘sinx〕函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[-π，π]連續(xù)，且滿足方程〔3〕兩邊2次取積分解二元方程組例36：〔4〕形式類似但不是這類題：定積分或重積分不是與變量無關(guān)的函數(shù)例37：〔D隨變量t變化〕設(shè)f(t)連續(xù)且滿足方程提示：換元為極坐標(biāo)表示，轉(zhuǎn)化為積分方程，求導(dǎo)化為常微分方程。例37：〔換元完上限隨變量x變化〕設(shè)f(t)連續(xù)且滿足方程求f(x)。提示：換元求導(dǎo)后化為常微分方程。注：類似技巧：兩邊取極限，把已經(jīng)出現(xiàn)的f(x)等的極限當(dāng)做常數(shù)。周期性通過周期性把積分區(qū)域化到可求區(qū)域例38：B=0B.>0C.<0D.和x有關(guān)解析：。通過周期性把積分區(qū)域化成對稱區(qū)域例40：例41：〔第一步：周期性；第二步：對稱性；第三步：公式〕周期性的證明題例42：設(shè)f(x)是周期為T的連續(xù)函數(shù)，證明：。解：見例22。積分中值定理與估值定理〔1〕內(nèi)容A.積分中值定理：假設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),，那么在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立，其中，a、b、滿足：a≤≤b。B.積分第一中值定理：如果函數(shù)、在閉區(qū)間上可積，且在上不變號,f(x)連續(xù)，那么在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立：〔可取代估值定理〕；C.積分第二中值定理：a、如果函數(shù)、在閉區(qū)間上可積，且為單調(diào)函數(shù)，那么在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立：；b、如果函數(shù)、在閉區(qū)間[a,b]上可積，且并是單調(diào)遞減函數(shù)，那么在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立：；c、如果函數(shù)、在閉區(qū)間上可積，且并是單調(diào)遞增函數(shù)，那么在積分區(qū)間上至少存在一個點，使下式成立：。考前須知<1>在應(yīng)用中要注意被積函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)這一條件,否那么,結(jié)論不一定成立.例如QUOTE顯然在處間斷.由于但在上,,所以,對任何都不能使.<2>定理中的在區(qū)間上不變號這個條件也不能去掉.例如令由于,但所以,不存在,使<3>定理中所指出的并不一定是唯一的,也不一定必須是的內(nèi)點.例如令,那么對都有,這也說明了未必在區(qū)間的內(nèi)點.<4>中不能含有參量，錯解詳見例46。(3)應(yīng)用A.求含有定積分或重積分的極限<1>積分區(qū)域為定值或定點例43：〔定積分〕例44：〔二重積分〕例45：〔三重積分〕設(shè)f(x)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且滿足f(0)=0,f’(0)=2，求極限：<2>有界常數(shù)除以無窮大為0〔或低階無窮大乘有界常數(shù)除以高階無窮大或無窮小乘有界常數(shù)〕注：是錯誤解法，因為ξ與x和n都有關(guān)。例47：例23的后半局部。例48：求極限QUOTE為自然數(shù).解利用中值定理,得因為在上連續(xù),由積分中值定理得當(dāng)時,,而||.故QUOTE=QUOTE=0.例49：求.解假設(shè)直接用中值定理=,因為而不能嚴(yán)格斷定,其癥結(jié)在于沒有排除,故采取以下措施=+QUOTE.其中為任意小的正數(shù).對第一積分中值定理使用推廣的積分第一中值定理,有.=,.而第二個積分=,由于得任意性知其課任意小.所以=+=0.注求解其類問題的關(guān)鍵是使用積分中值定理去掉積分符號.在應(yīng)用該定理時,要注中值不僅依賴于積分區(qū)間,而且還依賴于根式中自變量的趨近方式.例50：.B.證明中值的存在性命題例51：函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，且f(1)=3,求證：在(0,1)內(nèi)至少存在一點，使得f’()=2f()。C.估值例52：求證證明其中,于是由即可獲證.例53：D.求函數(shù)在一個區(qū)間上的平均值例54：試求在上的平均值.解：平均值例55：試求心形線上各點極經(jīng)的平均值.解：平均值注：在解某區(qū)間上一個函數(shù)的平均值時,我們只需要在這個區(qū)間上對這個函數(shù)進行積分,然后積分結(jié)果除以區(qū)間的差值.在這里主要是應(yīng)用了積分第一中值定理,所以求解其類問題時,一定要理解積分中值定理的定義.E.證明不等式<1>判斷積分符號：例56：確定積分的符號.利用積分中值定理,得(其中)。又在上不恒等于0,故.注：在解決其類題時,我們常常會以0作為上下限的中介點,然后把原積分寫成以0為中介點的兩個積分的和,積分化就成兩個以0為中介點且上下限一樣的積分相加,最后利用積分中值定理確定積分的符號.這里主要使用了積分中值定理和函數(shù)的單調(diào)性.<2>判斷單調(diào)性例57：設(shè)函數(shù)在上連續(xù),,試證:在內(nèi),假設(shè)為非減函數(shù),那么為非增函數(shù)。證明,對上式求導(dǎo),得利用積分中值定理,得,假設(shè)為非減函數(shù),那么,所以,故為非減函數(shù).<3>其他(帶歸納類型)例58-61：例17、18、21、22中用到了積分中值定理。+21世紀(jì)中證明不等式的+桌面上一題+綜上所述,積分中值定理在應(yīng)用中所起到的重要作用是可以使積分號去掉,從而使問題簡單化.因此,對于證明有關(guān)題設(shè)中含有某個函數(shù)積分的等式或不等式,或者要證的結(jié)論中含有定積分,或者所求的極限式中含有定積分時,一般應(yīng)考慮使用積分中值定理,去掉積分號.在使用該定理時,常與微分中值定理或定積分的其他一些性質(zhì)結(jié)合使用,是所求問題迎刃而解.一些定積分公式的應(yīng)用〔2課此題好了……日志里2題+難題班2幾個〕二、正常解法1.不定積分：各種R：三角+無理〔1〕無理：吉米+高數(shù)嗨起來群里以前在高數(shù)好歸納文件夾里面有一個+某輔導(dǎo)書好R〔2〕三角：(1)a+b=(a+x)+(b-x)(2)2=1+1,分母升冪分子分母齊2次提cos2x湊dtanx分子1=cos2x+sin2x拆項奇偶次sincos不同做法〔也可以歸納進R〕想加亮換元通法+chxshx換元〔網(wǎng)絡(luò)增值版陳文燈里有〕萬能公式代換(3)常見分項〔1.分子有理化再分項2.直接分項3.里面根號在外面強湊分項4.分子是平方在括號里強行分項5.分子分項湊對偶式〔比方x4-1湊成x4-x2+x2-1?還是x6分子……在某老書上有〕〕+(4)換元〔同達有想加亮通法〕(5)分部積分〔x〕全部換局部換〔看到容易化成積分的函數(shù)，比方分母有平方〕先換元和先分部積分是等價的湊方程湊遞推通項原函數(shù)抽象二重積分→二次積分→分部積分〔原函數(shù)專題〕簡便屢次分部積分公式(6)變現(xiàn)積分求導(dǎo)公式應(yīng)用三、技巧性特殊解法1.不定積分：最新的4月14號截圖歐拉積分及其兩個推廣解法反函積分〔2個〕求導(dǎo)積分待定系數(shù)法〔老歸納文件夾+新的改名論文+