模糊邏輯與模糊推理

第4章模糊邏輯與模糊推理4.1邏輯推理概述4.2二值邏輯和模糊邏輯4.3模糊推理1/9/202414.1邏輯推理概述邏輯學(xué)研究概念、判斷和推理形式的一門科學(xué)。數(shù)理邏輯邏輯與數(shù)學(xué)相結(jié)合的一門科學(xué)。17世紀(jì)德國(guó)科學(xué)家萊布尼茲開(kāi)始，把數(shù)學(xué)方法用于哲學(xué)的研究。采用一套符號(hào)代替人們的自然語(yǔ)言進(jìn)行表述。在邏輯上只取“真〞和“假〞兩值，也稱二值邏輯。1/9/202424.1邏輯推理概述推理人類的一種重要的思維方式，從的判斷推斷出未知的判斷。邏輯學(xué)研究的重點(diǎn)。推理的方式演繹推理：以一般的普遍適用的原理為前提，推導(dǎo)到某個(gè)特殊情況作出結(jié)論的推理方法，即一般到特殊。歸納推理：由特殊情形的前提，歸納出一般原理的結(jié)論的推理，即特殊到一般。1/9/202434.1邏輯推理概述演繹推理數(shù)理邏輯主要的研究?jī)?nèi)容。演繹推理一般具有三段論法的形式。從兩個(gè)兩個(gè)判斷，得出第三個(gè)判斷。舉例—蘇格拉底論述：大前提：所有的人都是要死的小前提：蘇格拉底是人結(jié)論：蘇格拉底總是要死的1/9/202444.1邏輯推理概述歸納推理〔歸納法〕完全歸納法在前提中列出全部推理的特殊情況，得出一般化的結(jié)論。舉例：數(shù)學(xué)歸納法不完全歸納法僅列出全部特殊情況的一個(gè)或幾個(gè)，而歸納出一般的結(jié)論舉例：抽樣試驗(yàn)派生：類比推理從特殊到特殊，利用兩種事物的一局部屬性相似，推斷另一局部。1/9/202454.1邏輯推理概述傳統(tǒng)邏輯推理基于二值邏輯處理的信息和推理的規(guī)那么是精確的、完備的不精確推理〔不確定推理、近似推理〕處理不精確、不確定、不完備的信息，利用不精確、不完備的知識(shí)、規(guī)那么。不精確性的起因：隨機(jī)性、模糊性等模糊邏輯推理〔模糊推理〕基于模糊邏輯的方法處理由模糊性引起的不精確推理。1/9/202464.2二值邏輯和模糊邏輯命題句子：用來(lái)表達(dá)一個(gè)完整概念的語(yǔ)言或文字符號(hào)。命題：一個(gè)有意思的句子，能夠判斷它的涵義是真或假。命題的取值：“真〞或“假〞舉例：月球是地球的衛(wèi)星 。 命題：真牛是食肉動(dòng)物。 命題：假今天開(kāi)會(huì)嗎？ 疑問(wèn)句—>不是命題計(jì)算機(jī) 不是句子—>不是命題1/9/202474.2二值邏輯和模糊邏輯命題真值：命題的真假值，一個(gè)命題的真和假表示：“真〞—>“1〞 “假〞—>“0〞二值邏輯：邏輯值只有真或假，即0或1命題屬于二值邏輯原子命題簡(jiǎn)單句構(gòu)成的命題。復(fù)合命題用命題聯(lián)結(jié)詞把兩個(gè)或兩個(gè)以上簡(jiǎn)單命題聯(lián)結(jié)起來(lái)1/9/202484.2二值邏輯和模糊邏輯命題聯(lián)結(jié)詞析取〔〕：表示“或〞。合取〔〕：表示“與〞、“并且〞。否認(rèn)〔—〕：表示對(duì)原命題的否認(rèn)。蘊(yùn)含〔〕：表示“如果……那么〞。等價(jià)〔〕：表示“當(dāng)且僅當(dāng)〞，或稱互蘊(yùn)含。傳統(tǒng)命題邏輯根本公理每一命題是真或假，但不能既真又假；由確定的術(shù)語(yǔ)所組成的表達(dá)式，都是命題；析取、合取、否認(rèn)、蘊(yùn)含、等價(jià)運(yùn)算組成的表達(dá)式也是命題。1/9/202494.2二值邏輯和模糊邏輯命題聯(lián)結(jié)詞蘊(yùn)含：一個(gè)蘊(yùn)含是“真〞，必須滿足三個(gè)條件之一：1〕前提是真，結(jié)論是真；在教書，是教師；2〕前提是假，結(jié)論是假；不教書，不是教師；3〕前提是假，結(jié)論是真。不在教書，是教師；蘊(yùn)含是“假〞時(shí)，那么：4〕前提是真，結(jié)論是假。在教書，不是教師。1/9/2024104.2二值邏輯和模糊邏輯命題聯(lián)結(jié)詞用P，Q分別表示兩個(gè)命題

邏輯關(guān)系用真值表示1/9/2024114.2二值邏輯和模糊邏輯命題聯(lián)結(jié)詞二個(gè)重要的同義反復(fù)從真值表可以獲得證明：

1/9/2024124.2二值邏輯和模糊邏輯蘊(yùn)含特征函數(shù)表達(dá)式或1-1-1100111001000110110011111/9/2024134.2二值邏輯和模糊邏輯模糊命題含有模糊成分的命題判斷的結(jié)果：非真非假，處于真假之間的模棱兩可的狀態(tài)。舉例：他是個(gè)胖子。 很難判斷命題取真或取假更確切的說(shuō)法：他是胖子的程度是多少。取值：{0，1}—>[0，1]表示：用大字母加一“~〞表示，如：。的真值用(或)表示，1/9/2024144.2二值邏輯和模糊邏輯原子模糊命題最根本的命題。復(fù)合模糊命題用命題聯(lián)結(jié)詞把兩個(gè)或兩個(gè)原子模糊命題聯(lián)結(jié)起來(lái)。命題聯(lián)結(jié)詞析取〔〕：表示“或〞。合取〔〕：表示“與〞、“并且〞。否認(rèn)〔—〕：表示對(duì)原命題的否認(rèn)。蘊(yùn)含〔〕：表示“如果……那么〞。等價(jià)〔〕：表示“當(dāng)且僅當(dāng)〞，或稱互蘊(yùn)含。1/9/2024154.2二值邏輯和模糊邏輯4.2二值邏輯和模糊邏輯冪等律：交換律：結(jié)合律：吸收律：1/9/2024164.2二值邏輯和模糊邏輯4.2二值邏輯和模糊邏輯分配律：雙否律：德.摩根律：常數(shù)運(yùn)算法那么：1/9/2024174.3模糊推理假言推理模糊邏輯推理的根本形式。假言推理的兩種形式肯定前件式否認(rèn)后件式均為三段論形式的推理方式三段論可對(duì)的情況判斷三段論不能對(duì)的情況判斷1/9/2024184.3模糊推理假言推理的兩種形式肯定前件式：大前提〔一般規(guī)那么〕：IFx是A，THENy是B小前提〔特殊證據(jù)〕：x是A————————————————————結(jié)論： ｙ是B簡(jiǎn)記： 〔A〕→(B) 〔A〕———————————————————— 〔B〕1/9/2024194.3模糊推理假言推理的兩種形式否認(rèn)后件式：大前提〔一般規(guī)那么〕：IFx是A，THENy是B小前提〔特殊證據(jù)〕： ｙ不是B————————————————————結(jié)論： x不是A簡(jiǎn)記： 〔A〕→(B) 〔〕———————————————————— 〔〕1/9/2024204.3模糊推理模糊推理假言推理所包含的概念由精確變?yōu)槟：评硎墙频?、非確定的前提和結(jié)論都具有模糊性例：假設(shè)西紅柿是紅的，那么這個(gè)西紅柿是熟的這個(gè)西紅柿有點(diǎn)紅—————————————————— 這個(gè)西紅柿有點(diǎn)熟模糊概念：紅的、熟的、有點(diǎn)紅、有點(diǎn)熟1/9/2024214.3模糊推理模糊推理對(duì)應(yīng)的形式廣義的肯定前件式：大前提〔一般規(guī)那么〕：IFx是，THENy是小前提〔特殊證據(jù)〕：x是————————————————————結(jié)論： ｙ是簡(jiǎn)記： 〔〕→() 〔〕———————————————————— 〔〕1/9/2024224.3模糊推理模糊推理對(duì)應(yīng)的形式廣義的否認(rèn)后件式：大前提〔一般規(guī)那么〕：IFx是，THENy是小前提〔特殊證據(jù)〕： ｙ不是————————————————————結(jié)論： x不是簡(jiǎn)記： 〔〕→() 〔〕———————————————————— 〔〕1/9/2024234.3模糊推理模糊推理假言推理的小前提只能是A或者模糊推理的小前提不限定為或者模糊推理的小前提可以是等。模糊推理的結(jié)論由模糊推理的合成規(guī)那么給出。模糊推理的推理方式肯定前件式：一種前向模糊匹配的推理，將與匹配以激活表達(dá)的規(guī)那么，而后導(dǎo)出結(jié)論，它與前向數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的推理相關(guān)。否認(rèn)后件式或肯定后件式：一種后向推理，它與后向目標(biāo)驅(qū)動(dòng)的推理相關(guān)?？隙ê蠹?/9/2024244.3模糊推理模糊推理對(duì)應(yīng)的形式廣義的肯定后件式：大前提〔一般規(guī)那么〕：IFx是，THENy是小前提〔特殊證據(jù)〕： ｙ是————————————————————結(jié)論： x是簡(jiǎn)記： 〔〕→() 〔〕———————————————————— 〔〕 1/9/2024254.3模糊推理判斷句判斷句：句型“x*是a〞。x*代表論域X上的任一個(gè)特定元素a是表示概念的詞假設(shè)a表示清晰概念，句型“x*是a〞稱為普通判斷句對(duì)某一x∈X，“x*是a〞可能為真，也可能為假“x*是a〞是命題命題對(duì)應(yīng)一個(gè)經(jīng)典集合A：A是X上的集合，1/9/2024264.3模糊推理模糊判斷句對(duì)任一x∈X，集合A的特征函數(shù)就等于命題“x是A〞的真值，即：集合A是句型〔a〕的集合表示，成為判斷句〔a〕的真域。模糊判斷句：“x*是a〞中a的表示模糊的概念。句型〔a〕表示對(duì)x為真的程度有多大的問(wèn)題?！皒是a〞是模糊命題，對(duì)應(yīng)一個(gè)模糊集合。判斷句〔a〕的真域可用隸屬函數(shù)表示：1/9/2024274.3模糊推理推理句句型“假設(shè)x*是a，那么y*是b〞，簡(jiǎn)記為。普通推理句：a，b均表示清晰的概念。設(shè)x、y的論域分別是X、Ya、b兩個(gè)清晰概念分別對(duì)應(yīng)經(jīng)典集合A和B對(duì)于任意一個(gè)命題的真值計(jì)算：1/9/2024284.3模糊推理推理句〔a〕的真域?yàn)椤瞓〕的真域?yàn)樵O(shè)R為推理句的真域顯然R應(yīng)為直積的子集，即當(dāng)對(duì)為真，即蘊(yùn)含式的真值為1。即1/9/2024294.3模糊推理推理句公式推導(dǎo)：特征函數(shù)：1/9/2024304.3模糊推理推理句“假設(shè)x*是a，那么y*是b〞舉例 設(shè)關(guān)于熱交換器問(wèn)題有兩個(gè)論域X={1，2，3，4}和Y={1，2，3，4，5，6}。其中X的元素代表標(biāo)準(zhǔn)溫度，Y的元素代表標(biāo)準(zhǔn)壓力。A={2，3}和B={3，4}分別為論域X，Y上的清晰集合。 求：演繹推理“如果A，那么B〞所確定關(guān)系R的隸屬函數(shù)矩陣。 解：列出A，B1/9/2024314.3模糊推理推理句“假設(shè)x*是a，那么y*是b〞舉例 計(jì)算 計(jì)算1/9/2024324.3模糊推理推理句“假設(shè)x*是a，那么y*是b〞舉例 計(jì)算 計(jì)算R1/9/2024334.3模糊推理模糊推理句句型：假設(shè)x*是a，那么y*是b，簡(jiǎn)記為。假設(shè)a和b均為模糊概念，那么~為模糊推理句?！瞐〕的真域?yàn)槟：稀瞓〕的真域?yàn)槟：隙x：的真域?yàn)槟：?，蘊(yùn)含式的真值：1/9/2024344.3模糊推理模糊推理句表示對(duì)〔x，y〕為真的程度，即：對(duì)應(yīng)集合形式為：注：假設(shè)給出其它形式的模糊蘊(yùn)含式定義，也會(huì)有不同的形式。1/9/2024354.3模糊推理常用的模糊推理句假設(shè)A那么B型〔或IFATHENB〕例：假設(shè)室溫較高，那么開(kāi)電風(fēng)扇。假設(shè)A那么B否那么C型〔或IFATHENBELSEC〕例：假設(shè)室溫較低，那么停電風(fēng)扇，否那么繼續(xù)開(kāi)電風(fēng)扇。假設(shè)A且B那么C型〔或IFAANDBTHENC〕例：假設(shè)室溫偏高且不斷上升，那么開(kāi)電風(fēng)扇。1/9/2024364.3模糊推理“ifAthenBelseC〞語(yǔ)句可表示為：顯然：A是原因，在一個(gè)論域X上；B、C都是結(jié)果，在另一個(gè)論域Y上。兩個(gè)蘊(yùn)含語(yǔ)句的特征函數(shù)分別為：即：A為真時(shí)，產(chǎn)生B，A為假時(shí)，與B無(wú)關(guān)；A為假時(shí)，產(chǎn)生C，A為真時(shí)，與C無(wú)關(guān)。1/9/2024374.3模糊推理“ifAthenBelseC〞語(yǔ)句真值表從上表可知：ABCA→B~A→C11*1*10*0*0*1*10*0*01/9/2024384.3模糊推理“ifAthenBelseC〞語(yǔ)句集合表示：顯然：二值邏輯擴(kuò)展到模糊邏輯，結(jié)論：假設(shè)有論域X、Y，二元模糊關(guān)系的隸屬函數(shù)為：集合表示：1/9/2024394.3模糊推理“ifAthenBelseC〞語(yǔ)句舉例〔續(xù)前例〕 設(shè)C={5，6}為標(biāo)準(zhǔn)壓力論域Y上的另一個(gè)清晰集合。 求：演繹推理“如果A那么B，否那么C〞所確定的關(guān)系矩陣R。 解：寫出C的Zadeh表示1/9/2024404.3模糊推理“ifAthenBelseC〞語(yǔ)句舉例〔續(xù)前例〕 計(jì)算 計(jì)算R1/9/2024414.3模糊推理“ifAandBthenC〞語(yǔ)句模糊控制：A為誤差，B為誤差變化率，C為控制量。顯然：A屬于論域誤差X，B屬于論域誤差變化率Y，C屬于論域控制量Z，即語(yǔ)句確定的為三元模糊關(guān)系：1/9/2024424.3模糊推理“ifAandBthenC〞語(yǔ)句由于在模糊控制中，“假設(shè)M那么N〞語(yǔ)句中，只考慮，而不一定要考慮故對(duì)二元關(guān)系：有：集合表示法：隸屬函數(shù)表示法：對(duì)于三元關(guān)系，可表示為：隸屬函數(shù)表示：1/9/2024434.3模糊推理數(shù)學(xué)上三維矩陣的求取過(guò)程有ij個(gè)元素的二維矩陣T2可表示如下：二維矩陣T2和一個(gè)k個(gè)元素的行向量執(zhí)行乘法是，那么可以得到三維矩陣T3，可表示如下：1/9/2024444.3模糊推理三維矩陣T3實(shí)質(zhì)是把二維矩陣T2的每行都變成列向量，再以i個(gè)這樣的列向量和第三維的k個(gè)元素相乘。1/9/2024454.3模糊推理三元模糊關(guān)系的計(jì)算方法：第一步：求，即第二步：把二元關(guān)系排成列向量形式，并且，每一行形成一個(gè)列向量。第三步：用中的每個(gè)列向量和行向量執(zhí)行操作。舉例：輸入模糊量為：輸出模糊量為：1/9/2024464.3模糊推理 求“假設(shè)A且B那么C〞語(yǔ)句的關(guān)系。根據(jù)，得：從，那么有1/9/2024474.3模糊推理三元模糊關(guān)系如下：1/9/2024484.3模糊推理模糊推理的合成規(guī)那么推理規(guī)那么是函數(shù)過(guò)程的一般化 圖4-1函數(shù)從x=a和y=f(x),我們能夠推斷出：y=b=f(a)b可以看成直線x=a與f(x)的交點(diǎn)在Y上的投影1/9/2024494.3模糊推理模糊推理的合成規(guī)那么圖4-2區(qū)間值函數(shù)a*1/9/2024504.3模糊推理模糊推理的合成規(guī)那么圖4-3模糊推理合成規(guī)那么1/9/2024514.3模糊推理模糊推理的合成規(guī)那么令根據(jù)的定義：與的交采用取小運(yùn)算：假定中有有限個(gè)隸屬度不為0的元素，即1/9/2024524.3模糊推理模糊推理的合成規(guī)那么可表示為：進(jìn)而：因此，到Y(jié)軸的投影可以看成n個(gè)到Y(jié)軸投影的重疊。每一個(gè)到Y(jié)軸的投影，有：1/9/2024534.3模糊推理模糊推理的合成規(guī)那么對(duì)n個(gè)到Y(jié)軸的投影是的并，即：因而：對(duì)于更一般的情況：上式稱為合成規(guī)那么，記為：1/9/2024544.3模糊推理模糊推理的合成規(guī)那么舉例 設(shè)： 求：1/9/2024554.3模糊推理模糊推理的合成規(guī)那么舉例 解：1/9/2024564.3模糊推理模糊推理的根本形式的算法肯定前件式： 〔〕→() 〔〕———————————————————— 〔〕其中：顯然，對(duì)于肯定前件式有1/9/2024574.3模糊推理Zadeh的模糊推理算法Mamdani的模糊推理算法1/9/2024584.3模糊推理模糊推理的根本形式的算法肯定后件式： 〔〕→() 〔〕———————————————————— 〔〕變形為： 〔〕→() 〔〕———————————————————— 〔〕1/9/2024594.3模糊推理模糊推理的合成規(guī)那么對(duì)應(yīng)模糊關(guān)系為，即Y到X的模糊關(guān)系。顯然有：當(dāng)