北師大版九年級(jí)下第三章 圓3 垂徑定理（全國(guó)一等獎(jiǎng)）

第三章

圓3.3垂徑定理1課堂講解圓的軸對(duì)稱性

垂徑定理

垂徑定理的推論2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升（1）圓是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？

你能找到多少條對(duì)稱軸？（2）你是用什么方法解決上述問(wèn)題的？與同伴進(jìn)行交

流.歸納利用折疊的方法，我們可以得到：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線.1知識(shí)點(diǎn)圓的軸對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線．要點(diǎn)精析：(1)圓的對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)條．(2)因?yàn)橹睆绞窍?，弦是線段，而對(duì)稱軸是直線，所以不

能說(shuō)“圓的對(duì)稱軸是直徑”，而應(yīng)該說(shuō)“圓的對(duì)稱軸

是直徑所在的直線”或說(shuō)成“圓的對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)圓心

的直線”．知1－講知1－講下列圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最多的是(

)A．線段B．正方形C．正三角形

D．圓例1導(dǎo)引：線段有兩條對(duì)稱軸，正方形有四條對(duì)稱軸，正三角形有三條對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸．D總

結(jié)知1－講

過(guò)圓心的任意一條直線都是該圓的對(duì)稱軸，這是圓獨(dú)有的性質(zhì)．知1－練下列說(shuō)法：(1)圓是軸對(duì)稱圖形；(2)圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸；(3)圓的任意一條直徑都是圓的對(duì)稱軸；(4)圓所在平面內(nèi)任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線都是圓的對(duì)稱軸，其中正確的有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)1知1－練過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)A可以作出幾條圓的對(duì)稱軸，(

)A．1條

B．2條C．無(wú)數(shù)條

D．1條或無(wú)數(shù)條22知識(shí)點(diǎn)垂徑定理知2－導(dǎo)如圖, AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD丄 AB，垂足為M.（1）圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，

其對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)

系？說(shuō)一說(shuō)你的理由.歸納知2－導(dǎo)

垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧.知2－講定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的?。脦缀握Z(yǔ)言表述為：如圖，在⊙O中，知2－講要點(diǎn)精析：(1)“垂直于弦的直徑”中的“直徑”，還可以是垂直于弦的

半徑或過(guò)圓心垂直于弦的直線；其實(shí)質(zhì)是：過(guò)圓心且

垂直于弦的線段、直線均可．(2)垂徑定理中的弦可以為直徑．(3)垂徑定理是證線段、弧相等的重要依據(jù)．知2－講〈黃岡〉如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，已知CD＝12，BE＝2，則⊙O的直徑為(

)A．8

B．10C．16D．20例2導(dǎo)引：連接OC.根據(jù)垂徑定理，知CE＝

CD＝6.在Rt△OEC中，設(shè)OC＝x，由BE＝2，得OE＝x－2.所以(x－2)2＋62＝x2，解得x＝10，即直徑AB＝20.D總

結(jié)知2－講

本題運(yùn)用構(gòu)造法，連接半徑，根據(jù)AB⊥CD，構(gòu)造Rt△OEC，再運(yùn)用方程思想，設(shè)未知數(shù)，運(yùn)用垂徑定理和勾股定理列方程進(jìn)行求解．知2－講某市某居民區(qū)一處地下圓形管道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道，如圖①，污水面寬度為60cm，水面至管道頂部的距離為10cm，問(wèn)修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑為多大的管道？例3知2－講導(dǎo)引：畫(huà)出如圖②所示的示意圖，過(guò)圓心O作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，連接OB，若設(shè)⊙O的半徑為rcm，在Rt△BOD中，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程，繼而解出r的值．知2－講解：如圖②，弦AB表示污水水面，點(diǎn)O為圓心，圓形管道的內(nèi)徑即為⊙O的直徑．設(shè)半徑為rcm，過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)D,與

交于點(diǎn)C，根據(jù)垂徑定理知，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是

的中點(diǎn)，CD就是污水水面至管道頂部的距離．由題意可知：AB＝60cm，CD＝10cm，∴BD＝

AB＝30cm，OD＝(r－10)cm.在Rt△DOB中，BD2＋OD2＝OB2，即302＋(r－10)2＝r2，解得r＝50.∴2r＝2×50＝100(cm)．答：修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑為100cm的管道．總

結(jié)知2－講

本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，先正確畫(huà)出圖形，找出圖中的已知量，然后構(gòu)造直角三角形，最后利用勾股定理求解．知2－練(2016·黃石)如圖，⊙O的半徑為13，弦AB的長(zhǎng)度是24，ON⊥AB，垂足為N，則ON等于(

)A．5B．7C．9D．111知2－練(2015·廣元)如圖，已知⊙O的直徑AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(

)A．CE＝DE

B．AE＝OEC.D．△OCE≌△ODE2知2－練如圖，在⊙O內(nèi)有折線OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，則BC的長(zhǎng)為(

)A．16B．18C．19D．203知2－練(2015·上海)如圖，已知⊙O中，AB是弦，半徑OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D.要使四邊形OACB為菱形，還需要添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是(

)A．AD＝BD

B．OD＝CDC．∠CAD＝∠CBD

D．∠OCA＝∠OCB43知識(shí)點(diǎn)垂徑定理的推論知3－導(dǎo)如圖,AB是⊙O的弦（不是直徑），作一條平分AB的直徑CD)，交AB于點(diǎn)M.（1）圖是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，

其對(duì)稱軸是什么？（2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系？說(shuō)一說(shuō)你的理由.歸納知3－導(dǎo)

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.知3－講推論：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分

弦所對(duì)的弧，即：如圖，在⊙O中，

要點(diǎn)精析：推論中涉及了兩條弦，注意第一條弦不能為

直徑．(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的弧，知3－講即：如圖，在⊙O中，(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分這條弦，并且平

分弦所對(duì)的另一條弧，即：如圖，在⊙O中，知3－講拓展：關(guān)于垂徑定理及其推論可歸納為：一條直線，它具備以下五個(gè)性質(zhì)：

①直線過(guò)圓心；②直線垂直于弦；③直線平分弦(不是直徑)；④直線平分弦所對(duì)的優(yōu)?。虎葜本€平分弦所對(duì)的劣?。绻哑渲械娜我鈨蓷l作為條件，其余三條作為結(jié)論，組成的命題都是真命題．知3－講下列說(shuō)法正確的是(

)A．經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的弧B．過(guò)弦的中點(diǎn)的直線一定經(jīng)過(guò)圓心C．弦所對(duì)的兩條弧的中點(diǎn)的連線垂直平分弦且經(jīng)

過(guò)圓心D．弦的垂線平分弦所對(duì)的弧例4C知3－講導(dǎo)引：經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條，只有經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)且垂直于弦的直線才經(jīng)過(guò)圓心并平分這條弦所對(duì)的弧，所以選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤．弦的垂線有很多，不一定平分弦所對(duì)的弧，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤．平分弦所對(duì)兩條弧的直線必垂直平分弦且經(jīng)過(guò)圓心，所以選項(xiàng)C正確．知3－講如圖,—條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧（即圖中

,點(diǎn)O是

所在圓的圓心），其中CD=600m，E為

上一點(diǎn)，且OE丄CD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑.例5知3－講連接OC.設(shè)彎路的半徑為Rm，則OF=(R-

90)m.∵OE

⊥CD，∴

CF=CD=×600=300(m).在Rt△OCF中，根據(jù)勾股定理，得OC2=CF2+OF2，

即R2=3002

+(R-90)2.解這個(gè)方程，得R=545.所以，這段彎路的半徑為545m.解：知3－講如圖，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C，D是直線AB上兩點(diǎn)，且AC＝BD.求證：△OCD為等腰三角形．例6知3－講導(dǎo)引：要證△OCD為等腰三角形，只需證OC＝OD，就現(xiàn)有圖形來(lái)看，有兩個(gè)切入點(diǎn)：(1)利用線段垂直平分線上的點(diǎn)，則需作垂直于弦的直徑；(2)利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，則需作垂直于弦的直徑或連半徑．證明：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB，垂足為M，如圖.∵OM⊥AB，∴AM＝BM.∵AC＝BD，∴CM＝DM.又∵OM⊥CD，∴OC＝OD.∴△OCD為等腰三角形．總

結(jié)知3－講(1)垂徑定理及其推論在圓中涉及弦、弦心距、直徑的命題中應(yīng)用頻率較高，雖然我們將其歸納為一個(gè)定理三個(gè)推論，但應(yīng)用起來(lái)靈活多樣，是我們?cè)谟嘘P(guān)圓的命題中證線段相等、證垂直、證角相等時(shí)最常用的依據(jù)．(2)常見(jiàn)的作輔助線的方法有：若已知圓心，則作垂直于弦的直徑；若已知弦、弧的中點(diǎn)，則作弦、弧中點(diǎn)的連線，連半徑等．(3)本例中我們只給出利用線段垂直平分線的性質(zhì)的證明過(guò)程；而利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，則可找出多種三角形的組合，請(qǐng)讀者自己完成其證法．知3－練如圖，⊙O的直徑CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，則AB的長(zhǎng)為(

)A．8cm

cm

C．6cm

D．2cm1知3－練如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長(zhǎng)為6，M是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段OM的長(zhǎng)的取值范圍是(

)A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜521