專題22 銳角三角函數(shù)（解析版）-2022中考數(shù)學(xué)高頻考點

2/2高頻考點：銳角三角函數(shù)考點01銳角三角函數(shù)概念【高頻考點精講】在Rt△ABC中，∠C＝90°1、正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即sinA＝＝2、余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即cosA＝3、正切：銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA，即tanA＝4、三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)?！緹狳c題型精練】1．（2020?杭州中考真題）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，∴sinB＝，即b＝csinB，故A選項不成立，B選項成立；tanB＝，即b＝atanB，故C選項不成立，D選項不成立．答案：B．2．（2020?柳州中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，則cosB＝＝（）A． B． C． D．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC＝＝，∴cosB＝＝．答案：C．3．（2021?株洲中考真題）某限高曲臂道路閘口如圖所示，AB垂直地面l1于點A，BE與水平線l2的夾角為α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，車輛的高度為h（單位：米），不考慮閘口與車輛的寬度：①當(dāng)α＝90°時，h小于3.3米的車輛均可以通過該閘口；②當(dāng)α＝45°時，h等于2.9米的車輛不可以通過該閘口；③當(dāng)α＝60°時，h等于3.1米的車輛不可以通過該閘口．則上述說法正確的個數(shù)為（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個解：由題知，限高曲臂道路閘口高度為：1.4+2×sinα，①當(dāng)α＝90°時，h＜（1.4+2）米，即h＜3.4米即可通過該閘口，故①正確；②當(dāng)α＝45°時，h＜（1.4+2×）米，即h＜1.4+米即可通過該閘口，∵2.9＞1.4+，∴h等于2.9米的車輛不可以通過該閘口，故②正確；③當(dāng)α＝60°時，h＜（1.4+2×）米，即h＜1.4米即可通過該閘口，∵3.1＜1.4+，∴h等于3.1米的車輛可以通過該閘口，故③不正確；答案：C．4．（2021?瀘州中考真題）在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，有以下結(jié)論：＝＝＝2R（其中R為△ABC的外接圓半徑）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，則△ABC的外接圓面積為（）A． B． C．16π D．64π解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵＝2R，∴2R＝＝＝，∴R＝，∴S＝πR2＝π（）2＝π，答案：A．5．（2021?湖州中考真題）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，則sinB的值是．解：∵∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，∴sinB＝＝．答案：．考點02解直角三角形【高頻考點精講】1、解直角三角形常用關(guān)系（1）銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；（2）三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；（3）邊角之間的關(guān)系：sinA＝，cosA＝，tanA＝（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）2、sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；

sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；【熱點題型精練】6．（2021?玉林中考真題）如圖，△ABC底邊BC上的高為h1，△PQR底邊QR上的高為h2，則有（）A．h1＝h2 B．h1＜h2 C．h1＞h2 D．以上都有可能解：如圖，分別作出△ABC底邊BC上的高為AD即h1，△PQR底邊QR上的高為PE即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，答案：A．7．（2021?淄博中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過點E作EF⊥AB交AC于點F．若BC＝4，△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（）A． B． C． D．解：連接BF，∵CE是斜邊AB上的中線，EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分線，∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，∴S△AFB＝10＝AF?BC，∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，∴CF＝＝3，∵CE＝AE＝BE＝AB，∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，∴∠CEF＝∠FBC，∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，答案：A．8．（2021?宜賓中考真題）如圖，在△ABC中，點O是角平分線AD、BE的交點，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（）A． B．2 C． D．解：如圖：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根據(jù)勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．設(shè)OD＝OF＝x，則AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．法二：在求出AF＝4后∵tan∠BAD＝＝．∴＝．∴OF＝3．∴OD＝OF＝3．∴tan∠OBD＝＝．答案：A．9．（2021?紹興中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝，點D是邊BC的中點，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，連結(jié)CE，則的值為（）A． B． C． D．2解：設(shè)DE交AC于T,過點E作EH⊥CD于H．∵∠BAC＝90°,BD＝DC,∴AD＝DB＝DC,∴∠B＝∠DAB,∵∠B＝∠ADE,∴∠DAB＝∠ADE,∴AB∥DE,∴∠DTC＝∠BAC＝90°,∵DT∥AB,BD＝DC,∴AT＝TC,∴EA＝EC＝ED,∴∠EDC＝∠ECD,∵EH⊥CD,∴CH＝DH,∵DE∥AB,∴∠EDC＝∠B,∴∠ECD＝∠B,∴cos∠ECH＝cosB＝,∴＝,∴＝＝2,答案：D．10．（2021?內(nèi)江中考真題）已知，在△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，則△ABC的面積為2或14．解：過點B作AC邊的高BD，Rt△ABD中，∠A＝45°，AB＝4，∴BD＝AD＝4，在Rt△BDC中，BC＝4，∴CD＝＝5，①△ABC是鈍角三角形時，AC＝AD﹣CD＝1，∴S△ABC＝AC?BD＝＝2；②△ABC是銳角三角形時，AC＝AD+CD＝7，∴S△ABC＝AC?BD＝×7×4＝14，答案：2或14．11．（2021?海南中考真題）如圖，△ABC的頂點B、C的坐標(biāo)分別是（1，0）、（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，則頂點A的坐標(biāo)是（4，）．解：過點A作AG⊥x軸，交x軸于點G．∵B、C的坐標(biāo)分別是（1，0）、（0，），∴OC＝，OB＝1，∴BC＝＝2．∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝＝＝＝2．∵∠ABG+∠CBO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，∴∠ABG＝∠BCO．∴sin∠ABG＝＝＝，cos∠ABG＝＝＝，∴AG＝，BG＝3．∴OG＝1+3＝4，∴頂點A的坐標(biāo)是（4，）．答案：（4，）．12．（2021?綿陽中考真題）在直角△ABC中，∠C＝90°，+＝，∠C的角平分線交AB于點D，且CD＝2，斜邊AB的值是3．解：如圖，∵∠C＝90°，∠C的角平分線交AB于點D，且CD＝2，∴DE＝EC＝CF＝FD＝2，∵tanA＝，tanB＝，+＝，∴+＝，即＝，又∵AC2+BC2＝AB2，∴＝，在Rt△ADE中，AE＝＝，在Rt△BDF中，BF＝＝，∴AC?BC＝（2+）（2+）＝4（1+++1）＝4（2+）＝18，∴＝∴AB2＝45，即AB＝3，答案：3．13．（2021?樂山中考真題）如圖，已知點A（4，3），點B為直線y＝﹣2上的一動點，點C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于點C，連接AB．若直線AB與x軸正半軸所夾的銳角為α，那么當(dāng)sinα的值最大時，n的值為．解：過點A作AM⊥y軸于點M，作AN⊥BN交于點N，∵直線y＝﹣2與x軸平行，∴∠ABN＝α，當(dāng)sinα的值最大時，則tanα＝值最大，故BN最小，即BG最大時，tanα最大，即當(dāng)BG最大時，sinα的值最大，設(shè)BG＝y(tǒng)，則AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∴tan∠CAM＝tan∠BCG，∴，即，∴y＝﹣（n﹣3）（n+2）＝﹣（n﹣）2+，∵﹣＜0，∴當(dāng)n＝時，y取得最大值，故n＝，答案：．考點03解直角三角形的應(yīng)用【高頻考點精講】1、坡度坡角問題（1）坡度是坡面的垂直高度h和水平寬度l的比，常用i表示。（2）坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系：i＝h/l＝tanα．（3）解決坡度問題，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角是銳角，坡度是銳角的正切值，水平寬度或垂直高度是直角邊，本質(zhì)是解直角三角形問題。2、仰角俯角問題（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角。（2）解決此類問題需要了解角之間的關(guān)系，找到與條件和所求相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角形時，要通過作高構(gòu)造直角三角形，把實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決。3、方向角問題（1）辨別方向角：以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù)。（2）解決方向角問題，要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，如果所給方向角不在直角三角形中，可以用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”“余角”等知識轉(zhuǎn)化為所需要的角。【熱點題型精練】14．（2021?德州中考真題）某商場準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，把坡角由37°減至30°，已知原樓梯長為5米，調(diào)整后的樓梯會加長（）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．A．6米 B．3米 C．2米 D．1米解：在Rt△BAD中，AB＝5米，∠BAD＝37°，則BD＝AB?sin∠BAD≈5×＝3（米），在Rt△BCD中，∠C＝30°，∴BC＝2BD＝6（米），則調(diào)整后的樓梯會加長：6﹣5＝1（米），答案：D．15．（2021?金華中考真題）如圖是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC與地面BC的夾角為α，則兩梯腳之間的距離BC為（）A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米解：過點A作AD⊥BC于點D，∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴cosα＝＝，∴DC＝2cosα（米），∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα（米）．答案：A．16．（2021?無錫中考真題）一條上山直道的坡度為1：7，沿這條直道上山，每前進(jìn)100米所上升的高度為10米．解：設(shè)上升的高度為x米，∵上山直道的坡度為1：7，∴水平距離為7x米，由勾股定理得：x2+（7x）2＝1002，解得：x1＝10，x2＝﹣10（舍去），答案：10．17．（2021?山西中考真題）太原地鐵2號線是山西省第一條開通運營的地鐵線路，于2020年12月26日開通，如圖是該地鐵某站扶梯的示意圖，扶梯AB的坡度i＝5：12（i為鉛直高度與水平寬度的比）．王老師乘扶梯從扶梯底端A以0.5米/秒的速度用時40秒到達(dá)扶梯頂端B，則王老師上升的鉛直高度BC為米．解：由題意得：∠ACB＝90°，AB＝0.5×40＝20（米），∵扶梯AB的坡度i＝5：12＝，∴設(shè)BC＝5a米，則AC＝12a米，由勾股定理得：（5a）2+（12a）2＝202，解得：a＝（負(fù)值已舍去），∴BC＝（米），答案：．18．（2021?濟(jì)南中考真題）無人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測．如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基地用無人機(jī)對一塊試驗田進(jìn)行監(jiān)測作業(yè)時，在距地面高度為135m的A處測得試驗田右側(cè)邊界N處俯角為43°，無人機(jī)垂直下降40m至B處，又測得試驗田左側(cè)邊界M處俯角為35°，則M，N之間的距離為（）（參考數(shù)據(jù)：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，結(jié)果保留整數(shù)）A．188m B．269m C．286m D．312m解：由題意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，在Rt△AON中，tanN＝＝tan43°，∴NO＝≈150m，在Rt△BOM中，tanM＝＝tan35°，∴MO＝≈135.7m，∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286m．答案：C．19．（2021?深圳中考真題）如圖，在點F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達(dá)點E即EF＝15米，在點E處看點D的仰角為64°，則CD的長用三角函數(shù)表示為（）A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，∴∠EDF＝∠F，∴DE＝EF，∵EF＝15米，∴DE＝15米，在Rt△CDE中，∵sin∠CED＝，∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，答案：C．20．（2021?重慶中考真題）如圖，相鄰兩個山坡上，分別有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山腳點C處測得通信基站頂端M的仰角為60°，測得點C距離通信基站MA的水平距離CB為30m；乙在另一座山腳點F處測得點F距離通信基站ND的水平距離FE為50m，測得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝DE，點C，B，E，F(xiàn)在同一水平線上，則兩個通信基站頂端M與頂端N的高度差為（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）（）A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m解：在Rt△MCB中，∠MCB＝60°，CB＝30m，tan∠MCB＝，∴MB＝CB?tan∠MCB＝30×≈51.9（m），∵山坡DF的坡度i＝1：1.25，EF＝50m，∴DE＝40（m），∵ND＝DE，∴ND＝25（m），∴兩個通信基站頂端M與頂端N的高度差＝40+25﹣51.9＝13.1（m），答案：C．21．（2021?寧夏中考真題）在數(shù)學(xué)實踐活動課上，某興趣小組測量操場上籃球筐距地面的高度如圖所示，已知籃球筐的直徑AB約為0.45m，某同學(xué)站在C處，先仰望籃球筐直徑的一端A處，測得仰角為42°，再調(diào)整視線，測得籃球筐直徑的另一端B處的仰角為35°．若該同學(xué)的目高OC為1.7m，則籃球筐距地面的高度AD大約是3m．（結(jié)果精確到1m）．（參考數(shù)據(jù)：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4）解：如圖：由題意可得四邊形AEFB是矩形，四邊形OCDE是矩形，∴AB＝EF＝0.45，OC＝ED＝1.7，設(shè)OE＝x，AE＝BF＝y(tǒng)，在Rt△AOE中，tan42°＝，∴，在Rt△BOF中，tan35°＝，∴，聯(lián)立方程組，可得，解得：，∴AD＝AE+ED＝≈3，答案：3．22．（2021?黃石中考真題）如圖，直立于地面上的電線桿AB，在陽光下落在水平地面和坡面上的影子分別是BC、CD，測得BC＝5米，CD＝4米，∠BCD＝150°，在D處測得電線桿頂端A的仰角為45°，則電線桿AB的高度約為10.5米．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，結(jié)果按四舍五入保留一位小數(shù)）解：延長AD交BC的延長線于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°，又CD＝4米，∴DF＝2米，CF＝（米），由題意得∠E＝45°，∴EF＝DF＝2米，∴BE＝BC+CF+EF＝5+2+2＝（7+2）米，∴AB＝BE＝7+2≈10.5（米），故答案為10.5．23．（2021?樂山中考真題）如圖，為了測量“四川大渡河峽谷”石碑的高度，佳佳在點C處測得石碑頂A點的仰角為30°，她朝石碑前行5米到達(dá)點D處，又測得石碑頂A點的仰角為60°，那么石碑的高度AB的長＝米．（結(jié)果保留根號）解：設(shè)石碑的高度AB的長為x米，Rt△ABC中，BC＝＝x，Rt△ABD中，BD＝＝，∵CD＝5，∴BC﹣BD＝5，即x﹣＝5，解得x＝，答案：．24．（2021?武漢中考真題）如圖，海中有一個小島A．一艘輪船由西向東航行，在B點測得小島A在北偏東60°方向上；航行12nmile到達(dá)C點，這時測得小島A在北偏東30°方向上．小島A到航線BC的距離是10.4nmile（≈1.73，結(jié)果用四舍五入法精確到0.1）．解：過點A作AE⊥BC交BC的延長線于點E，由題意得，∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，∴∠ABC＝30°，∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12nmile，在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝AC?sin∠ACE＝6≈10.4（nmile），故小島A到航線BC的距離是10.4nmile，答案：10.4．25．（2021?鞍山中考真題）小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個門，北門A在南門B的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東30°方向前往游樂場D處；小華自南門B處出發(fā)，沿正東方向行走150m到達(dá)C處，再沿北偏東22.6°方向前往游樂場D處與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同．求公園北門A與南門B之間的距離．（結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin22.6°≈，cos22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）解：