山西省太原市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題策略-幾何分冊(cè)第6章-等腰三角形的底邊所在直線上的點(diǎn)

第6章等腰三角形的底邊所在直線上的點(diǎn)平面幾何中的根本圖形所蘊(yùn)含的性質(zhì)是組成幾何問(wèn)題的根本構(gòu)思，有時(shí)也是溝通直線型問(wèn)題與曲線型問(wèn)題的重要細(xì)節(jié)．本章就介紹這樣的一個(gè)根本圖形所呈現(xiàn)的優(yōu)美數(shù)量關(guān)系，即等腰三角形的一條性質(zhì)定理及其應(yīng)用．性質(zhì)設(shè)是等腰的底邊所在直線上一點(diǎn)，那么．〔〕證明如圖〔1〕，當(dāng)點(diǎn)在底邊上時(shí)，設(shè)為底邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，那么，且．注意到勾股定理，有．如圖〔2〕，當(dāng)點(diǎn)在底邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)為的中點(diǎn)．同上述證法，有〔或當(dāng)在左側(cè)時(shí)，有〕〔或〕．證畢．注：也可利用在點(diǎn)處的角相等或相補(bǔ)，分別對(duì)和運(yùn)用余弦定理而證；或由證．顯然，上述結(jié)論是斯特瓦爾特定理〔假設(shè)為的所在直線上一點(diǎn)，那么〕的特殊情形，上述根本圖形常出現(xiàn)在與等腰三角形有關(guān)的問(wèn)題中；也常出現(xiàn)在與線段的中垂線有關(guān)的問(wèn)題中；與切線長(zhǎng)定理有關(guān)的問(wèn)題中；與點(diǎn)對(duì)圓的冪〔即圓冪定理〕有關(guān)的問(wèn)題中，即為：假設(shè)以為圓心，過(guò)，作圓，那么對(duì)于所在直線上一點(diǎn)，有，此即為圓冪定理．下面，我們從四個(gè)方面列舉一些應(yīng)用的例子．1．在與等腰三角形有關(guān)的問(wèn)題中例在中，，邊上有個(gè)不同的點(diǎn)，，…，，記，求的值．解由于是等腰三角形，那么可應(yīng)用性質(zhì)〔即〔〕式〕，有，從而．故．例如圖，和是的割線，分別交于，，且．過(guò)的直線交于，〔在與之間〕，交于，交于．求證：．證明因?yàn)榈妊切?，注意到，知，即也為等腰三角形，?yīng)用〔〕式，有． ①由，有．再注意到，于是，．②又在中，有． ③將②，③代入①有．整理，即得．2．在與線段的中垂線有關(guān)的問(wèn)題中例〔2023年天津市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題〕銳角的三邊，，的中點(diǎn)分別為，，，在，，的延長(zhǎng)線上分別取點(diǎn)，，．假設(shè)．證明：的外心為的垂心．證明如圖，設(shè)的三條高線分別為，，，垂心為，與交于點(diǎn)．由于是的中位線，，那么為線段的中垂線，應(yīng)用〔〕式，有．同理，，．注意到垂心的性質(zhì)，有，及條件，從而．故的垂心為的外心，即的外心為的垂心．例〔2005年國(guó)家隊(duì)集訓(xùn)題〕，是的邊，的中點(diǎn)，，是邊，上的高，聯(lián)結(jié)，交于點(diǎn)．又設(shè)，分別是的外心，垂心，聯(lián)結(jié)，．求證：．證明如圖，聯(lián)結(jié)，，設(shè)，分別為，的中點(diǎn)．在中，；在中，，于是點(diǎn)在線段的中垂線上，應(yīng)用〔〕式，有．①注意到為的中位線，而在的中垂線上，從而也在線段的中垂線上，應(yīng)用〔〕式，有． ②又注意到，知，，，四點(diǎn)共圖圓，有．而，，知，，，四點(diǎn)共圓，且為其圓心，有．于是，由①，②，③，④，并注意，有．從而由定差冪線定理，知．因，故．3．在與切線長(zhǎng)定理有關(guān)的問(wèn)題中例〔2023年陜西省高中競(jìng)賽題〕如圖，，為的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，交弦于點(diǎn)．求證：．證明由切線長(zhǎng)定理知，應(yīng)用〔〕式，有．注意到；．故．例〔《中等數(shù)學(xué)》2023〔7〕數(shù)學(xué)奧林匹克問(wèn)題高251〕凸四邊形外切于，兩組對(duì)邊所在的直線分別交于點(diǎn)，，對(duì)角線交于點(diǎn)．求證：．證明如圖，設(shè)與邊，，，分別切于點(diǎn)，，，，那么由牛頓定理知，，，四線共點(diǎn)于．由切線長(zhǎng)定理知，應(yīng)用〔〕式，有．①同理，． ②聯(lián)結(jié)，，，，令的半徑為，那么，． ③顯然，有． ④于是，由①，②，③，④，有．從而由定差冪線定理，知．4．在與點(diǎn)對(duì)圓的冪有關(guān)的問(wèn)題中例〔2007年國(guó)家隊(duì)選拔賽題〕是的弦，是弧的中點(diǎn)，是外任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，，聯(lián)結(jié)，，分別交于點(diǎn)，．過(guò)點(diǎn)，作的垂線，分別交，于點(diǎn)，，通過(guò)點(diǎn)作的割線，交于，．聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)，設(shè)是的外心．求證：，，三點(diǎn)共線．證明如圖，聯(lián)結(jié)，那么知．由，知，從而，即有．聯(lián)結(jié)，應(yīng)用〔〕式，有．運(yùn)用相似三角形，易得，假設(shè)令，那么有． ①由，有． ②因是的外心，聯(lián)結(jié)，，，且令，那么在，分別應(yīng)用〔〕式，得．③． ④由①，②，③，④有．從而由定差冪線定理，．同理，．故，，三點(diǎn)共線．例〔2023年國(guó)家隊(duì)選拔賽題〕設(shè)是的邊上一點(diǎn)，滿足∽，經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，并分別與，交于，兩點(diǎn)，，交于點(diǎn)．聯(lián)結(jié)，，取的中點(diǎn)．求證：．證明如圖，在的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使〔即，，，四點(diǎn)共圓〕，那么由知，，，也四點(diǎn)共圓．于是，，即知，，，四點(diǎn)共圓，即有．聯(lián)結(jié)，，．并令的半徑為．在中應(yīng)用〔〕式，有． ①在中應(yīng)用性質(zhì)，有． ②聯(lián)結(jié)，并利用三角形中線長(zhǎng)公式及注意①，②式，有． ③聯(lián)結(jié)，，在中，應(yīng)用〔〕式，有．由題設(shè)∽，知．于是，． ④由③，④有，故．注：點(diǎn)即為完全四邊形的密克爾點(diǎn)〔參見(jiàn)第14章或24章〕．練習(xí)六1．設(shè)是直角〔〕的直角邊所在直線上一點(diǎn)〔異于〕，那么．2．在中，，點(diǎn)在邊上，使得，，且．求的長(zhǎng)．3．在中，，，是邊上一點(diǎn)，．求證：．4．〔2023年世界杯數(shù)學(xué)奧林匹克題〕中，∶∶∶∶，，，的對(duì)邊分別為，，．〔1〕求證：；〔2〕求的值．5．設(shè)為銳角的垂心，以為圓心的任一圓分別與邊，，平行的中位線依次交于，，，，，．求證：．6．，，是圓中的三條弦，點(diǎn)在上，且．請(qǐng)你說(shuō)明以下各式成立的理由：〔1〕；〔2〕．7．〔1979年江蘇省競(jìng)賽題〕如圖，設(shè)在中，，平分，且交于，在上有一點(diǎn)，使．求證：．8．〔2001年湖南省夏令營(yíng)題〕自圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，，其中，為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)任意引圓的一條割線交圓于，，交于點(diǎn)．證明：．9．，，，四點(diǎn)在同一圓周上，且，與相交于點(diǎn)，．假設(shè)線段和的長(zhǎng)都是整數(shù)，求的長(zhǎng)．10.〔1997牟CMO試題〕四邊形內(nèi)接于圓，其邊與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)作該圓的兩條切線和，切點(diǎn)分別為，．求證：，，三點(diǎn)共線．11．設(shè)四邊形內(nèi)接于圓，對(duì)角線，交于點(diǎn)，直線，交于點(diǎn)，，的外心分別為，．求證