小學(xué)奧數(shù)-直線型面積講義圖文版

第一講直線型面積〔一〕第一講直線型面積〔一〕教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)熟練運(yùn)用直線型面積的最根本性質(zhì)——等積變形；熟練掌握直線型面積的兩個(gè)模型：〔1〕等積變形〔2〕鳥(niǎo)頭模型知識(shí)精講知識(shí)精講直線型面積求解是在以三角形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形等一些規(guī)那么圖形為根底上進(jìn)行的。最根本的思想是等積變形。一、等積變形①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，那么可知直線平行于．④等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比．二、鳥(niǎo)頭定理兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形．共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比．如圖在中，分別是上的點(diǎn)如圖=1\*GB2⑴(或在的延長(zhǎng)線上，在上)，那么板塊一、等積變形如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，點(diǎn)、、分別是長(zhǎng)方形邊上的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，求陰影局部的面積．此題是等底等高的兩個(gè)三角形面積相等的應(yīng)用．連接、．∵，∴．同理，，，∴(平方厘米)．【穩(wěn)固】圖中的、、分別是正方形三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長(zhǎng)是，那么陰影局部的面積是．如圖，有三個(gè)正方形的頂點(diǎn)、、恰好在同一條直線上，其中正方形的邊長(zhǎng)為10厘米，求陰影局部的面積．對(duì)于這種幾個(gè)正方形并排放在一起的圖形，一般可以連接正方形同方向的對(duì)角線，連得的這些對(duì)角線互相都是平行的，從而可以利用面積比例模型進(jìn)行面積的轉(zhuǎn)化．如右圖所示，連接、、，那么，根據(jù)幾何五大模型中的面積比例模型，可得，，所以陰影局部的面積就等于正方形的面積，即為平方厘米．【穩(wěn)固】右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長(zhǎng)是厘米，求三角形的面積．【穩(wěn)固】(2023年西城實(shí)驗(yàn)考題)如圖，與均為正方形，三角形的面積為6平方厘米，圖中陰影局部的面積為．【穩(wěn)固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長(zhǎng)為10厘米，那么圖中陰影面積為多少平方厘米？長(zhǎng)方形的面積為36，、、為各邊中點(diǎn)，為邊上任意一點(diǎn)，問(wèn)陰影局部面積是多少？解法一：尋找可利用的條件，連接、，如下列圖：可得：、、，而即；而，．所以陰影局部的面積是：解法二：特殊點(diǎn)法．找的特殊點(diǎn)，把點(diǎn)與點(diǎn)重合，那么圖形就可變成右圖：這樣陰影局部的面積就是的面積，根據(jù)鳥(niǎo)頭定理，那么有：．【穩(wěn)固】在邊長(zhǎng)為6厘米的正方形內(nèi)任取一點(diǎn)，將正方形的一組對(duì)邊二等分，另一組對(duì)邊三等分，分別與點(diǎn)連接,求陰影局部面積．(2007首屆全國(guó)資優(yōu)生思維能力測(cè)試)是邊長(zhǎng)為12的正方形，如下圖，是內(nèi)部任意一點(diǎn)，、，那么陰影局部的面積是．〔法1〕特殊點(diǎn)法．由于是內(nèi)部任意一點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合(如上中圖)，那么陰影局部就是和．而的面積為，的面積為，所以陰影局部的面積為．〔法2〕尋找可以利用的條件，連接、、、可得右上圖所示：那么有:同理可得：;而,即；同理：,,;所以：而；；所以陰影局部的面積是：即為：．(2023年四中考題)如右圖，，，陰影局部面積為5平方厘米，的面積是平方厘米．連接．根據(jù)題意可知，的面積為面積的，的面積為面積的，所以的面積為面積的．而的面積為5平方厘米，所以的面積為(平方厘米)．【穩(wěn)固】圖中三角形的面積是180平方厘米，是的中點(diǎn)，的長(zhǎng)是長(zhǎng)的3倍，的長(zhǎng)是長(zhǎng)的3倍．那么三角形的面積是多少平方厘米？如圖，大長(zhǎng)方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個(gè)小長(zhǎng)方形組合而成．求陰影局部的面積．如圖，將大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)的長(zhǎng)度設(shè)為1，那么，，所以，陰影局部面積為．(2023年第七屆〞希望杯〞二試六年級(jí))如圖，在三角形中，三角形、三角形、三角形的面積分別是89，28，26．那么三角形的面積是．根據(jù)題意可知，，所以，那么，故．是長(zhǎng)方形內(nèi)一點(diǎn)，的面積是，的面積是，求的面積是多少？由于是長(zhǎng)方形，所以，而，所以，那么，所以．如右圖，過(guò)平行四邊形內(nèi)的一點(diǎn)作邊的平行線、，假設(shè)的面積為8平方分米，求平行四邊形的面積比平行四邊形的面積大多少平方分米？根據(jù)差不變?cè)?，要求平行四邊形的面積與平行四邊形的面積差，相當(dāng)于求平行四邊形的面積與平行四邊形的面積差．如右上圖，連接、．由于，所以．而，，所以(平方分米)．如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積．連接交于點(diǎn)，并連接．如下列圖所示，可得，所以與面積相等(同底等高)，所以有：，因?yàn)?，所以．【穩(wěn)固】如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積．(2023年〞華杯賽〞決賽)右圖中，和是兩個(gè)正方形，和相交于，等于的三分之一，三角形的面積等于6平方厘米，求五邊形的面積．連接、，由于與平行，可知四邊形構(gòu)成一個(gè)梯形．由于面積為6平方厘米，且等于的三分之一，所以等于的，根據(jù)梯形蝴蝶定理或相似三角形性質(zhì)，可知的面積為12平方厘米，的面積為6平方厘米，的面積為3平方厘米．那么正方形的面積為平方厘米，所以其邊長(zhǎng)為6厘米．又的面積為平方厘米，所以(厘米)，即正方形的邊長(zhǎng)為3厘米．那么，五邊形的面積為：(平方厘米)．如圖，長(zhǎng)方形的面積，三角形的面積是，三角形的面積是，那么三角形的面積是多少？方法一：連接對(duì)角線．∵是長(zhǎng)方形∴∴，∴，∴∴．方法二：連接，由圖知，所以，又由，恰好是面積的一半，所以是的中點(diǎn)，因此，所以(第七屆〞小機(jī)靈杯〞數(shù)學(xué)競(jìng)賽五年級(jí)復(fù)賽)如下圖，三角形中，是邊的中點(diǎn)，是邊上的一點(diǎn)，且，為與的交點(diǎn)．假設(shè)的面積為平方厘米，的面積為平方厘米．且是平方厘米，那么三角形的面積是平方厘米．，，所以(平方厘米)．所以(平方厘米)．如圖，長(zhǎng)方形的面積是2平方厘米，，是的中點(diǎn)．陰影局部的面積是多少平方厘米？如下列圖，連接，、的面積相等，設(shè)為平方厘米;、的面積相等，設(shè)為平方厘米，那么的面積為平方厘米．，．所以有．比擬②、①式，②式左邊比①式左邊多，②式右邊比①式右邊大0.5，有，即,．而陰影局部面積為平方厘米．(年第一屆〞學(xué)而思杯〞綜合素質(zhì)測(cè)評(píng)六年級(jí)試)如圖，，，被分成個(gè)面積相等的小三角形，那么．由題意可知，，所以，；又，所以，同樣分析可得，所以．【穩(wěn)固】〔2023年清華附中入學(xué)測(cè)試題〕如圖，在角的兩邊上分別有、、及、、六個(gè)點(diǎn)，并且、、、、的面積都等于1，那么的面積等于．(2023年四中入學(xué)測(cè)試題)如圖，，，，，線段將圖形分成兩局部，左邊局部面積是38，右邊局部面積是65，那么三角形的面積是．連接，．根據(jù)題意可知，；；所以，，，，，于是：；；可得．故三角形的面積是40．(2023年走美六年級(jí)初賽)如下圖，長(zhǎng)方形內(nèi)的陰影局部的面積之和為70，，，四邊形的面積為．利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形、和四邊形的面積之和，以及三角形和的面積之和，進(jìn)而求出四邊形的面積．由于長(zhǎng)方形的面積為，所以三角形的面積為，所以三角形和的面積之和為；又三角形、和四邊形的面積之和為，所以四邊形的面積為．另解：從整體上來(lái)看，四邊形的面積三角形面積三角形面積白色局部的面積，而三角形面積三角形面積為長(zhǎng)方形面積的一半，即60，白色局部的面積等于長(zhǎng)方形面積減去陰影局部的面積，即，所以四邊形的面積為．【穩(wěn)固】(2023年〞華杯賽〞初賽)如下圖，矩形的面積為24平方厘米．三角形與三角形的面積之和為平方厘米，那么四邊形的面積是平方厘米．(清華附中分班考試題)如圖，如果長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，那么四邊形的面積是多少平方厘米？如圖，過(guò)、、、分別作長(zhǎng)方形的各邊的平行線．易知交成中間的陰影正方形的邊長(zhǎng)為厘米，面積等于平方厘米．設(shè)、、、的面積之和為，四邊形的面積等于，那么，解得(平方厘米)．板塊二鳥(niǎo)頭模型如圖在中，分別是上的點(diǎn)，且，，平方厘米，求的面積．連接，，，所以，設(shè)份，那么份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比．【穩(wěn)固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影局部)、乙兩局部，，，，乙局部面積是甲局部面積的幾倍？連接．∵，∴，又∵，∴，∴，．如圖在中，在的延長(zhǎng)線上，在上，且，，平方厘米，求的面積．連接，，所以，設(shè)份，那么份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面積是平方厘米．由此我們得到一個(gè)重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比如圖，三角形的面積為3平方厘米，其中，，三角形的面積是多少？由于，所以可以用共角定理，設(shè)份，份，那么份，份，由共角定理，設(shè)份，恰好是平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，三角形的面積是平方厘米的面積為平方厘米，，求的面積．，設(shè)份，那么份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米如圖，三角形面積為，延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使；延長(zhǎng)至，使，求三角形的面積．(法)此題是性質(zhì)的反復(fù)使用．連接、．∵，，∴．同理可得其它，最后三角形的面積．(法)用共角定理∵在和中，與互補(bǔ)，∴．又，所以．同理可得，．所以．如圖，平行四邊形，，，，，平行四邊形的面積是，求平行四邊形與四邊形的面積比．連接、．根據(jù)共角定理∵在和中，與互補(bǔ)，∴．又，所以．同理可得，，．所以．所以．如圖，將四邊形的四條邊、、、分別延長(zhǎng)兩倍至點(diǎn)、、、，假設(shè)四邊形的面積為5，那么四邊形的面積是．連接、．由于，，于是，同理．于是．再由于，，于是，同理．于是．那么．如圖，，，，，．求．此題題目本身很簡(jiǎn)單，但它把本講的兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)融合到一起，既可以看作是〞當(dāng)兩個(gè)三角形有一個(gè)角相等或互補(bǔ)時(shí)，這兩個(gè)三角形的面積比等于夾這個(gè)角的兩邊長(zhǎng)度的乘積比〞的反復(fù)運(yùn)用，也可以看作是找點(diǎn)，最妙的是其中包含了找點(diǎn)的種情況．最后求得的面積為．課后練習(xí)課后練習(xí)(第三屆“華杯賽〞初賽試題〕一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的，黃色三角形面積是．問(wèn)：長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？如圖，在平行四