六章平面向量及其應(yīng)用數(shù)乘運(yùn)算

數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6．2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算01預(yù)習(xí)案自主學(xué)習(xí)02探究案講練互動(dòng)03自測案當(dāng)堂達(dá)標(biāo)04應(yīng)用案鞏固提升學(xué)習(xí)指導(dǎo)核心素養(yǎng)1.通過實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，理解其幾何意義及兩個(gè)向量共線的含義．2.了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義．1.數(shù)學(xué)抽象：由教材實(shí)例抽象出向量數(shù)乘的概念．2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：向量數(shù)乘的運(yùn)算律及其向量的線性運(yùn)算．3.邏輯推理：利用向量共線定理解決具體問題．1．向量數(shù)乘的定義文字表述規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)____，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作____規(guī)定長度|λa|＝_________方向當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向____當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向____當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝__向量λa|λ||a|相同相反02.向量數(shù)乘的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，那么：(1)λ(μa)＝__________．(2)(λ＋μ)a＝__________．(3)λ(a＋b)＝__________．特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.(λμ)aλa＋μaλa＋λb3．向量的線性運(yùn)算(1)定義：向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．(2)運(yùn)算結(jié)果：向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是____．(3)運(yùn)算律：對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝______________．4．兩個(gè)向量共線的充要條件向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使________．向量λμ1a±λμ2bb＝λa

1．實(shí)數(shù)與向量可以相乘，那么能否相加或相減呢？提示：不能進(jìn)行加減，像a＋λ，a－λ(λ為實(shí)數(shù))都是沒有意義的．2．兩個(gè)向量共線的充要條件中的“a≠0”是否可以去掉？提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a＝b＝0，λ存在，但不唯一，若a＝0，b≠0，則λ不存在．

1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)實(shí)數(shù)λ與向量a的積還是向量．(

)(2)3a與a的方向相同，－3a與a的方向相反．(

)(3)若ma＝mb，則a＝b.(

)(4)若向量b與a共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ使b＝λa.(

)√√××2．(多選)下列各式計(jì)算正確的有(

)A．(－7)×6a＝－42a

B．7(a＋b)－8b＝7a＋15bC．a(chǎn)－2b＋a＋2b＝2a

D．4(2a＋b)＝8a＋4b√√√√

向量線性運(yùn)算的基本方法(1)類比法：向量的數(shù)乘運(yùn)算可類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算．例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形在向量的數(shù)乘中同樣適用，但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．(2)方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中要多注意觀察，恰當(dāng)?shù)厥褂眠\(yùn)算律，可以簡化運(yùn)算．√2．設(shè)a＝e1－e2，b＝e1＋2e2，c＝5e1＋4e2，c＝xa＋yb，則x＋y＝____________．解析：因?yàn)閏＝xa＋yb＝x(e1－e2)＋y(e1＋2e2)＝(x＋y)e1＋(－x＋2y)e2，又c＝5e1＋4e2，所以x＋y＝5.答案：5

用已知向量表示未知向量的求解思路(1)先結(jié)合圖形的特征，把待求向量放在三角形或平行四邊形中．(2)然后結(jié)合向量的三角形法則或平行四邊形法則及向量共線定理用已知向量表示未知向量．(3)當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以利用三角形法則或平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．√

1．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝－6e1＋2e2，其中e1，e2不共線，則a＋b與c的關(guān)系為(

)A．不共線 B．共線C．相等 D．無法確定解析：因?yàn)閍＋b＝3e1－e2，所以c＝－2(a＋b)，所以a＋b與c共線．故選B.√√1．已知λ∈R，則下列結(jié)論正確的是(

)A．|λa|＝λ|a|

B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0解析：當(dāng)λ<0時(shí)，|λa|＝λ|a|不成立，A錯(cuò)誤；|λa|是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，而|λ|a是一個(gè)向量，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，|λa|＝0，D錯(cuò)誤．故選C.√√3．已知a＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，則a＋b＝________，a－b＝____________，2a－3b＝____________．解析：因?yàn)閍＝2e1＋e2，b＝e1－2e2，所以a＋b＝3e1－e2，a－b＝e1＋3e2，2a－3b＝4e1＋2e2－3e1＋6e2＝e1＋8e2.答案：3e1－e2

e1＋3e2

e1＋8e24．設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的向量．若向量ka＋2b與8a＋kb的方向相反，則k＝________．解析：因?yàn)橄蛄縦a＋2b與8a＋kb的方向相反，所以