【圓相關(guān)證明與計(jì)算】類型二-與切線有關(guān)的證明與計(jì)算（解析版）

類型二與切線有關(guān)的證明與計(jì)算【典例1】如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上不同于A，B的兩點(diǎn)，AD＝BC，AC與BD相交于點(diǎn)F．BE是半圓O所在圓的切線，與AC的延長線相交于點(diǎn)E．（1）求證：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求證：AC平分∠DAB．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠BFE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABE＝90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA與Rt△DAB中，，∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圓O所在圓的切線，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【典例2】如圖，為的直徑，為延長線上一點(diǎn)，是的切線，為切點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）詳見解析；（2）2【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AOF＝∠B，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠CDO＝90°，等量代換即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線定理得到OE＝BD＝×8＝4，設(shè)OD＝x，OC＝3x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）連接OD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF＝∠B，∵CD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，∴∠CDO＝90°，∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°，∴∠CDA＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOF＝∠ADC；（2）∵OF∥BD，AO＝OB，∴AE＝DE，∴OE＝BD＝×8＝4，∵sinC＝＝，∴設(shè)OD＝x，OC＝3x，∴OB＝x，∴CB＝4x，∵OF∥BD，∴△COF∽△CBD，∴，∴，∴OF＝6，∴EF＝OF?OE＝6?4＝2．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【典例3】如圖，與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)，是上不與重合的點(diǎn)，．（1）求的大??；（2）若的半徑為3，點(diǎn)在的延長線上，且，求證：與相切．【答案】（1）60°；（2）詳見解析【解析】【分析】(1)連接OB，在Rt△AOB中由求出∠A=30°，進(jìn)而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可以求出∠BED的值；(2)連接OF，在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，進(jìn)而得到∠FOD=60°，再證明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°．【詳解】解：(1)連接，∵與相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，則．由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可知：．故答案為：．(2)連接，由(1)得，，∵，，∴，∴，∴．在與中，∴，∴．又點(diǎn)在上，故與相切．【點(diǎn)睛】本題考查圓的有關(guān)性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解決此類題的關(guān)鍵．【典例4】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD與過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D.連接BC并延長，交AD的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：AE=AB；（2）若AB=10，BC=6，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】(1)連接OC,由同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．(2)連接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可．【詳解】（1）證明：連接OC∵CD與⊙O相切于C點(diǎn)∴OC⊥CD又∵CD⊥AE∴OC//AE∴∠OCB＝∠E∵OC=OB∴∠ABE＝∠OCB∴∠ABE＝∠E∴AE=AB（2）連接AC∵AB為⊙O的直徑∴∠ACB＝90°∴∵AB=AE，AC⊥BE∴EC=BC=6∵∠DEC＝∠CEA,∠EDC＝∠ECA∴△EDC∽△ECA∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合性質(zhì)及相似的證明和性質(zhì),關(guān)鍵在于合理作出輔助線將已知條件轉(zhuǎn)換求解．【典例5】如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上的兩個(gè)點(diǎn)，＝＝，連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若直徑AB＝6，求AD的長．【分析】（1）連接OD，根據(jù)已知條件得到∠BOD＝180°＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到結(jié)論；（2）連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：連接OD，∵＝＝，∴∠BOD＝180°＝60°，∵＝，∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（2）解：連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD＝AB＝3，∴AD＝＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【典例6】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC上，BD＝DC，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E，⊙O經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)．(1)求證：AB是⊙O的直徑；(2)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；(3)若⊙O的半徑為3，∠BAC＝60°，求DE的長．【分析】：(1)連接AD，證AD⊥BC可得；(2)連接OD，利用中位線定理得到OD與AC平行，可證∠ODE為直角，由OD為半徑，可證DE與圓O相切；(3)連接BF，先證三角形ABC為等邊三角形，再求出BF的長，由DE為三角形CBF中位線，即可求出DE的長．【答案】：(1)連接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB為圓O的直徑(2)DE與圓O相切，證明：連接OD，∵O，D分別為AB，BC的中點(diǎn)，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD為圓的半徑，∴DE與圓O相切(3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，連接BF，∵AB為圓O的直徑，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D為BC的中點(diǎn)，∴E為CF的中點(diǎn)，即DE為△BCF中位線，在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，根據(jù)勾股定理得BF＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3)，則DE＝eq\f(1,2)BF＝eq\f(3\r(3),2)【典例7】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)H，AC的延長線與過點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E，且∠A＝∠EBC.(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)已知CG∥EB，且CG與BD，BA分別相交于點(diǎn)F，G，若BG·BA＝48，F(xiàn)G＝eq\r(2)，DF＝2BF，求AH的值．【分析】：(1)證∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG得eq\f(BC,BG)＝eq\f(AB,BC)，可求出BC，再由△BFC∽△BCD得BC2＝BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)CG＝AG，可證CH＝CB，即可求出AC.【答案】：(1)連接CD，∵BD是直徑，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切線(2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴eq\f(BC,BG)＝eq\f(AB,BC)，即BC2＝BG·BA＝48，∴BC＝4eq\r(3)，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝BF·BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝eq\r(BC2－FB2)＝4eq\r(2)，∴CG＝CF＋FG＝5eq\r(2)，在Rt△BFG中，BG＝eq\r(BF2＋FG2)＝3eq\r(2)，∵BG·BA＝48，∴BA＝8eq\r(2)，∴AG＝5eq\r(2)，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4eq\r(3)，∵△ABC∽△CBG，∴eq\f(AC,CG)＝eq\f(BC,BG)，∴AC＝eq\f(CB·CG,BG)＝eq\f(20\r(3),3)，∴AH＝AC－CH＝eq\f(8\r(3),3)【典例8】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對(duì)角線AC為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作AC的垂線交AD的延長線于點(diǎn)E，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)，連接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度數(shù)；(2)求證：DF是⊙O的切線；(3)若AC＝2eq\r(5)DE，求tan∠ABD的值．【答案】：(1)∵對(duì)角線AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°(2)連接DO，∵∠EDC＝90°，F(xiàn)是EC的中點(diǎn)，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切線(3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴eq\f(DC,AD)＝eq\f(DE,DC)，∴DC2＝AD·DE.設(shè)DE＝x，則AC＝2eq\r(5)x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即(2eq\r(5)x)2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x－20x2＝0，解得AD＝4x或AD＝－5x(舍去)，則DC＝eq\r(（2\r(5)x）2－（4x）2)＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝eq\f(AD,DC)＝eq\f(4x,2x)＝2【典例9】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O在對(duì)角線AC上，以O(shè)A的長為半徑的圓O與AD，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠ACB＝∠DCE.(1)判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)若tan∠ACB＝eq\f(\r(2),2)，BC＝2，求⊙O的半徑．【答案】：(1)直線CE與⊙O相切.理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，連接OE，有OA＝OE，則∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又OE是⊙O的半徑，∴直線CE與⊙O相切(2)∵tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(2),2)，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝eq\r(2)，∴AC＝eq\r(6).又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝eq\f(\r(2),2)，∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(3)，設(shè)⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(eq\r(6)－r)2＝r2＋3，解得r＝eq\f(\r(6),4)【典例10】如圖，已知AB為⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，OC交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于點(diǎn)E.(1)求證：∠1＝∠CAD；(2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半徑．【答案】：(1)∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC為⊙O的切線，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD(2)∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE，∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2eq\r(2)，設(shè)⊙O的半徑為x，則OA＝OD＝x，在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝(2eq\r(2)＋x)2，解得x＝eq\r(2)，∴⊙O的半徑為eq\r(2)【典例11】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD＝BC，延長AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求證：BE是⊙O的切線；(2)若BC＝eq\r(3)，AC＝5，求圓的直徑AD及切線BE的長．【答案】：(1)連接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵點(diǎn)B在⊙O上，∴BE是⊙O的切線(2)設(shè)圓的半徑為R，連接CD，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(5,2)，∵四邊形ACBD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴eq\f(DB,CA)＝eq\f(DE,CB)，∴eq\f(\r(3),5)＝eq\f(DE,\r(3))，∴DE＝eq\f(3,5)，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴eq\f(OF,OB)＝eq\f(OD,OE)，∴eq\f(\f(5,2),R)＝eq\f(R,R＋\f(3,5))，∵R＞0，∴R＝3，∴AB＝eq\r(AD2－BD2)＝eq\r(33)，∵eq\f(AC,AB)＝eq\f(BD,BE)，∴BE＝eq\f(3\r(11),5)【典例12】如圖，CD是⊙O的直徑，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為G，OG∶OC＝3∶5，AB＝8.(1)求⊙O的半徑；(2)點(diǎn)E為圓上一點(diǎn)，∠ECD＝15°，將eq\o(CE,\s\up8(︵))沿弦CE翻折，交CD于點(diǎn)F，求圖中陰影部分的面積．【答案】：(1)連接AO，∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝4，∵OG∶OC＝3∶5，∴設(shè)⊙O的半徑為5k，則OG＝3k，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得k＝1或k＝－1(舍去)，∴5k＝5，即⊙O的半徑是5(2)將陰影部分沿CE翻折，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，∵∠ECD＝15°，由對(duì)稱性可知，∠DCM＝30°，S陰影＝S弓形CBM，連接OM，則∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，過點(diǎn)M作MN⊥CD于點(diǎn)N，∴MN＝MO·sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2)，∴S陰影＝S扇形OMC－S△OMC＝eq\f(120×π×52,360)－eq\f(1,2)×5×eq\f(5\r(3),2)＝eq\f(25π,3)－eq\f(25\r(3),4)，即圖中陰影部分的面積是eq\f(25π,3)－eq\f(25\r(3),4)【典例13】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，