熱點06 三角形與全等三角形（解析版）-命題趨勢與限時檢測AB卷

熱點06三角形與全等三角形三角形的基礎(chǔ)知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ)，全等三角形也是幾何問題中證明線段相等或者角相等的常用關(guān)系。所以，在中考中，考察的幾率也是比較大。在考察題型上，三角形基礎(chǔ)知識部分多以選擇或者填空題形式，考察其三邊關(guān)系、內(nèi)角和定理、“三線”基本性質(zhì)等，全等三角形考點，考題形式選擇填空均有，個別以簡答題形式出現(xiàn)考察其性質(zhì)與判定的簡單應(yīng)用。而且，因為該考點與其他幾何考點的融入性特別多，所以還有作為幾何綜合問題的考點之一來綜合考察。三角形基本性質(zhì)：分類記憶，邊、角、線；有關(guān)三角形的基本性質(zhì)，主要從以下幾個方向考察：①邊的角度——三邊關(guān)系——三角形兩邊之和大于第三邊；②角的角度——三角形內(nèi)角和定理——三個內(nèi)角之和=180°（外角定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角的和）；③三線的角度——高線、中線、角平分線2.應(yīng)用方面抓實質(zhì)——當(dāng)問題已知條件中出現(xiàn)什么概念，立馬想找個概念對應(yīng)的性質(zhì)；不僅僅是三角形的基本性質(zhì)，其他幾何圖形也一樣，概念決定性質(zhì)，性質(zhì)決定應(yīng)用。應(yīng)用時用不上怎么辦？添加對應(yīng)的輔助線，使對應(yīng)概念的性質(zhì)可以應(yīng)用。3.全等三角形：根據(jù)不同條件選擇合適的判定方法，判定和性質(zhì)通常都是同步考察的；全等三角形的問題，簡單問題直接選擇合適的方法判定或者應(yīng)用；復(fù)雜的問題中，證出兩個三角形是全等三角形之后，通常要接著用全等三角形的對應(yīng)邊或者對應(yīng)角相等來解決后續(xù)問題。所以，有時候問題中并沒有讓判定兩個三角形全等，但是我們需要通?！叭切稳鹊淖C明”間接得到所需要的邊相等或角相等。三角形常考熱點考點有：三角形三邊關(guān)系、內(nèi)角和定理、外角定理、中線高線角平分線的應(yīng)用、全等三角形的性質(zhì)與判定等。大多數(shù)是數(shù)學(xué)問題的直接考察，個別時候會需要我們把生活實例中的某個物體抽象出數(shù)學(xué)模型，之后根據(jù)其性質(zhì)對應(yīng)計算或應(yīng)用。A卷（建議用時：50分鐘）1．（2021?宜賓·中考真題）若長度分別是a、3、5的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是（）A．1 B．2 C．4 D．8【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，即符合的只有4，故選：C．2．（2021?梧州·中考真題）在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝4∠C，則∠C等于（）A．32° B．36° C．40° D．128°【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可得：∠A+∠B+∠C＝180°，再結(jié)合所給的條件，可得5∠C＝160°，從而可求解．【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝4∠C，∴在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，20°+4∠C+∠C＝180°，5∠C＝160°，∠C＝32°．故選：A．3．（2021?湖北·中考真題）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，則∠B的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】利用平角的定義可得∠ADE＝20°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)知∠A＝∠ADE＝20°，再由內(nèi)角和定理可得答案．【解答】解：∵∠CDE＝160°，∴∠ADE＝20°，∵DE∥AB，∴∠A＝∠ADE＝20°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°．故選：D．4．（2021?本溪·中考真題）一副三角板如圖所示擺放，若∠1＝80°，則∠2的度數(shù)是（）A．80° B．95° C．100° D．110°【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠5，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠3，根據(jù)對頂角相等求出∠4，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到答案．【解答】解：如圖，∠5＝90°﹣30°＝60°，∠3＝∠1﹣45°＝35°，∴∠4＝∠3＝35°，∴∠2＝∠4+∠5＝95°，故選：B．5．（2021?哈爾濱·中考真題）如圖，△ABC≌△DEC，點A和點D是對應(yīng)頂點，點B和點E是對應(yīng)頂點，過點A作AF⊥CD，垂足為點F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數(shù)為（）A．30° B．25° C．35° D．65°【分析】由全等三角形的性質(zhì)可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，進而可求解∠CAF的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠BCE＝65°，∴∠ACD＝∠BCE＝65°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，故選：B．6．（2021?鹽城·中考真題）工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來平分一個角．如圖，在∠AOB的兩邊OA、OB上分別截取OC＝OD，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點C、D重合，這時過角尺頂點M的射線OM就是∠AOB的平分線．這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SSS推出△COM≌△DOM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠COM＝∠DOM，根據(jù)角平分線的定義得出答案即可．【解答】解：在△COM和△DOM中，所以△COM≌△DOM（SSS），所以∠COM＝∠DOM，即OM是∠AOB的平分線，故選：D．7．（2021?攀枝花·中考真題）如圖，一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成三塊，他要帶其中一塊或兩塊碎片到商店去配一塊與原來一樣的三角形模具，他帶（）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法結(jié)合圖形判斷出帶③去．【解答】解：由圖形可知，③有完整的兩角與夾邊，根據(jù)“角邊角”可以作出與原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是帶③去．故選：C．8．（2021?青?！ぶ锌颊骖}）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，對角線BD平分∠ABC，則△BCD的面積為（）A．8 B．7.5 C．15 D．無法確定【分析】過D點作DE⊥BC于E，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DA＝3，然后根據(jù)三角形面積公式計算．【解答】解：過D點作DE⊥BC于E，如圖，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面積＝×5×3＝7.5．故選：B．9．（2021?寧夏·中考真題）如圖，在?ABCD中，AD＝4，對角線BD＝8，分別以點A、B為圓心，以大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E和點F，作直線EF，交對角線BD于點G，連接GA，GA恰好垂直于邊AD，則GA的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AG＝BG，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)BG＝x，則DG＝8﹣x，由作圖可知：EF是線段AB的垂直平分線，∴AG＝BG＝x，在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，即AG＝3，故選：B．10．（2021?安徽·中考真題）在△ABC中，∠ACB＝90°，分別過點B，C作∠BAC平分線的垂線，垂足分別為點D，E，BC的中點是M，連接CD，MD，ME．則下列結(jié)論錯誤的是（）A．CD＝2ME B．ME∥AB C．BD＝CD D．ME＝MD【分析】根據(jù)題意作出圖形，可知點A，C，D，B四點共圓，再結(jié)合點M是中點，可得DM⊥BC，又CE⊥AD，BD⊥AD，可得△CEM≌△BFM，可得EM＝FM＝DM，延長DM交AB于點N，可得MN是△ACB的中位線，再結(jié)合直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，可得DN＝AN，得到角之間的關(guān)系，可得ME∥AB．【解答】解：根據(jù)題意可作出圖形，如圖所示，并延長EM交BD于點F，延長DM交AB于點N，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別過點B，C作∠BAC平分線的垂線，垂足分別為點D，E，由此可得點A，C，D，B四點共圓，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴CD＝DB，（故選項C正確）∵點M是BC的中點，∴DM⊥BC，又∵∠ACB＝90°，∴AC∥DN，∴點N是線段AB的中點，∴AN＝DN，∴∠DAB＝∠ADN，∵CE⊥AD，BD⊥AD，∴CE∥BD，∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，∵點M是BC的中點，∴CM＝BM，∴△CEM≌△BFM（AAS），∴EM＝FM，∠CEM＝∠BFM，∴點M是EF的中點，CE∥BF，∴∠EDF＝∠CED＝90°，∴EM＝FM＝DM（故選項D正確），∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，∴EM∥AB（故選項B正確），綜上，可知選項A的結(jié)論不正確．故選：A．11．（2021?雅安·中考真題）如圖，將△ABC沿BC邊向右平移得到△DEF，DE交AC于點G．若BC：EC＝3：1．S△ADG＝16．則S△CEG的值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出AD＝BE，進而得出BE：EC＝2：1，利用三角形面積之比解答即可．【解答】解：由平移性質(zhì)可得，AD∥BE，AD＝BE，∴△ADG∽△CEG，∵BC：EC＝3：1，∴BE：EC＝2：1，∴AD：EC＝2：1，∴＝4，∵S△ADG＝16，∴S△CEG＝4，故選：B．12．（2021?鄂州·中考真題）如圖，四邊形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于點D．若BD＝2，CD＝4，則線段AB的長為．【分析】過點C作CE⊥CD交AD于E，判斷出∠ACE＝∠BCD，進而利用AAS判斷出△ACE≌△BCD，得出AE＝BD＝2，CE＝CD，進而利用勾股定理求出DE＝8，即AD＝10，最后用勾股定理即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖，過點C作CE⊥CD交AD于E，∴∠ECD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，∴∠ACB﹣∠BCE＝∠ECD﹣∠BCE，∴∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，BC與AD的交點記作點F，∵∠ACB＝90°，∴∠AFC+∠CAE＝90°，∵∠AFC＝∠DFB，∴∠DFB+∠CAE＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DFB+∠CBD＝90°，∴∠CAE＝∠CBD，∴△ACE≌△BCD（AAS），∴AE＝BD，CE＝CD，在Rt△DCE中，CE＝CD＝4，∴DE＝CD＝＝8，∵BD＝2，∴AE＝2，∴AD＝AE+DE＝2+8＝10，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得，AB＝＝＝2，故答案為．13．（2021?蘭州·中考真題）如圖，點E，C在線段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF．求證：AC＝DF．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABC＝∠DEF．根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵AB∥ED，∴∠ABC＝∠DEF．在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴AC＝DF．14．（2021?南京·中考真題）如圖，AC與BD交于點O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E為BC延長線上一點，過點E作EF∥CD，交BD的延長線于點F．（1）求證△AOB≌△DOC；（2）若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的長．【分析】（1）由AAS證明△AOB≌△DOC即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AB＝DC＝2，再證△BCD∽△BEF，得＝，即可求解．【解答】（1）證明：在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS）；（2）解：由（1）得：△AOB≌△DOC，∴AB＝DC＝2，∵BC＝3，CE＝1，∴BE＝BC+CE＝4，∵EF∥CD，∴△BCD∽△BEF，∴＝，即＝，解得：EF＝．15．（2021?河池·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，D，E分別是AB，BC邊上的動點，以BD為直徑的⊙O交BC于點F．（1）當(dāng)AD＝DF時，求證：△CAD≌△CFD；（2）當(dāng)△CED是等腰三角形且△DEB是直角三角形時，求AD的長．【分析】（1）因為BD是⊙O的直徑，所以∠DFB＝90°，利用“HL“證明Rt△CAD≌Rt△CFD；（2）因為△CED為等腰三角形，故每一條邊都可能是底邊，可以分三類討論，由于△DEB是直角三角形，所以D和F都可能為直角頂點，故需要分兩類討論，我們選擇按照D和F為直角頂點分兩類討論更簡單，當(dāng)∠EDB＝90°時，∠DEB＜90°，∠CED是鈍角，所以此時只能構(gòu)造EC＝ED的等腰三角形，故取點D使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，可以證明DE＝DC，且DE∥AC，得到△BDE∽△BAC，設(shè)DE＝DC＝x，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例，列出方程并求解，即可解決，當(dāng)∠DEB＝90°時，如圖2，則∠AED＝90°，若△CED為等腰三角形，則∠ECD＝∠EDC＝45°，即EC＝DC，可以利用三角函數(shù)或相似來求AD的長度．【解答】證明：（1）∵BD為⊙O直徑，∴∠DFB＝90°，在Rt△ACD與Rt△FCD中，，∴Rt△ACD≌Rt△FCD（HL），解：（2）∵△DEB是直角三角形，且∠B＜90°，∴直角頂點只能是D點和E點，①若∠EDB＝90°，如圖1，在AB上取點D，使CD平分∠ACB，過D作DE⊥AB交BC于E，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，∵∠CAB＝∠EDB＝90°，∴AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，此時△ECD為E為頂角頂點的等腰三角形，△DEB是以D為直角頂點的直角三角形，設(shè)CE＝DE＝x，在直角△ABC中，BC＝＝5，∴BE＝5﹣x，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴，∴x＝，∴，∵DE∥AC，∴，∴，∴AD＝，②若∠DEB＝90°，如圖2，則∠CED＝90°，∵△CED為等腰三角形，∴∠ECD＝∠EDC＝45°，∴可設(shè)CE＝DE＝y(tǒng)，∵tan∠B＝＝，∴tan∠B＝＝，∴，∴BC＝CE+EB＝5，∴y+＝5，∴，∴CE＝DE＝，∴BD＝＝＝，∴AD＝AB﹣BD＝4﹣＝，∴AD的長為或．B卷（建議用時：80分鐘）1．（2021?綏化·中考真題）下列命題是假命題的是（）A．任意一個三角形中，三角形兩邊的差小于第三邊 B．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半 C．如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角一定相等 D．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形【分析】利用三角形的三邊關(guān)系、三角形的中位線定理、平行線的性質(zhì)及平行四邊形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、任意一個三角形中，三角形兩邊的差小于第三邊，正確，是真命題，不符合題意；B、三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，正確，是真命題，不符合題意；C、如果一個角的兩邊分別平行于另一個角的兩邊，那么這兩個角一定相等或互補，故原命題錯誤，是假命題，符合題意；D、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，正確，是真命題，不符合題意，故選：C．2．（2021?淮安·中考真題）一個三角形的兩邊長分別是1和4，若第三邊的長為偶數(shù)，則第三邊的長是．【分析】利用三角形三邊關(guān)系定理，先確定第三邊的范圍，再根據(jù)第三邊是偶數(shù)這一條件，求得第三邊的值．【解答】解：設(shè)第三邊為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，又∵第三邊的長是偶數(shù)，∴a為4．故答案為：4．3．（2021?宿遷·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于點D，DE∥AB，交BC于點E，則∠BDE的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC，根據(jù)角平分線定義求出∠ABD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BDE＝∠ABD即可．【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝40°，∵DE∥AB，∴∠BDE＝∠ABD＝40°，故選：B．4．（2021?樂山·中考真題）如圖，已知直線l1、l2、l3兩兩相交，且l1⊥l3，若α＝50°，則β的度數(shù)為（）A．120° B．130° C．140° D．150°【分析】先求出α的對頂角等于50°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出β的度數(shù)．【解答】解：如圖，根據(jù)對頂角相等得：∠1＝∠α＝50°，∵l1⊥l3，∴∠2＝90°．∵∠β是三角形的外角，∴∠β＝∠1+∠2＝50°+90°＝140°，故選：C．5．（2021?臺灣·中考真題）已知△ABC與△DEF全等，A、B、C的對應(yīng)點分別為D、E、F，且E點在AC上，B、F、C、D四點共線，如圖所示．若∠A＝40°，∠CED＝35°，則下列敘述何者正確？（）A．EF＝EC，AE＝FC B．EF＝EC，AE≠FC C．EF≠EC，AE＝FC D．EF≠EC，AE≠FC【分析】由△ABC與△DEF全等，A、B、C的對應(yīng)點分別為D、E、F，可得∠A＝∠D＝40°，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，可得EF＝EC；∠CED＝35°，∠D＝40°可得∠D＞∠CED，由大角對大邊可得CE＞CD；利用AC＝DF，可得AC﹣CE＜DF﹣CD，即AE＜FC，由上可得正確選項．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴∠A＝∠D＝40°，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，∵∠ACB＝∠DFE，∴EF＝EC．∵∠CED＝35°，∠D＝40°，∴∠D＞∠CED．∴CE＞CD．∵AC＝DF，∴AC﹣CE＜DF﹣CD，即AE＜FC．∴AE≠FC．∴EF＝EC，AE≠FC．故選：B．6．（2021?齊齊哈爾·中考真題）如圖，AC＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△AED，應(yīng)添加的條件是．（只需寫出一個條件即可）【分析】利用∠1＝∠2得到∠BAC＝∠EAD，由于AC＝AD，然后根據(jù)全等三角形的判定方法添加條件．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD，即∠BAC＝∠EAD，∵AC＝AD，∴當(dāng)添加∠B＝∠E時，可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△AED；當(dāng)添加∠C＝∠D時，可根據(jù)“ASA”判斷△ABC≌△AED；當(dāng)添加AB＝AE時，可根據(jù)“SAS”判斷△ABC≌△AED．故答案為∠B＝∠E或∠C＝∠D或AB＝AE．7．（2021?陜西·中考真題）如圖，AB、BC、CD、DE是四根長度均為5cm的火柴棒，點A、C、E共線．若AC＝6cm，CD⊥BC，則線段CE的長度是（）A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm【分析】過B作BM⊥AC于M，過D作DN⊥CE于N，由等腰三角形的性質(zhì)得到AM＝CM＝3，CN＝EN，根據(jù)全等三角形判定證得△BCM≌△CDN，得到BM＝CN，在Rt△BCM中，根據(jù)勾股定理求出BM＝4，進而求出．【解答】解：由題意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm，過B作BM⊥AC于M，過D作DN⊥CE于N，則∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD＝90°，∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°，∴∠CBM＝∠DCN，在△BCM和△CDN中，，∴△BCM≌△CDN（AAS），∴BM＝CN，在Rt△BCM中，∵BC＝5，CM＝3，∴BM＝＝＝4，∴CN＝4，∴CE＝2CN＝2×4＝8，故選：D．8．（2021?泰州·中考真題）如圖，四邊形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB與CD不平行，P、M、N分別是AD、BD、AC的中點，設(shè)△PMN的面積為S，則S的范圍是．【分析】有中點一般思考中線或者中位線，本題借助三角形中位線求解．【解答】解：作ME⊥PN，如圖所示，∵P，M，N分別是AD，BD，AC中點，∴PM＝AB＝2，PN＝CD＝2，∴S△PMN＝＝ME，∵AB與CD不平行，∴M，N不能重合，∴ME＞0∵ME≤MP＝2∴0＜S△≤2．故答案是：0＜S≤2．9．（2021?威海·中考真題）如圖，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．連接CD，連接BE并延長交AC，AD于點F，G．若BE恰好平分∠ABC，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD∥AB C．DE＝GE D．BF2＝CF?AC【分析】根據(jù)題意得出∠DAC＝∠EAB，用邊角邊定理證明△DAC≌△EAB，從而得出∠ADC＝∠AEB；根據(jù)平分線的性質(zhì)得出角之間的關(guān)系：∠DCA＝∠EBA＝36°＝∠CAB＝36°，再根據(jù)平行線的判定可得出CD∥AB；先假設(shè)DE＝GE，根據(jù)等邊對等角及三角形的內(nèi)角和推出各角之間的關(guān)系，得到∠AEG≠∠EAB+∠ABE與三角形的外角性質(zhì)產(chǎn)生矛盾，從而推出假設(shè)不成立；【解答】解：①∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠DAE﹣∠CAE，即∠DAC＝∠EAB，在△DAC和△EAB中有：，∴△DAC≌△EAB（SAS），∴∠ADC＝∠AEB，故A選項不符合題意；②∵∠CAB＝∠DAE＝36°，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣36°）÷2＝72°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°，由①可知∠DCA＝∠EBA＝36°，∠CAB＝36°，∴CD∥AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故B選項不符合題意；③假設(shè)DE＝GE，則∠DGE＝∠ADE＝72°，∠DEG＝180°﹣2×72°＝36°，∴∠AEG＝∠AED﹣∠DEG＝72°﹣36°＝36°，∵∠ABE＝36°，∠AEG是△ABE的一個外角，∴∠AEG＝∠EAB+∠ABE而事實上∠AEG≠∠EAB+∠ABE，∴假設(shè)不成立，故C選項符合題意；④∵∠FAB＝∠FBA＝36°，∴∠AFB＝180°﹣2×36°＝108°，∴在△AFB中有＝，∵∠CBF＝36°，∠FCB＝72°，∴∠BFC＝72°，∴在△BFC中有：＝，∴＝，即BF2＝AB?CF，∵AB＝AC，∴BF2＝AC?CF，故D選項不符合題意．故選：C．10．（2021?日照·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，點P從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿BC邊向點C運動，到達點C停止，同時，點Q從點C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CD邊向點D運動，到達點D停止，規(guī)定其中一個動點停止運動時，另一個動點也隨之停止運動．當(dāng)v為2或時，△ABP與△PCQ全等．【分析】可分兩種情況：①△ABP≌△PCQ得到BP＝CQ，AB＝PC，②△ABP≌△QCP得到BA＝CQ，PB＝PC，然后分別計算出t的值，進而得到v的值．【解答】解：①當(dāng)BP＝CQ，AB＝PC時，△ABP≌△PCQ，∵AB＝8cm，∴PC＝8cm，∴BP＝12﹣8＝4（cm），∴2t＝4，解得：t＝2，∴CQ＝BP＝4cm，∴v×2＝4，解得：v＝2；②當(dāng)BA＝CQ，PB＝PC時，△ABP≌△QCP，∵PB＝PC，∴BP＝PC＝6cm，∴2t＝6，解得：t＝3，∵CQ＝AB＝8cm，∴v×3＝8，解得：v＝，綜上所述，當(dāng)v＝2或時，△ABP與△PQC全等，故答案為：2或．11．（2021?紹興·中考真題）已知△ABC與△ABD在同一平面內(nèi)，點C，D不重合，∠ABC＝∠ABD＝30°，AB＝4，AC＝AD＝2，則CD長為．【分析】分C，D在AB的同側(cè)或異側(cè)兩種情形，分別求解，注意共有四種情形．【解答】解：如圖，當(dāng)C，D同側(cè)時，過點A作AE⊥CD于E．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝4，∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝2，∵AD＝AC＝2，∴DE＝＝2，EC＝＝2，∴DE＝EC＝AE，∴△ADC是等腰直角三角形，∴CD＝4，當(dāng)C，D異側(cè)時，過C′作C′H⊥CD于H，∵△BCC′是等邊三角形，BC＝BE﹣EC＝2﹣2，∴CH＝BH＝﹣1，C′H＝CH＝3﹣，在Rt△DC′H中，DC′＝＝＝2，∵△DBD′是等邊三角形，∴DD′＝2+2，∴CD的長為2±2或4或2．故答案為：2±2或4或2．12．（2021?達州·中考真題）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，點E，F(xiàn)分別是邊AC，BC上的動點，且AE＝CF，連接BE，AF交于點P，連接CP，則CP的最小值為．【分析】由“SAS”可證△ABE≌△ACF，可得∠ABE＝∠CAF，可求∠APB＝120°，過點A，點P，點B作⊙O，則點P在上運動，利用銳角三角函數(shù)可求CO，AO的長，即可求解．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ACB＝60°，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴∠ABE＝∠CAF，∴∠BPF＝∠PAB+∠ABP＝∠CAP+∠BAP＝60°，∴∠APB＝120°，如圖，過點A，點P，點B作⊙O，連接CO，PO，∴點P在上運動，∵AO＝OP＝OB，∴∠OAP＝∠OPA，∠OPB＝∠OBP，∠OAB＝∠OBA，∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OPA﹣∠OPB﹣∠OBP＝120°，∴∠OAB＝30°，∴∠CAO＝90°，∵AC＝BC，OA＝OB，∴CO垂直平分AB，∴∠ACO＝30°，∴cos∠ACO＝，CO＝2AO，∴CO＝4，∴AO＝2，在△CPO中，CP≥CO﹣OP，∴當(dāng)點P在CO上時，CP有最小值，∴CP的最小值＝4﹣2＝2，故答案為2．13．（2021?長沙·中考真題）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝CD，延長BC至E，使得CE＝CA，連接AE．（1）求證：∠B＝∠ACB；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周長和面積．【分析】（1）證明AD是BC的中垂線，即可求解；（2）利用勾股定理分別計算出BD和AE即可求出△ABE的周長和面積．【解答】解：（1）證明：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的中垂線，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，S△ABE＝＝＝22．14．（2021?黃石·中考真題）如圖，D是△ABC的邊AB上一點，CF∥AB，DF交AC于E點，DE＝EF．（1）求證：△ADE≌△CFE；（2）若AB＝5，CF＝4，求BD的長．【分析】（1）利用角角邊定理判定即可；（2）利用全等三角形對應(yīng)邊相等可得AD的長，用AB﹣AD即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠F，∠A＝∠ECF．在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．（2）∵△ADE≌△CFE，∴AD＝CF＝4．∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．15．（2021?湘潭·中考真題）如圖，矩形ABCD中，E為邊BC上一點，將△ABE沿AE翻折后，點B恰好落在對角線AC的中點F上．（1）證明：△AEF≌△CEF；（2）若AB＝，求折痕AE的長度．【分析】（1）由折疊性質(zhì)得到，∠AFE＝∠B＝90