廣東省廣州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

廣東省廣州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若，則以下不等式一定成立的是()A． B． C． D．2．已知，，下列不等式成立的是（）A． B．C． D．3．以兩點(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝10 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝254．在△ABC中，a＝3，b＝3，A＝，則C為()A． B． C． D．5．從1，2，3，…，9這個(gè)9個(gè)數(shù)中任取5個(gè)不同的數(shù)，則這5個(gè)數(shù)的中位數(shù)是5的概率等于（）A．57 B．59 C．26．在中，角所對(duì)的邊分別為，已知下列條件，只有一個(gè)解的是()A．，， B．，，C．，， D．，，7．已知實(shí)數(shù)滿足,那么的最小值為(

)A． B． C． D．8．函數(shù)的部分圖象如圖，則（）（）A．0 B． C． D．69．如圖，在平面四邊形ABCD中，若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)滿足；②函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③函數(shù)滿足；④函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角所對(duì)的邊分別為，，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為________．12．設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知，，如果解此三角形有且只有兩個(gè)解，則的取值范圍是_____．13．設(shè)滿足約束條件，則的最小值為__________．14．中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，且，，則的值為__________．15．如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，且，延長交于點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為_______.16．和2的等差中項(xiàng)的值是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．某服裝店為慶祝開業(yè)“三周年”，舉行為期六天的促銷活動(dòng)，規(guī)定消費(fèi)達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)的顧客可進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，隨著抽獎(jiǎng)活動(dòng)的有效開展，第五天該服裝店經(jīng)理對(duì)前五天中參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，表示第天參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)，得到統(tǒng)計(jì)表格如下：1234546102322（1）若與具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（2）預(yù)測第六天的參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)（按四舍五入取到整數(shù)）.參考公式與參考數(shù)據(jù)：.18．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．求證：（1）直線∥平面；（2）平面平面．19．已知的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，（1）求證：；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍.20．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c，且，，求△ABC的面積的最大值．21．已知平面向量，，，其中，（1）若為單位向量，且，求的坐標(biāo)；（2）若且與垂直，求向量，夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

利用不等式的運(yùn)算性質(zhì)分別判斷，正確的進(jìn)行證明，錯(cuò)誤的舉出反例.【題目詳解】沒有確定正負(fù)，時(shí)，，所以不選A；當(dāng)時(shí)，，所以不選B；當(dāng)時(shí)，，所以不選D；由，不等式成立.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式的運(yùn)算性質(zhì)，比較法證明不等式，屬于基本題.2、A【解題分析】

由作差法可判斷出A、B選項(xiàng)中不等式的正誤；由對(duì)數(shù)換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出C選項(xiàng)中不等式的正誤；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出D選項(xiàng)中不等式的正誤.【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)中的不等式，，，，，，，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)中的不等式，，，，，，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)中的不等式，，，，，，，即，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)中的不等式，，函數(shù)是遞減函數(shù)，又，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式正誤的判斷，常見的比較大小的方法有：（1）比較法；（2）中間值法；（3）函數(shù)單調(diào)性法；（4）不等式的性質(zhì).在比較大小時(shí)，可以結(jié)合不等式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法來比較，考查推理能力，屬于中等題.3、D【解題分析】分析：由條件求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，從而得出結(jié)論．詳解：圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝＝5，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，求出圓心坐標(biāo)和半徑的值，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

由正弦定理先求出的值，然后求出結(jié)果【題目詳解】在中，，則故選【題目點(diǎn)撥】本題運(yùn)用正弦定理解三角形，熟練運(yùn)用公式即可求出結(jié)果，較為簡單。5、C【解題分析】試題分析：設(shè)事件為“從1，2，3，…，9這9個(gè)數(shù)中5個(gè)數(shù)的中位數(shù)是5”，則基本事件總數(shù)為種，事件所包含的基本事件的總數(shù)為：，所以由古典概型的計(jì)算公式知，，故應(yīng)選.考點(diǎn)：1.古典概型；6、D【解題分析】

首先根據(jù)正弦定理得到，比較與的大小關(guān)系即可判定A，B錯(cuò)誤，再根據(jù)大邊對(duì)大角即可判定C錯(cuò)誤，根據(jù)勾股定理即可判定D正確.【題目詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，有兩個(gè)解，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，無解，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即，，所以無解，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，，為直角三角形，故D正確.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角形個(gè)數(shù)的判斷，利用正弦定理判斷為解題的關(guān)鍵，屬于簡單題.7、A【解題分析】

表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得最小值.【題目詳解】依題意可知表示直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故原點(diǎn)到直線的距離為最小值，即最小值為，故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

先利用正切函數(shù)求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出與的坐標(biāo)，再代入平面向量數(shù)量積的運(yùn)算公式即可求解．【題目詳解】因?yàn)閥＝tan（x）＝0?xkπ?x＝4k+2，由圖得x＝2；故A（2，0）由y＝tan（x）＝1?xk?x＝4k+3，由圖得x＝3，故B（3，1）所以（5，1），（1，1）．∴（）5×1+1×1＝1．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了利用正切函數(shù)值求角的運(yùn)算，解決本題的關(guān)鍵在于求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解題分析】

分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設(shè)，數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點(diǎn)為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設(shè)=所以當(dāng)時(shí)，上式取最小值，選A.點(diǎn)睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時(shí)利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。10、C【解題分析】

求出余弦函數(shù)的周期，對(duì)稱軸，單調(diào)性，逐個(gè)判斷選項(xiàng)的正誤即可．【題目詳解】函數(shù)，函數(shù)的周期為，所以①正確；時(shí)，，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，②正確；函數(shù)滿足即．所以③正確；因?yàn)闀r(shí)，，函數(shù)取得最大值，所以函數(shù)在上不是單調(diào)增函數(shù)，不正確；故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦函數(shù)的單調(diào)性、周期性以及對(duì)稱軸等性質(zhì)的應(yīng)用．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解題分析】分析：先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解：由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡得，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.點(diǎn)睛：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.12、【解題分析】

由余弦定理寫出c與x的等式，再由有兩個(gè)正解，解出x的取值范圍【題目詳解】根據(jù)余弦定理：代入數(shù)據(jù)并整理有，有且僅有兩個(gè)解，記為則：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查余弦定理以及韋達(dá)定理，屬于中檔題．13、-1【解題分析】

由約束條件作出可行域，由圖得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合得答案．【題目詳解】由x，y滿足約束條件作出可行域如圖，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解為A，聯(lián)立，解得A（﹣1，1）．∴z＝3x﹣2y的最小值為﹣3×1﹣2×1＝﹣1．故答案為：﹣1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．14、4【解題分析】

利用余弦定理變形可得，從而求得結(jié)果.【題目詳解】由余弦定理得：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用的變形，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

由，得，可得出，再利用、、三點(diǎn)共線的向量結(jié)論得出，可解出實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】由，得，可得出，由于、、三點(diǎn)共線，，解得，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查三點(diǎn)共線問題的處理，解題的關(guān)鍵就是利用三點(diǎn)共線的向量等價(jià)條件的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解的能力，屬于中等題.16、【解題分析】

根據(jù)等差中項(xiàng)性質(zhì)求解即可【題目詳解】設(shè)等差中項(xiàng)為，則，解得故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查等差中項(xiàng)的求解，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）預(yù)測第六天的參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)為29.【解題分析】

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，利用公式，分別求得的值，即可得到回歸直線方程；（2）將代入回歸直線方程，求得，即可作出判斷，得到結(jié)論.【題目詳解】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得，，則，，又由，故所求回歸直線方程為.（2）將代入中，求得，故預(yù)測第六天的參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)的人數(shù)為29.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解，以及回歸直線方程的應(yīng)用，其中解答中利用公式準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，證得，利用線面平行的判定定理，即可證得直線∥平面；（2）利用線面垂直的判定定理，證得，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面．【題目詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，．在中，，分別為，中點(diǎn)，則且，又四邊形為矩形，為中點(diǎn)，且，所以，故四邊形為平行四邊形，從而，又，，所以直線．（2）因?yàn)榫匦?，所以，又平面，面，，所以，又，則，又，，所以，又，所以平面平面．【題目點(diǎn)撥】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．19、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）由，聯(lián)立，得，然后邊角轉(zhuǎn)化，利用和差公式化簡，即可得到本題答案；（2）利用正弦定理和，得，再確定角C的范圍，即可得到本題答案.【題目詳解】解：（1）銳角中，，故由余弦定理可得：，，，即，∴利用正弦定理可得：，即，，可得：，∴可得：，或（舍去），.（2），均為銳角，由于：，，.再根據(jù)，可得，，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正余弦定理的綜合應(yīng)用，其中涉及到利用三角函數(shù)求取值范圍的問題.20、(1),(2)【解題分析】

（1）利用二倍角公式、輔助角公式進(jìn)行化簡,，然后根據(jù)單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的的公式求解單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)計(jì)算出的值，再利用余弦定理計(jì)算出的最大值則可求面積的最大值，注意不等式取等號(hào)條件.【題目詳解】解:（1）∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,（2）由（1）知得（舍）或∴有余弦定理得即∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)∴【題目點(diǎn)撥】（1）輔助角公