2024屆浙江省湖州市高中聯(lián)盟數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆浙江省湖州市高中聯(lián)盟數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位2．經(jīng)過點(diǎn)，斜率為2的直線在y軸上的截距為（）A． B． C．3 D．53．三棱錐的高，若，二面角為，為的重心，則的長為（）A． B． C． D．4．若，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（)A． B． C． D．5．如圖所示，已知以正方體所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為，則該正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．6．已知直線經(jīng)過兩點(diǎn)，則的斜率為（）A． B． C． D．7．若是等比數(shù)列，下列結(jié)論中不正確的是（）A．一定是等比數(shù)列； B．一定是等比數(shù)列；C．一定是等比數(shù)列； D．一定是等比數(shù)列8．某高校進(jìn)行自主招生，先從報(bào)名者中篩選出400人參加筆試，再按筆試成績擇優(yōu)選出100人參加面試．現(xiàn)隨機(jī)抽取了24名筆試者的成績，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示．分?jǐn)?shù)段[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90]人數(shù)234951據(jù)此估計(jì)允許參加面試的分?jǐn)?shù)線大約是()A．90 B．85C．80 D．759．若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)（）A．9 B．-11 C．-11或-9 D．9或-1110．己知的周長為，內(nèi)切圓的半徑為，，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，已知圓，六邊形為圓的內(nèi)接正六邊形，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，當(dāng)六邊形繞圓心轉(zhuǎn)動時，的取值范圍是________．12．已知圓錐的高為，體積為，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺體積是，則該圓臺的高為_______.13．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為．若直線上存在一點(diǎn)，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．14．已知等比數(shù)列的公比為，關(guān)于的不等式有下列說法：①當(dāng)吋，不等式的解集②當(dāng)吋，不等式的解集為③當(dāng)>0吋，存在公比，使得不等式解集為④存在公比，使得不等式解集為R.上述說法正確的序號是_______.15．如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則直線與平面所成的最大角的余弦值為________.16．方程的解集為____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，四棱錐，平面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，，，，E為PB中點(diǎn).（1）求證：平面PCD；（2）求證：.18．已知公差不為零的等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)，使得？若存在，請求出的最小值；若不存在，請說明理由．19．已知圓，直線平分圓.（1）求直線的方程；（2）設(shè)，圓的圓心是點(diǎn)，對圓上任意一點(diǎn)，在直線上是否存在與點(diǎn)不重合的點(diǎn)，使是常數(shù)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.20．如圖，正方體棱長為，連接，，，，，，得到一個三棱錐，求：（1）三棱錐的表面積與正方體表面積的比值；（2）三棱錐的體積.21．如圖，在四邊形中，已知，，（1）若，且的面積為，求的面積:（2）若，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

函數(shù)過代入解得，再通過平移得到的圖像.【題目詳解】，函數(shù)過向右平移個單位得到的圖象故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)圖形，求函數(shù)表達(dá)式，函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)圖形的理解.2、B【解題分析】

寫出直線的點(diǎn)斜式方程，再將點(diǎn)斜式方程化為斜截式方程即可得解.【題目詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為2，故點(diǎn)斜式方程為：，化簡得：，故直線在y軸上的截距為.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的方程，解題關(guān)鍵是應(yīng)熟知直線的五種方程形式，屬于基礎(chǔ)題,3、C【解題分析】

根據(jù)AB=AC，取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，得到AE⊥BC，再由由AH⊥平面BCD，得到EH⊥BC.，所以∠GEH是二面角的平面角，然后在△GHE中，利用余弦定理求解.【題目詳解】:如圖所示：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，∵AB=AC，∴AE⊥BC，且點(diǎn)G在中線AE上，連結(jié)HE.∵AH⊥平面BCD，∴EH⊥BC.∴∠GEH=60°.在Rt△AHE中，∵∠AEH=60°，AH=∴EH=AHtan30°=3，AE=6，GE=AE=2由余弦定理得HG2=9+4-2×3×2cos60°=7.∴HG=故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二面角問題，還考查了空間想象和推理論證的能力，屬于中檔題.4、B【解題分析】

由題意利用兩角和的余弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論．【題目詳解】函數(shù)，令，求得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，，．再根據(jù)，，可得增區(qū)間為，，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩角和的余弦公式的應(yīng)用，考查余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

設(shè)正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，由已知多面體的體積求解，得到正方體外接球的半徑，則外接球的表面積可求．【題目詳解】設(shè)正方體的棱長為，則中間四棱錐的底面邊長為，多面體的體積為，即．正方體的對角線長為．則正方體的外接球的半徑為．表面積為．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

直接代入兩點(diǎn)的斜率公式，計(jì)算即可得出答案?！绢}目詳解】故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查兩點(diǎn)的斜率公式，屬于基礎(chǔ)題。7、C【解題分析】

判斷等比數(shù)列,可根據(jù)為常數(shù)來判斷.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則對A：為常數(shù),故一定是等比數(shù)列；對B：為常數(shù),故一定是等比數(shù)列；對C：當(dāng)時,,此時為每項(xiàng)均為0的常數(shù)列；對D：為常數(shù),故一定是等比數(shù)列.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的判定,若數(shù)列的后項(xiàng)除以前一項(xiàng)為常數(shù),則該數(shù)列為等比數(shù)列.本題選項(xiàng)C容易忽略時這種情況.8、C【解題分析】

根據(jù)題意可從樣本中數(shù)據(jù)的頻率考慮，即按成績擇優(yōu)選擇頻率為的，根據(jù)題意得到所選的范圍后再求出對應(yīng)的分?jǐn)?shù)．【題目詳解】由題意得，參加面試的頻率為，結(jié)合表中的數(shù)據(jù)可得，樣本中[80，90]的頻率為，由樣本估計(jì)總體知，分?jǐn)?shù)線大約為80分．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，同時還要正確掌握統(tǒng)計(jì)中的常用公式，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

分別討論兩圓內(nèi)切或外切，圓心距和半徑之間的關(guān)系即可得出結(jié)果.【題目詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑；圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，討論：當(dāng)圓與圓外切時，，所以；當(dāng)圓與圓內(nèi)切時，，所以，綜上，或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查圓與圓位置關(guān)系，由兩圓相切求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題型.10、C【解題分析】

根據(jù)的周長為，內(nèi)切圓的半徑為，求得，再利用正弦定理，得到，然后代入余弦定理，化簡得到求解.【題目詳解】因?yàn)榈闹荛L為，內(nèi)切圓的半徑為，所以，又因?yàn)?，所?由余弦定理得：，，所以，所以，即，因?yàn)锳為內(nèi)角，所以，所以.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

先求出，再化簡得即得的取值范圍.【題目詳解】由題得OM=,由題得由題得..所以的取值范圍是.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.12、【解題分析】設(shè)該圓臺的高為，由題意，得用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的小圓錐體積是，則，解得，即該圓臺的高為3.點(diǎn)睛：本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征；在處理圓錐的結(jié)構(gòu)特征時可記住常見結(jié)論，如本題中用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面的面積之比是兩個圓錐高的比值的平方，所得兩個圓錐的體積之比是兩個圓錐高的比值的立方．13、【解題分析】試題分析：記兩個切點(diǎn)為，則由于，因此四邊形是正方形，，圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，于是圓心直線的距離不大于，，解得.考點(diǎn)：直線和圓的位置關(guān)系.14、③【解題分析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解不等式后可得結(jié)論．【題目詳解】由題意，不等式變?yōu)椋?，若，則，當(dāng)或時解為，當(dāng)或時，解為，時，解為；若，則，當(dāng)或時解為，當(dāng)或時，解為，時，不等式無解．對照A、B、C、D，只有C正確．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查解一元二次不等式，難點(diǎn)是解一元二次不等式，注意分類討論，本題中需對二次項(xiàng)系數(shù)分正負(fù)，然后以要對兩根分大小，另外還有一個是相應(yīng)的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)解分類（本題已經(jīng)有兩解，不需要這個分類）．15、【解題分析】

作的中心，可知平面，所以直線與平面所成角為，當(dāng)在中點(diǎn)時，最大，求出即可?！绢}目詳解】設(shè)正方體的邊長為1，連接，由于為正方體，所以為正四面體，棱長為，為等邊三角形，作的中心，連接，，由于為正四面體，為的中心，所以平面，所以為直線與平面所成角，則當(dāng)在中點(diǎn)時，最大，當(dāng)在中點(diǎn)時，由于為正四面體，棱長為，等邊三角形，為的中心，所以，，所以直線與平面所成的最大角的余弦值為故直線與平面所成的最大角的余弦值為故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查線面所成角，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)在中點(diǎn)時，最大，考查學(xué)生的空間想象能力以及計(jì)算能力。16、或【解題分析】

首先將原方程利用輔助角公式化簡為，再求出的值即可.【題目詳解】由題知：，，.所以或，.解得：或.所以解集為：或.故答案為：或【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正弦函數(shù)的圖像及特殊角的三角函數(shù)值，同時考查了輔助角公式，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見詳解；（2）證明見詳解【解題分析】

（1）取的中點(diǎn)，證出，再利用線面平行的判定定理即可證出.（2）利用線面垂直的判定定理可證出平面，再根據(jù)線面垂直的定義即可證出.【題目詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，E為PB中點(diǎn)，，且，又，，，,為平行四邊形，即，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）由平面ABCD，所以，又因?yàn)?，，所以，，平面，又平面?【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，要證線面平行，需先證線線平行；要證異面直線垂直，可先證線面垂直，此題屬于基礎(chǔ)題.18、（1）（2）存在，最小值是．【解題分析】

（1）利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式列方程組，解方程組求得，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）首先求得數(shù)列的前項(xiàng)和，由列不等式，解一元二次不等式求得的取值范圍，由此求得的最小值.【題目詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為（），由題意得化簡，得．因?yàn)?，所以，解得所以，即?shù)列的通項(xiàng)公式是（）．（2）由（1）可得．假設(shè)存在正整數(shù)，使得，即，即，解得或(舍)．所以所求的最小值是．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查等比中項(xiàng)的性質(zhì)，考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題.19、（1）直線的方程為.（2）見解析【解題分析】

(1)結(jié)合直線l平分圓，則可知該直線過圓心，代入圓心坐標(biāo)，計(jì)算參數(shù)，即可．（2）結(jié)合A,M坐標(biāo)，計(jì)算直線AM方程，采取假設(shè)法，假設(shè)存在該點(diǎn)，計(jì)算，對應(yīng)項(xiàng)成比例，計(jì)算參數(shù)t，即可．【題目詳解】（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因?yàn)橹本€平分圓，所以，得，從而可得直線的方程為.（2）點(diǎn)，，直線方程為，假設(shè)存在點(diǎn)，滿足條件，設(shè)，則有，當(dāng)是常數(shù)時，是常數(shù)，∴，∴，∵，∴.∴存在滿足條件.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與圓的綜合問題，第一問代入圓心坐標(biāo)，即可，同時采取假設(shè)法，計(jì)算,利用對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)成比例，建立等式，即可．20、（1）；（2）【解題分析】試題分析：（1）求出三棱錐的棱長為，即可求出三棱錐的表面積與正方體表面積的比值；（2）利用割補(bǔ)法，即可求出三棱錐的體積.試題解析：（1）正方體的棱長為，則三棱錐的棱長為，表面積為，正方體表面積為，∴三棱錐的表面積與正方體表面積的比值為（2）三棱錐的體積為2