新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理課件新人教A版必修第二冊(cè)

第六章

平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理必備知識(shí)?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測(cè)?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向理解平面向量基本定理及其意義，在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會(huì)用這組基底來表示其他向量．通過力的分解引出平面向量基本定理，體會(huì)平面向量基本定理的應(yīng)用，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象及直觀想象素養(yǎng).

必備知識(shí)?探新知

平面向量的基本定理

知識(shí)點(diǎn)

1．定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)_________向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的_______向量a，_______________實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝_____________.2．基底：若e1，e2_________，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)_______向量的一個(gè)基底．不共線任一有且只有一對(duì)λ1e1＋λ2e2不共線所有想一想：1．基底有哪兩個(gè)特性？2．若λ1e1＋λ2e2＝0，則實(shí)數(shù)λ1，λ2一定都為0嗎？3．當(dāng)基底{e1，e2}給定時(shí)，向量a＝λ1e1＋λ2e2的分解形式是唯一的嗎？提示：1.①不共線；②不唯一．不共線的兩個(gè)向量都可作為基底．2．不一定，只有當(dāng)e1與e2不共線時(shí)，才有λ1＝λ2＝0.3．是，λ1，λ2是唯一確定的．練一練：設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則以下各組向量中不能作為基底的是(

)A．{e1，e2} B．{e1＋e2，3e1＋3e2}C．{e1，5e2} D．{e1，e1＋e2}[解析]

因?yàn)?e1＋3e2＝3(e1＋e2)，所以兩共線向量不可作為基底．B關(guān)鍵能力?攻重難

(多選題)如果e1、e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法中不正確的是(

)A．a(chǎn)＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量B．對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a,使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ,μ)有無窮多個(gè)D．若實(shí)數(shù)λ、μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0題|型|探|究題型一平面向量基本定理的理解典例1BC[分析]

應(yīng)用平面向量基本定理解題時(shí)，要抓住基向量e1與e2不共線和平面內(nèi)向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解．[解析]

由平面向量基本定理可知，A、D正確；由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的，B錯(cuò)誤；當(dāng)λ1λ2＝0或μ1μ2＝0時(shí)不一定成立，應(yīng)為λ1μ2－λ2μ1＝0，C錯(cuò)誤．故選BC．[歸納提升]

(1)對(duì)于平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不共線的向量來表示；反之，平面內(nèi)的任一向量也可以分解成兩個(gè)不共線的向量的和的形式．(2)向量的基底是指平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量，事實(shí)上若e1，e2是基底，則必有e1≠0，e2≠0且e1與e2不共線，如0與e1，e1與2e1，e1＋e2與2(e1＋e2)等，均不能構(gòu)成基底．

(1)點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的一對(duì)向量的是(

)對(duì)點(diǎn)練習(xí)?BA．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b<0C．a(chǎn)<0，b>0 D．a(chǎn)<0，b<0C題型二用基底表示向量典例2ABD[歸納提升]

用基底表示向量的三個(gè)依據(jù)和兩個(gè)“模型”(1)依據(jù)：①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則；②向量減法的幾何意義；③數(shù)乘向量的幾何意義．(2)模型對(duì)點(diǎn)練習(xí)?a＋b2a＋c題型三三點(diǎn)共線定理的應(yīng)用典例3[歸納提升]

三點(diǎn)共線定理對(duì)點(diǎn)練習(xí)?易|錯(cuò)|警|示忽視平面向量基本定理的使用條件致誤典例4[錯(cuò)因分析]

本題可以根據(jù)向量共線的充要條件列出等式解決，但在得出等式后根據(jù)平面向量基本定理列式解決時(shí)，容易忽視平面向量基本定理的使用條件，出現(xiàn)漏解，漏掉了當(dāng)a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)這個(gè)解．[正解]

由上解可知，(t－3＋3k)a＝(2k－t)b，①若a，b共線，則t可為任意實(shí)數(shù)；[誤區(qū)警示]

當(dāng)條件不明確時(shí)要分類討論．

已知向量e1、e2不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則x－y等于_____.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?[解析]

∵e1，e2不共線，3課堂檢測(cè)?固雙基1．(多選題)下列說法中正確的有(

)A．已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，ma＋nb一定在該平面內(nèi)B．已知e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)m，n使me1＋ne2＝0，則m＝n＝0C．已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，若實(shí)數(shù)m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，則m＝p，n＝qD．已知e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，對(duì)平面內(nèi)任一向量a，使a＝me1＋ne2的實(shí)數(shù)m，n有且只有一對(duì)ABD[解析]

a，b是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，對(duì)于實(shí)數(shù)m，n，由向量運(yùn)算法則得ma＋nb一定在該平面內(nèi)，故A正確；e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)m，n使me1＋ne2＝0，則由基底的定義得m＝n＝0，故B正確；a，b是平面內(nèi)兩個(gè)非零向量，若實(shí)數(shù)m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，則由向量相等的定義得m＝p，n＝q不一定成立，故C錯(cuò)誤；已知e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，對(duì)平面內(nèi)任一向量a，由共面向量基本定理得使a＝me1＋ne2的實(shí)數(shù)m，n有且只有一對(duì)，故D正確．故選ABD．C3．已知e1，e2不共線，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作為基底，則k等于_____.