高中數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形知識點總結(jié)及練習(xí)題

高中數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形知識點總結(jié)及練習(xí)

題

第一章解三角形

1、正弦定理：

在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外

接圓的半徑，則有：abc2R.sinsinsinC

2、正弦定理的變形公式：

①a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC；abc,sin，sinC；

2R2R2R

③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④.sinsinsinCsinsinsinC②sin注

意：正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，

求其余的量。

2、已知兩角和一邊，求其余的量。

⑤對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、

兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求

Bo具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫出圖：法一：把a擾著C點旋轉(zhuǎn)，看所

得軌跡以AD

A

D

當(dāng)無交點則B無解、

當(dāng)有一個交點則B有一解、

當(dāng)有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：

當(dāng)a<bsinA,則B無解

當(dāng)bsinA〈aWb,則B有兩解當(dāng)a=bsinA或a>b時,B有一解

注：當(dāng)A為鈍角或是直角時以此類推既可。

3、三角形面積公式：

111SCbcsinabsinCacsin-222

4、余弦定理：

在C中，有abc2bccos,bac2accos,222222

c2a2b22abcosC.

5、余弦定理的推論：

b2c2a2

cos,2bc

a2c2b2

cos，2ac

a2b2c2

cosC.2ab

（余弦定理主要解決的問題：1、已知兩邊和夾角，求其余的量。2、已

知三邊求角）1

6、如何判斷三角形的形狀:

設(shè)a、b、c是C的角、、C的對邊，貝！J：

①若abc,則C90；

②若abc,則C90；

③若abc,則C90.

7、正余弦定理的綜合應(yīng)用：

如圖所示：隔河看兩目標(biāo)A、B,

C、D兩點，

并測得NACB=75,NBCD=45,ZADC=30,

0NADB=45（A、B、C、D在同一平面內(nèi)），求兩目標(biāo)A、B

5

附：三角形的五個“心”；

重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.

內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.

垂心：三角形三邊上的高相交于一點.

練習(xí)題

一、選擇題

1、在AABC中，a=10,B=60°,C=45°,則c等于(B)

A.10B.1000022222222231C.1D.103

2、三角形的兩邊分別為5和3,它們夾角的余弦是方程5x27x60

的根，則三角形的另一邊長為

A.52B.C.16D.4

3、在AABC中，若(ac)(ac)b(bc),貝A(C)

A90B60C120D1500000

4、在AABC中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個解的是

(D)

A.b=10,A=45°,B=70°B.a=60,c=48,B=100°

C.a=7,b=5,A=80°D.a=14,b=16,A=45°

5、已知AABC中，a：b：c=l：：2,則A：B：C等于(A)

A.1：2：3

C.1：3：2B.2：3：1D.3：1：2

6、若aABC的周長等于20,面積是10,A=60°,則BC邊的長是

(C)

A.5B.6

二、填空題(每題5分，共25分)C.7D.8

2

7、在ABC中，已知sinA:sinB:sinC6:5:4,則cosA

abc8、在AABC中，A=60°,b=l,面積為，則=

sinAsinBsinC

9、在AABC中，已知AB=4,AC=7,BC邊的中線AD7,那么2

7，且C60,又AABC的

210、在AABC中，已知角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,1:c

ab三.解答題（2小題，共40分）

13、在ABC中，sin（CA）1,sinB=l.（I）求sinA的值；(H)設(shè)

,求ABC的面積.3

知識點鞏固練習(xí)（一）

一、選擇題

1.在aABC中，若C90,a6,B30,則cb等于（）

A.1B.1C.2D.2

2.若A為AABC的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（）

A.sinAB.cosAC.tanAD.001tanA

3.在AABC中，角A,B均為銳角，且cosAsinB,

則AABC的形狀是（）

A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

04.等腰三角形一腰上的高是3,這條高與底邊的夾角為60,

則底邊長為（）A.2B.3c.3D.22

5.在AABC中，若b2asinB,則A等于（）

A.30或60B.45或60C.120或60D.30或150

6.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）

300000000

A.90B.120C.135D.150

二、填空題

1.在RtZiABC中，C90,則sinAsinB的最大值是

2.在AABC中，若abbec,則A

3.在AABC中，若b2,B30,C135,則a

4.在AABC中，若sinA：sinB：sinC7：8：13,貝U

C

三、解答題

1.在aABC中，若acosAbcosBccosC,則4ABC的形狀是什么？

2.在aABC中，求證：0022200000abcosBcosAc()baba

3.在銳角△ABC中，求證：sinAsinBsinCcosAcosBcosCo

4

知識點鞏固練習(xí)（二）

一、選擇題

1.在AABC中，A:B:C1:2:3,則a:b:c等于（）

A.1:2:3B.3:2:1C

出

.2D

6

.2

2.在AABC中，若角B為鈍角，則sinBsinA的值()

A.大于零B.小于零C.等于零D.不能確定

3.在4ABC中，若A2B,則a等于()

A.2bsinAB.2bcosAC.2bsinBD.2bcosB

4.在AABC中，若IgsinAIgcosBIgsinClg2,則AABC的形狀是

()

A.直角三角形B.等邊三角形C.不能確定D.等腰三角形

5.在aABC中，若(abc)(bca)3bc,則A()

A.90B.60C.135D.150

6.在AABC中，若a7,b8,cosC000013,則最大角的余弦是（）

14

1111A.B.C.D.5678

0二、填空題1.若在AABC

中，A60,b1,SABC則abc=。sinAsinBsinC

2.若A,B是銳角三角形的兩內(nèi)角，則tanAtanB1（填＞或。。

3.在aABC中，若sinA2cosBcosC,則tanBtanC。

4.在aABC中，若a9,b10,c12,則AABC的形狀是。

5.在4ABC中，若a

三、解答題3,b2,c62,則Ao2

1.在4ABC

中，A120,cb,aSABCb,c。

50

2.在銳角AABC中，求證：tanAtanBtanC1。

3.在△ABC中，求證：sinAsinBsinC4cos

4.在aABC中，若AB120,則求證:

5.在△ABC中，若acos

62ABCcoscoSo2220ab1。bcacCA3b,則求證：ac2b

ccos2222

知識點鞏固練習(xí)（三）

一、選擇題

1.A為△ABC的內(nèi)角，則sinAcosA的取值范圍是（）

A.（2,2）B.（2,2）C.（1,2]D.[2,2]

ab等于（）c

ABABABABA.2cosB.2cosC.2sinD.2sin22222.在4ABC

中，若C90,則三邊的比0

3.在AABC中，若a7,b3,c8,則其面積等于（）

A.12B.21C.28D.62

04.在AABC中，C90,0A45,則下列各式中正確的是（）

00

A.sinAcosAB.sinBcosAC.sinAcosBD.sinBcosB

5.在AABC中，若（ac）（ac）b（bc）,貝ijA（）

A.90B.60C.120D.1500000

tanAa2

6.在aABC中，若，則AABC的形狀是()tanBb2

A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能確定D.等腰三角形

二、填空題

1.在aABC中，若sinAsinB,則A一定大于B,對嗎？填

(對或錯)

2.在aABC中，若cosAcosBcosC1,則4ABC的形狀是

O

3.在AABC中，NC是鈍角，設(shè)

xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB,則x,y,z的大小關(guān)系是

4.在AABC中，若ac2b,則

cosAcosCcosAcosC2221sinAsinC。3

5.在aABC中，若21gtanBIgtanAIgtanC,則B的取值范圍是

6.在aABC中，若bac,則cos(AC)cosBcos2B的值是

o2

三、解答題

7

22221.在AABC中，若(ab)sin(AB)(ab)sin(AB),請判斷

三角形的形狀。

2.如果aABC內(nèi)接于半徑為R的圓，且

2R(sinAsinC)(2ab)sinB,

求AABC的面積的最大值。

3.已知4ABC的三邊abc且ac2b,AC

222,求a:b:c

34.在aABC中，若(abc)(abc)

3ac,且tanAtanC

為A,B,C的大小與邊a,b,c的長，AB邊上的高

答案

知識點鞏固練習(xí)（一）

一、選擇題

1.Cbtan300,batan300c2bcba

2.A0A,sinA03.CcosAsin(

4.D作出圖形5.D

b2asinB,sinB2sinAsinB,sinA2A)sinB,2A,B都是銳角,

則2AB,AB2,C21,A300或15002

52827216.B設(shè)中間角為，則

cos,600所求2582

二、填空題1.IllsinAsinBsinAcosAsin2A222

0b2c2a212.120cosA,A12002bc2

3.6

瓜

2A15,

00abbsinA2,a4sinA4sinl504sinAsinBsinB44.120

a：b：csinA：sinB：sinC7：8：13,

a2b2c21,C1200令a7k,b8k,c13kcosC2ab2

三、解答題

1.解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC

cos(AB)cos(AB),2cosAcosB0

cosA0或cosB0,得A所以△ABC是直角三角形。2或B2

a2c2b2b2c2a2

2.證明：將cosB,cosA代入右邊2ac2bc

a2c2b2b2c2a22a22b2

)得右邊c(2abc2abc2ab

9

a2b2ab左邊，abba

abcosBcosAc()baba

3.證明：?.'△ABC是銳角三角形，.'ABAsinAsin(2,即

2A2B0B),EPsinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

2

/.sinAsinBsinCcosAcosBcosC

知識點鞏固練習(xí)(二)

一、選擇題

/

l.CA

6,B

3,C

2,a:b:csinA:sinB:sinC12::1:2222

2.AAB,AB,且A,B都是銳角，

sinAsin(B)sinB

3.DsinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB4.D

IgsinAsinAlg2,2,sinA2cosBsinCcosBsinCcosBsinC

sin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,

sin(BC)0,BC,等腰三角形

5.B(abc)(bca)3bc,(bc)a3bc,22

b2c2a21,A600bca3bc,cosA2bc2222

6.Ccab2abcosC9,c3,B為最大角，cosB

二、填空題1.222172

R

V13

11c4,a213,a

近

2回

SABCbcsinAc322abcasinAsinBsinCsinA10

sin(B)2.AB,AB,即tanAtan(B)

222cos(B)2

cosBll,tanA,tanAtanB1sinBtanBtanB

sinBsinC3.2tanBtanCcosBcosC

sinBcosCcosBsinCsin(BC)2sinAlcosBcosCsinAsinA2

4.銳角三角形C為最大角，cosC0,C為銳角

3bcal05.60

8+4x/3

2&叵叵

VTxV?x(/+1)

cosA2bc22222三、解答題

1.

解：SABC

221bcsinAbe4,22abc2bccosA,bc5,而cb

所以bl,c4

2.證明：,:△ABC是銳角三角形，.'.ABAsinAsin(2,即

2A2B0

2B),即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

sinAsinBsinCcosAcosBcosC,

tanAtanBtanC1sinAsinBsinC1cosAcosBcosC

ABABcossin(AB)22

ABABABAB2sincos2sincos2222

ABABAB2sin(coscos)222

CAB2cos2coscos222

ABC4coscoscos222

ABCAsinAsinBsinC4coscoscos2223.證明：

VsinAsinBsinC2sin

11

a2acb2bcab4.證明：要證L1,只要證

2abbeaccbcac

即abcab

而二飛B120,AC6002220

a2b2c2

2cosC,ab2c22abcos600ab2ab

二原式成立。

CA3bccos2222

1cosClcosA3sinBsinAsinC222

即sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB5.證明:acos2

/.sinAsinCsin(AC)3sinB

即sinAsinC2sinB,.".ac2b

知識點鞏固練習(xí)(三)

一、選擇題

忘

1.CsinAcosAA),

后

4

而0A

2.B4A45sin(A)1

424absinAsinBsinAsinB

csinC

ABABAB2sin

耳

cos222

1103.DcosA,A60,SABCbcsinA22

4.DAB90則sinAcosB,sinBcosA,0A45,sinAcosA,

45B90,sinBcosB5.Cacbbe,bcabe,cosA,A120

222222000001

20

sinAcosBsin2AcosBsinA,,sinAcosAsinBeosB6.B

2cosAsinBsinBcosAsinB

sin2Asin2B,2A2B或2A2B

二、填空題

12

1.對sinAsinB,則

2.直角三角形ababAB

2R2R1(1cos2A1cos2B)cos2(AB)1,2

1(cos2Acos2B)cos2(AB)0,2

cos(AB)cos(AB)cos2(AB)0

cosAcosBcosC0

3.xyzAB

2,A

2B,sinAcosB,sinBcosA,yz

cab,sinCsinAsinB,xy,xyz

ACACACACcos4sincos2222

ACACACACcos2cos,coscos3sinsin222222

1C2A則sinAsinC4sinsin2322

IcosAcosCcosAcosCsinAsinC3

AC(1cosA)(1cosC)14sin2sin222

ACAC2sin22sin24sin2sin2112222

tanAtanC25.[,)tanBtanAtanC,tanBtan(AC)

32tanAtanC1

tanAtanCtanBtan(AC)tan2B

\ltanAtanC

14.1sinAsinC2sinB,2sin

tan3BtanBtanAtanC

2tanB

tan3B3tanB,tanB0tanBB

2236.1bac,sinBsinAsinC,cos(AC)cosBcos2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sin2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sinAsinC

cosAcosCsinAsinCcosB1

cos(AC)cosB11

三、解答題

a2b2sin(AB)a2sinAcosBsin2A,21.解：2

22absin(AB)bcosAsinBsinB

13

cosBsinA,sin2Asin2B,2A2B或2A2BcosAsinB

等腰或直角三角形

解：2RsinAsinA2RsinCsinC

b)sinB,

asinAcsinCb)sinB,a2c2

叵

b2,

a2b2c2abc,cosCC

450

2ab222

c2R,c2RsinC,a2b22R2

2—

,sinC

2

2Rab2ab,ab

2->/2

222

12

SabsinCabSmax244另法：S212R

點

V2

21absinCab2RsinA

V2

2RsinB244

2RsinA2RsinB

￡

2sinAsinB4

12[cos(AB)cos(A

◎

在

y/2R2

在

B)]2

12[cos(AB)2(1

V2

Smax12R此時AB取得等號2

3.解：sinAsinC2sinB,2sinACACACACcos

V2

V14

4sincos2222

sinBlACBBBcos,cos,sinB2sincos222424224AC

2,ACB,A3BB,C

4242

sinAsin(3331B)sincosBcossinB4444

14

sinCsin(B)sincosBcossinB44414

a:b:csinA:sinB:sinC(77):7:(77)

4.解：(abc)(abc)3ac,a2c2b2ac,cosB1,B600

G

3+6

2tan(AC)tanAtanC,

6

1tanAtanCtanAtanC2

4

tanAtanC300tanA2tanA1A75A45或

得，即OOtanCItanC2C45C75

當(dāng)A75,C

4

V2

而

45時.，b00cl),a8sinA

cl),a8sinA當(dāng)A45,C

G

瓜

75時,b

00000.?.當(dāng)A75,B60,C

72

而

45時，a8,bc1),

當(dāng)A45,B60,C

瓜

75時，a8,bc1)。

解三角形單元測試題

一、選擇題：

1、在aABC中，a=3,b=7,c=2,那么B等于()

A.30°B.45°C.60°D.120°

2、在aABC中,a=10,B=60°,C=45°，則c等于()

A.10B.100001C.3ID.10

)3、在aABC中，a=2,b=22,B=45°,則A等于(

A.30°B.60°C.30°或120°D.30°或150°

4、在AABC中，a=12,b=13,C=60°,此三角形的解的情況是

()

A.無解B.一解C.二解D.不能確定

5、在aABC中，已知abcbe,則角A為()

A.2223B.6C.23D.2或33

6

15

6、在AABC中，若acosAbcosB,則4ABC的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三

角形7、已知銳角三角形的邊長分別為1,3,a,則a的范圍是（）

A.8,10

B.

C.

,10

D.

,8

8、在AABC中，已知2sinAcosBsinC,那么AABC一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形9、

△ABC中，已知ax.b2,B60°,如果AABC兩組解，則x的取值范圍

（）

4

3

10>在ZXABC中,周長為7.5cm,且sinA：sinB：sinC=4：5：6,下列

結(jié)論：①a:b:c4:5:6

A.x2

B.x2

C.2x

D.2x

②a:b:c2:5:6③a2cm,b2.5cm,c3cm（4）A:B:C4:5:6其中成

立的個數(shù)是（）

A.0個B.1個C.2個D.3個H、在AABC中，AB

4

33

3,AC1,ZA=30°,則aABC面積為（）

4

C.

A.

2

B.

或32

D.

3或42

12、已知4ABC的面積為

A.30°

3

，且b2,c,則NA等于（）2

D.60°或120°

B.30°或150°C.60°

13、已知AABC的三邊長a3,b5,c6,則4ABC的面積為（）

A.

B.2

C.

D.2

A

14、某市在“舊城改造”中計劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空

2015030米地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，

則

購買這種草皮至少要（）A.450a元B.225a元C.150a元

D.300a元C15、甲船在島B的正南方A處，AB=10千米，甲船以每小

時4千米的速度向正北航行，同時乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度

向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲，乙兩船相距最近時，它們所航行的時間

是（）

A.

150

分鐘7

B.

15

分鐘7

C.21.5分鐘D.2.15分鐘

16、飛機沿水平方向飛行，在A處測得正前下方地面目標(biāo)C得俯角為

30°,向前飛行10000

米，到達(dá)B處，此時測得目標(biāo)C的俯角為75°,這時飛機與地面目標(biāo)

的水平距離為（）

A.5000米

B.50002米C.4000米

D.40002米

17、在aABC中，asinl0°,bsin50°,ZC=70°,那么aABC的

面積為（）

A.

1

64

B.

132

C.

116

D.

18

18、若AABC的周長等于20,面積是10,A=60°,則BC邊的長是

()A.5B.6C.7D.8

19、已知銳角三角形的邊長分別為2、3、x,則x的取值范圍是()

A.1x5B.xC.0x20、在aABC中，若

D.x5

cosAcosBsinC

,則AABC是()

abc

B.等腰直角三角形

D.等邊三角形

A.有一內(nèi)角為30°的直角三角形C.有一內(nèi)角為30°的等腰三角形

二、填空題

21、在AABC中，若NA:NB:NC=1:2:3,則a:b:c22、在AABC中，

a33,c2,B150°,貝！Jb=

23、在AABC中，A=60°,B=45°,ab12,則a=；b=24、已

知aABC中，a181,b209,A121°,則此三角形解的情況是25、已知

三角形兩邊長分別為1和，第三邊上的中線長為1,則三角形的外接圓半徑

為.

26、在AABC中，bc:ca:ab4:5:6,則△ABC的最

大內(nèi)角的度數(shù)是三、解答題

27、在AABC中，已知AB102,A=45°,在BC邊的長分別為20,

下，求相應(yīng)角C。

28、在AABC中，BC=a,AC=b,a,b是方程x2x20的兩個根,

且2cosABlo

2

20

3,5的情況3

求：（D角C的度數(shù)；（2）AB的長度。

29、在aABC中，證明：

cos2Acos2Bl1

O

a2b2a2b2

30、在aABC中，ab10,cosC是方程2x3x20的一個根，求

△ABC周長的最小值。

解三角形單元測試答案

一、選擇題

1-5.CBCBC6-10.DBBCC11-15.BDBDA16-20.ACCBB二、填空題

21、1:3:222、723、36126,1262424^無解25、126、120°

三、解答題

2

ABsinAlO

BCBC1

(1)當(dāng)BC=20時，sinC=；BCABACC30°

2

27、解：由正弦定理得sinC(2)當(dāng)BC=

320

3時，sinC=；

23

ABsin45BCABC有兩解C60或120°

(3)當(dāng)BC=5時，sinC=2>l；C不存在