小船過河問題教案及兩種問題解答

小船過河問題【模型解析】兩種情況：①船速大于水速；②船速小于水速。兩種極值：①渡河最小位移；②渡河最短時間。例1一條寬度為L的河，水流速度為，船在靜水中速度為，那么：〔1〕怎樣渡河時間最短？〔2〕假設(shè)，怎樣渡河位移最??？〔3〕假設(shè)，怎樣渡河船漂下的距離最短？解析：〔1〕小船過河問題，可以把小船的渡河運(yùn)動分解為它同時參與的兩個運(yùn)動，一是小船運(yùn)動，一是水流的運(yùn)動，船的實(shí)際運(yùn)動為合運(yùn)動。如圖1所示。設(shè)船頭斜向上游與河岸成任意角θ。這時船速在垂直于河岸方向的速度分量為，渡河所需要的時間為，可以看出：L、v船一定時，t隨sinθ增大而減??；當(dāng)時，〔最大〕。所以，船頭與河岸垂直。圖1〔2〕如圖2所示，渡河的最小位移即河的寬度。為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度v的方向與河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。這時船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ，所以有，即。圖2因?yàn)椋灾挥性跁r，船才有可能垂直河岸渡河?！?〕假設(shè)，那么不管船的航向如何，總是被水沖向下游，怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖3所示，設(shè)船頭v船與河岸成θ角。合速度v與河岸成α角?？梢钥闯觯害两窃酱?，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下α角最大呢？以v水的矢尖為圓心，v船為半徑畫圓，當(dāng)v與圓相切時，α角最大，根據(jù)圖3船頭與河岸的夾角應(yīng)為，船沿河漂下的最短距離為：此時渡河的最短位移：【模型演練】1.〔2005祁東聯(lián)考〕小河寬為d，河水中各點(diǎn)水流速度大小與各點(diǎn)到較近河岸邊的距離成正比，，x是各點(diǎn)到近岸的距離，小船船頭垂直河岸渡河，小船劃水速度為，那么以下說法中正確的選項(xiàng)是〔〕A.小船渡河的軌跡為曲線B.小船到達(dá)離河岸處，船渡河的速度為C.小船渡河時的軌跡為直線D.小船到達(dá)離河岸處，船的渡河速度為答案：A2．(湖南長沙一中09～10學(xué)年高一下學(xué)期期中)一人游泳渡河，以垂直河岸不變的劃速向?qū)Π队稳?，河水流動速度恒定．以下說法中正確的選項(xiàng)是()A．河水流動速度對人渡河無任何影響B(tài)．人垂直對岸劃水，其渡河位移是最短的C．由于河水流動的影響，人到達(dá)對岸的時間與靜水中不同D．由于河水流動的影響，人到達(dá)對岸的位置向下游方向偏移答案：D3．(河北正定中學(xué)08～09學(xué)年高一下學(xué)期月考)某河水的流速與離河岸距離的變化關(guān)系如下圖．河寬300，船在靜水中的速度與時間的關(guān)系如圖乙所示．假設(shè)要使船以最短時間渡河，那么()A．船渡河的最短時間是75sB．船在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直C．船在河水中航行的軌跡是一條直線D．船在河水中的最大速度是5m/s答案：BD4.在抗洪搶險中，戰(zhàn)士駕駛摩托艇救人，假設(shè)江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度為v1，摩托艇在靜水中的航速為v2，戰(zhàn)士救人的地點(diǎn)A離岸邊最近處O的距離為d，如戰(zhàn)士想在最短時間內(nèi)將人送上岸，那么摩托艇登陸的地點(diǎn)離O點(diǎn)的距離為(C)A．B．0C．D．★解析：摩托艇要想在最短時間內(nèi)到達(dá)對岸，其劃行方向要垂直于江岸，摩托艇實(shí)際的運(yùn)動是相對于水的劃行運(yùn)動和隨水流的運(yùn)動的合運(yùn)動，垂直于江岸方向的運(yùn)動速度為v2，到達(dá)江岸所用時間t=；沿江岸方向的運(yùn)動速度是水速v1在相同的時間內(nèi)，被水沖下的距離，即為登陸點(diǎn)距離0點(diǎn)距離。答案：C5.某人橫渡一河流，船劃行速度和水流動速度一定，此人過河最短時間為了T1；假設(shè)此船用最短的位移過河，那么需時間為T2，假設(shè)船速大于水速，那么船速與水速之比為〔〕(A)(B)(C)(D)★解析：設(shè)船速為，水速為，河寬為d，那么由題意可知：①當(dāng)此人用最短位移過河時，即合速度方向應(yīng)垂直于河岸，如下圖，那么②聯(lián)立①②式可得：，進(jìn)一步得6．有一小船欲從A處渡河，如下圖，河寬為400m，其下游300m處是暗礁淺灘的危險水域，水流速度恒為5m/s，欲使小船能平安到達(dá)對岸，求：船相對靜水的最小速度應(yīng)是多少？此時船頭的指向與河岸的夾角又是多大？答案：4m/s37°解析：小船要想在到達(dá)危險區(qū)域之前恰好到達(dá)對岸，那么其合位移必為OA，如下圖，設(shè)水速為v1，小船速度為v2，由平行四邊形和幾何知識知v2⊥v時v2有最小值，方向如下圖，由圖知v2＝v1cosθ，cosθ＝eq\f(400,\r(3002＋4002))＝0．8，即θ＝37°v1＝4m/s.7.河寬d＝60m，水流速度v1＝6m／s，小船在靜水中的速度v2=3m／s，問：(1)要使它渡河的時間最短，那么小船應(yīng)如何渡河?最短時間是多少?(2)要使它渡河的航程最短，那么小船應(yīng)如何渡河?最短的航程是多少?解