高中數(shù)學(xué)高考真題

一.基本原理

1.加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。

2.乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。

注：做一件事時(shí)，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時(shí)常用基本原理求解。

二.排列：從n個(gè)不同元素中，任取m(mWn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一

列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所有排列的個(gè)數(shù)記為

n

1.公式：1.=〃(〃一1)(〃一2).......(〃-式+1)=/幾、>l,w>MCN

—mJ.

2M=m=咒8-1)(力-2)???21規(guī)定：0!=1

(1)H!=71x(n—1)!,(n+1)xH!=(H+1)!(2)〃x〃！=[(〃+1)—1]x〃！=(〃+1)x拉!一〃！=(〃+1)!—〃?。?/p>

小n714-1-1n+l111

U/------=-------=---------------=-----------

(〃+1)!(〃+1)!(〃+1)!(/2+1)!n\(〃+1)!

三.組合：從n個(gè)不同元素中任取m(m^n)個(gè)元素并組成一組，叫做從n個(gè)不同的m元素中任取m個(gè)元素的組合數(shù)，記作Cn。

1.公式：C“'〃A：一n(n—1)....(n-m+1).n!?之我，匕之1,朗之0,4weN規(guī)定：0。=]

11A：m!m!(n-m)!

2.組合數(shù)性質(zhì)：C：=C：TC：+C：f=C；￡,C；+C；+……+C：=2〃

①s+婚；③無球="索；④a+a+】+/+…+5=瑞

注：c;+c;+I+c；+2+…C"+C：=c;：；+c;+l+c；+2+…c：T+c=c;：；+c；+2+…C"+c：=c：：：

若C'J=則m1=m2或叫+in2=n

四.處理排列組合應(yīng)用題1.①明確要完成的是一件什么事(審題)②有序還是無序③分步還是分類。

2.解排列、組合題的基本策略

(1)兩種思路：①直接法；

②間接法：對(duì)有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題方法。

(2)分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時(shí)，常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論。注意：分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所

有各類的并集為全集。

(3)分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時(shí)，常常分成若干步，再由分步計(jì)數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時(shí)，常常既要分類,

又要分步。其原則是先分類，后分步。

(4)兩種途徑：①元素分析法；②位置分析法。

3.排列應(yīng)用題：

(1)窮舉法(列舉法)：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；(2),特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；

(3).相鄰問題：捆邦法：

對(duì)于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。

(4)、全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相

鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。

(5)、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插

解法一：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。

即先全排，再除以定序元素的全排列。

解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對(duì)其他元素進(jìn)行排列，剩余的幾個(gè)位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右

到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有2種排法；

(6)“小團(tuán)體”排列問題一一采用先整體后局部策略

對(duì)于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先將“小團(tuán)體”看作一個(gè)元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。

(7)分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。

(8).數(shù)字問題(組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù))

①能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。②能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；

③能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)④能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。⑤能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。

⑥能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25,50,75。⑦能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。

4.組合應(yīng)用題：(1).“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法：(2).“含”與“不含”用間接排除法或分類法：

3.分組問題：

均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。

非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理。

混合分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。

4.分配問題:

定額分配：(指定到具體位置)即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。

隨機(jī)分配：(不指定到具體位置)即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。

5.隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問題

例1.電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的

播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示).

解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有AJ種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A：種，從而應(yīng)當(dāng)填A(yù)：=48.從而應(yīng)填48.

例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？

解一：間接法：即婕一W-6+A：=720—2x120+24=504

解二：(1)分類求解：按甲排與不排在最右端分類.

（1）甲排在最右端時(shí)，有A；種排法；⑵甲不排在最右端（甲不排在最左端）時(shí)，則甲有種排法，乙有A：種排法，其他人有4：種排法，

共有A：A：A：種排法，分類相加得共有A；+A：A：A：=504種排法

例.有4個(gè)男生，3個(gè)女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？

分析一：先在7個(gè)位置上任取4個(gè)位置排另生，有A；種排法.剩余的3個(gè)位置排女生，因要求“從矮到高”，只有1種排法，故共有-1=840

種.

1.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有

解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有口一方一點(diǎn)=70種,選.。

解析2：至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)可分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有CjC\+=70臺(tái)，選c.

2.從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽?（1）如果4人中男生和女生各選2人，有一種選法；（2）如果男生中的甲與女生中的

乙必須在內(nèi)，有一種選法；（3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有一種選法；（4）如果4人中必須既有男生又有女生，有

種選法.

分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問題.由于選出的人沒有地位的差異，所以是組合問題.

解：（1）先從男生中選2人，有種選法，再從女生中選2人，有種選法，所以共有C；C：=60（種）；

（2）除去甲、乙之外，其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有C；C；=21（種）；

（3）在9人選4人的選法中，把甲和乙都不在內(nèi)的去掉，得到符合條件的選法數(shù)：C；-C；=91（種）；

直接法，則可分為3類：只含甲；只含乙；同時(shí)含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)++=《+C；+C；=91（種）.

（4）在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)-C：=120（利.

直接法：分別按照含男生1、2、3人分類，得到符合條件的選法為C；C：+C；C：+C；C：=120（種）.

1.6個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為（）

A.40B.50C.60D.70

仁

［解析］先分組再排列，一組2人一組4人有CS=15種不同的分法；兩組各3人共有/=10種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為25X2=50,故選

n2

B.

2.有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有（）

A.36種B.48種C.72種1）.96種

［解析］恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空，從而共吊后=72種排法，故選C.

3.只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有（）

A.6個(gè)B.9個(gè)C.18個(gè)D.36個(gè)

［解析］注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個(gè)數(shù)字共有C；=3（種）選法，即1231,1232,1233,

而每種選擇有A：X《=6（種）排法，所以共有3X6=18（種）情況，即這樣的四位數(shù)有18個(gè).

4.男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有（）

A.2人或3人B.3人或4人C.3人D.4人

［解析］設(shè)男生有〃人，則女生有（8—〃）人，由題意可得歐'=30,解得〃=5或〃=6,代入驗(yàn)證，可知女生為2人或3人.

5.某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上?級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（）

A.45種B.36種C.28種D.25種

［解析］因?yàn)?0+8的余數(shù)為2,故可以肯定一步一個(gè)臺(tái)階的有6步，一步兩個(gè)臺(tái)階的有2步，那么共有鬃=28種走法.

6.某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個(gè)部門，另外三名電腦編程人員也不能全分

在同一個(gè)部門，則不同的分配方案共有（）

A.24種B.36種C.38種D.108種

［解析］本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個(gè)部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組

1人另一組2人，共有C；種分法，然后再分到兩部門去共有C據(jù)種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，--組1人另一組2人即可，由于是每個(gè)

部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C；種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2c捕C：=36（種）.

7.已知集合4={5},8={1,2},￡{1,3,4},從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.33B.34C.35D.36

［解析］①所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中不含1的有Ci?A；'=12個(gè)；

②所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有1個(gè)1的有C［?A1+A；=18個(gè)；

③所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有2個(gè)1的有Cl=3個(gè).

故共有符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為12+18+3=33個(gè)，故選A.

8.由1、2、3、4、5、6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.72B.96C.1081）.144

［解析］分兩類：若1與3相鄰，有AQCA舞=72（個(gè)），若1與3不相鄰有AhA=36（個(gè)）

故共有72+36=108個(gè).

9.如果在一周內(nèi)（周一至周日）安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，

那么不同的安排方法有（）

A.50種B.60種C.120種D.210種

［解析］先安排甲學(xué)校的參觀時(shí)間，一周內(nèi)兩天連排的方法一共有6種：（1,2）、（2,3）、（3,4）、（4,5）、（5,6）、（6,7）,甲任選一種為C；,然后

在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學(xué)校參觀，安排方法有解種，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有不同的安排方法以?用=120種，故選

C.

10.安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日利2日，不同的安排方法共有一

種.（用數(shù)字作答）

［解析］先安排甲、乙兩人在后5天值班，有Al=20（種）排法，其余5人再進(jìn)行排列，有盛=120（種）排法，所以共有20X120=2400（種）安排

方法.

11.今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成-列有_____種不同的排法.(用數(shù)字作答)

［解析］由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問題，共有C?點(diǎn)?點(diǎn)=1260(種)排法.

12.將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場館服務(wù)，不同的分配方案有種(用數(shù)字作答).

「2r2

［解析］先將6名志愿者分為4組，共有太種分法，再將4組人員分到4個(gè)不同場館去，共有A：種分法，故所有分配

方案有：080種.

As

13.要在如圖所示的花圃中的5個(gè)區(qū)域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有種不同的種法(用數(shù)

字作答).

［解析］5有4種種法，1有3種種法，4有2種種法.若1、3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法,

'.有4X3X2X(1X2+1XI)=72種.

14.將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中.若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一信封，則不同的方法

共有

(A)12種(B)18種(C)36種(D)54種

ri&.=18

【解析】標(biāo)號(hào)1,2的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個(gè)信封，每個(gè)信封兩個(gè)有-石種方法，共有'-種，

故選B.

15.某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不

排在10月7日，則不同的安排方案共有

A.504種B.960種C.1008種D.1108種

解析：分兩類：甲乙排1、2號(hào)或6、7號(hào)共有2x種方法

甲乙排中間,丙排7號(hào)或不排7號(hào)，共有4A；(A：+種方法

故共有1008種不同的排法

L排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系:

名稱排歹U組合

一個(gè)~從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元

素，按一定的順序排成一列素，把它并成一組

~~數(shù)

所有排列的的個(gè)數(shù)所有組合的個(gè)數(shù)

符號(hào)C：

??_1)…5-，〃+1)

種數(shù)=〃伽一1)…(〃一，〃+D

公式4=仇_而！°!=1

關(guān)系

性質(zhì)G"=c：f圖產(chǎn)C'+C'T

全排列：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列.全排列數(shù)公式：所

有全排列的個(gè)數(shù)，即：=77X(/?-1)X(7!-2)?■-X2X1

排列組合二項(xiàng)式定理

1,分類計(jì)數(shù)原理完成一件事有幾類方法，各類辦法相互獨(dú)立每類辦法又有多種不同的辦法

(每一種都可以獨(dú)立的完成這個(gè)事情)

分步計(jì)數(shù)原理完成一件事，需要分幾個(gè)步驟，每一步的完成有多種不同的方法

2,排列

_排列定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(mWn)個(gè)元素(被取出的元素各不相同)，按

照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。

排列數(shù)定義；從n個(gè)不同元素中，任取m(mWn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)人：

公式4H,=—規(guī)定0!=1

3,組合

組合定義從n個(gè)不同元素中，任取m(mWn)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素

中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合

組合數(shù)從n個(gè)不同元素中，任取m(mWn)個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù)

「，“一加

性質(zhì)C",rC"~""m_+

CH+IV.xnn

排列組合題型總結(jié)

-.直接法

1.特殊元素法

例1用1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)

(1)數(shù)字1不排在個(gè)位和千位

(2)數(shù)字1不在個(gè)位，數(shù)字6不在千位。

分析：(1)個(gè)位和千位有5個(gè)數(shù)字可供選擇,其余2位有四個(gè)可供選擇,由乘法原理：A；=240

2.特殊位置法

(2)當(dāng)1在千位時(shí)余下三位有Aj=60,1不在千位時(shí)，千位有A：種選法，個(gè)位有A：種，余下的有A：,共有A：A：=192所以總

共有192+60=252

二間接法當(dāng)直接法求解類別匕檄大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中(2)可用間接法星-2A：+=252

Eg有五張卡片，它的正反面分別寫0與1,2與3,4與5,6與7,8與9,將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁?/p>

一起組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?

分析：：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)c；X23X用個(gè)，其中0在百位的有X2?X8個(gè)，這是不

合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)c；X23X用-C：X22X用=432

Eg三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排

(1)女生必須全排在一起有多少種排法(捆綁法)

(2)女生必須全分開(插空法須排的元素必須相鄰)

(3)兩端不能排女生

(4)兩端不能全排女生

(5)如果三個(gè)女生占前排，五個(gè)男生站后排，有多少種不同的排法

二.插空法當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。

例3在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？

分析：原有的8個(gè)節(jié)目中含有9個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個(gè)，故有4xA；0=100中插入方法。

三.捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。

1.四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有種()

,2,某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參

觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有(-A；；I注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來選有

其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行排列)

四.閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法

例5某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成籃球隊(duì)，這12個(gè)人由8個(gè)班的學(xué)生組成,每班至少一人，名額分配方案共_種。

分析：此例的實(shí)質(zhì)是12個(gè)名額分配給8個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在12個(gè)名額種的11個(gè)空當(dāng)中插入7塊閘板，一種插1去對(duì)應(yīng)一種名額

的分配方式，故有種

五平均分推問題

eg6本不同的書按一下方式處理，各有幾種分發(fā)？

(1)平均分成三堆,

（2）平均分給甲乙丙三人

（3）一堆一本，一堆兩本，一對(duì)三本

（4）甲得一本，乙得兩本，丙得三本（一種分組對(duì)應(yīng)一種方案）

（5）一人的一本，一人的兩本，一人的三本

分析：1,分出三堆書（ai,a2）,（a3,a4）,（a5,a6）由順序不同可以有A；=6種，而這6種分法只算一種分

堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有受注=15種

2,六本不同的書，平均分成三堆有x種，平均分給甲乙丙三人

就有X?種ddc；

3，c\c\c\5,A；CCc；

五.合并單元格解決染色問題

Eg如圖1,一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有

種（以數(shù)字作答\

分析：顏色相同的區(qū)域可能是2、3、4、5.

下面分情況討論：

4

（i）當(dāng)2、4顏色相同且3、5顏色不同時(shí)，將2、4合并成一個(gè)單元格，此時(shí)不同的著色方法相當(dāng)于4個(gè)元素①③⑤的全排列數(shù)A

<o>

（ii）當(dāng)2、4顏色不同且3、5顏色相同時(shí)，與情形（i）類似同理可得A：種著色法.

（iii）當(dāng)2、4與3、5分別同色時(shí)，將2、4;3、5分別合并，這樣僅有三個(gè)單元格

①④

從4種顏色中選3種來著色這三個(gè)單元格，計(jì)有仁■4種方法.

由加法原物口：不同著色方法共有2A+CA=48+24=72（種）

練習(xí)1（天津卷（文））將3種作物種植

|1|2|3|4§

在如圖的5塊試驗(yàn)田里，每快種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，

不同的種植方法共種（以數(shù)字作答）（72）

2.某城市中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃6分為個(gè)部分（如圖3）,現(xiàn)要栽種4種顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同一樣顏色

的話，不同的栽種方法有種（以數(shù)字作答）.（120）

圖3圖4

3.如圖4,用不同的5種顏色分別為ABCDE五部分著色，相鄰部分不能用同一顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用也可以不用，則符合這種要

求的不同著色種數(shù).(540)

4.如圖5:四個(gè)區(qū)域坐定4個(gè)單位的人，有四種不同顏色的服裝，每個(gè)單位的觀眾必須穿同種顏色的服裝，且相鄰兩區(qū)域的顏色不同，不相

鄰區(qū)域顏色相同，不相鄰區(qū)域顏色相同與否不受限制，那么不同的著色方法是種(84)

5.將一四棱錐(圖6)的每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，若只有五種顏色可供使用，則不同的染色方法共種

(420)

經(jīng)典排列組合100題

一、填充題

1.(1)設(shè)4={3,8},B={8,3x+6},若A=5,則工=.

(2)設(shè)4=卜|/一3工+2=0},B={1,a},若A=8,則0=

8

2.⑴卜2--I展開式中1項(xiàng)的系數(shù)為

展開式中V項(xiàng)的系數(shù)為.

(3)[2/+二丫展開式中常數(shù)項(xiàng)為

3.(D(2x+y—z『展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.

(2)(3x-y+2z)s展開式中，Yy3項(xiàng)的系數(shù)為.

4.四對(duì)夫婦圍一圓桌而坐，夫婦相對(duì)而坐的方法有種?

5.{1,2}uAu{l,2,3,4,5},且A有4個(gè)元素，則這種集合A有個(gè).

6.從2000到3000的所有自然數(shù)中，為3的倍數(shù)或5的倍數(shù)者共有個(gè).

7.從1至10的十個(gè)正整數(shù)中任取3個(gè)相異數(shù)，其中均不相鄰的整數(shù)取法有種?

8.某女生有上衣5件、裙子4件、外套2件，請(qǐng)問她外出時(shí)共有種上衣、裙子、外套的搭配法.(注意：

外套可穿也可不穿.)

9.已知數(shù)列(4)定義為["'=3.，"為正整數(shù)，求4。。=____________.

[4川=4+2"

10.設(shè)A、B.T均為集合，A={a,b,c,d],B={c,d,e,f,g},則滿足TuA或TuB的集合T共有

________個(gè).

11.李先生與其太太有一天邀請(qǐng)鄰家四對(duì)夫婦圍坐一圓桌聊天，試求下列各情形之排列數(shù)：

(1)男女間隔而坐且夫婦相鄰.

(2)每對(duì)夫婦相對(duì)而坐?

12.體育課后，阿珍將4個(gè)相同排球,5個(gè)相同籃球裝入三個(gè)不同的箱子，每箱至少有1顆球，則方法有

種.

13.如圖，由A沿棱到G取快捷方式(最短路徑)，則有種不同走法?

：WHGc

14.0,LL2、2.2.2七個(gè)數(shù)字全取排成七位數(shù)，有種方法.

//-\10

15.---z展開式中，各實(shí)數(shù)項(xiàng)和為__________.

(22

16.有一數(shù)列㈤〉滿足4=1且。用=1+也,〃為正整數(shù)，求￡(3-*=__________.

3n=l

17.設(shè)4={2,4,0+1},B=[-A,a-2,a2-2?-3),已知4cB={2,5},則(4u3)-(AcB)=.

18.把1?4四個(gè)自然數(shù)排成一行，若要求除最左邊的位置外，每個(gè)位置的數(shù)字比其左邊的所有數(shù)字都大或都小，則共

有種排法.(例如：2314及3421均為符合要求的排列)

19.從1到1000的自然數(shù)中,

(1)是5的倍數(shù)或7的倍數(shù)者共有個(gè).

(2)不是5的倍數(shù)也不是7的倍數(shù)者共有個(gè).

(3)是5的倍數(shù)但不是7的倍數(shù)者共有個(gè).

20.如圖，從A走到3走快捷方式，可以有種走法.

21.1到1000的正整數(shù)中，不能被2、3、4,5.6之一整除者有個(gè).

22.將100元鈔票換成50元、10元、5元、1元的硬幣，則

(1)50元硬幣至少要1個(gè)的換法有種.

(2)不含1元硬幣的換法有種.

23.求(x—I?除/0+1的余式為?

24.在(x+y+zj的展開式中，同類項(xiàng)系數(shù)合并整理后，(1)共有個(gè)不同類項(xiàng).(2)其中Fy2z3的系數(shù)為

25.小明與小美玩猜數(shù)字游戲，小明寫一個(gè)五位數(shù)，由小美來猜;小美第一次猜75168,小明說五個(gè)數(shù)字都對(duì),但只有

萬位數(shù)字對(duì)，其他數(shù)字所在的位數(shù)全不對(duì)，則小美最多再猜次才能猜對(duì).

26.若S={x[正整船正整敷14x410000},T={x|x=12A:,掇＞正整船1”410000},則

n(5-T)=.

27.小于10000之自然數(shù)中，6的倍數(shù)所成集合為A,9的倍數(shù)所成集合為3.12的倍數(shù)所成集合為C,則

(l)〃(Ac8)=.(2)〃(Ac8cC)=.(3)〃[(AcB)uC]=.

(4)〃[AC(3DC)]=

28.1到300的自然數(shù)中，是2或3的倍數(shù)但非5的倍數(shù)有個(gè).

29.(f-2x+2『除以(x—l)3所得的余式為.

30.

如疆1,以五色堡人各癌，每顯一色且相郝1S不得同色，刖有

____________槿不同的堡法.(11固定不得旋斡)

31.如圖，則

（1）由A取捷^到e的走法有___________a.

（2）由A走到8,走向可以T、f或J,但不可以一,且不可重^走,

劃走法有____________a.

32.求（1+/）+（1+/丫+……+（1+力”展開式中產(chǎn)項(xiàng)系數(shù)為.

10

33.2（1-％）展開式中/的系數(shù)為-

k=0

34.展開（0.99）">=0.a6c4..,則。+人+。=.

35.建中高二教室樓梯一層有II個(gè)階梯，學(xué)生上樓時(shí)若限定每步只可跨一階或二階，則上樓的走法有種

36.利用二項(xiàng)式定理求C：+2S+3C!+……+nC'；,和為.

37.四對(duì)夫婦A。、Bb、Cc、加圍一圓桌而坐，若Aa要相對(duì)且5b要相鄰的坐法有種.

38.許多白色及黑色的磁磚，白色的磁磚為正方形，邊長為1單位；黑色為長方形，其長為2單位，寬為1單位；則貼

滿一個(gè)長7單位，寬1單位的長方形墻壁，共有種方法.

39.

如Ifil,有三用且平行每^各有三修直^，即感

（1）可決定____________三角形.法N

（2）可決定___________彳同梯形.（一遽平行，另一^遏不平行）.['

40.小功家住在一棟7樓的電梯公寓，今天小功回家時(shí)有5人同時(shí)和小功一起進(jìn)入1樓電梯欲往上，假設(shè)每人按下自己

想要到的樓層（可相同或不同），請(qǐng)問電梯有種停靠方式?（假設(shè)這期間電梯只會(huì)由下而上依次?？?/p>

這6人所按的樓層）

41.設(shè)5=。：°+2.仁。+3.6°+……+20.。崇則S為__________位數(shù).（設(shè)log2=0.3010）

42.4面不同色的旗子，若任取一面或數(shù)面懸掛在旗桿上來表示訊號(hào)，如果考慮上下的次序，則可作成種

不同的訊號(hào).

43.

如圈的棋籃式街道，甲走捷^彳您冬,即」

（1）走法有a.

（2）若不得^照且不^涉的走法有?.

45.有紅、白、黃三種大小一樣的正立方體積木各20個(gè)，從中取出7個(gè)積木，相同顏色堆在一起，一一重迭堆高，共

有種堆法.

46.2顆蘋果，3顆番石榴，4顆菠蘿，將9顆水果任意裝入4個(gè)不同的箱子，水果全裝完每個(gè)箱子至少裝一顆水果有

種方法.（同種水果視為同物）

47.A、B、C、D、E五對(duì)夫婦圍成一圓桌而坐（座位無編號(hào)），A夫婦相對(duì)且8夫婦相鄰的情形有

種.

48.如圖，取快捷方式而走，由A不經(jīng)產(chǎn)、。至3有種方法.

B

PQ

/LJ____LJ

49.將pa〃，w〃的字母全取排成一列，相同字母不相鄰的排法有種.

50.二個(gè)中國人、二個(gè)日本人、二個(gè)美國人排成一列，同國籍不相鄰有種排法?

二、計(jì)算題

a

1.設(shè)數(shù)列〈%〉滿足4=4且6句=《,+；,〃為自然數(shù)，試求⑴/，%，4，生.⑵推測見之值（以〃表示）.

40

⑶Z4?

k=\

2.某校從8名教師中選派4名教師分別去4個(gè)城市研習(xí)，每地一人.其中甲和乙不能同時(shí)被選派，甲和丙只能同時(shí)被

選派或同時(shí)不被選派，問共有幾種選派方法？

3.試求（3x-2y）6的展開式?

4.試求（2x-的展開式.

5.從SENSE的5個(gè)字母中任取3個(gè)排成一列，問有幾個(gè)排法？

6.下列各圖形，自A到A的一筆劃，方法各有多少種？

7.如圖，至少包含A或8兩點(diǎn)之一的矩形共有幾個(gè)？

8.設(shè)(x+y)”展開式中依x降序排列的第6項(xiàng)為112,第7項(xiàng)為7,第8項(xiàng)為;，試求"y及〃之值.(但x、y都是

正數(shù))

9.紅、白、綠、黑四色大小相同的球各4顆共16顆球，任取四顆，則

(1)四球恰為紅、白二色的情形有幾種？

(2)四球恰具兩種顏色的情形有幾種？

10.一樓梯共10級(jí)，某人上樓每步可走一級(jí)或兩級(jí)，要8步走完這10級(jí)樓梯，共有多少種走法?

11.設(shè)。={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}為一基集(宇集),則A={1,2,4,5,8),5={1,2,5,7,9),求⑴-5

⑵AcB(3)A-B(4)B—A⑸A(6)B'(7)(AuB)/⑻Ac9(9)(AnB)'(10)A'u5'.

.、［9

1

12.若=\+a}X+^X+..+%38,求4和%的值?

13.某一場舞會(huì)將4位男生與4位女生配成4對(duì)，每一對(duì)皆含一位男生與一位女生，試問總共有幾種配對(duì)法？

(1)C；.(2)P：.(3)44.(4)”：.(5)4.

14.如圖，AfA一筆劃的方法數(shù)有幾種？

(IMOOOQO⑵QO^QO

15.如圖，由A至B走快捷方式，不能穿越斜線區(qū)，有多少種走法？

16.求(0.998)7之近似值.(至小數(shù)點(diǎn)后第6位)

17.設(shè)(l+X-f)""=l+or+"2.......+cr2O2,求〃、b、c之值.

18.(1)試證明下列等式成立：?+?+5-+……+%=?(2向-1).

⑵設(shè)”為自然數(shù),且滿足3與+號(hào)+……+急=修則”之值為何?

19.王老師改段考考卷，她希望成績是0、4,5,6.7,8.9所組成的2位數(shù)，則

(1)不小于60分的數(shù)有幾個(gè)？

(2)有幾個(gè)3的倍數(shù)？

(3)改完考卷后發(fā)現(xiàn)由小到大排列的第12個(gè)數(shù)正是全班的平均成績，請(qǐng)問班上的平均成績是幾分？

20.某日有七堂課，其中有兩堂是數(shù)學(xué)，有兩堂是國文，另外是英文、生物、體育各一堂.若數(shù)學(xué)要連兩堂上課，國

文也要連兩堂上課，但同科目的課程不跨上、下午(即第四五節(jié)課不算連堂)，若第四、五堂課也不排體育，則該

日之課程有兒種可能的排法？

21.(l+x-x2)'01=i+ax+bx2+cx3+..+X2?2,求a、b.c■

22.已知A={0,0,1,2,{1},{1,2}),下列何者為真？

(A)0GA(B)0uA(C)OeA(D)OuA(E){1,2}eA(F){1,2}uA(G){0}uA.

23.

言殳有4、B、C、D、E五彳固市金真，其通道如圈所示，

今某人自A地至W地，同一市金真不得^謾麗次或雨次以

上，且不必走謾每一市金真，求有黑槿不同路^可走？

24.設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)q=5且滿足遞歸關(guān)系式《用=a“+(2〃-3)，〃為正整數(shù)，試求⑴4，%，-a5?⑵一般項(xiàng)

an(以〃表示).(3)出。.

25.方程式x+y+z=10有多少組非負(fù)整數(shù)解?

26.用0、1、2、3、4.5作成大于230的三位數(shù)奇數(shù)，數(shù)字可重復(fù)使用

（1）可作成多少個(gè)？（2）其總和若干？

27.求++…++的值.

28.媽媽桌球俱樂部擬購買8把桌球拍以供忘記攜帶球拍的會(huì)員使用，若球拍分為刀板，直拍與大陸拍3類，試問俱樂

部有多少種不同的購買方式？

29.設(shè)直線方程式雙+勿=0中的。力是取自集合｛-3,-2,-1,0,2,4,6｝中兩個(gè)不同的元素，且該直線的斜率為正值，

試問共可表出幾條相異的直線？

30.下列各圖，由A到8的一筆劃，方法各有多少種？

31.以五種不同的顏色，涂入下列各圖（圖形不能轉(zhuǎn)動(dòng)），同色不相鄰，顏色可重復(fù)使用，則涂法各有多少種？

32.平面上有〃個(gè)圓，其中任三個(gè)圓均不共點(diǎn)，此"個(gè)圓最多可將平面分割成”“個(gè)區(qū)域，貝ij(l)求生,%,%%.⑵

寫出S)的遞歸關(guān)系式.(3)求第八項(xiàng)a“(以〃表示)

33.于下列各圖中，以五色涂入各區(qū)，每區(qū)一色但相鄰不得同色，則各有幾種不同的涂法？(各圖固定，不得旋轉(zhuǎn))

34.車商將3輛不同的休旅車及3輛不同的跑車排成一列展示.求下列各種排列方法:

(1)休旅車及跑車相間排列.(2)休旅車及跑車各自排在一起.

35.從6本不同的英文書與5本不同的中文書中，選取2本英文書與3本中文書排在書架上，共有幾種排法?

36.將9本不同的書依下列情形分配，方法各有幾種？

(1)分給甲，乙，丙3人，每人各得3本.

(2)分裝入3個(gè)相同的袋子，每袋裝3本.

(3)分裝入3個(gè)相同的袋子，其中一袋裝5本，另兩袋各裝2本.

37.學(xué)校舉辦象棋及圍棋比賽，已知某班級(jí)有42位同學(xué)參賽，其中有34位同學(xué)參加圍棋比賽，而兩種棋賽都參加的同

學(xué)有15人.試問此班有多少位同學(xué)參加象棋比賽？

38.求任+》+1丫的展開式中產(chǎn)的系數(shù).

39.求(/-x+2)3的展開式中/的系數(shù).

40.求240的正因子個(gè)數(shù).

41.自甲地到乙地有電車路線1條，公交車路線3條，自乙地到丙地有電車路線2條，公交車路線2條.今小明自甲地

經(jīng)乙地再到丙地，若甲地到乙地與乙地到丙地兩次選擇的路線中，電車與公交車路線各選一次，則有幾種不同的

路線安排？

42.某班舉行數(shù)學(xué)測驗(yàn)，測驗(yàn)題分A,3,C三題.結(jié)果答對(duì)A題者有15人，答對(duì)5題者有19人，答對(duì)C題者有20

人，其中A,3兩題都答對(duì)者有10人，B,C兩題都答對(duì)者有12人,C,A兩題都答對(duì)者有8人，三題都答對(duì)者

有3人.試問A,B,C三題中至少答對(duì)一題者有多少人？

43.在1到600的正整數(shù)中，是4,5和6中某一個(gè)數(shù)的倍數(shù)者共有幾個(gè)？

44.

用黑白雨不重顏色的正方形地碑依照如右的規(guī)律拼圈形：LJLJ

nMcn?□M□■u■■?

言殳?！笆堑凇盉I需用到的白色地碟現(xiàn)敷.Inn11門門門

(1)癮下數(shù)列〈凡〉的遮退系式.第i圈第姻第胭

(2)求一般工國/,,?

⑶拼第95圜需用到黑境白色地碑.

45.欲將8位轉(zhuǎn)學(xué)生分發(fā)到甲，乙，丙，丁四班?

(1)若平均每班安排2人，共有幾種分法？

(2)若甲乙兩班各安排3人，丙丁兩班各安排1人，共有