山東師大第三學(xué)期《數(shù)學(xué)分析》期末試題及答案

第三學(xué)期《數(shù)學(xué)分析》期末試題選擇題：〔15分，每題3分〕1、累次極限存在是重極限存在的〔〕A充分條件B必要條件C充分必要條件D無(wú)關(guān)條件2、〔〕A；B；C；D。3、函數(shù)f(x,y)在〔x0,,y0〕可偏導(dǎo)，那么〔D〕Af(x,y)在〔x0,,y0〕可微；Bf(x,y)在〔x0,,y0〕連續(xù)；Cf(x,y)在〔x0,,y0〕在任何方向的方向?qū)?shù)均存在；D以上全不對(duì)。4、的二重極限和二次極限各為〔B〕A、0，0，0；B、不存在，0，0，；C、0，不存在，0；D、0，0，不存在。5、設(shè)，那么〔A〕A、0；B、1；C、-1；D、2。二、計(jì)算題〔50分，每題10分〕證明函數(shù)在〔0，0〕點(diǎn)連續(xù)且可偏導(dǎo)，但它在該點(diǎn)不可微；設(shè)；設(shè)有隱函數(shù),其中的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求、；計(jì)算，其中是任一條以為起點(diǎn)、為終點(diǎn)的光滑曲線；計(jì)算，其中為在的局部；三、驗(yàn)證或解答〔總分值24分，每題8分〕1、驗(yàn)證曲線積分與路線無(wú)關(guān)，并求被積表達(dá)式的原函數(shù)；2、說(shuō)明對(duì)任意均一致收斂；3、驗(yàn)證函數(shù)在原點(diǎn)〔0，0〕分別對(duì)每個(gè)自變數(shù)(另一個(gè)看作常數(shù))都連續(xù)，但是二元函數(shù)在原點(diǎn)〔0，0〕卻不連續(xù).四、〔11分〕求由方程組確定的隱函數(shù)處的一階導(dǎo)數(shù)。局部題目參考答案：二、1、證明：〔4分〕=0所以函數(shù)在〔0，0〕點(diǎn)連續(xù)，〔3分〕又，存在切等于0，〔4分〕但不存在，故函數(shù)在〔0，0〕點(diǎn)不可微〔3分〕二、2、解由于，所以.二、3、

[解法1]

由隱函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

[解法2]

利用全微分,將隱函數(shù)方程兩邊取全微分,得，，故.由此可見,用全微分來(lái)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也是一個(gè)途徑.二、4、解令=，=，那么==,故被積表達(dá)式一定有原函數(shù)，注意到=,知=是的一個(gè)原函數(shù)，故由定理21.13，有==.二、5、解曲面在平面上的投影區(qū)域，而，于是曲面的面積微元所以〔在極坐標(biāo)系下計(jì)算〕.三、1、解由于所以曲線積分與路線無(wú)關(guān).現(xiàn)在求取為沿平行于軸的直線到，再沿平行于軸的直線到，最后沿平行于軸的直線到.于是其中是一個(gè)常數(shù)，假設(shè)取為原點(diǎn)，那么得三、2、解當(dāng)收斂，所以關(guān)于一致收斂.而積分是定積分，所以一致收斂.三、3、證明，與，即在原點(diǎn)〔0，0〕分別對(duì)都連續(xù)當(dāng)時(shí)，卻有，即在原點(diǎn)〔0，0〕不連