2024屆甘肅省東鄉(xiāng)族自治縣第二中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2024屆甘肅省東鄉(xiāng)族自治縣第二中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則等于（）A． B． C． D．2．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若2Sn＝an+1﹣1（n∈N*），則首項a1為（）A．1 B．2 C．3 D．43．設(shè)平面向量，，若，則等于（）A． B． C． D．4．若三棱錐中，，，，且，，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．已知在中，為線段上一點，且，若，則（）A． B． C． D．6．如圖，矩形ABCD中，點E為邊CD的中點，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機取一個點Q，則點Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于A． B．C． D．7．已知與的夾角為，，，則（）A． B． C． D．8．若角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A． B． C． D．9．下列函數(shù)的最小值為的是（）A． B．C． D．10．設(shè)，，，則的最小值為（）A．2 B．4 C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖是一個三角形數(shù)表，記，，…，分別表示第行從左向右數(shù)的第1個數(shù)，第2個數(shù)，…，第個數(shù)，則當(dāng)，時，______.12．已知直線與直線互相平行，則______.13．已知等差數(shù)列，若，則______.14．?dāng)?shù)列滿足，當(dāng)時，，則是否存在不小于2的正整數(shù)，使成立？若存在，則在橫線處直接填寫的值；若不存在，就填寫“不存在”_______.15．已知一個鐵球的體積為，則該鐵球的表面積為________.16．假設(shè)我國國民生產(chǎn)總值經(jīng)過10年增長了1倍，且在這10年期間我國國民生產(chǎn)總值每年的年增長率均為常數(shù)，則______.（精確到）（參考數(shù)據(jù)）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，，求角A的值。18．愛心超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫單位：有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份每天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)216362574（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率；（2）當(dāng)六月份有一天這種酸奶的進貨量為450瓶時，求這一天銷售這種酸奶的平均利潤（單位：元）19．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且.（1）求角；（2）若，，求邊上的高.20．已知.(1)求與的夾角；(2)求.21．已知，.(1)求的值；(2)若，均為銳角，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

由正弦定理將邊化角可求得，根據(jù)三角形為銳角三角形可求得.【題目詳解】由正弦定理得：，即故選：【題目點撥】本題考查正弦定理邊化角的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】

等比數(shù)列的公比設(shè)為，分別令，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，解方程可得所求首項.【題目詳解】等比數(shù)列的公比設(shè)為，由，令，可得，，兩式相減可得，即，又所以.故選：A.【題目點撥】本題考查數(shù)列的遞推式的運用，等比數(shù)列的定義和通項公式，考查方程思想和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】分析：由向量垂直的條件，求解，再由向量的模的公式和向量的數(shù)量積的運算，即可求解結(jié)果.詳解：由題意，平面向量，且，所以，所以，即，又由，所以，故選D.點睛：本題主要考查了向量的數(shù)量積的運算和向量模的求解，其中解答中熟記平面向量的數(shù)量積的運算公式和向量模的計算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

將棱錐補成長方體，根據(jù)長方體的外接球的求解方法法得到結(jié)果.【題目詳解】根據(jù)題意得到棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可以以三條側(cè)棱為長方體的楞，該三棱錐補成長方體，兩者的外接球是同一個，外接球的球心是長方體的體對角線的中點處。設(shè)球的半徑為R，則表面積為故答案為：B.【題目點撥】本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系，得到結(jié)果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線（這兩個多邊形需有公共點），這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球.5、C【解題分析】

首先，由已知條件可知，再有，這樣可用表示出．【題目詳解】∵，∴，，∴，∴．故選C．【題目點撥】本題考查平面向量基本定理，解題時用向量加減法表示出，然后用基底表示即可．6、C【解題分析】

利用幾何概型的計算概率的方法解決本題，關(guān)鍵要弄準(zhǔn)所求的隨機事件發(fā)生的區(qū)域的面積和事件總體的區(qū)域面積，通過相除的方法完成本題的解答．【題目詳解】解：由幾何概型的計算方法，可以得出所求事件的概率為P=．故選C．【點評】本題考查概率的計算，考查幾何概型的辨別，考查學(xué)生通過比例的方法計算概率的問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，考查學(xué)生幾何圖形面積的計算方法，屬于基本題型．7、A【解題分析】

將等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算律和定義得出關(guān)于的二次方程，解出即可.【題目詳解】將等式兩邊平方得，，即，整理得，，解得，故選：A.【題目點撥】本題考查平面向量模的計算，在計算向量模的時候，一般將向量模的等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的定義和運算律進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.8、C【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合正弦的二倍角公式計算即可【題目詳解】由題意，∴，，．故選：C.【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的定義，考查二倍角的正弦公式，掌握三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．9、C【解題分析】分析：利用基本不等式的性質(zhì)即可判斷出正誤，注意“一正二定三相等”的使用法則．詳解：A.時顯然不滿足條件；B.其最小值大于1．D.令因此不正確．故選C.點睛：本題考查基本不等式，考查通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．10、D【解題分析】

利用基本不等式可得，再結(jié)合代入即可得出答案．【題目詳解】解：∵，，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立，∴，故選：D．【題目點撥】本題主要考查基本不等式求最值，要注意條件“一正二定三相等”，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由圖表，利用歸納法，得出，再利用疊加法，即可求解數(shù)列的通項公式.【題目詳解】由圖表，可得，，，，，可歸納為，利用疊加法可得：，故答案為.【題目點撥】本題主要考查了歸納推理的應(yīng)用，以及數(shù)列的疊加法的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)圖表，利用歸納法，求得數(shù)列的遞推關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.12、【解題分析】

由兩直線平行得，，解出值.【題目詳解】由直線與直線互相平行，得，解得.故答案為：.【題目點撥】本題考查兩直線平行的性質(zhì)，兩直線平行，一次項系數(shù)之比相等，但不等于常數(shù)項之比，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

利用等差數(shù)列的通項公式直接求解.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由，得，解得.故答案：.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14、70【解題分析】

構(gòu)造數(shù)列，兩式與相減可得數(shù)列{}為等差數(shù)列，求出，讓=0即可求出.【題目詳解】設(shè)兩式相減得又數(shù)列從第5項開始為等差數(shù)列，由已知易得均不為0所以當(dāng)n=70的時候成立，故答案填70.【題目點撥】如果遞推式中出現(xiàn)和的形式，比如，可以嘗試退項相減，即讓取后，兩式作差，和的部分因為相減而抵消，剩下的就好算了。15、.【解題分析】

通過球的體積求出球的半徑，然后求出球的表面積.【題目詳解】球的體積為球的半徑球的表面積為：故答案為：【題目點撥】本題考查球的表面積與體積的求法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)10年前的國民生產(chǎn)總值為，則10年后的國民生產(chǎn)總值為，結(jié)合題意可得，解可得的值，即可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)10年前的國民生產(chǎn)總值為，則10年后的國民生產(chǎn)總值為，則有，即，解可得：，故答案為：．【題目點撥】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，涉及指數(shù)、對數(shù)的運算，關(guān)鍵是得到關(guān)于的方程，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、或【解題分析】

根據(jù)的值可確定，進而得到，利用兩角和差公式、二倍角公式和輔助角公式化簡求值可求得，根據(jù)所處范圍可求得的值，進而求得角.【題目詳解】且或或【題目點撥】本題考查利用三角恒等變換的公式化簡求值的問題，涉及到兩角和差的正弦公式、二倍角公式和輔助角公式的應(yīng)用、特殊角三角函數(shù)值的求解問題；關(guān)鍵是能夠通過三角恒等變換公式，整理化簡已知式子，得到與所求角有關(guān)的角的三角函數(shù)值.18、（1）；（2）460元.【解題分析】

（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求得最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求得相應(yīng)的概率；（2）分別求出溫度不低于、溫度在，以及溫度低于時的利潤及相應(yīng)的概率，即可求解這一天銷售這種酸奶的平均利潤，得到答案．【題目詳解】（1）根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，得到最高氣溫位于區(qū)間和最高氣溫低于20的天數(shù)為，所以六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的頻率．（2）當(dāng)溫度大于等于時，需求量為500瓶，利潤為：元，當(dāng)溫度在時，需求量為300瓶，利潤為：元，當(dāng)溫度低于時，需求量為200瓶，利潤為：元，平均利潤為【題目點撥】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，以及概率的實際應(yīng)用，其中解答中認真審題，熟練應(yīng)用古典概型及其概率的計算公式，以及平均利潤的計算方法是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．19、(1)；(2)【解題分析】

（1）利用正弦定理化簡已知條件，利用三角形內(nèi)角和定理以及兩角和的正弦公式化簡，由此求得，進而求得的大小.（2）利用正弦定理求得，進而求得的大小，由此求得的值，根據(jù)求得邊上的高.【題目詳解】解：（1）∵∴∴∴∴即：，∴（2）由正弦定理：，∴∵∴∴∴設(shè)邊上的高為，則有【題目點撥】本小題主要考查利用正弦定理進行邊角互化，考查利用正弦定理解三角形，考查三角恒等變換，考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由得到，