2024屆哈爾濱市第九中學數(shù)學高一第二學期期末檢測模擬試題含解析

2024屆哈爾濱市第九中學數(shù)學高一第二學期期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知為第Ⅱ象限角，則的值為（）A． B． C． D．2．直線的傾斜角不可能為（）A． B． C． D．3．已知空間中兩點和的距離為6，則實數(shù)的值為（）A．1 B．9 C．1或9 D．﹣1或94．已知數(shù)列的前4項依次為，1，，，則該數(shù)列的一個通項公式可以是（）A． B．C． D．5．已知一個平面，那么對于空間內(nèi)的任意一條直線,在平面內(nèi)一定存在一條直線，使得與（）A．平行B．相交C．異面D．垂直6．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，b＝c，且滿足＝，若點O是△ABC外一點，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，則平面四邊形OACB面積的最大值是()A． B． C．3 D．7．若將函數(shù)的圖象向右平移個單位，所得圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．8．已知，且，則下列不等式正確的是（）A． B． C． D．9．已知為銳角，，則（）A． B． C． D．10．已知組數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為2,方差為5,則數(shù)據(jù)2+1，2+1，…，2+1的平均數(shù)與方差分別為()A．=4,=10 B．=5,=11C．=5,=20 D．=5,=21二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，則_________．12．將邊長為2的正沿邊上的高折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為．13．從1，2，3，4，5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率為________.14．向邊長為的正方形內(nèi)隨機投粒豆子，其中粒豆子落在到正方形的頂點的距離不大于的區(qū)域內(nèi)（圖中陰影區(qū)域），由此可估計的近似值為______.（保留四位有效數(shù)字）15．直線與間的距離為________．16．已知關(guān)于實數(shù)x，y的不等式組構(gòu)成的平面區(qū)域為，若，使得恒成立，則實數(shù)m的最小值是______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知夾角為，且，，求：（1）；（2）與的夾角．18．已知.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值并求當取最小值時，的取值.19．在直三棱柱中，，，，分別是，的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．在甲、乙兩個盒子中分別裝有標號為1，2，3，4的四個球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各取出1個球，每個球被取出的可能性相等.（1）求取出的兩個球上標號為相同數(shù)字的概率；（2）若兩人分別從甲、乙兩個盒子中各摸出一球，規(guī)定：兩人誰摸出的球上標的數(shù)字大誰就獲勝（若數(shù)字相同則為平局），這樣規(guī)定公平嗎？請說明理由.21．已知函數(shù)，其中．（1）當時，求的最小值；（2）設函數(shù)恰有兩個零點，且，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

首先由，解出，求出，再利用二倍角公式以及所在位置，即可求出．【題目詳解】因為，所以或，又為第Ⅱ象限角，故，．因為為第Ⅱ象限角即，所以，，即為第Ⅰ，Ⅲ象限角．由于，解得，故選B．【題目點撥】本題主要考查二倍角公式的應用以及象限角的集合應用．2、D【解題分析】

根據(jù)直線方程，分類討論求得直線的斜率的取值范圍，進而根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，可得當時，直線方程為，此時傾斜角為；當時，直線方程化為，則斜率為：，即，又由，解得或，又由且，所以傾斜角的范圍為，顯然A，B都符合，只有D不符合，故選D.【題目點撥】本題主要考查了直線方程的應用，以及直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，著重考查了分類討論思想，以及推理與運算能力.3、C【解題分析】

利用空間兩點間距離公式求出值即可?！绢}目詳解】由兩點之間距離公式，得：，化為：，解得：或9，選C?！绢}目點撥】空間兩點間距離公式：。代入數(shù)據(jù)即可，屬于基礎題目。4、A【解題分析】

根據(jù)各選擇項求出數(shù)列的首項，第二項，用排除法確定．【題目詳解】可用排除法，由數(shù)列項的正負可排除B,D，再看項的絕對值，在C中不合題意，排除C，只有A.可選．故選：A.【題目點撥】本題考查數(shù)列的通項公式，已知數(shù)列的前幾項，選擇一個通項公式，比較方便，可以利用通項公式求出數(shù)列的前幾項，把不合的排除即得．5、D【解題分析】略6、A【解題分析】

根據(jù)正弦和角公式化簡得是正三角形，再將平面四邊形OACB面積表示成的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)求得最值.【題目詳解】由已知得：即所以即又因為所以所以又因為所以是等邊三角形.所以在中，由余弦定理得且因為平面四邊形OACB面積為當時，有最大值，此時平面四邊形OACB面積有最大值，故選A.【題目點撥】本題關(guān)鍵在于把所求面積表示成角的三角函數(shù)，屬于難度題.7、B【解題分析】

把函數(shù)的解析式利用輔助角公式化成余弦型函數(shù)解析式形式，然后求出向右平移個單位后函數(shù)的解析式，根據(jù)題意，利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】，該函數(shù)求出向右平移個單位后得到新函數(shù)的解析式為：，由題意可知：函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，所以有當時，有最小值，最小值為.故選：B【題目點撥】本題考查了余弦型函數(shù)的圖象平移，考查了余弦型函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學運算能力.8、B【解題分析】

通過反例可排除；根據(jù)的單調(diào)性可知正確.【題目詳解】當，時，，，則錯誤；當，時，，則錯誤；由單調(diào)遞增可知，當時，，則正確本題正確選項：【題目點撥】本題考查不等關(guān)系的判斷，解決此類問題常采用排除法，屬于基礎題.9、A【解題分析】

先將展開并化簡，再根據(jù)二倍角公式，計算可得?！绢}目詳解】由題得，，整理得，又為銳角，則，，解得.故選：A【題目點撥】本題考查兩角和差公式以及二倍角公式，是基礎題。10、C【解題分析】

根據(jù)題意，利用數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的性質(zhì)分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為2，方差為5，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)，其方差；故選．【題目點撥】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算，關(guān)鍵是掌握數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算公式，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、.【解題分析】

在分式中分子分母同時除以，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為正切來進行計算.【題目詳解】由題意得，原式，故答案為.【題目點撥】本題考查弦的分式齊次式的計算，常利用弦化切的思想求解，一般而言，弦化切思想主要應用于以下兩種題型：（1）弦的次分式齊次式：當分式是關(guān)于角的次分式齊次式，在分子分母中同時除以，可以將分式化為切的分式來求解；（2）弦的二次整式：當代數(shù)式是關(guān)于角弦的二次整式時，先除以，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角弦的二次分式齊次式，然后在分式分子分母中同時除以，可實現(xiàn)弦化切.12、【解題分析】

解：根據(jù)題意可知三棱錐B﹣ACD的三條側(cè)棱BD、DC、DA兩兩互相垂直，所以它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，∵長方體的對角線的長為：，∴球的直徑是，半徑為，∴三棱錐B﹣ACD的外接球的表面積為：4π5π．故答案為5π考點：外接球.13、0.2【解題分析】從1,2,3,4,5中任意取兩個不同的數(shù)共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10種.其中和為5的有(1,4),(2,3)2種.由古典概型概率公式知所求概率為=.14、3.1【解題分析】

根據(jù)已知條件求出滿足條件的正方形的面積，及到頂點的距離不大于1的區(qū)域（圖中陰影區(qū)域）的面積比值等于頻率即可求出答案．【題目詳解】依題意得，正方形的面積，陰影部分的面積，故落在到正方形的頂點的距離不大于1的區(qū)域內(nèi)（圖中陰影區(qū)域）的概率，隨機投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的頂點的距離不大于1的區(qū)域內(nèi)（圖中陰影區(qū)域）的頻率為：，即有：，解得：，故答案為3.1．【題目點撥】幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長度、面積、體積等，而且這個“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)．解決的步驟均為：求出滿足條件的基本事件對應的“幾何度量”（A），再求出總的基本事件對應的“幾何度量”，最后根據(jù)求解．利用頻率約等于概率，即可求解。15、【解題分析】

根據(jù)兩平行線間的距離，，代入相應的數(shù)據(jù)，整理計算得到答案.【題目詳解】因為直線與互相平行，所以根據(jù)平行線間的距離公式，可以得到它們之間的距離，.【題目點撥】本題考查兩平行線間的距離公式，屬于簡單題.16、【解題分析】

由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可，再由表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點距離的平方，因此結(jié)合平面區(qū)域即可求出結(jié)果.【題目詳解】作出約束條件所表示的可行域如下：由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可；令目標函數(shù)，則目標函數(shù)表示平面區(qū)域內(nèi)的點與定點距離的平方，由圖像易知，點到的距離最大.由得，所以.因此，即的最小值為37.故答案為37【題目點撥】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題，只需分析清楚目標函數(shù)的幾何意義，即可結(jié)合可行域來求解，屬于常考題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）先求模的平方將問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題．（2）根據(jù)數(shù)量積公式即可求得兩向量的夾角．（1），，所以．（2）設與的夾角為．則，因為，所以．考點：1向量的數(shù)量積；2向量的模長．18、（1）；（2），【解題分析】

(1)先化簡,再求最小正周期;(2)由,得,再結(jié)合的函數(shù)圖像求最小值.【題目詳解】(1),即,所以的最小正周期是;(2)由(1)知,又由,得,所以當時,的最小值為,即時,的最小值為.【題目點撥】本題考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)圖像的性質(zhì)應用,屬于中檔題.19、（1）證明見解析。（2）【解題分析】

（1）首先根據(jù)已知得到，再根據(jù)線面平行的判定即可得到平面.（2）首先根據(jù)線面垂直的判定證明平面，即可找到為與平面所成角，在計算其正弦值即可.【題目詳解】（1）因為分別是，的中點，所以四邊形為平行四邊形，即.平面，所以平面.（2）因為，為中點，所以.平面.所以為與平面所成角.在中，，，所以，.在中，，，所以.【題目點撥】本題第一問考查線面平行的判定，本題第二問考查線面成角，屬于中檔題.20、（1）（2）這樣規(guī)定公平，詳見解析【解題分析】

（1）利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求解；（2）利用古典概型及其概率的計算公式，求得的概率，即可得到結(jié)論.【題目詳解】由題意，設從甲、乙兩個盒子中各取1個球，其數(shù)字分別為x、y.用表示抽取結(jié)果，可得，則所有可能的結(jié)果有16種，（1）設“取出的兩個球上的標號相同”為事件A，則，事件A由4個基本事件組成，故所求概率.（2）設“甲獲勝”為事件B，“乙獲勝”為事件C，則，.可得，即甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率也是，所以這樣規(guī)定公平.【題目點撥】本題主要考查了古典概型的概率的計算及應用，其中解答中認真審題，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題題.21、(1)；(2)【解題分析】

（1）當時，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）分段討論討論函數(shù)在相應的區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù)，函數(shù)在時，至多有一個零點，函數(shù)在時，可能僅有一個零點，可能有兩個零點，分別求出的取值范圍，可得解．【題目詳解】（1）當時，函數(shù)，當時，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，且；當時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又由函數(shù)，當時，函數(shù)取得最小值為；故當時，最小值為．（2）因為函數(shù)恰有兩個零點，所以（?。┊敃r，函數(shù)有一個零點，令得，因為時，，所以時，函數(shù)有一個零點，設零點為且，此時需函數(shù)在時也恰有一個零點，令，即，得，令，設，，因為，所以，，，當時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；而當時，，又時，，所以要使在時恰有一個零點，則需，要使函數(shù)恰有兩個零點，且，設在時的零點為，則需，而當時，