數(shù)字電子技術(shù)-02邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

2.1邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

2.1.1邏輯代數(shù)的基本運算

2.1.2

復合邏輯運算

1/12/20241復習（255）10=（）2=（）8=（）16=（）8421BCD00100101010110000000-1=11111111111111=7F1111111=1771/12/20242

內(nèi)容提要

1.3邏輯代數(shù)中的邏輯運算

基本邏輯運算（與、或、非）；復合邏輯函數(shù)運算；1/12/202431.3.1基本邏輯運算

邏輯：一定的因果關(guān)系。

邏輯代數(shù)是描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學方法，是進行邏輯分析與綜合的數(shù)學工具。因為它是英國數(shù)學家喬治·布爾(GeorgeBoole)于1847年提出的,所以又稱為布爾代數(shù)。

邏輯代數(shù)有其自身獨立的規(guī)律和運算法則，不同于普通代數(shù)。

相同點：都用字母A、B、C……表示變量；

不同點：邏輯代數(shù)變量的取值范圍僅為“0”和“1”，且無大小、正負之分。邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量。

“0”和“1”表示兩種不同的邏輯狀態(tài)：是和非、真和假、高電位和低電位、有和無、開和關(guān)等等。

1/12/202441.三種基本邏輯運算（1）與運算

當決定某一事件的全部條件都具備時，該事件才會發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為與邏輯關(guān)系，簡稱與邏輯。開關(guān)A開關(guān)B燈Y斷開斷開滅斷開閉合滅閉合斷開滅閉合閉合亮ABY000010100111表1-6與邏輯的真值表

A、B全1，Y才為1。串聯(lián)開關(guān)電路功能表

圖1-1(a)串聯(lián)開關(guān)電路

設(shè)定邏輯變量并狀態(tài)賦值：邏輯變量：A和B，對應兩個開關(guān)的狀態(tài)；

1－閉合，0－斷開；邏輯函數(shù)：Y，對應燈的狀態(tài)，

1－燈亮，0－燈滅。1/12/20245圖1-1(b)與邏輯的邏輯符號邏輯表達式：

Y＝A·B＝AB符號“·”讀作“與”（或讀作“邏輯乘”）；在不致引起混淆的前提下，“·”常被省略。

實現(xiàn)與邏輯的電路稱作與門，與邏輯和與門的邏輯符號如圖1-1(b)所示，符號“&”表示與邏輯運算。1/12/20246

若開關(guān)數(shù)量增加，則邏輯變量增加。

ABCY00000010010001101000101011001111A、B、C全1，Y才為1。Y＝A

·

B·C＝ABC1/12/20247（2）或運算

當決定某一事件的所有條件中，只要有一個具備，該事件就會發(fā)生，這樣的因果關(guān)系叫做或邏輯關(guān)系，簡稱或邏輯。開關(guān)A開關(guān)B燈Y斷開斷開滅斷開閉合亮閉合斷開亮閉合閉合亮ABY000011101111表1-7或邏輯的真值表

A、B有1，Y就為1。并聯(lián)開關(guān)電路功能表

圖1-2(a)并聯(lián)開關(guān)電路1/12/20248圖1-2(b)或邏輯的邏輯符號邏輯表達式：

Y＝A＋B符號“＋”讀作“或”（或讀作“邏輯加”）。

實現(xiàn)或邏輯的電路稱作或門，或邏輯和或門的邏輯符號如圖1-2(b)所示，符號“≥1”表示或邏輯運算。1/12/20249（3）非運算

當某一條件具備了，事情不會發(fā)生；而此條件不具備時，事情反而發(fā)生。這種邏輯關(guān)系稱為非邏輯關(guān)系，簡稱非邏輯。表1-8非邏輯的真值表

A與Y相反開關(guān)與燈并聯(lián)電路功能表

圖1-3(a)開關(guān)與燈并聯(lián)電路開關(guān)A燈Y斷開亮閉合滅AY01101/12/202410圖1-3(b)非邏輯的邏輯符號

實現(xiàn)非邏輯的電路稱作非門，非邏輯和非門的邏輯符號如圖1-3(b)所示。邏輯符號中用小圓圈“?！北硎痉沁\算，符號中的“1”表示緩沖。邏輯表達式：

Y＝A符號“—”讀作“非”。1/12/2024112.復合邏輯運算

在數(shù)字系統(tǒng)中，除應用與、或、非三種基本邏輯運算之外，還廣泛應用與、或、非的不同組合，最常見的復合邏輯運算有與非、或非、與或非、異或和同或等。

（1）與非運算“與”和“非”的復合運算稱為與非運算。

邏輯表達式：Y＝ABCABCY00010011010101111001101111011110表1-9與非邏輯的真值表

圖1-4與非邏輯的邏輯符號“有0必1，全1才0”1/12/202412

（2）或非運算“或”和“非”的復合運算稱為或非運算。

邏輯表達式：Y＝A+B+CABCY00010010010001101000101011001110表1-10或非邏輯的真值表

“有1必0，全0才1”圖1-5或非邏輯的邏輯符號1/12/202413

（3）與或非運算“與”、“或”和“非”的復合運算稱為與或非運算。

邏輯表達式：Y＝AB+CD圖1-6與或非邏輯的邏輯符號1/12/202414

（4）異或運算所謂異或運算，是指兩個輸入變量取值相同時輸出為0，取值不相同時輸出為1。

表1-11異或邏輯的真值表

“相同為0，相異為1”圖1-7異或邏輯的邏輯符號邏輯表達式：Y=A⊕B=AB+AB式中符號“⊕”表示異或運算。

ABY0000111011101/12/2024152.1邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1.3邏輯代數(shù)的公式和運算規(guī)則

1/12/202416一邏輯代數(shù)的基本定律

邏輯函數(shù)的相等：

已知Y=F1

(A、B、C、D……)

W=F2

(A、B、C、D……)

問：Y=W的條件？

僅當A、B、C、D……的任一組取值所對應的Y和W都相同，具體表現(xiàn)為二者的真值表完全相同時，Y=W。

等號“＝”不表示兩邊數(shù)值相等，僅表示一種等價、等效的邏輯關(guān)系。因為邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值0和1是不能比較大小的，僅表示一種狀態(tài)。結(jié)論：可用真值表驗證邏輯函數(shù)是否相等。

ABY000010100111ABW0010101001111/12/2024171.基本公式（1）常量之間的關(guān)系

這些常量之間的關(guān)系，同時也體現(xiàn)了邏輯代數(shù)中的基本運算規(guī)則，也叫做公理，它是人為規(guī)定的，這樣規(guī)定，既與邏輯思維的推理一致，又與人們已經(jīng)習慣了的普通代數(shù)的運算規(guī)則相似。0·

0=00+0=00·

1=0

0+1=11·

0=01+0=11·

1=1

1+1=10=1

1=0請?zhí)貏e注意與普通代數(shù)不同之處與或1/12/202418（2）常量與變量之間的關(guān)系普通代數(shù)結(jié)果如何？（3）與普通代數(shù)相似的定理

交換律A·B=B·AA+B=B+A結(jié)合律A·（B·C）=（A·B）·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·（B+C）=A·B+A·CA+(BC)=(A+B)(A+C)1/12/202419（4）特殊的定理

De·morgen定理表1-16反演律(摩根定理)真值表1/12/202420表1-15邏輯代數(shù)的基本公式1/12/2024212.常用公式B：互補A：公因子A是AB的因子1/12/202422A的反函數(shù)是因子與互補變量A相與的B、C是第三項添加項1/12/202423常用公式需記憶1/12/202424在任何一個邏輯等式（如F＝W）中，如果將等式兩端的某個變量（如B）都以一個邏輯函數(shù)（如Y=BC）代入，則等式仍然成立。這個規(guī)則就叫代入規(guī)則。二.邏輯代數(shù)的基本規(guī)則（1）代入規(guī)則推廣利用代入規(guī)則可以擴大公式的應用范圍。

理論依據(jù)：任何一個邏輯函數(shù)也和任何一個邏輯變量一樣，只有邏輯0和邏輯1兩種取值。因此，可將邏輯函數(shù)作為一個邏輯變量對待。1/12/202425（2）反演規(guī)則運用反演規(guī)則時，要注意運算的優(yōu)先順序（先括號、再相與，最后或），必要時可加或減擴號。對任何一個邏輯表達式Y(jié)作反演變換，可得Y的反函數(shù)Y。這個規(guī)則叫做反演規(guī)則。

反演變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”

“0”

→

“1”“1”

→“0”，原變量→反變量反變量→原變量1/12/202426對任何一個邏輯表達式Y(jié)作對偶變換，可Y的對偶式Y(jié)ˊ。（3）對偶規(guī)則運用對偶規(guī)則時，同樣應注意運算的優(yōu)先順序，必要時可加或減擴號。對偶變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”1/12/202427

利用對偶定理，可以使要證明和記憶的公式數(shù)目減少一半。

互為對偶式

對偶定理：若等式Y(jié)=W成立，則等式Y(jié)ˊ=Wˊ也成立。

1/12/202428作業(yè)題P321、2.1（1）、（2）、（3）2、2.3（1）、（3）3、2.4（1）、（3）1/12/202429

（5）同或運算所謂同或運算，是指兩個輸入變量取值相同時輸出為1，取值不相同時輸出為0。

表1-12同或邏輯的真值表

“相同為1，相異為0”圖1-8同或邏輯的邏輯符號ABY001010100111邏輯表達式：Y=A⊙B=AB+AB=A⊕B

式中符號“⊙”表示同或運算。

1/12/2024302.2邏輯函數(shù)的表示方法

一邏輯函數(shù)

二邏輯函數(shù)的描述

1/12/2024311.邏輯函數(shù)

輸入邏輯變量和輸出邏輯變量之間的函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)，寫作

Y=F(A、B、C、D……)

A、B、C、D為有限個輸入邏輯變量；

F為有限次邏輯運算（與、或、非）的組合。表示邏輯函數(shù)的方法有：真值表、邏輯函數(shù)表達式、邏輯圖和卡諾圖。1/12/202432

真值表是將輸入邏輯變量的所有可能取值與相應的輸出變量函數(shù)值排列在一起而組成的表格。

1個輸入變量有0和1兩種取值，

n個輸入變量就有2n個不同的取值組合。例：邏輯函數(shù)Y=AB+BC+AC表1-11邏輯函數(shù)的真值表

ABCY00000010010001111000101111011111三個輸入變量，八種取值組合2.真值表ABBCAC1/12/202433ABCY00000010010001111000101111011111真值表的特點：①唯一性;②按自然二進制遞增順序排列（既不易遺漏，也不會重復）。③n個輸入變量就有2n個不同的取值組合。

1/12/202434例：控制樓梯照明燈的電路。

兩個單刀雙擲開關(guān)A和B分別裝在樓上和樓下。無論在樓上還是在樓下都能單獨控制開燈和關(guān)燈。設(shè)燈為L，L為1表示燈亮，L為0表示燈滅。對于開關(guān)A和B，用1表示開關(guān)向上扳，用0表示開關(guān)向下扳。表1-14控制樓梯照明燈的電路的真值表ABL001010100111圖1-9控制樓梯照明燈的電路1/12/2024353.邏輯表達式

按照對應的邏輯關(guān)系，把輸出變量表示為輸入變量的與、或、非三種運算的組合，稱之為邏輯函數(shù)表達式（簡稱邏輯表達式）。由真值表可以方便地寫出邏輯表達式。方法為：①找出使輸出為1的輸入變量取值組合；②取值為1用原變量表示，取值為0的用反變量表示，則可寫成一個乘積項；③將乘積項相加即得。

ABL001010100111L=AB+ABABAB1/12/2024364.邏輯圖

用相應的邏輯符號將邏輯表達式的邏輯運算關(guān)系表示出來，就可以畫出邏輯函數(shù)的邏輯圖。ABL001010100111L=AB+AB圖1-10圖1-9電路的邏輯圖1/12/2024372.3邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法2.3.2具體的代數(shù)化簡法

2.3.1化簡的意義與標準1/12/2024382.3.1

化簡的意義與標準（1）化簡的意義

例：用非門和與非門實現(xiàn)邏輯函數(shù)

解：直接將表達式變換成與非－與非式：

可見，實現(xiàn)該函數(shù)需要用兩個非門、四個兩輸入端與非門、一個五輸入端與非門。電路較復雜?！?×4×1兩次求反反演律1/12/202439若將該函數(shù)化簡并作變換：

可見，實現(xiàn)該函數(shù)需要用兩個非門和一個兩輸入端與非門即可。電路很簡單?！?×11/12/202440（2）邏輯函數(shù)的多種表達式形式與-或表達式與非-與非表達式

或-與非表達式

或非-或表達式

兩次求反并用反演律反演律反演律1/12/202441（2）邏輯函數(shù)的多種表達式形式（續(xù)）或-與表達式或非-或非表達式

與-或非表達式

與非-與表達式

1/12/202442

由以上分析可知，邏輯函數(shù)有很多種表達式形式，但形式最簡潔的是與或表達式，因而也是最常用的。

（3）邏輯函數(shù)的最簡標準由于與或表達式最常用，因此只討論最簡與或表達式的最簡標準。

最簡與或表達式為：①與項（乘積項）的個數(shù)最少；②每個與項中的變量最少。1/12/2024432.3.2具體的代數(shù)化簡法

反復利用邏輯代數(shù)的基本公式、常用公式和運算規(guī)則進行化簡，又稱為代數(shù)化簡法。必須依賴于對公式和規(guī)則的熟練記憶和一定的經(jīng)驗、技巧。1/12/202444

（1）代入規(guī)則

在任何一個邏輯等式（如F＝W）中，如果將等式兩端的某個變量（如B）都以一個邏輯函數(shù)（如Y=BC）代入，則等式仍然成立。這個規(guī)則就叫代入規(guī)則。

在公式化簡中大量應用！需靈活掌握。最常使用，特別需要熟練記憶！1/12/202445

（2）反演規(guī)則－便于實現(xiàn)反函數(shù)。（3）對偶規(guī)則－使公式的應用范圍擴大一倍，使公式的記憶量減小一倍。反演變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”，原變量→反變量反變量→原變量對偶變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”1/12/202446例1-2化簡函數(shù)解：

例化簡函數(shù)解：代入規(guī)則

（1）并項法利用公式A+A=1或公式AB+AB=A進行化簡，通過合并公因子，消去變量。

或：代入規(guī)則1/12/202447

（2）吸收法利用公式A+AB=A進行化簡，消去多余項。

例1-3化簡函數(shù)解：

例化簡函數(shù)解：1/12/202448例1-4化簡函數(shù)解：例化簡函數(shù)解：

（3）消去法利用公式A+AB=A＋B進行化簡，消去多余項。1/12/202449例1-5化簡函數(shù)解：

（4）配項法在適當?shù)捻椗渖螦+A=1進行化簡。1/12/202450例1-5化簡函數(shù)解2：

解1得：問題：函數(shù)Y的結(jié)果不一樣，哪一個解正確呢？

答案都正確!最簡結(jié)果的形式是一樣的，都為三個與項，每個與項都為兩個變量。表達式不唯一！1/12/202451例化簡函數(shù)解：

（5）添加項法利用公式AB+AC+BC=AB＋AC，先添加一項BC，然后再利用BC進行化簡，消去多余項。1/12/202452下面舉一個綜合運用的例子。解：1/12/202453

公式化簡法評價：特點：目前尚無一套完整的方法，能否以最快的速度進行化簡，與我們的經(jīng)驗和對公式掌握及運用的熟練程度有關(guān)。優(yōu)點：變量個數(shù)不受限制。缺點：結(jié)果是否最簡有時不易判斷。

下次課將介紹與公式化簡法優(yōu)缺點正好互補的卡諾圖化簡法。當變量個數(shù)超過4時人工進行卡諾圖化簡較困難，但它是一套完整的方法，只要按照相應的方法就能以最快的速度得到最簡結(jié)果。1/12/2024542.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2.4.1最小項及最小項表達式

2.4.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)2.4.3卡諾圖化簡法

2.4.4含有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡

1/12/2024552.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

公式化簡法評價：優(yōu)點：變量個數(shù)不受限制。缺點：目前尚無一套完整的方法，結(jié)果是否最簡有時不易判斷。

利用卡諾圖可以直觀而方便地化簡邏輯函數(shù)。它克服了公式化簡法對最終化簡結(jié)果難以確定等缺點?？ㄖZ圖是按一定規(guī)則畫出來的方框圖，是邏輯函數(shù)的圖解化簡法，同時它也是表示邏輯函數(shù)的一種方法。卡諾圖的基本組成單元是最小項，所以先討論一下最小項及最小項表達式。

1/12/2024562.4.1最小項及最小項表達式

（1）最小項

具備以上條件的乘積項共八個，我們稱這八個乘積項為三變量A、B、C的最小項。

設(shè)A、B、C是三個邏輯變量，若由這三個邏輯變量按以下規(guī)則構(gòu)成乘積項：①每個乘積項都只含三個因子，且每個變量都是它的一個因子；②每個變量都以反變量(A、B、C)或以原變量(A、B、C)的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。

AB是三變量函數(shù)的最小項嗎？ABBC是三變量函數(shù)的最小項嗎？

推廣：一個變量僅有原變量和反變量兩種形式，因此N個變量共有2N個最小項。1/12/202457

最小項的定義:對于N個變量，如果P是一個含有N個因子的乘積項，而且每一個變量都以原變量或者反變量的形式，作為一個因子在P中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，那么就稱P是這N個變量的一個最小項。表1-17三變量最小項真值表

1/12/202458（2）最小項的性質(zhì)

①對于任意一個最小項，只有一組變量取值使它的值為1，而變量取其余各組值時，該最小項均為0；②任意兩個不同的最小項之積恒為0；③變量全部最小項之和恒為1。1/12/202459

最小項也可用“mi”表示，下標“i”即最小項的編號。編號方法：把最小項取值為1所對應的那一組變量取值組合當成二進制數(shù)，與其相應的十進制數(shù)，就是該最小項的編號。

表1-18三變量最小項的編號表

1/12/202460

（3）最小項表達式

任何一個邏輯函數(shù)都可以表示為最小項之和的形式——標準與或表達式。而且這種形式是惟一的，就是說一個邏輯函數(shù)只有一種最小項表達式。例1-7將Y=AB+BC展開成最小項表達式。解：或：1/12/202461例14寫出三變量函數(shù)的最小項表達式。解利用摩根定律將函數(shù)變換為與或表達式，然后展開成最小項之和形式。1/12/2024622.4.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

（1）卡諾圖及其構(gòu)成原則

卡諾圖是把最小項按照一定規(guī)則排列而構(gòu)成的方框圖。構(gòu)成卡諾圖的原則是：

①N變量的卡諾圖有2N個小方塊（最小項）；

②最小項排列規(guī)則：幾何相鄰的必須邏輯相鄰。

邏輯相鄰：兩個最小項,只有一個變量的形式不同,其余的都相同。邏輯相鄰的最小項可以合并。

幾何相鄰的含義：一是相鄰——緊挨的；二是相對——任一行或一列的兩頭；三是相重——對折起來后位置相重。在五變量和六變量的卡諾圖中，用相重來判斷某些最小項的幾何相鄰性，其優(yōu)點是十分突出的。1/12/202463圖1-11三變量卡諾圖的畫法

（2）卡諾圖的畫法首先討論三變量（A、B、C）函數(shù)卡諾圖的畫法。①3變量的卡諾圖有23個小方塊；②幾何相鄰的必須邏輯相鄰：變量的取值按00、01、11、10的順序（循環(huán)碼）排列。相鄰相鄰1/12/202464圖1-12四變量卡諾圖的畫法相鄰相鄰不相鄰

正確認識卡諾圖的“邏輯相鄰”：上下相鄰，左右相鄰，并呈現(xiàn)“循環(huán)相鄰”的特性，它類似于一個封閉的球面，如同展開了的世界地圖一樣。對角線上不相鄰。1/12/202465

（1）從真值表畫卡諾圖根據(jù)變量個數(shù)畫出卡諾圖，再按真值表填寫每一個小方塊的值（0或1）即可。需注意二者順序不同。

例1-8已知Y的真值表，要求畫Y的卡諾圖。表1-19邏輯函數(shù)Y的真值表ABCY00000011010101101001101011001111圖1-20例1-8的卡諾圖1/12/202466

（2）從最小項表達式畫卡諾圖

把表達式中所有的最小項在對應的小方塊中填入1，其余的小方塊中填入0。例1-9畫出函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡諾圖。

圖1-14例1-9的卡諾圖1/12/202467

（3）從與－或表達式畫卡諾圖把每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的的公因子）所對應的小方塊都填上1，剩下的填0，就可以得到邏輯函數(shù)的卡諾圖。1111AB＝11

例已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，畫卡諾圖。最后將剩下的填01+1ACD=1011ABCD=01111/12/202468

（4）從一般形式表達式畫卡諾圖

先將表達式變換為與或表達式，則可畫出卡諾圖。

1/12/202469練習：

解：（1）利用摩根定律去掉非號，直到最后得到一個與或表達式，即

（2）根據(jù)與或表達式畫出卡諾圖，如下圖所示。1/12/2024701/12/202471

（1）卡諾圖中最小項合并的規(guī)律合并相鄰最小項，可消去變量。合并兩個最小項，可消去一個變量；合并四個最小項，可消去兩個變量；合并八個最小項，可消去三個變量。合并2N個最小項，可消去N個變量。2.4.3卡諾圖化簡法

由于卡諾圖兩個相鄰最小項中，只有一個變量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相鄰最小項，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一個或多個變量，從而使邏輯函數(shù)得到簡化。

1/12/202472圖1-15兩個最小項合并

m3m11BCD1/12/202473圖1-16四個最小項合并

1/12/202474圖1-17八個最小項合并1/12/202475

（2）利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

A．基本步驟：

①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖；②合并相鄰最小項（圈組）；③從圈組寫出最簡與或表達式。

關(guān)鍵是能否正確圈組。

B．正確圈組的原則①必須按2、4、8、2N的規(guī)律來圈取值為1的相鄰最小項；②每個取值為1的相鄰最小項至少必須圈一次，但可以圈多次；③圈的個數(shù)要最少（與項就少），并要盡可能大（消去的變量就越多）。1/12/202476

C．從圈組寫最簡與或表達式的方法：

①將每個圈用一個與項表示

圈內(nèi)各最小項中互補的因子消去，相同的因子保留，相同取值為1用原變量，相同取值為0用反變量；

②將各與項相或，便得到最簡與或表達式。1/12/202477

例1-10用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)

解：相鄰A1/12/202478相鄰BCA1/12/202479BCABD1/12/202480

例1-11化簡圖示邏輯函數(shù)。解：多余的圈112233441/12/202481

圈組技巧(防止多圈組的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一種圈法的1；③最后圈大圈；④檢查：每個圈中至少有一個1未被其它圈圈過。1/12/202482圖1.18例19卡諾圖化簡過程例19化簡

解化簡步驟如下：①函數(shù)的卡諾圖如圖1.17所示，“0”可以不填。②畫卡諾圈：如圖1.17所示1/12/202483

③按消去不同、保留相同的方法寫出邏輯表達式。

例20化簡

Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,4,5,8,10,11)

解（1）畫出函數(shù)的卡諾圖,如圖1.19所示。

(2)按合并最小項的規(guī)律可畫出三個卡諾圈，如圖1.18所示。

(3)寫出化簡后的邏輯表達式

1/12/202484

圖1.19例20的卡諾圖

1/12/2024852.4.4具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡

①無關(guān)項的概念

對應于輸入變量的某些取值下，輸出函數(shù)的值可以是任意的(隨意項、任意項)，或者這些輸入變量的取值根本不會（也不允許）出現(xiàn)(約束項)，通常把這些輸入變量取值所對應的最小項稱為無關(guān)項或任意項，在卡諾圖中用符號“×”表示，在標準與或表達式中用∑d（）表示。例：當8421BCD碼作為輸入變量時，禁止碼1010～1111這六種狀態(tài)所對應的最小項就是無關(guān)項。

1/12/202486

②具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡

因為無關(guān)項的值可以根據(jù)需要取0或取1，所以在用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)時，充分利用無關(guān)項，可以使邏輯函數(shù)進一步得到簡化。1/12/202487

例1-12設(shè)ABCD是十進制數(shù)X的二進制編碼，當X≥5時輸出Y為1，求Y的最簡與或表達式。表1-20例1-12的真值表

XABCDY00

000010

001020

010030

011040

100050

101160

110170

111181

000191

0011/1010×/1011×/1100×/1101×/1110×/1111×解：列真值表，見表1-20所示。

畫卡諾圖并化簡。

1/12/202488圖1-20例1-12的卡諾圖

充分利用無關(guān)項化簡后得到的結(jié)果要簡單得多。注意：當圈組后，圈內(nèi)的無關(guān)項已自動取值為1，而圈外無關(guān)項自動取值為0。利用無關(guān)項化簡結(jié)果為：Y＝A＋BD＋BC1/12/202489

例1-13化簡邏輯函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(1,2,5,6,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)式中d表示無關(guān)項。圖1-21例1-13的卡諾圖

解：畫函數(shù)的卡諾圖并化簡。結(jié)果為：Y＝CD＋CD

1/12/202490例1-14十字路口的交通信號燈,紅、綠、黃燈分別用A、B、C來表示。燈亮用1來表示，燈滅用0來表示。車輛通行狀態(tài)用Y來表示，停車時Y為0，通車時Y為1。用卡諾圖化簡此邏輯函數(shù)。解：

(1)在實際交通信號燈工作時，不可能有兩個或兩個以上的燈同時亮(燈全滅時,允許車輛感到安全時可以通行)。根據(jù)題目要求列出真值表，如表1.13所示。

(2)根據(jù)真值表畫卡諾圖，如圖1.21所示。1/12/202491表1.13例1-14的真值表ABCY000001010011100101110111101×0×××1/12/202492

圖1.22例24的卡諾圖

(3)畫卡諾圈合并最小項,其中約束項可以當作0或1,目的是要得到最簡的結(jié)果。

1/12/202493邏輯代數(shù)應用舉例：例1：給定條件：A從來不說話；B只有A在場時才說話；C在任何情況下甚至一個人時也說話；D只有C在場時才說話。問房中沒有人說話的條件。設(shè)：沒人說話時，輸出為1。對變量（A，B，C，D）而言，不在場時為0，在場時為1。列真值表：1/12/202494

ABCDY0000000100