數(shù)學(xué)分析選講

河南省“十四五”普通高等教育規(guī)劃教材

數(shù)學(xué)分析選講

主編郝涌

副主編王玉磊李金偉李倩

別瀟杜金姬苑倩倩

內(nèi)容簡(jiǎn)介

本書對(duì)數(shù)學(xué)分析的實(shí)數(shù)與實(shí)函數(shù)數(shù)列的極限一元函數(shù)的極限一元函數(shù)的連續(xù)

、、、

性導(dǎo)數(shù)與微分微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不定積分定積分廣義積分含參量的積

、、、、、、

分?jǐn)?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元

、、、、、

函數(shù)微分學(xué)重積分及曲線積分與曲面積分等重要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了系統(tǒng)的講解和辨析對(duì)

、,

近年來(lái)一些重點(diǎn)高校的典型考研試題進(jìn)行了獨(dú)到的分析和討論將數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容按

,

知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合使得整個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)清晰明了全書敘述簡(jiǎn)明扼要重點(diǎn)突出方法

,。,,

典型

。

本書適合作為普通高等學(xué)校數(shù)學(xué)類各專業(yè)的考研輔導(dǎo)教材也可作為理工科學(xué)生學(xué)

,

習(xí)數(shù)學(xué)分析高等數(shù)學(xué)課程的輔助教材

“”“”。

圖書在版編目CIP數(shù)據(jù)

()

數(shù)學(xué)分析選講郝涌主編版北京中國(guó)鐵道

/.—2.—:

出版社有限公司

,2022.9

河南省十四五普通高等教育規(guī)劃教材

“”

ISBN978-7-113-29351-2

數(shù)郝數(shù)學(xué)分析高等學(xué)校教材

Ⅰ.①…Ⅱ.①…Ⅲ.①--

Ⅳ.①O17

中國(guó)版本圖書館數(shù)據(jù)核字第號(hào)

CIP(2022)111698

書名:數(shù)學(xué)分析選講

作者:郝涌

策劃:韓從付編輯部電話:

(010)63549508

責(zé)任編輯:陸慧萍徐盼欣

封面設(shè)計(jì):付巍

封面制作:劉穎

責(zé)任校對(duì):孫玫

責(zé)任印制:樊啟鵬

出版發(fā)行:中國(guó)鐵道出版社有限公司北京市西城區(qū)右安門西街號(hào)

(100054,8)

網(wǎng)址::

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印刷:三河市興博印務(wù)有限公司

版次:年月第版年月第版年月第次印刷

202011202292202291

開本:印張:字?jǐn)?shù):千

787mm×1092mm1/1620460

書號(hào):

ISBN978-7-113-29351-2

定價(jià):元

54.00

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凡購(gòu)買鐵道版圖書如有印制質(zhì)量問題請(qǐng)與本社教材圖書營(yíng)銷部聯(lián)系調(diào)換電話

,,。:(010)63550836

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:(010)63549461

根據(jù)目前我國(guó)高等教育的形勢(shì),越來(lái)越多的本科畢業(yè)生選擇了考研。

“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)專業(yè)考研的必考科目,同時(shí)它也包含了理工科研究生招生考試

中“高等數(shù)學(xué)”的主要內(nèi)容。在“考研熱”“考研難”的浪潮下,高校師生越來(lái)越迫切希望

有一部專門用于考研輔導(dǎo)的優(yōu)秀教材面世。

編者根據(jù)數(shù)十年考研輔導(dǎo)課的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與體會(huì)編寫了本書。自年月出版以

20201

來(lái),受到了廣大讀者的歡迎,并于年月獲批河南省“十四五”普通高等教育規(guī)劃

202012

教材。為了保證圖書質(zhì)量,編寫組經(jīng)過多次研討,結(jié)合使用過程中發(fā)現(xiàn)的一些可以繼續(xù)

完善的地方,最終確定再版的修訂方案。本次修訂的主要工作有:

()更正了書中的計(jì)算和證明中出現(xiàn)的錯(cuò)誤;

1

()第講中,刪去了例原來(lái)的證明方法,給出了新的證明;

233.6

()第講中,刪去了勒讓德多項(xiàng)式的相關(guān)內(nèi)容;

38

()第講中,刪去了例原來(lái)的求解方法,給出了更為簡(jiǎn)便的求解方法;

41717.17

()對(duì)部分例題進(jìn)行了適當(dāng)增減,并補(bǔ)充了一些習(xí)題及習(xí)題參考答案。

5

本書共講,每講都附有適當(dāng)數(shù)量的練習(xí)題,大約需用學(xué)時(shí)。全書主要特點(diǎn)

1772

包括:

()知識(shí)結(jié)構(gòu)的整體性。本書有別于數(shù)學(xué)分析教材,對(duì)知識(shí)點(diǎn)按塊分類,進(jìn)行歸納、

1

比較,便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,總結(jié)經(jīng)驗(yàn)。

()知識(shí)結(jié)構(gòu)的聯(lián)系性。數(shù)學(xué)分析的考研題不僅涉及本課程的知識(shí)點(diǎn),還常常涉及

2

其他相關(guān)科目的知識(shí),如實(shí)變函數(shù)、泛函分析、復(fù)變函數(shù)、微分方程等,因此,本書根據(jù)需

要對(duì)數(shù)學(xué)分析的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了適當(dāng)?shù)耐卣埂?/p>

()強(qiáng)調(diào)對(duì)基本概念的理解和辨析。

3

()專題性。本書對(duì)許多重要的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行了專題性的討論。

4

()注重解題方法的分析與創(chuàng)新。

5

()力求簡(jiǎn)明扼要。本書略去了數(shù)學(xué)分析教材中詳細(xì)講解的一般知識(shí)點(diǎn),去粗取

6

精,側(cè)重基本概念的分析和解題方法的討論,努力啟發(fā)讀者思維。

本書不僅能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解及其對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)框架的整體認(rèn)識(shí),而且能

大大提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力,適合作為普通高等學(xué)校數(shù)學(xué)類各專業(yè)的考研

輔導(dǎo)教材,也可作為理工科學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)分析”“高等數(shù)學(xué)”課程的輔助教材。

數(shù)學(xué)分析選講

參加本書編寫的教師都長(zhǎng)期工作在教學(xué)第一線,具有豐富的經(jīng)驗(yàn)。本書由郝涌任

主編,由王玉磊、李金偉、李倩、別瀟、杜金姬、苑倩倩任副主編。具體編寫分工如下:

第講由李倩編寫,第講由別瀟編寫,第講由苑倩倩編寫,第講由

1~34~67~910~12

李金偉編寫,第講由杜金姬編寫,第、講由王玉磊編寫。全書由郝涌統(tǒng)稿

13~151617

定稿。

衷心感謝中國(guó)鐵道出版社有限公司在本書出版過程中給予的支持和幫助,同時(shí)還

要感謝廣大讀者在閱讀和使用初版過程中提出的寶貴意見!

編者

年月

20224

Ⅱ

第1講實(shí)數(shù)與實(shí)函數(shù)…………………

1

實(shí)數(shù)及實(shí)函數(shù)的基本概念………

1.11

實(shí)數(shù)…………

1.1.11

實(shí)數(shù)的性質(zhì)…………………

1.1.21

關(guān)于實(shí)數(shù)點(diǎn)集的一些重要概念……………

1.1.32

實(shí)函數(shù)………………………

1.1.45

實(shí)數(shù)及實(shí)函數(shù)的典型問題及討論………………

1.26

習(xí)題……………………

9

第2講數(shù)列的極限……………………

11

數(shù)列極限的基本概念…………

2.111

數(shù)列收斂與發(fā)散的定義…………………

2.1.111

數(shù)列收斂的條件…………

2.1.212

求數(shù)列極限的方法……………

2.214

利用單調(diào)有界原理………

2.2.114

利用迫斂法則……………

2.2.216

利用柯西準(zhǔn)則……………

2.2.316

利用施篤茲定理…………

2.2.417

利用特殊極限……………

2.2.518

利用定積分………………

2.2.618

利用級(jí)數(shù)…………………

2.2.719

轉(zhuǎn)換為函數(shù)的極限………

2.2.820

各種方法的綜合應(yīng)用……………………

2.2.921

習(xí)題……………………

22

第3講一元函數(shù)的極限………………

24

一元函數(shù)極限的基本概念……………………

3.124

一元函數(shù)極限的類型和極限定義………

3.1.124

一元函數(shù)極限存在的條件………………

3.1.224

一元函數(shù)極限的性質(zhì)……………………

3.1.325

Ⅰ

數(shù)學(xué)分析選講

無(wú)窮小量與無(wú)窮大量……………………

3.1.425

關(guān)于函數(shù)極限的典型例題及方法……………

3.226

利用定義…………………

3.2.126

利用雙側(cè)極限……………

3.2.229

利用特殊極限……………

3.2.329

利用無(wú)窮小量……………

3.2.430

利用泰勒展式……………

3.2.530

利用洛必達(dá)法則…………

3.2.631

綜合方法的應(yīng)用…………

3.2.732

習(xí)題……………………

33

第4講一元函數(shù)的連續(xù)性…………

35

一元函數(shù)的連續(xù)與間斷………

4.135

函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性……………………

4.1.135

函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性…………………

4.1.236

關(guān)于函數(shù)連續(xù)性的問題討論…………………

4.236

利用定義討論連續(xù)性……………………

4.2.136

關(guān)于連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的討論……………

4.2.240

關(guān)于一致連續(xù)性的討論…………………

4.2.343

習(xí)題……………………

47

第5講導(dǎo)數(shù)與微分……………………

48

導(dǎo)數(shù)與微分的基本概念………

5.148

可導(dǎo)與導(dǎo)數(shù)………………

5.1.148

可微與微分………………

5.1.249

關(guān)于導(dǎo)數(shù)與微分的一些問題討論……………

5.251

用導(dǎo)數(shù)的定義證明問題…………………

5.2.151

導(dǎo)函數(shù)的特性……………

5.2.252

導(dǎo)數(shù)與微分的計(jì)算………

5.2.353

習(xí)題……………………

58

第6講微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用………………

60

微分中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本概念………

6.160

微分中值定理……………

6.1.160

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用………………

6.1.263

微分中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的典型問題……

6.266

Ⅱ

目錄

有關(guān)中值定理問題的證明技巧…………

6.2.166

凸函數(shù)及其特性…………

6.2.272

習(xí)題……………………

78

第7講不定積分………………………

80

不定積分的概念………………

7.180

原函數(shù)……………………

7.1.180

不定積分…………………

7.1.280

不定積分的幾個(gè)問題討論……………………

7.284

原函數(shù)的存在問題………

7.2.184

求解不定積分的技巧……………………

7.2.285

習(xí)題……………………

89

第8講定積分…………

91

定積分的概念…………………

8.191

定積分定義………………

8.1.191

可積條件…………………

8.1.291

可積函數(shù)類………………

8.1.392

定積分性質(zhì)………………

8.1.494

定積分的計(jì)算……………

8.1.598

定積分中的問題討論…………

8.2102

用定積分的定義證明問題………………

8.2.1102

柯西施瓦茨不等式系列………………

8.2.2-106

函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題……………………

8.2.3107

雜例………………………

8.2.4108

習(xí)題…………………

112

第9講廣義積分……………………

114

廣義積分的基本概念…………

9.1114

無(wú)窮區(qū)間的廣義積分……………………

9.1.1114

無(wú)界函數(shù)的廣義積分……………………

9.1.2116

廣義積分中的問題討論………

9.2118

廣義積分?jǐn)可⒌呐袆e……………………

9.2.1118

被積函數(shù)趨于零的問題…………………

9.2.2122

廣義積分的計(jì)算…………

9.2.3124

習(xí)題…………………

129

Ⅲ

數(shù)學(xué)分析選講

第10講含參量的積分………………

130

含參量積分的基本概念……………………

10.1130

含參量的正常積分……………………

10.1.1130

含參量的廣義積分……………………

10.1.2132

含參量廣義積分重點(diǎn)問題討論……………

10.2135

關(guān)于一致收斂問題……………………

10.2.1135

含參量廣義積分的性質(zhì)………………

10.2.2136

利用含參量積分的性質(zhì)計(jì)算廣義積分………………

10.2.3138

習(xí)題…………………………

141

第11講數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)……………………

142

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念………

11.1142

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般性概念………………

11.1.1142

正項(xiàng)級(jí)數(shù)………………

11.1.2143

一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性…………………

11.1.3145

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一些重要問題討論……………

11.2146

關(guān)于斂散的概念問題…………………

11.2.1146

關(guān)于級(jí)數(shù)斂散的判別問題……………

11.2.2151

習(xí)題…………………

155

第12講函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)……………………

156

函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與一致收斂…………………

12.1156

函數(shù)列…………………

12.1.1156

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)……………

12.1.2159

函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的主要問題討論……

12.2162

關(guān)于一致收斂的判定…………………

12.2.1162

關(guān)于極限函數(shù)或和函數(shù)的性質(zhì)………

12.2.2169

習(xí)題…………………

171

第13講冪級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)……………………

173

冪級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的一般概念…………

13.1173

冪級(jí)數(shù)…………………

13.1.1173

傅里葉級(jí)數(shù)……………

13.1.2177

冪級(jí)數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)主要問題討論………

13.2179

一致收斂及其他性質(zhì)的證明問題……

13.2.1179

求收斂域和函數(shù)及展成冪級(jí)數(shù)或傅里葉級(jí)數(shù)問題…

13.2.2、184

Ⅳ

目錄

習(xí)題…………………

189

第14講多元函數(shù)的極限與連續(xù)…………………

190

多元函數(shù)極限與連續(xù)的基本概念…………

14.1190

關(guān)于平面點(diǎn)集…………

14.1.1190

二元函數(shù)及極限………

14.1.2192

二元函數(shù)的連續(xù)性……………………

14.1.3195

多元函數(shù)極限與連續(xù)一些主要問題討論…………………

14.2197

對(duì)一類在原點(diǎn)處為0型的函數(shù)其極限存在與否的判定…………

14.2.1“”197

0

關(guān)于連續(xù)性問題的討論………………

14.2.2198

二元函數(shù)連續(xù)與關(guān)于各變?cè)謩e連續(xù)問題…………

14.2.3199

雜例……………………

14.2.4201

習(xí)題…………………………

202

第15講多元函數(shù)微分學(xué)……………

203

多元函數(shù)微分的基本概念…………………

15.1203

偏導(dǎo)與全微分…………

15.1.1203

偏導(dǎo)和全微分的計(jì)算…………………

15.1.2205

隱函數(shù)和隱函數(shù)組……………………

15.1.3208

偏導(dǎo)與全微分的應(yīng)用…………………

15.1.4211

多元函數(shù)微分學(xué)中重點(diǎn)問題討論…………

15.2217

可微偏導(dǎo)連續(xù)及偏導(dǎo)函數(shù)連續(xù)之間關(guān)系…………

15.2.1、、217

關(guān)于求偏導(dǎo)及微分……………………

15.2.2218

變量代換化簡(jiǎn)偏微分方程……………

15.2.3221

混合偏導(dǎo)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)問題………

15.2.4222

應(yīng)用問題………………

15.2.5223

習(xí)題…………………

227

第16講重積分………………………

229

重積分的基本概念…………

16.1229

二重積分………………

16.1.1229

三重積分………………

16.1.2235

重積分的應(yīng)用…………

16.1.3238

重積分的一些問題討論……………………

16.2242

關(guān)于重積分計(jì)算的典型例題…………

16.2.1242

Ⅴ

數(shù)學(xué)分析選講

重積分的證明問題……………………

16.2.2245

習(xí)題…………………

248

第17講曲線積分與曲面積分……………………

250

曲線積分與曲面積分的概念………………

17.1250

第一型曲線積分………

17.1.1250

第二型曲線積分………

17.1.2252

第一型曲面積分………

17.1.3