專題03 實數(shù)（知識串講+熱考題型+真題訓練）（原卷版）

專題03實數(shù)【考點1：平方根的】【考點2：利用開平方解方程】【考點3：算術平方根的概念及應用】【考點4：算術平方根的非負性】【考點5：立方根的概念及性質】【考點6：開方運算中小數(shù)點移動規(guī)律】【考點7：平方根與立方根的綜合】【考點8：立方根的應用】【考點9：無理數(shù)的概念】【考點10：實數(shù)的分類和性質】【考點11：實數(shù)與數(shù)軸的關系】【考點12：估算無理數(shù)范圍】【考點13：無理數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分問題】【考點14：實數(shù)大小比較】【考點15：實數(shù)的運算】知識點1：平方根1.算術平方根的定義如果一個正數(shù)的平方等于，即,那么這個正數(shù)叫做的算術平方根（規(guī)定0的算術平方根還是0）；的算術平方根記作，讀作“的算術平方根”，叫做被開方數(shù).注意：當式子有意義時，一定表示一個非負數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運算.(≥0)的平方根的符號表達為，其中是的算術平方根.知識點2：平方根和算術平方根的區(qū)別與聯(lián)系1．區(qū)別：（1）定義不同；（2）結果不同：和2．聯(lián)系：（1）平方根包含算術平方根；（2）被開方數(shù)都是非負數(shù)；（3）0的平方根和算術平方根均為0．注意：（1）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，其中正的那個叫它的算術平方根；負數(shù)沒有平方根．（2）正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，根據(jù)它的算術平方根可以立即寫出它的另一個平方根.因此，我們可以利用算術平方根來研究平方根.知識點3：平方根的性質知識點4：平方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動2位，它的算術平方根的小數(shù)點就相應地向右或者向左移動1位.例如：，，，.知識點5：立方根的定義1.定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.注意：一個數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運算.2.立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，0的立方根是0.注意：任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)的符號相同.兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).知識點6：立方根的性質注意：第一個公式可以將求負數(shù)的立方根的問題轉化為求正數(shù)的立方根的問題.知識點7：立方根小數(shù)點位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點就相應地向右或者向左移動1位.例如，，，，.知識點8：無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).注意：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分數(shù)的形式常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實質不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.知識點9：實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關系分：實數(shù)2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應.數(shù)軸上的任何一個點都對應一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應.知識點10：實數(shù)運算1．注意：有理數(shù)關于絕對值、相反數(shù)的意義同樣適用于實數(shù)。2．運算法則：先算乘方開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的。【考點1：平方根的】1．9的平方根是（）A．±3 B．± C．±9 D．32．一個正數(shù)的兩個平方根分別是2a﹣3和5﹣a，則這個數(shù)是（）A．49 B．25 C．16 D．73．的平方根是（）A．4 B．±4 C．±2 D．24．若a2＝9，b3＝﹣8，且ab＞0，則a﹣b的值為（）A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣1或5【考點2：利用開平方解方程】5．求下列各式中x的值．（1）x2﹣25＝0；（2）（x﹣1）2＝64．6．解方程：（1）25x2﹣49＝0；（2）2（x+1）2﹣49＝1．【考點3：算術平方根的概念及應用】7．4的算術平方根是（）A．±2 B．﹣2 C．2 D．8．整數(shù)100的算術平方根是（）A．10 B．±10 C．100 D．±100【考點4：算術平方根的非負性】9．若，則a+b的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．010．若，則yx的值為（）A．﹣6 B．﹣8 C． D．11．若，則（a+b）2023＝．【考點5：立方根的概念及性質】12．實數(shù)﹣27的立方根是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣913．若一個數(shù)的立方根等于﹣2，則這個數(shù)等于（）A．4 B．8 C．±8 D．﹣814．若，則的值為（）A．﹣5 B．15 C．25 D．5【考點6：開方運算中小數(shù)點移動規(guī)律】15．已知≈0.7937，≈1.7100，那么下列各式正確的是（）A．≈17.100 B．≈7.937 C．≈171.00 D．≈79.3716．如果≈1.333，≈2.872，那么約等于（）A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.133317．已知，，那么約等于（）A．13.11 B．0.1311 C．41.47 D．0.4147【考點7：平方根與立方根的綜合】18．已知實數(shù)a+9的一個平方根是﹣5，2b﹣a的立方根是﹣2．（1）求a、b的值．（2）求2a+b的算術平方根．19．已知7a+1的立方根是，8a+b﹣2的平方根是±2．（1）求a，b的值．（2）求﹣8a+3b+3的平方根．【考點8：算術平方根和立方根的應用】20．一個立方體的體積為64，則這個立方體的棱長的算術平方根為（）A．±4 B．4 C．±2 D．221．某商店出售一種體積為36πcm3的小球，已知球的體積公式為（r為球的半徑），則這種小球的半徑為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm已知一個正方體的體積是1000cm3，現(xiàn)在要在它的8個角上分別截去8個大小相同的小正方體，使截去后余下的體積是488cm3，問截得的每個小正方體的棱長是多少？23．某小區(qū)有一塊面積為196m2的正方形空地，開發(fā)商計劃在此空地上建一個面積為100m2的長方形花壇，使長方形的長是寬的2倍．請你通過計算說明開發(fā)商能否實現(xiàn)這個愿望？（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈7.070）24．有一張面積為81cm2的正方形卡片．（1）該正方形賀卡的邊長為cm；（2）現(xiàn)有一個面積為96cm2的長方形卡袋，長寬之比為4：3，能否將這張卡片不折疊且全部放入此卡袋？請判斷并說明理由．【考點9：無理數(shù)的概念】25．下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A． B．3.14 C． D．026．在，﹣3.14，0，，﹣32，，﹣1.121121112…（每兩個2之間依次多一個1）中，無理數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點10：實數(shù)的分類和性質】27．下面4個數(shù)：，其中是有理數(shù)的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個28．下列說法正確的有（）（1）帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；（2）立方根等于本身的數(shù)是0和1；（3）﹣a一定沒有平方根；（4）實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的；（5）兩個無理數(shù)的差還是無理數(shù)．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個29．計算：|3.14﹣π|＝．30．計算：|3﹣|﹣|﹣2=|．31．的相反數(shù)是．【考點11：實數(shù)與數(shù)軸的關系】32．如圖，數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為（）A．2.2 B．2.3 C． D．33．為了證明數(shù)軸上的點可以表示無理數(shù)，老師給學生設計了如下材料：如圖，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上一點由原點（記為點0）到達點A，點A對應的數(shù)是（）A．π B．3.14 C．﹣π D．﹣3.1434．如圖，在數(shù)軸上點B表示的數(shù)為1，在點B的右側作一個邊長為1的正方形BACD，將對角線BC繞點B逆時針轉動，使對角線的另一端落在數(shù)軸負半軸的點M處，則點M表示的數(shù)是．35．已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點如圖，化簡|a|﹣|a+b|+|c﹣b|＝．36．實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|a+3b|+|a﹣b|的結果為．【考點12：估算無理數(shù)范圍】37．估計3的值在（）A．3到4之間 B．4到5之間 C．5到6之間 D．6到7之間38．若a＜＜b，其中a，b為兩個連續(xù)的整數(shù)，則ba的值為（）A．6 B．8 C．9 D．1239．估算的范圍是（）A． B． C． D．40．若，其中a是正整數(shù)，則a是（）A．1 B．1和2 C．2 D．2和3【考點14：無理數(shù)的整數(shù)和小數(shù)部分問題】41．如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，則a+b﹣＝．42．若的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，則2a﹣b＝．【考點14：實數(shù)大小比較】43．比較大?。海?4．比較大小：（1）4；（2）1．45．比較大小：．【考點15：實數(shù)運算】46．計算：．47．計算：．48．計算：（1）﹣22+×（1﹣）2；（2）﹣|2﹣|﹣．49．計算：|﹣5|．1．4的平方根是（）A．2 B．﹣2 C．16 D．±22．的相反數(shù)是（）A． B．﹣ C．﹣ D．3．如圖，數(shù)軸上A，B兩點分別對應實數(shù)a，b，則下列結論正確的是（）A．a(chǎn)+b＞0 B．a(chǎn)b＞0 C．a(chǎn)﹣b＞0 D．|a|﹣|b|＞04．估算﹣2的值（）A．在1到2之間 B．在2到3之間 C．在3到4之間 D．在4到5之間5．如圖，在數(shù)軸上表示實數(shù)的點可能是（）A．點P B．點Q C．點M D．點N6．的平方根是（）A．4 B．±4 C．2 D．±27．數(shù)軸上表示1，的對應點分別為A，B，點B關于點A的對稱點為C，則點C所表示的數(shù)是（）A．﹣1 B．1﹣ C．2﹣ D．﹣28．下列各數(shù)中，3.14159，，0.131131113…（相鄰兩個3之間1的個數(shù)逐次加1個），﹣π，，，無理數(shù)的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，則a﹣b的值為（）A．2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或12 D．﹣2或﹣1210．比較大小：．（填“＞、＜、或＝”）11．8的立方根是．12．已知a、b為兩個連續(xù)的整數(shù)，且，則a+b＝．13．化簡：||＝．14．若實數(shù)a、b滿足|a+2|，則＝．15．已知一個正數(shù)的平方根是3x﹣2和5x+6，則這個數(shù)是．16．任何實數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]＝4，[]＝1．現(xiàn)對72進行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，這樣對72只需進行3次操作后變?yōu)?，類似的，①對81只需進行次操作后變?yōu)?；②只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是．17．計算：