提優(yōu)專題11 反比例函數(shù)與一次函數(shù)二次函數(shù)的綜合運用（解析版）

專題11反比例函數(shù)與一次函數(shù)二次函數(shù)的綜合運用（解析版）第一部分典例剖析類型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用1．（2021?蓬江區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知正比例函數(shù)y＝kx與反比例函數(shù)y=-8x的圖象交于A，B（﹣2，a）兩點，過原點O的另一條直線l與雙曲線y=kx交于P，Q兩點（Q點在第四象限），若以點A，B，P，Q為頂點的四邊形面積為24，則點P的坐標(biāo)是思路引領(lǐng)：先將B（﹣2，a）代入y=-8x，可得出a＝4，求得點B（﹣2，4），再根據(jù)點A與B關(guān)于原點對稱，得出A點坐標(biāo)，由于雙曲線是關(guān)于原點的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點的四邊形應(yīng)該是平行四邊形，那么△POB的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即6．可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出P點的坐標(biāo)，然后表示出△POB的面積，由于△POB的面積為6，由此可得出關(guān)于P點橫坐標(biāo)的方程，即可求出解：∵B（﹣2，a）在反比例函數(shù)y=-8∴a=-8-2∴點B（﹣2，4），∵點A與B關(guān)于原點對稱，∴A點坐標(biāo)為（2，﹣4），∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點O的中心對稱圖形，∴OP＝OQ，OA＝OB，∴四邊形AQBP是平行四邊形，∵OP＝OQ，OA＝OB，∴S△POA＝S△QOA，S△POB＝S△QOB，S△POB＝S△POA，S△AOQ＝S△BOQ，∴S△POA＝S△QOA＝S△QOB＝S△POB=14S平行四邊形∴S△POB＝S平行四邊形AQBP×14=1設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m（m＜0且m≠﹣2），得P（m，-8過點P、B分別做x軸的垂線，垂足為M、N，∵點P、B在雙曲線上，∴S△POM＝S△BON＝4，若m＜﹣2，如圖1，∵S△BON+S梯形PMNB＝S△POB+S△POM，∴S梯形PMNB＝S△POB＝6．∴12（4-8m）?（﹣2﹣m∴m1＝﹣4，m2＝1（舍去），∴P（﹣4，2）；若﹣2＜m＜0，如圖2，∵S△POM+S梯形BNMP＝S△BOP+S△BON，∴S梯形BNMP＝S△POB＝6．∴12（4-8m）?（m+2解得m1＝﹣1，m2＝4（舍去），∴P（﹣1，8）．∴點P的坐標(biāo)是P（﹣4，2）或P（﹣1，8），故答案為（﹣4，2）或（﹣1，8）．總結(jié)提升：本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)y=kx中k的幾何意義．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解2．（2019?荊州）邊長為1的8個正方形如圖擺放在直角坐標(biāo)系中，直線y＝k1x平分這8個正方形所組成的圖形的面積，交其中兩個正方形的邊于A，B兩點，過B點的雙曲線y=k2x的一支交其中兩個正方形的邊于C，D兩點，連接OC，OD，CD，則S△OCD思路引領(lǐng)：設(shè)A（4，t），利用面積法得到12×4×t＝4+1，解方程得到A（4，52），利用待定系數(shù)法求出直線解析式為y=58x，再確定B（2，54），接著利用待定系數(shù)法確定雙曲線的解析式為y=52x，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出C（54，2），D解：設(shè)A（4，t），∵直線y＝k1x平分這8個正方形所組成的圖形的面積，∴12×4×t＝4+1，解得t∴A（4，52把A（4，52）代入直線y＝k1x得4k1=52，解得k∴直線解析式為y=58當(dāng)x＝2時，y=58x=54，則B（∵雙曲線y=k2x∴k2＝2×5∴雙曲線的解析式為y=5當(dāng)y＝2時，52x=2，解得x=54，則C（當(dāng)x＝3時，y=52x=56，則D∴S△OCD＝3×2-12×3×56-12×2×故答案為11948總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．類型二反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合運用3．（2021秋?賽罕區(qū)校級期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)y=ax與一次函數(shù)y＝﹣cx+A． B． C． D．思路引領(lǐng)：首先根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸的交點可得c＞0，根據(jù)拋物線開口向下可得a＜0，由對稱軸在y軸右邊可得a、b異號，故b＞0，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)與一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系畫出圖象可得答案．解：根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸的交點可得c＞0，根據(jù)拋物線開口向下可得a＜0，由對稱軸在y軸右邊可得a、b異號，故b＞0，則反比例函數(shù)y=a一次函數(shù)y＝﹣cx+b經(jīng)過第一、二、四象限，故選：C．總結(jié)提升：此題主要考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)圖象確定出a、b、c的符號．4．（遂寧中考）如圖，已知拋物線y＝ax2﹣4x+c（a≠0）與反比例函數(shù)y=9x的圖象相交于點B，且B點的橫坐標(biāo)為3，拋物線與y軸交于點C（0，6），A是拋物線y＝ax2﹣4x+c的頂點，P點是x軸上一動點，當(dāng)PA+PB最小時，P點的坐標(biāo)為思路引領(lǐng)：根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后求出點B的坐標(biāo)，從而可以求得二次函數(shù)解析式，然后求出點A的坐標(biāo)，進(jìn)而求得A′的坐標(biāo)，從而可以求得直線A′B的函數(shù)解析式，進(jìn)而求得與x軸的交點，從而可以解答本題．解：作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，連接A′B，則A′B與x軸的交點即為所求，∵拋物線y＝ax2﹣4x+c（a≠0）與反比例函數(shù)y=9x的圖象相交于點B，且B點的橫坐標(biāo)為3，拋物線與y軸交于點C（0，∴點B（3，3），∴a×3解得，a=1c=6∴y＝x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，∴點A的坐標(biāo)為（2，2），∴點A′的坐標(biāo)為（2，﹣2），設(shè)過點A′（2，﹣2）和點B（3，3）的直線解析式為y＝mx+n，2m+n=-23m+n=3，得m=5∴直線A′B的函數(shù)解析式為y＝5x﹣12，令y＝0，則0＝5x﹣12得x=12故答案為：（125，0總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、最短路徑問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．類型三反比例函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)的綜合運用5．（2021?棗莊模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于橫、縱坐標(biāo)相等的點稱為“好點”給出下列函數(shù)①y＝﹣x；②y=2x；③y＝x+2；④y＝x2﹣2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可得x＝y(tǒng)，然后代入每一個解析式進(jìn)行計算即可判斷．解：∵橫、縱坐標(biāo)相等的點稱為“好點”，∴x＝y(tǒng)，∴①x＝﹣x，解得x＝0，所以y＝﹣x圖象中存在“好點”，②x=2x，解得x＝±2，所以y③x＝x+2，此方程無解，所以y＝x+2圖象中不存在“好點”，④x＝x2﹣2x，解得x＝0或x＝3，所以y＝x2﹣2x圖象中存在“好點”，上述圖象中不存在“好點”的函數(shù)個數(shù)為：1，故選：A．總結(jié)提升：本題考查了函數(shù)的概念，根據(jù)題意得出x＝y(tǒng)，然后代入每一個解析式進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．6．（2022?平原縣模擬）在下列函數(shù)圖象上任取不同兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立的是（）A．y＝﹣3x+1 B．y＝﹣x2﹣2x﹣3（x＜1） C．y＝﹣x2+4x+1（x＜0） D．y=-思路引領(lǐng)：根據(jù)各函數(shù)的增減性依次進(jìn)行判斷即可．解：A、∵k＝﹣3＜0，∴y隨x的增大而減小，即當(dāng)x1＞x2時，必有y1＜y2，∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，故A選項不符合；B、∵a＝﹣1＜0，對稱軸為直線x＝﹣1，∴當(dāng)﹣1＜x＜1時，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＜﹣1時y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＜﹣1時，能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立，故B選項不符合；C、∵a＝﹣1＜0，對稱軸為直線x＝2，∴當(dāng)x＜2時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＜0時，能使（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0成立，故C選項符合；D、∵﹣6＜0，∴當(dāng)x＞0或x＜0時，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）不在同一象限時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0不成立，故D選項不符合；故選：C．總結(jié)提升：本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，需要結(jié)合圖象去一一分析，熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（宜昌中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OADB的頂點A，B的坐標(biāo)分別為A（﹣6，0），B（0，4）．過點C（﹣6，1）的雙曲線y=kx（k≠0）與矩形OADB的邊BD交于點（1）填空：OA＝，k＝，點E的坐標(biāo)為；（2）當(dāng)1≤t≤6時，經(jīng)過點M（t﹣1，-12t2+5t-32）與點N（﹣t﹣3，-12t2+3t-72）的直線交y軸于點F，點P是過M，N兩點的拋物線y①當(dāng)點P在雙曲線y=kx上時，求證：直線MN與雙曲線y②當(dāng)拋物線y=-12x2+bx+c與矩形OADB有且只有三個公共點，求③當(dāng)點F和點P隨著t的變化同時向上運動時，求t的取值范圍，并求在運動過程中直線MN在四邊形OAEB中掃過的面積．思路引領(lǐng)：（1）根據(jù)題意將先關(guān)數(shù)據(jù)代入（2）①用t表示直線MN解析式，及b，c，得到P點坐標(biāo)代入雙曲線y=kx解析式，證明關(guān)于②根據(jù)拋物線開口和對稱軸，分別討論拋物線過點B和在BD上時的情況；③由②中部分結(jié)果，用t表示F、P點的縱坐標(biāo)，求出t的取值范圍及直線MN在四邊形OAEB中所過的面積．解：（1）∵A點坐標(biāo)為（﹣6，0）∴OA＝6∵過點C（﹣6，1）的雙曲線y=∴k＝﹣6y＝4時，x=-∴點E的坐標(biāo)為（-32，故答案為：6，﹣6，（-32，（2）①設(shè)直線MN解析式為：y1＝k1x+b1由題意得：-解得k∵拋物線y=-12x2∴-解得b=-1∴拋物線解析式為：y=-12x2﹣x+5t﹣2=-12（x+1）∴頂點P坐標(biāo)為（﹣1，5t-3∵P在雙曲線y=-6∴（5t-32）×（﹣1∴t=此時直線MN解析式為：聯(lián)立y=x+∴8x2+35x+49＝0∵△＝352﹣4×8×48＝1225﹣1536＜0∴直線MN與雙曲線y=-6②當(dāng)拋物線過點B，此時拋物線y=-12x2+bx+c與矩形∴4＝5t﹣2，得t=當(dāng)拋物線的頂點在線段DB上，此時拋物線與矩形OADB有且只有三個公共點∴10t-32=4，得∴t=65或③∵點P的坐標(biāo)為（﹣1，5t-3∴yP＝5t-當(dāng)1≤t≤6時，yP隨t的增大而增大此時，點P在直線x＝﹣1上向上運動∵點F的坐標(biāo)為（0，-1∴yF=-∴當(dāng)1≤t≤4時，隨者yF隨t的增大而增大此時，隨著t的增大，點F在y軸上向上運動∴1≤t≤4當(dāng)t＝1時，直線MN：y＝x+3與x軸交于點G（﹣3，0），與y軸交于點H（0，3）當(dāng)t＝4-3時，直線MN過點A當(dāng)1≤t≤4時，直線MN在四邊形AEBO中掃過的面積為S=總結(jié)提升：本題為二次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，考查了數(shù)形結(jié)合思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想．解題過程中，應(yīng)注意充分利用字母t表示相關(guān)點坐標(biāo)．專題提優(yōu)訓(xùn)練1．（2021春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級月考）下列各曲線中不能表示y是x的函數(shù)是（）A．B． C．D．思路引領(lǐng)：根據(jù)函數(shù)的概念，對于自變量x的每一個值，y都有唯一的值和它對應(yīng)，判斷即可．解：上列曲線中，A、B、D選項，對于自變量x的每一個值，y都有唯一的值和它對應(yīng)，所以A、B、D能表示y是x的函數(shù)，C選項，對于自變量x的每一個值，y不是有唯一的值和它對應(yīng)，所以C不能表示y是x的函數(shù)，故選：C．總結(jié)提升：本題考查了函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．2．（2019秋?蕭山區(qū)期中）已知點A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一個函數(shù)的圖象上，則這個函數(shù)可能是（）A．y＝x B．y=-2x C．y＝x2 D．y＝﹣思路引領(lǐng)：由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在y軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，據(jù)此判斷即可．解：∵點A（1，m），B（2，m﹣n）（n＞0）在同一個函數(shù)的圖象上，∴在y軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，A、對于函數(shù)y＝x，y隨x的增大而增大，故不可能；B、對于函數(shù)y=-2x，圖象位于二、四象限，每個象限內(nèi)y隨C、對于函數(shù)y＝x2，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大，故不可能；D、對于函數(shù)y＝﹣x2，當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小，故有可能；故選：D．總結(jié)提升：考查正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可以采用排除法，直接法得出答案．3．（2022秋?雞西期末）已知一次函數(shù)y＝2x﹣3與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于點P（a﹣2，3），則k＝思路引領(lǐng)：先把P（a﹣2，3）代入y＝2x﹣3，求得P的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．解：∵一次函數(shù)y＝2x﹣3經(jīng)過點P（a﹣2，3），∴3＝2（a﹣2）﹣3，解得a＝5，∴P（3，3），∵點P在反比例函數(shù)y=k∴k＝3×3＝9，故答案為9．總結(jié)提升：本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，求得交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．4．（2022?成華區(qū)模擬）如圖，直線y=3x﹣8交x軸于點A，交y軸于點B，點C是反比例函數(shù)y=kx(x＞0)的圖象上位于直線AB上方的一點，CD∥x軸交AB于點D，CE⊥CD交AB于點E，若AD?BE＝思路引領(lǐng)：過D作DF⊥AO于F，過EG⊥OB于G，則DF∥OB，GE∥AO，設(shè)C（x，y），則GE＝x，DF＝﹣y，由△ADF∽△ABO，可得AD=-233y，由△BEG∽△BAO，可得BE＝2x，再根據(jù)AD?BE＝4，即可得到k＝解：如圖，過D作DF⊥AO于F，過EG⊥OB于G，則DF∥OB，GE∥AO，由直線y=3x﹣8，可得A（833，0），B（0∴AO=833，BO＝8，設(shè)C（x，y），則GE＝x，DF＝﹣y，由△ADF∽△ABO，可得ADAB即AD16∴AD=-23由△BEG∽△BAO，可得BEBA即BE16∴BE＝2x，∵AD?BE＝4，∴-233y×2x∴xy=-3∴k＝xy=-3故答案為：-3總結(jié)提升：本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造相似三角形，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出AD、BE．5．（2022秋?興義市期中）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則一次函數(shù)y＝ax+b和反比例函數(shù)y=cA． B． C． D．思路引領(lǐng)：直接利用二次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限得出a，b，c的取值范圍，進(jìn)而利用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)得出答案．解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，∴a＜0，∵該拋物線對稱軸位于y軸的右側(cè)，∴a、b異號，即b＞0．∵拋物線交y軸的負(fù)半軸，∴c＜0，∴一次函數(shù)y＝ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)y=cx（c≠故選：C．總結(jié)提升：此題主要考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，正確把握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2019秋?龍灣區(qū)期中）如圖，拋物線y＝ax2+4x+c（a≠0）與反比例函數(shù)y=5x的圖象相交于點B，且點B的橫坐標(biāo)為5，拋物線與y軸交于點C（0，6），A是拋物線的頂點，P和Q分別是x軸和y軸上的兩個動點，則AQ+QP+PB的最小值為思路引領(lǐng)：根據(jù)題意求得B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，從而求得頂點A的坐標(biāo)，求得A關(guān)于y軸的對稱點A′（﹣2，10），B點關(guān)于x軸的對稱點B′為（5，﹣1），根據(jù)兩點之間線段最短，即可判斷AQ+QP+PB＝A′B′是AQ+QP+PB的最小值，利用勾股定理求得即可．解：∵點B在反比例函數(shù)y=5x的圖象，且點B的橫坐標(biāo)為∴點B的縱坐標(biāo)為：y=55∴B（5，1），∵拋物線y＝ax2+4x+c（a≠0）與反比例函數(shù)y=5x的圖象相交于點B，與y軸交于點C（0，∴25a+20+c=1c=6，解得a=-1∴拋物線為y＝﹣x2+4x+6，∵y＝﹣x2+4x+6＝﹣（x﹣2）2+10，∴A（2，10），∴A關(guān)于y軸的對稱點A′（﹣2，10），∵B（5，1），∴B點關(guān)于x軸的對稱點B′為（5，﹣1），連接A′B′交x軸于P，交y軸于Q，此時AQ+QP+PB的值最小，即AQ+QP+PB＝A′B′，A′B′=(5+2故AQ+QP+PB的最小值為170．總結(jié)提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，明確AQ+QP+PB＝A′B′是AQ+QP+PB的最小值是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級月考）閱讀材料：在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點稱為“星之點”，例如：點（1，﹣1），（2，﹣2），（2，-2）都是“星之點”，顯然“星之點“有無數(shù)個，我們知道關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式x=-b±b2-4ac2a，故有x兩根之和x1+x2=兩根之積x1x2＝（-b+b2-4ac2a根據(jù)以上信息，回答下列的問題：（1）若點P（-3，m）是反比例函數(shù)y=kx（k（2）函數(shù)y＝4kx+s﹣2（k，s為常數(shù)）的圖象上存在“星之點”嗎？若存在，請求出“星之點”的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a、b是常數(shù)，且a＞0）的圖象上存在兩個“星之點”A（x1，﹣x1），B（x2，﹣x2），且滿足﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2+2b+15748，試求思路引領(lǐng)：（1）由“星之點”定義得到點P坐標(biāo)為（-3，3（2）把“星之點”（x，﹣x）代入函數(shù)解析式，化簡得到關(guān)于x的一元一次方程．討論x的一次項系數(shù)：①若一次項系數(shù)和常數(shù)項都為0，則方程有無數(shù)解，故有無數(shù)個“星之點”；②若一次項系數(shù)為0而常數(shù)項不為0，則方程無解，不存在“星之點”；③若一次項系數(shù)和常數(shù)項均不為0，方程有唯一解，則求得“星之點”坐標(biāo)．（3）把點A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)并化簡，可得x1、x2即為方程ax2+（b+1）x+1＝0的兩個不相等實數(shù)根．根據(jù)韋達(dá)定理可得x1+x2=-b+1a，x1?x2=1a，利用|x1﹣x2|＝2和完全平方公式變形|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1?x2可得a與b的關(guān)系式，化簡得b2+2b＝4a2+4a﹣1＝4（a+12）2﹣2．根據(jù)﹣2≤x1＜2，|x1﹣x2|＝2與x1?x2=1a（a＞0）討論得a＞18解：（1）∵點P（-3，m∴P（