第4屆華杯少年數(shù)學邀請賽決賽

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第二賽試題

1.互為反序的兩個自然數(shù)的積是92565，求這兩個互為反序的自然數(shù)。[5分]

2.某工廠的一個生產(chǎn)小組，生產(chǎn)一批零件，當每個工人在自己原崗位工作時，9小時可完成這項生產(chǎn)任務。如果交換工人A和B的工作崗位，其它工人生產(chǎn)效率不變時，可提前一小時完成這項生產(chǎn)任務；如果交換工人C和D的工作崗位，其它工人生產(chǎn)效率不變時，也可以提前一小時完成這項生產(chǎn)任務。問：如果同時交換A與B，C與D的工作崗位，其它工人生產(chǎn)效率不變，可以提前幾分割完成這項生產(chǎn)任務？[5分]

3.某校學生中，沒有一個學生讀過學校圖書館的所有圖書，又知道圖書館內(nèi)任何兩本書至少被一個同學都讀過，問：能不能找到兩個學生甲、乙和三本書A、B、C，甲讀過A、B，沒讀過C，乙讀過B、C，沒讀過A？說明判斷過程。[5分]

4.有6個棱長分別是3cm，4cm，5cm，的相同的長方體，把它們的某些面染上紅色，使得有的長方體只有一個面是紅色的，有的長方體恰有兩個面是紅色的，有的長方體恰有三個面是紅色的，有的長方體恰有四個面是紅色的，有的長方體恰有五個面是紅色的，還有一個長方體六個面都是紅色的，染色后把所有的長方體分割成棱長為1cm的小正方體，分割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體最多有幾個？[5分]

5.小華玩某種游戲，每局可隨意玩若干次，每次得分是8，a（自然數(shù)），0這三個數(shù)中的一個，每局各次得分的總和叫做這一局的總積分，小華曾得到過這樣的總積分：103，104，105，106，107，108，109，110，又知道他不可能得到“83分”這個總積分。問：a是多少？[5分]

6.在正方體的8個頂點處分別標上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每條棱兩端所標的兩個數(shù)之和寫在這條棱的中點，問各棱中點所寫的數(shù)是否可能恰有五種不同數(shù)值？各棱中點所寫的數(shù)是否可能恰有四種不同數(shù)值？如果可能，對照圖a在圖b的表中填上正確的數(shù)字；如果不可能，說明理由。[5分]

團體決賽口試

1.2×3×5×7×11×13×17這個算式中有七個數(shù)連乘請回答：最后得到的乘積中，所有數(shù)位上的數(shù)字和是多少？請講一講你是怎樣算的？[5分]

2.這是一個中國象棋盤（圖中小方格都是相等的正方形，“界河”的寬等于小正方形邊長），黑方有一個“象”，它只能在1，2，3，4，5，6，7位置中的一個，紅方有兩個“相”，它們只能在8，9，10，11，12，13，14中的兩個位置。問：這三個棋子（一個“象”和兩個“相”）各在什么位置時，以這三個棋子為頂點構(gòu)成的三角形的面積最大？[5分]

3.將一根長為374厘米的合金鋁管截成若干根36厘米和24厘米兩種型號的短管（加工損耗忽略不計）問：剩余部分的管子最少是多少厘米？[5分]

4.甲、乙二人同時從A出發(fā)向B行進，甲速度始終不變，乙在走前面路程時，速度為甲的二倍，而走后面路程時，速度是甲的，問甲、乙二人誰先到達B？請你說明理由。[5分]

5.這是一個長方形。（AE的長度與ED的長度之比是9∶5）（BF的長度與FC的長度之比是7∶4）問：涂紅色的兩塊圖形的面積與涂藍色的兩塊圖形的面積相比較，哪個大？請說明理由。[5分]

6.這是一個正方形，圖中所標數(shù)字的單位是厘米。問：涂紅色的部分的面積是多少平方厘米？[5分]

7.這是兩個分數(shù)相加的算式。問：等號左邊的兩個方格中各是怎樣兩個不同的自然數(shù)？[5分]

8.在三位數(shù)中，數(shù)字和是5的倍數(shù)的數(shù)共有多少個？[5分]

9.圖中有兩個紅色的正方形，兩個藍色的正方形，它們的面積已在圖中標出（單位：平方厘米）問：紅色的兩個正方形面積大還是藍色的兩個正方形面積大？請說明理由。[5分]

10.八個盒子，各盒內(nèi)裝奶糖分別為9，17，24，28，30，31，33，44塊。甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人所取走。已知乙、丙取到的糖的塊數(shù)相同且為丁的兩倍。問：甲取走的一盒中有多少塊奶糖？[5分]

11.這是一塊正方形的地板磚示意圖。其中AA1＝AA2＝BB1=BB2=CC1＝CC2＝DD1＝DD2，紅色小正方形的面積是4，綠色的四塊面積總和是18。求這個大正方形ABCD的面積，請說明理由。[5分]

12.這是一個圍棋盤，還有一堆圍棋子，將這堆棋子往棋盤上放，當按格點擺成某個正方陣時，尚多余12枚棋子，如果要將這個正方陣改擺成每邊各