專(zhuān)題62 猜想證明類(lèi)問(wèn)題（2）（解析版）-中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典問(wèn)題專(zhuān)題訓(xùn)練

專(zhuān)題62猜想證明類(lèi)問(wèn)題（2）【規(guī)律總結(jié)】此類(lèi)試題能比較系統(tǒng)地考查學(xué)生的邏輯推理能力、合情推理能力、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和關(guān)系的能力，以及運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，對(duì)于猜想證明類(lèi)試題，由于題目新穎、綜合性強(qiáng)、結(jié)構(gòu)獨(dú)特，具有較好的區(qū)分度，因此。該類(lèi)試題已逐步成為中考的一大熱點(diǎn)題型。猜想證明類(lèi)試題的考查范圍有猜想命題的規(guī)律或結(jié)論（不要求證明）與猜想命題的結(jié)論（要求證明）兩種。單純猜想規(guī)律或結(jié)論的問(wèn)題經(jīng)常以填空、選擇題的形式作為壓軸題，解題時(shí)要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找存在于個(gè)例中的共性，也就是規(guī)律。相對(duì)而言，猜想命題的結(jié)論（要求證明）的試題難度較大，解答具體題目時(shí)往往是直觀猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用相結(jié)合。【典例分析】例1．（2019·安徽九年級(jí)二模）如圖，在正方形中，分別是邊上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，連接，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為點(diǎn)G，連接DG，則下列說(shuō)法不正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、等角的余角相等即可判斷A正確；根據(jù)B選項(xiàng)，判斷出E為BC中點(diǎn)，與原題條件不一致，判斷B錯(cuò)誤；證明，判斷C選項(xiàng)正確；根據(jù)，得出，判斷D正確．【詳解】解：四邊形是正方形，，即，，，，∴選項(xiàng)正確，不合題意；∵BG⊥CF，∴∠BGC=90°，∴∠GBC+∠BCG=90°,∠BGE+∠CGE=90°，當(dāng)GE=BE時(shí)，∠BGE=∠GBE，∴∠EGC=∠ECG，∴GE=CE，∴BE=CE，即E為BC中點(diǎn)，原題沒(méi)有此條件，∴B選項(xiàng)不正確，符合題意；，，∴∠FBG+∠CBG=90°,∠FBG+∠BFG=90°,∴∠CBG=∠BFG，，，，，，又，，，∴選項(xiàng)正確，不合題意；，，，，即，∴選項(xiàng)正確，不合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2019·湖北隨州市·九年級(jí)學(xué)業(yè)考試）如圖，矩形中，點(diǎn)在邊上(不與重合)，將矩形沿折疊，使點(diǎn)分別落在點(diǎn)處有下列結(jié)論：①與互余；②若平分則③若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)則④若直線交邊分別于當(dāng)為等腰三角形時(shí)，五邊形的周長(zhǎng)為．其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____________________．【答案】①③④【分析】①根據(jù)折疊的性質(zhì)知,轉(zhuǎn)化相關(guān)角度進(jìn)行判斷；②根據(jù)折疊的性質(zhì)知,再根據(jù)平分從而得出，從而求算正切值；③直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，此時(shí)，，從而求算,再根據(jù)相似求算EF，可得結(jié)論；④當(dāng)△DMN時(shí)等腰三角形時(shí)，可得均為等腰直角三角形，從而計(jì)算相應(yīng)長(zhǎng)度，可得結(jié)論．【詳解】解：①根據(jù)折疊的知設(shè)∴∴，①正確；②根據(jù)折疊的性質(zhì)知,再根據(jù)平分∴即∴即，②錯(cuò)誤；③直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)D：∵∴∵∴∴解得：∴∴∴，③正確；④當(dāng)△DMN時(shí)等腰三角形時(shí)，可得均為等腰直角三角形，如圖：∵∴∴五邊形的周長(zhǎng)=④正確故答案為：①③④【點(diǎn)睛】本題考查矩形折疊問(wèn)題，同時(shí)與相似三角形、特殊角三角函數(shù)值、等腰三角形等相結(jié)合，轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段與角度之間的關(guān)系式解題關(guān)鍵．例3．（2020·成都市錦江區(qū)四川師大附屬第一實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)B，直線AC交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C，且．（1）求的面積．（2）P為線段AB（不含A，B兩點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)．①如圖2，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交線段AC于點(diǎn)Q，記四邊形APOQ的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)時(shí)，求t的值．②M為線段BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，在直線AC上是否存在點(diǎn)N，使得是以PM為直角邊的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）10；（2）①；②存在；，．【分析】（1）把代入求出一次函數(shù)解析式為，得到，根據(jù)，求出，求得；（2）①設(shè)，利用待定系數(shù)法直線AC的解析式為，由，根據(jù)代入數(shù)值求出t的值；②如圖所示，當(dāng)N點(diǎn)在軸下方時(shí)，得到，設(shè)，過(guò)P點(diǎn)作直線x軸，作，，證明，得到，，再證明，得到，，求得，作，則，根據(jù)，得到，列得求出a得到；當(dāng)N點(diǎn)在x軸上方時(shí)，點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，得到，即．【詳解】（1）把代入得：，一次函數(shù)解析式為，令，得，∴，在中，，∴，∵，∴，∴．（2）①設(shè)，∴P在線段AB上，∴，設(shè)直線AC的解析式為，代入，得，∴，∴，又∵軸，則，∴，，又∵，∴得．②如圖所示，當(dāng)N點(diǎn)在軸下方時(shí)，∵，∴，∴，∵是以PM為直角邊的等腰直角三角形，當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，過(guò)P點(diǎn)作直線x軸，作，，∴，∴，在與中，∴，∴，，∵，，∴，在與中，，∴，∴，，∴，作，則，∵，∴，∴M在直線AB上，∴，∴，∴．當(dāng)N點(diǎn)在x軸上方時(shí)，點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，即，綜上：存在一點(diǎn)或使是以MN為直角邊的等腰直角三角形．．【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線所成三角形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定及性質(zhì)，中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【好題演練】一、單選題1．（2020·合肥市第四十六中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將沿所在直線翻折，得到，連接，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，∠C．當(dāng)時(shí)，D．長(zhǎng)度的最小值是1【答案】C【分析】A．根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可證∠AB′P=∠CPB′，從而可證；Ｂ．根據(jù)折疊性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知PA=PB=PC=PB′,A、B、C、B′四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理即可求出；C．根據(jù)相似三角形的判定證得△PAC∽△CAB，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得AP的值，即可判斷錯(cuò)誤；D.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求得長(zhǎng)度的最小值，即可判斷此結(jié)論正確．【詳解】在△ABC中，∠ACB=90°，

AP=BP，

∴AP=BP=CP，∠BPC=由折疊的性質(zhì)可得

CP=B′P，∠

CPB′=∠BPC=

∴

AP=B′P，

∴∠AB′P

=∠B′AP=

∴∠

AB′P=∠CPB′

∴AB′

//

CP故A正確；

∵AP=BP，

∴PA=PB′=PC=PB，

∴點(diǎn)A,B′，C，B在以點(diǎn)P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的圓上

由折疊的性質(zhì)可得BC=

B′C，∴

∴∠B′PC=2∠B′AC故B正確；當(dāng)CP⊥AB時(shí)，∠APC=∠ACB∵∠PAC=∠CAB∴△PAC∽△CAB∴

∵在Rt△ABC中，AC=∴AP=故C錯(cuò)誤；

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知：

BC=CB′=3

∵CB′長(zhǎng)度固定不變，

∴當(dāng)AB′+CB′有最小值時(shí)，AB′的長(zhǎng)度有最小值

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知：當(dāng)A、B′、C三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，AB′有最小值，∴AB′=AC-

B′C=4-3=1故D正確故選：C【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)、圓周角的定理，根據(jù)折疊性質(zhì)得出相等的線段或相等的角是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2019·浙江杭州市·八年級(jí)期末）如圖，已知：在等腰中，，BE平分，交AC于F，且于點(diǎn)E，BC邊上的中線AD交BE于G，連接DE，則下列結(jié)論正確的是（）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)H，通過(guò)證明∠AGF=∠AFG判斷①；再證明∠ABE=∠BED，根據(jù)平行線的判定得到②；再通過(guò)證明證明△ABF≌△ACH得到BF=CH，從而證明△HEB≌△CEB，得到CE=EH，可判斷③；證明Rt△ABF≌Rt△PBF，得到AB+AF=BP+FP，再通過(guò)說(shuō)明△FPC是等腰直角三角形得到FP=CP，即可判斷④；最后證明△ABF∽△DBG，得到BG和BF的比，利用BF和CE的關(guān)系判斷⑤.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)H，∵BE平分，為等腰直角三角形，D為BC中點(diǎn)，∴∠ABF=∠CBF=22.5°，AF=PF，∴∠BGD=∠AGF=∠AFG，∴AG=AF，故①正確，∵∠BEC=90°，D為BC中點(diǎn)，∴DE=BD=CD，∴∠BED=∠DBE=22.5°=∠ABE，∴AB∥DE，故②正確，∵∠CAH=∠BAF=∠BEC=90°，

∴∠ACH+∠H=90°，∠ABF+∠H=90°，

∴∠ACH=∠ABF，

在△ABF和△ACH中，，∴△ABF≌△ACH（ASA），∴BF=CH，

∵BE平分∠ABC，

∴∠HBE=∠CBE，

∵∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠BEH=90°，

在△HEB和△CEB中，，∴△HEB≌△CEB（ASA），

∴CE=EH，

∴CH=2CE，

∴BF=2CE，故③正確，在Rt△ABF和Rt△PBF中，，∴Rt△ABF≌Rt△PBF（HL），∴AB=PB，在△PFC中，∠BCF=45°，∠FPC=90°，∴FP=CP，BP+CP=BP+FP=BC=AB+AF，故④錯(cuò)誤，∵∠ABG=∠CBG，∠BAF=∠GDB=90°，∴△ABF∽△DBG，∴，即BF=BG，又∵BF=2CE，∴BG=CE，故⑤正確.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合所學(xué)知識(shí)逐項(xiàng)判定各選項(xiàng)，并且利用已經(jīng)證明的結(jié)論來(lái)證明未知的結(jié)論.二、填空題3．（2020·長(zhǎng)沙市中雅培粹學(xué)校九年級(jí)月考）已知點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，軸，軸，分別交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)、，交坐標(biāo)軸于、，且，連接.現(xiàn)有以下四個(gè)結(jié)論：①；②在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的面積始終不變；③連接，則；④不存在點(diǎn)，使得.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是__________．【答案】①②③【分析】①由反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征用函數(shù)a的代數(shù)式表示出來(lái)b，并找出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)AC=3CD，即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；②根據(jù)①得出A、C的坐標(biāo)，由AB∥x軸找出B點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得出AB、AC的長(zhǎng)度，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；③已知B(,)，C(a,)，D(a,0)，E(0,)四點(diǎn)坐標(biāo)，B、C、D、E四點(diǎn)坐標(biāo)，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線斜率k1=，經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線斜率k2=，得出，即④先假設(shè)，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，列出關(guān)于a的等式，看a是否有解，即可求解．【詳解】①∵A(a,b)，且A在反比例函數(shù)的圖象上，

∴∵AC∥y軸，且C在反比例函數(shù)的圖象上，

∴C(a,)又∵AC=3CD，∴AD=4CD，即∴k=2．故①正確②由①可知：A(a,)，C(a,)∵AB∥x軸，∴B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)的函數(shù)圖象上，

∴，解得：x=，

∴點(diǎn)B(,)，

∴AB=a?=，AC=?=∴S=AB×AC=××=∴在點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABC面積不變，始終等于故②正確③連接DE，如圖所示∵B(,)，C(a,)∴經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線斜率k1=∵軸，軸∴D(a,0)，E(0,)∴經(jīng)過(guò)D、E兩點(diǎn)的直線斜率k2=∴，即故③正確④假設(shè)∴∴解得∴當(dāng)時(shí)，故④錯(cuò)誤故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題目，考查了反比例函數(shù)性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)斜率求法．4．（2019·武漢二中廣雅中學(xué)八年級(jí)期中）如圖1，矩形ABCD，AB＝4，BC＝．（1）直接寫(xiě)出：∠ABD＝______度；（2）將矩形ABCD沿BD剪開(kāi)得到兩個(gè)三角形，按圖2擺放：點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，CD落在AD′上，直接寫(xiě)出BD與B′D′的關(guān)系：_____；（3）在圖2的基礎(chǔ)上將△AB′D′向左平移，點(diǎn)B′與B重合停止，設(shè)AC＝x，兩個(gè)三角形重合部分的封閉圖形的周長(zhǎng)為y，請(qǐng)用x表示y：____．【答案】60BD=B′D′，BD⊥B′D′【分析】（1）解直角三角形即可解決問(wèn)題．（2）結(jié)論：BD⊥B′D′，BD=B′D′．利用“8字型”證明∠DHD′=∠BAD=90°即可．（3）分四種情形①如圖3-1中，當(dāng)0＜x≤時(shí)，重疊部分是四邊形ACDH．②如圖3-2中，當(dāng)＜x≤4時(shí)，重疊部分是五邊形ACMNH．③如圖3-2中，當(dāng)＜x≤時(shí)，重疊部分是五邊形ACMNH．如圖3-4中，當(dāng)＜x＜4+時(shí)，重疊部分是△BB′H．分別求解即可．【詳解】解：（1）如圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=，∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，故答案為：60．（2）結(jié)論：BD⊥B′D′，BD=B′D′．理由：如圖2中，延長(zhǎng)BD交D′B′于H．∵∠B=∠D′，∠BDA=∠HDD′，∴∠BAD=∠DHD′=90°，∴BD⊥B′D′．∵BD與B′D′為矩形的對(duì)角線，則BD=B′D′；故答案為：BD=B′D′，BD⊥B′D′．（3）①如圖3-1中，當(dāng)0＜x≤時(shí)，重疊部分是四邊形ACDH，由題意：AB=，AH=AB=，∵AH∥CD，∴，∴，∴BH=，∴DH=8-（）=，y=x+4+=x+4+4=；②如圖3-2中，當(dāng)＜x≤4時(shí)，重疊部分是五邊形ACMNH．==；③如圖3-3中，當(dāng)4＜x≤時(shí)，重疊部分是四邊形AB′N(xiāo)H．==；④如圖3-4中，當(dāng)時(shí)，重疊部分是△BB′H．；故答案為：；【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平移變換，多邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．三、解答題5．（2020·溫嶺市實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)月考）如圖1，在正方形ABCD中，AB=8，點(diǎn)E在AC上，且AE=，過(guò)E點(diǎn)作EF⊥AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接CF，DE．[問(wèn)題發(fā)現(xiàn)]（1）線段DE與CF的數(shù)量關(guān)系是，直線DE與CF所夾銳角的度數(shù)是；[拓展探究]（2）當(dāng)△AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，上述結(jié)論是否成立?若成立，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并結(jié)合圖2給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；[解決問(wèn)題]（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E到直線AD的距離為2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出CF的長(zhǎng)．【答案】（1）CF=DE，45°．（2）成立．理由見(jiàn)解析；（3）4或4．【分析】（1）延長(zhǎng)DE交CF的延長(zhǎng)線于T，證明△FAC∽△EAD可得結(jié)論．（2）成立．如圖2中，延長(zhǎng)DE交CF于T，證明△FAC∽△EAD可得結(jié)論．（3）分兩種情形分別畫(huà)出圖形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)DE交CF的延長(zhǎng)線于T．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠CAF=45°，AC=AD，∵AF=AE，∴∴△FAC∽△EAD，∴，∠ACF=∠ADE，∴CF=DE，∵∠AED=∠CET，∴∠T=∠EAD=45°，故答案為CF=DE，45°．（2）成立．理由：如圖2中，延長(zhǎng)DE交CF于T．∵∠EAF=∠DAC=45°，∴∠DAE=∠CAF，∵，∴△AFC∽△AED，∴，∠ACF=∠ADH，∴CF=DE，∵∠AHD=∠THC，∴∠CTD=∠DAH=45°．（3）如圖3-1中，作EJ⊥AF于J．∵AE=EF=2，∠AEF=90°，EJ⊥AF，∴AF=4，F(xiàn)J=JA=2，∴EJ=AF=2，∵點(diǎn)E到直線AD的距離為2，∴F，A，D共線，，如圖3-2中，當(dāng)點(diǎn)E在直線AD上方時(shí)，同法可得，綜上所述，滿(mǎn)足條件的CF的值為4或4．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)