江蘇省淮安市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

江蘇省淮安市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知、為銳角，，，則（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列{an}滿足且，則的值是()A．－5 B．－ C．5 D．3．某中學(xué)高一從甲、乙兩個(gè)班中各選出7名學(xué)生參加2019年第三十屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，他們?nèi)〉贸煽?jī)的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是84，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83，則的值為（）A．4 B．5 C．6 D．74．已知向量，的夾角為，且，，則與的夾角等于A． B． C． D．5．l：與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為A．6 B．1 C． D．36．如圖，若長(zhǎng)方體的六個(gè)面中存在三個(gè)面的面積分別是2,3,6，則該長(zhǎng)方體中線段的長(zhǎng)是（）A． B． C．28 D．7．一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的全面積為（）A． B． C． D．8．已知m個(gè)數(shù)的平均數(shù)為a，n個(gè)數(shù)的平均數(shù)為b，則這個(gè)數(shù)的平均數(shù)為（）A． B． C． D．9．設(shè)為中的三邊長(zhǎng)，且，則的取值范圍是（）A． B．C． D．10．若集合A=x∈Nx-1≤1A．3 B．4 C．7 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為_(kāi)___12．已知等差數(shù)列{an}的公差為d，且d≠0，其前n項(xiàng)和為Sn，若滿足a1，a2，a5成等比數(shù)列，且S3＝9，則d＝_____，Sn＝_____.13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_________．14．已知圓錐的母線長(zhǎng)為1，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為，則該圓錐的體積是______.15．由正整數(shù)組成的數(shù)列，分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列，，記，若存在正整數(shù)（）滿足，，則__________．16．若數(shù)列滿足，且對(duì)于任意的，都有，則___；數(shù)列前10項(xiàng)的和____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列的公比，且的等差中項(xiàng)為10，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．已知.（1）解關(guān)于的不等式；（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)，的值.19．已知直線的方程為．（1）求直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）為使直線不過(guò)第四象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．某產(chǎn)品具有一定的時(shí)效性，在這個(gè)時(shí)效期內(nèi)，由市場(chǎng)調(diào)查可知，在不做廣告宣傳且每件獲利a元的前提下，可賣出b件；若做廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元比廣告費(fèi)為千元時(shí)多賣出件。（1）試寫(xiě)出銷售量與n的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)時(shí)，廠家應(yīng)該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，做幾千元的廣告，才能獲利最大？21．已知，，，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，然后利用兩角差的正切公式可求得的值.【題目詳解】因?yàn)椋覟殇J角，則，所以，因?yàn)?，所以故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用兩角差的正切公式求值，解答的關(guān)鍵就是弄清角與角之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解題分析】試題分析：即數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列．考點(diǎn)：1．等比數(shù)列的定義及基本量的計(jì)算；2．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．3、C【解題分析】

由均值和中位數(shù)定義求解．【題目詳解】由題意，，由莖葉圖知就是中位數(shù)，∴，∴．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查莖葉圖，考查均值與中位數(shù)，解題關(guān)鍵是讀懂莖葉圖．4、C【解題分析】

根據(jù)條件即可求出，從而可求出，，，然后可設(shè)與的夾角為，從而可求出，根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【題目詳解】，；，，；設(shè)與的夾角為，則；又，，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量數(shù)量積的定義運(yùn)用，向量的模的求法，以及利用數(shù)量積求向量夾角．5、D【解題分析】

先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再求三角形的面積得解.【題目詳解】當(dāng)x=0時(shí)，y=2,當(dāng)y=0時(shí)，x=3,所以三角形的面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.6、A【解題分析】

由長(zhǎng)方體的三個(gè)面對(duì)面積先求出同一點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)，即可求出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)分別為，且，，，則，，，所以長(zhǎng)方體中線段的長(zhǎng)等于.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題型.7、A【解題分析】

數(shù)形結(jié)合，還原出該幾何體的直觀圖，計(jì)算出各面的面積，可得結(jié)果.【題目詳解】如圖為等腰直角三角形，平面根據(jù)三視圖，可知點(diǎn)到的距離為點(diǎn)到的距離為所以，故該棱錐的全面積為故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖還原，并求表面積，難點(diǎn)在于還原幾何體，對(duì)于一些常見(jiàn)的幾何體要熟悉其三視圖，對(duì)解題有很大幫助，屬中檔題.8、D【解題分析】

根據(jù)平均數(shù)的定義求解.【題目詳解】?jī)山M數(shù)的總數(shù)為：則這個(gè)數(shù)的平均數(shù)為：故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了平均數(shù)的定義，還考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

由，則，再根據(jù)三角形邊長(zhǎng)可以證得，再利用不等式和已知可得，進(jìn)而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最小值，即可求解．【題目詳解】由題意，記，又由，則，又為△ABC的三邊長(zhǎng)，所以，所以，另一方面，由于，所以，又，所以，不妨設(shè)，且為的三邊長(zhǎng)，所以．令，則，當(dāng)時(shí)，可得，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了解三角形，綜合了函數(shù)和不等式的綜合應(yīng)用，以及基本不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于綜合性較強(qiáng)的題，難度較大，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于難題．10、A【解題分析】

先求出A∩B的交集，再依據(jù)求真子集個(gè)數(shù)公式求出，也可列舉求出?！绢}目詳解】A=x∈Nx-1≤1A∩B=0,1，所以A∩B的真子集的個(gè)數(shù)為2【題目點(diǎn)撥】有限集合a1,a2,?二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解題分析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點(diǎn)到直線的距離為，可知點(diǎn)在球上的運(yùn)動(dòng)軌跡為小圓.【題目詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過(guò)作于，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的小圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)面面時(shí)，四面體的體積達(dá)到最大，.【題目點(diǎn)撥】立體幾何中求最值問(wèn)題，核心通過(guò)直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.12、2n2.【解題分析】

由已知列關(guān)于首項(xiàng)與公差的方程組，求解可得首項(xiàng)與公差，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和求解.【題目詳解】由題意，有，即，解得，所以.故答案為：，.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，每個(gè)坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù).【題目詳解】空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，每個(gè)坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù).點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間直角坐標(biāo)系關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，屬于簡(jiǎn)單題.14、【解題分析】

根據(jù)題意得，解得，求得圓錐的高，利用體積公式，即可求解．【題目詳解】設(shè)圓錐底面的半徑為，根據(jù)題意得，解得，所以圓錐的高，所以圓錐的體積.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了圓錐的體積的計(jì)算，以及圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，求得圓錐的底面圓的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、262【解題分析】

根據(jù)條件列出不等式進(jìn)行分析，確定公比、、的范圍后再綜合判斷.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，等差數(shù)列公差為，因?yàn)?，，所以；又因?yàn)?，分別為遞增的等差數(shù)列、等比數(shù)列，所以且；又時(shí)顯然不成立，所以，則，即；因?yàn)?，，所以；因?yàn)?，所以；由可知：，則，；又，所以，則有根據(jù)可解得符合條件的解有：或；當(dāng)時(shí)，，解得不符，當(dāng)時(shí)，解得，符合條件；則.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差等比數(shù)列以及數(shù)列中項(xiàng)的存在性問(wèn)題，難度較難.根據(jù)存在性將變量的范圍盡量縮小，通過(guò)不等式確定參變的取值范圍，然后再去確定符合的解，一定要注意帶回到原題中驗(yàn)證，看是否滿足.16、,【解題分析】試題分析：由得由得，所以數(shù)列為等比數(shù)列，因此考點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)與和項(xiàng)三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）.（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用已知條件求出首項(xiàng)與公差，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果；（Ⅱ）先求出，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題目詳解】解析：（Ⅰ）由題意可得：，∴∵，∴，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ），∴上述兩式相減可得∴=【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，以及利用錯(cuò)位相減法求和，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）或．【解題分析】

（1），再解一元二次不等式即可；（2）由題意得，，代入即可求出實(shí)數(shù)，的值．【題目詳解】（1）∵，∴，∴，解得，∴原不等式的解集為；（2）由題意得，，即，解得或，∴或．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查一元二次不等式的解法，考查三個(gè)二次之間的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）；（2）；（3）【解題分析】

（1）把直線化簡(jiǎn)為，所以直線過(guò)定點(diǎn)（1，1）；（2）設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)列方程可以解得；（3）把直線化簡(jiǎn)為，由直線不過(guò)第四象限，得，解出即可．【題目詳解】（1）直線的方程化簡(jiǎn)為，點(diǎn)滿足方程，故直線所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，列方程組解得：，，故點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，（3）把直線方程化簡(jiǎn)為，由直線不過(guò)第四象限，得，解得，即的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線方程過(guò)定點(diǎn)，以及點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問(wèn)題，直線斜截式方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)(2)【解題分析】試題分析：(1)根據(jù)若做廣告宣傳，廣告費(fèi)為n千元比廣告費(fèi)為千元時(shí)多賣出件，可得，利用疊加法可求得.(2)根據(jù)題意在時(shí),利潤(rùn),可利用求最值.試題解析：（1）設(shè)表示廣告費(fèi)為0元時(shí)的銷售量，由題意知，由疊加法可得即為所求。（