高考數(shù)學(xué)破解數(shù)學(xué)客觀題教案

專題,，破耕照名客觀題(推器，57\)

在一般練習(xí)和考試中，客觀題主要有選擇題填空題兩種形式.

?、客觀題活而不難

客觀題活而不難，其特征表現(xiàn)在以下5點(diǎn)：

1.考察思維難度

2.考察數(shù)形結(jié)合

3.知識再生性問題(突出公式和定理得記憶)

4.計(jì)算量大，技巧要求高

5.競賽思想的題型呈增加趨勢

-,2007年解答題分析

(一)應(yīng)用性問題及信息題，動手題,分析題

1.基本方法

(1)求解高中數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的一般步驟:讀題，建模，求解，評價

(2)具體的建模分析:關(guān)系分析法，列表分析法，圖像分析法

(3)求解數(shù)學(xué)應(yīng)用性問題必須突破的三關(guān):事理關(guān)，文理觀,數(shù)理關(guān)

(4)閱讀應(yīng)用題時幾個要點(diǎn):劃分題目的層次，領(lǐng)會關(guān)鍵詞語,弄清題圖聯(lián)系

2.基本題型

(1)建立函數(shù)模型(2)建立數(shù)列模型(3)建立不等式模型(4)建立三角函數(shù)模型(5)建立直線模型

或圓錐曲線模型(6)建立計(jì)數(shù)模型(7)建立概率模型(8)建立空間模型

3.命題趨勢

(1)函數(shù)，數(shù)列，不等式，概率綜合模型最容易考

(2)強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，突出數(shù)學(xué)建模思想

(3)貼近學(xué)生認(rèn)識水平，聯(lián)系社會熱點(diǎn)問題

(4)題量是,?大一小或一大二小

(二)其他解答題例題分析

解答題關(guān)鍵是抓好解題訓(xùn)練的三個階段:審題階段，解題階段，反思階段.

I.向量與三角三角函數(shù)

2.數(shù)列題命題趨勢

(1)選擇題和填空題主要考察等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念和性質(zhì)為主

(2)解答題中會把等差數(shù)列，等比數(shù)列及性質(zhì)與不等式，函數(shù)及導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，來命制綜合題，一般

要求較高，要特別注意探索性和概念性問題

(3)數(shù)列綜合題將是命題的熱點(diǎn)，這類題關(guān)鍵在于綜合應(yīng)用相關(guān)知識靈活解題

3.不等式命題趨勢

(1)在選擇題中會繼續(xù)考察比較大小，可能與函數(shù)，方程，三角等知識綜合出題

(2)在選擇題與填空題中注意不等式的解法建立不等式參數(shù)的取值范圍,以及求最大值和最小

值應(yīng)用題

(3)解題中注意不等式與函數(shù)，方程，數(shù)列，應(yīng)用題，解幾何綜合突出滲透數(shù)學(xué)思想和方法

4.立體幾何:兩種方法解決四類問題命題趨勢

(1)線面位置關(guān)系突出平行和垂直,將側(cè)重于垂直關(guān)系.

(2)多面體中線面關(guān)系論證，空間"角"與"距離"的計(jì)算常在解答題中綜合出現(xiàn)

(3)多面體及簡單多面體的概念，性質(zhì)多在選擇題，填空題出現(xiàn)

(4)有關(guān)三棱柱，四棱柱,三棱錐的問題，特別是與球有關(guān)的問題將是高考命題的熱點(diǎn)

5.解析兒何命題趨勢

(1)一些基本概念，求在不同條件卜的直線方程，直線的位置關(guān)系

(2)直線與二次曲線的普遍方程，屬低檔題,對稱問題常以選擇題，填空題出現(xiàn)

(3)考查圓錐曲線的基本知識和基本方法的題多以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)

6.排列組合，二項(xiàng)是定理和概率統(tǒng)計(jì)命題趨勢

排列，組合在選擇與填空中出現(xiàn)

7.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

三，認(rèn)真領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，熟練掌握數(shù)學(xué)方法，正確應(yīng)用它們分析問題和解決問題

1.常見的數(shù)學(xué)解題通法

2.數(shù)學(xué)思想

3.有計(jì)劃地加強(qiáng)有效訓(xùn)練，不斷提高數(shù)學(xué)能力

七招破解數(shù)學(xué)客觀題

(-)抓住本質(zhì)，回歸定義。

(二)定性分析，多想少算。

(三)大膽假設(shè)估算，快速定奪。

(四)運(yùn)用特例求解，以點(diǎn)代面。

(五)靈活應(yīng)對:巧解開放性題。

（六）嚴(yán)防粗心大意，謹(jǐn)防易錯警醒題。

（七）沉著冷靜，隨機(jī)應(yīng)變做好創(chuàng)新題

友情提示：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較好，分?jǐn)?shù)在125分以上的同學(xué)，填空題、選擇題共同的時間應(yīng)

控制在45分鐘左右，稍長一點(diǎn)也可以，但最好不要超過一小時。如果模擬分?jǐn)?shù)在90分左右

的同學(xué)，時間應(yīng)該在一小時左右。

專題：㈠高考數(shù)學(xué)選擇題的解題策略

匐考點(diǎn)闡釋

1.高考數(shù)學(xué)試題中，選擇題注重多個知識點(diǎn)的小型綜合，滲透各種數(shù)學(xué)思想和方法，

體現(xiàn)以考查“三基”為重點(diǎn)的導(dǎo)向，能否在選擇題上獲取高分，對高考數(shù)學(xué)成績影響重大.

解答選擇題的基本要求是四個字——準(zhǔn)確、迅速.

2.選擇題主要考查基礎(chǔ)知識的理解、基本技能的熟練、基本計(jì)算的準(zhǔn)確、基本方法的

運(yùn)用、考慮問題的嚴(yán)謹(jǐn)、解題速度的快捷等方面.解答選擇題的基本策略是：要充分利用題

設(shè)和選擇支兩方面提供的信息作出判斷。一般說來，能定性判斷的，就不再使用復(fù)雜的定量

計(jì)算；能使用特殊值判斷的，就不必采用常規(guī)解法；能使用間接法解的，就不必采用直接解;

對于明顯可以否定的選擇應(yīng)及早排除，以縮小選擇的范圍；對于具有多種解題思路的，宜選

最簡解法等。解題時應(yīng)仔細(xì)審題、深入分析、正確推演、謹(jǐn)防疏漏；初選后認(rèn)真檢驗(yàn)，確保

準(zhǔn)確。

3.解數(shù)學(xué)選擇題的常用方法，主要分直接法和間接法兩大類.直接法是解答選擇題最基本、

最常用的方法；但高考的題量較大，如果所有選擇題都用直接法解答，不但時間不允許，甚

至有些題目根本無法解答.因此，我們還要掌握一些特殊的解答選擇題的方法.

解題策略：高考數(shù)學(xué)選擇題在當(dāng)今高考中，不但題目數(shù)量多，且占分比例高，共計(jì)55

分，占它具有它獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和考查功能。

3

㈠選擇題的題型特點(diǎn)認(rèn)識

1.題型的結(jié)構(gòu)與解答特點(diǎn)：

數(shù)學(xué)選擇題通常是由?個問句或一個不完整的句子和四個供考生選擇用的選擇肢構(gòu)

成，即“一干，四支”。考生只需從選擇四肢中選擇一項(xiàng)作為答案，便完成了解答。高考數(shù)

學(xué)選擇題的解答特點(diǎn)是“四選一”，怎樣快速、準(zhǔn)確、無誤地選擇好這個“”是十分必要

的，也是決勝高考的前提，

2.數(shù)學(xué)選擇題的學(xué)科特點(diǎn)：

①概念性強(qiáng)：數(shù)學(xué)概念是抽象的，而且是復(fù)雜的，學(xué)好考好數(shù)學(xué)的關(guān)健是正確理解好概念。

數(shù)學(xué)選擇中有部分是以基本概念為基礎(chǔ)命制和構(gòu)造出來的。因此，快速準(zhǔn)確地解好數(shù)學(xué)選

擇題的前提是深刻理解數(shù)學(xué)基本概念。

②量化突出：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因此數(shù)學(xué)選擇題的數(shù)量特點(diǎn)十分明。

但是，盲目計(jì)算又是解選擇題的一大“誤區(qū)”，只有建立在對的數(shù)學(xué)概念的深刻理解，熟練

掌握基本性質(zhì)，基本方法，基本定理的基礎(chǔ)之上科學(xué)合理地利用聯(lián)想、推理、類比等分析來

簡化計(jì)算才能羸得高考的時間，確保選擇題的準(zhǔn)確，從而才能奠定高考中數(shù)學(xué)高分。

③辨證思維，善辨真?zhèn)?。?shù)形結(jié)合，相互轉(zhuǎn)化。一題多解，巧解高效。④形數(shù)兼?zhèn)?；?/p>

解法多樣化：⑥評卷公平。

㈡考查特點(diǎn)：

①能在較大的知識范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)對基礎(chǔ)知識，基本技能和基本思想方法的考查；

每道選擇題所考查的知識點(diǎn)一般為2-5個，以3--4個居多，故選擇題組共考查可達(dá)到近50

個之多，而考生解答只需15分鐘左右。相當(dāng)于解一個中等難度的解答題，但一道解答題無

論如何也難以實(shí)現(xiàn)對三四十個考點(diǎn)考查。

②能比較確切地測試考生對概念、原理、性質(zhì)和法則、定理和公式的掌握和理解；

③在?定程度上，能有效地考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力空間想象能力，以及靈活和綜合

地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

㈢思維策略

數(shù)學(xué)選擇題每次試題多、考查面廣，不僅要求考生有正確的分辨能力，還要有較快的解

題速度，為此，需要研究解答選擇題的一些技巧?？偟膩碚f，選擇題屬小題，解題的原則是：

“小題巧解，小題不能大做”。解題的基本策略是：充分地利用題干和選擇肢的兩方面條件

所提供的信息作出判斷。先定性后定量，先特殊后推理；先間接后直解，先排除后求解。

次試題精析

1、直接法：

直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴(yán)密的推

理和準(zhǔn)確的運(yùn)算，從而得出正確的結(jié)論，然后對照題目所給出的選擇支“對號入座”作出相

應(yīng)的選擇.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡單的題目常用直接法.

例1（2007年北京?理?3題）平面。〃平面月的一個充分條件是（D）

A.存在條直線a,a//a,a//pB.存在一條直線a,aua,a//p

C.存在兩條平行直線a,b,aua,bup,a//（3,b//a

D.存在兩條異面直線a,b,aua,a〃/，b//a

解本題主要是概念要清楚，對定理要有清醒的認(rèn)識。

在立體幾何的選擇題或是填空題上還會有四面體與球體的結(jié)合題，這方面要對球中有關(guān)概

念：球的大圓、球面距離、體積、表面積等要掌握，并會進(jìn)行計(jì)算。例2（2007年天津卷）

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差d不為0,a、=9d.若q是q與陶的等比中項(xiàng)，則左=（）

A.2B.4C.6D.8

解答：B由題意得，an=（〃+8）d,a1=axalk,

（%+8）V=9dQk+8）d.：.k=4.

【點(diǎn)評】本題主要考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì).

例3.若sin2Acos?x,則x的取值范圍是（）

3乃71715萬

(Z){x\2k7T-——<x<2krc+—,keZ}(B){x\2k—<x<2k7T——，keZ}

4444

(C){x\k7T——<x<k7l+—,keZ}(Z)){x\k7T+—<x<k7T----,keZ}

4444

解：(直接法)由sin*x>cos2x得cos?尤一sin2x<0,

713萬

即cos2r<0,所以：---\-kn<2x<--+kn,選。.

22

另解：數(shù)形結(jié)合法：由已知得binx|>|cosr|,畫出月sinr|和月cosx|的圖象,從圖象中可

知選。

例4.設(shè){r)是(一8,8)是的奇函數(shù)，/(x+2)=-/(x),當(dāng)時，>(x)=x,則人7.5)

等于()

(A)0.5(5)-0.5(C)1.5(￡?-1.5

解：由；(x+2)=-/(x)得<7.5)=-/(5.5)=式3.5)=—H1.5)=/(—0.5),由於)是奇函數(shù)，

得

人一0.5)=一{0.5)=-0.5,所以選8.

也可由7(x+2)=-/(x),得到周期7=4,所以47.5)=/(-0.5)=-/(0.5)=-05

例5.七人并排站成一行，如果甲、乙兩人必需不相鄰，那么不同的排法的種數(shù)是()

CA)1440(B)3600(C)4320(￡>)4800

解一：(用排除法)七人并排站成一行，總的排法有種，其中甲、乙兩人相鄰的排法

有2義/：種.因此，甲、乙兩人必需不相鄰的排法種數(shù)有：用―2X4；=3600,對照后應(yīng)

選8；

解二：(用插空法)/X4=3600.

直接法是解答選擇題最常用的基本方法，低檔選擇題可用此法迅速求解.直接法適用的范

圍很廣，只要運(yùn)算正確必能得出正確的答案.提高直接法解選擇題的能力，準(zhǔn)確地把握中檔

題目的“個性”，用簡便方法巧解選擇題，是建在扎實(shí)掌握“三基”的基礎(chǔ)上，否則一味求

快則會快中出錯.

2、特例法：

用特殊值(特殊圖形、特殊位置)代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，對各個選項(xiàng)進(jìn)行檢

驗(yàn)，從而作出正確的判斷.常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊

角、特殊位置等.

例6.07(安徽)定義在R上的函數(shù)/(%)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，T是它的一個正周期.若

將方程/(x)=0在閉區(qū)間［-T,T］上的根的個數(shù)記為〃，則〃可能為()

A.0B.1C.3D.5

y(x)=sinx

例7.已知長方形的四個項(xiàng)點(diǎn)N(0,0),B(2,0),C(2,1)和。(0,1),一質(zhì)點(diǎn)從

48的中點(diǎn)Po沿與N8夾角為。的方向射到8c上的點(diǎn)Pi后，依次反射到C。、D4和48上

的點(diǎn)尸2、23和A(入射解等于反射角)，設(shè)巴坐標(biāo)為(七,0),若1<*4<2,貝［^11。的取值

范圍是()

1122122

⑷(?1)⑻(O

解：考慮由Po射到8c的中點(diǎn)上，這樣依次反射最終回到尸0,此時容易求出tan6=J,

2

由題設(shè)條件知，1<心<2,則tan。#,,排除4B、D,故選C.

2

另解：(直接法)注意入射角等于反射角，……，所以選C.

例8.如果〃是正偶數(shù)，則C：+C：+…+C；2+c：=()

(A)2n(B)2"T

(C)2(￡))(〃一I*

解：(特值法)當(dāng)〃=2時，代入得C；+C；=2,排除答案/、C：當(dāng)〃=4時，代入得

C：+C；+C：=8,排除答案。.所以選8.

另解：(直接法)由二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)有C?+C：+…+CL+C：=2"T,選A

例9.等差數(shù)列｛為｝的前m項(xiàng)和為30,前2機(jī)項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為()

(4)130(8)170

(C)210(。)260

解：(特例法)取m=1,依題意4=30,

q+=1°°，則。2=70，又｛%｝是等差數(shù)列,進(jìn)而。3=110,故$3=210,選(C).

例10.若a>b>I,P=y/lga-lgb,0=g(lga+lgb),則()

(A)R<P<Q(B)P<Q<R

(C)Q<P<R(D)P<R<Q

解：取a=100,6=10,此時尸=/，Q=D=/gJ1000,R=/g55=/gJ3025,比較

可知選尸<0<R

當(dāng)正確的選擇對象，在題設(shè)普遍條件下都成立的情況下，用特殊值(取得越簡單越好)

進(jìn)行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷?般規(guī)律，

是解答本類選擇題的最佳策略.近幾年高考選擇題中可用或結(jié)合特例法解答的約占30%左

右.

例11.07安徽卷)若對任意xeR,不等式兇2依恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.<7<-1B.同W1C.同<1D.a1

a=0,l代入

特殊法，從題干或選擇支出發(fā)，通過選取特殊值代人，將問題特殊化或構(gòu)造滿足題設(shè)條件

的特殊函數(shù)或圖形特殊位置，利用問題在某一特殊情況下不真，則它在?般情況下不真這??

原理，達(dá)到肯定一支或否定三支(去謬)的目的，稱為特殊法.特殊法是“小題小作”的重

要策略.

3、篩選法：

從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定理、性質(zhì)、公式推演，根據(jù)“四選”的指令，逐步剔除干擾

項(xiàng)，從而得出正確的判斷.

例12.已知y=/og“(2—依)在［0,1］上是x的減函數(shù)，則。的取值范圍是()

(J)(0,1)(B)(1,2)

(C)(0,2)(￡))［2,+8)

解：；2-亦是在［0,1］上是減函數(shù)，所以。＞1,排除答案X、C；若。=2,由2—方＞0

得x＜l,這與xC［0,1］不符合，排除答案D所以選A

例13.過拋物線/=4x的焦點(diǎn)，作直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)尸和。，那么線段

中點(diǎn)的軌跡方程是()

(A)/=2x-i(5)/=2x—2

(C)/=-2x+i(D)y2=~2x+2

解：(篩選法)由己知可知軌跡曲線的頂點(diǎn)為(1,0),開口向右，由此排除答案4、C、

D,所以選8；

y=kx-1

另解：(直接法)設(shè)過焦點(diǎn)的直線尸檢一1),則＜2,消y得：

y=4x

X}+x2k2+2

X=-2~=k2

〃/-2耐+2.+/=0,中點(diǎn)坐標(biāo)有，，消左得y2=2x-2,選A

k2+22

k（—；—―1）=-

y=vk2k

篩選法適應(yīng)于定性型或不易直接求解的選擇題.當(dāng)題目中的條件多于個時，先根據(jù)某些

條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小的選擇支的范圍

那找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇.它與特例法、圖解法等結(jié)合使用是解選

擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中約占40%.

4、代入法：

將各個選擇項(xiàng)逐一代入題設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，從而獲得正確的判斷.即將各選擇支分別作為條

件，去驗(yàn)證命題，能使命題成立的選擇支就是應(yīng)選的答案.

7T

例14.函數(shù)尸sin(］—2x)+sin2x的最小正周期是()

71

(%)—(B)71(C)2)(。)4)

2

,,,、、，7C7C7C7t_

解：(代入法)加+5)=5河3■—2Q+5)]+sin[2a+5)]=-/(x),而

7T

./(%+五)=sin[y-2(x+Ji)]+sin[2(x+冗)]=/(%).所以應(yīng)選B；

75171

另解：(直接法)y=工~cos2x—彳sin2x+sin2x=sin(2x+3),T=Ji,選A

5乃

例15.函數(shù)歹=sin(2x+y)的圖象的一條對稱軸的方程是()

/、兀/、71

(4)x=——(5)x=——

24

jrjr

解：（代入法）把選擇支逐次代入，當(dāng)》=一一時，y=—1,可見》=一上是對稱軸，又

22

因?yàn)榻y(tǒng)一前提規(guī)定“只有一項(xiàng)是符合要求的”，故選4

另解：（直接法）函數(shù)y=sin（2x+54^）的圖象的對稱軸方程為2x+5]乃t=E+]7T,

k冗JT

即X=----71,當(dāng)％=1時，X———,選4

22

代入法適應(yīng)于題設(shè)復(fù)雜，結(jié)論簡單的選擇題。若能據(jù)題意確定代入順序，則能較大提高

解題速度。

5、圖解法:

據(jù)題設(shè)條件作出所研究問題的曲線或有關(guān)圖形,借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷.

習(xí)慣上也叫數(shù)形結(jié)合法.

例16.在（0,2））內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍是（）

"

-71苧(B)(%)

4

//兀\II3乃、

3)(-,^)U(—,—)

4442

解：（圖解法）在同一直角坐標(biāo)系中分別作出〉=411%與y=cosx的圖象，便可觀察選C.

JI

另解：（直接法）由sinx>cosx得sin（%——）>0,即2EVx——V2E+兀，取〃

44

=0即知選C.

例17.在圓/+/=4上與直線4x+3y—12=0距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

8686

(4)(---)(S)(-)--)

55

8686

9(一丁-)(Z>)(--)

解：(圖解法)在同一直角坐標(biāo)系中作出圓/+/=4和直線4x+3y—12=0后，由圖可

知距離最小的點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以選4

直接法先求得過原點(diǎn)的垂線，再與已知直線相交而得.

2~x-1r<0

例18.設(shè)函數(shù)/(x)=?，若則%的取值范圍是()

目x>0

(A)(-1?1)(B)(-1,+oo)

(O(—℃,—2)D(0>+oo)(Z))(—oo,—1)D(1,+oo)

解：(圖解法)在同一直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)

y=/(x)的圖象和直線y=l,它們相交于(一1,1)

和(1,1)兩點(diǎn)，由/(x())〉l,得/<-1或%>1.

嚴(yán)格地說，圖解法并非屬于選擇題解題思路范疇，

而是一種數(shù)形結(jié)合的解題策略.但它在解有關(guān)選擇題時

非常簡便有效.不過運(yùn)用圖解法解題?定要對有關(guān)函數(shù)圖象、方程曲線、兒何圖形較熟悉,

否則錯誤的圖象反而會導(dǎo)致錯誤的選擇.如：

例19.函數(shù)尸,2—“+1的圖象與函數(shù)尸2*的圖象交點(diǎn)的個數(shù)為()

(A)1(B)2(C)3(D)4

本題如果圖象畫得不準(zhǔn)確，很容易誤選(B)；答案為(C)。

數(shù)形結(jié)合，借助幾何圖形的直觀性，迅速作正確的判斷是高考考查的重點(diǎn)之一；歷年高

考選擇題直接與圖形有關(guān)或可以用數(shù)形結(jié)合思想求解的題目約占50%左右.

例20(2007年四川)如圖，h、12、A是同一平面內(nèi)的

三條平行直線，/1與6間的距離是1，6與A間的距離是2,

正三角形/8C的三頂點(diǎn)分別在小?A上，則△/8C的邊長

F.

解答：D因?yàn)榘?、h、A是同?平面內(nèi)的三條平行直線，

h與11間的距離是1,/2與間的距離是2,所以過工作

/2的垂線，交，2、A分別于點(diǎn)。、E,如圖，則NA4O=

ZBAC+ZCAE,即/A4D=60°+/C/E,記正三角形/BC

的邊長為。，兩邊取余弦得：

—=cos60°cosCAE-sin60°sinCAE,

a

整理得)3(/—9)=1,解之得,a=2＞，故選D.

【點(diǎn)評】本題以平面幾何為平臺，主要考查運(yùn)用三角函數(shù)的相關(guān)知識解決實(shí)際問題的能力.

本題意圖與新課標(biāo)接軌，需引起高三備考學(xué)生的密切關(guān)注.

6、割補(bǔ)法

“能割善補(bǔ)”是解決幾何問題常用的方法，巧妙地利用割補(bǔ)法，可以將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)

化為規(guī)則的圖形，這樣可以使問題得到簡化，從而縮短解題長度.

例21.一個四面體的所有棱長都為正，

四個項(xiàng)點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為()(Z)37t(8)4萬(C)3辰(D)

64

解：圖，將正四面體/8CD補(bǔ)形成正方體，則正四面體、正方體的中

心與其外接球的球心共一點(diǎn).因?yàn)檎拿骟w棱長為血，所以正方體棱長為1,

…V3

從而外接球半徑R=——.故S現(xiàn)=37.

2

直接法(略)

我們在初中學(xué)習(xí)平面兒何時，經(jīng)常用到'‘割補(bǔ)法"，在立體兒何推導(dǎo)錐體的體積公式時

又一次用到了“割補(bǔ)法”，這些蘊(yùn)涵在課本上的方法當(dāng)然是各類考試的重點(diǎn)內(nèi)容.因此，當(dāng)我

們遇到不規(guī)則的兒何圖形或兒何體忖，自然要想到“割補(bǔ)法”.

7、極限法：

從有限到無限，從近似到精確，從量變到質(zhì)變.應(yīng)用極限思想解決某些問題，可以避開抽

象、復(fù)雜的運(yùn)算，降低解題難度，優(yōu)化解題過程.

TT

例22.對任意。e(0,-)都有()

2

(A)sin(sin0)<cos0<cos(cos0)(B)sin(sin())>cos0>cos(cos0)

(C)sin(cos0)<cos(sin。)<cos。(D)sin(cos。)<cos。<cos(sin。)

解：當(dāng)Of0時，sin(sin0)—>0,cos0—>1,cos(cos0)—>cosl,故排除4,B.

jr

當(dāng)Of5時，cos(sin9)->cos1,cos。一>0,故排除C,因此選D

x>0

例23.不等式組,3—x2-x的解集是()

----->----

3+x2+x

(4)(0,2)(8)(0,2.5)

(C)(0,V6)(￡?(0,3)

解：不等式的“極限唧方程，則只需驗(yàn)證x=2,2.5,V6和3哪個為方程==紅土

3+x2+x

的根，逐一代入，選C

例24.在正〃棱錐中，相鄰兩側(cè)面所成的二面角的取值范圍是()

n—2

(A)(----冗,n)

nA

(B)(---n,n)

n

C

71

(C)(0,-)B

2

Tn)

nn

解：當(dāng)正〃棱錐的頂點(diǎn)無限趨近于底面正多邊形中心時，則底面正多邊形便為極限

狀態(tài)，此時棱錐相鄰兩側(cè)面所成二面角。一九，且小于九；當(dāng)棱錐高無限大時，正〃棱柱

n—2n—2

便又是另一極限狀態(tài)，此時且大于故選(J).

nn

用極限法是解選擇題的一種有效方法.它根據(jù)題干及選擇支的特征，考慮極端情形，有

助于縮小選擇面，迅速找到答案。

8、估值法

由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無需過程.因此可以猜測、合情推理、估

算而獲得.這樣往往可以減少運(yùn)算量，當(dāng)然自然加強(qiáng)了思維的層次.

例25.如圖，在多面體/8CQEF中，已知面N8CD是邊長為

3

3的正方形，EF//AB,EF=—,EF與面/C的距離為2,則該多面

2

體的體積為()

(A)-(8)5(C)6(D)—

22

B

解：由已知條件可知，EF〃平面/8C。，則尸到平面Z8C。的距離為2,

yp-ABCD~—?3-?2=6,而該多面體的體積必大于6,故選(。).

3

例26.已知過球面上/、8、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且

AB=BC=CA=2,貝lj球面面積是()

(A)竺兀(B)—n(C)4K(Z))兀

939

解???球的半徑R不小于△ZBC的外接圓半徑,

3

[6

則S球=4兀/?224兀/=—7t>5兀，故選(D).

3

估算，省去了很多推導(dǎo)過程和比較復(fù)雜的計(jì)算，節(jié)省了時間，從而顯得快捷.其應(yīng)用廣

泛，它是人們發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題的一種重要的運(yùn)算方法.

9、邏輯分析法

通過對四個選擇肢之間的邏輯關(guān)系的分析，達(dá)到否謬誤肢，選出正確肢的方法，稱之為

邏輯分析法。

(1)若(A)真=>(B)真，則(A)必排出，否則與“有且僅有一個正確結(jié)論”相矛盾.

⑵若(A)<=>(B),則(A)(B)均假。

(3)若(A)(B)成矛盾關(guān)系，則必有一真，可否定(C)(D).

例27.已知y=log“(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是()

(A)(0,1)(B)(1,2)

(C)(0,2)(D)[2,+8)

例28.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，作直線與此拋物線相交于兩點(diǎn)P和Q,那么線段PQ中點(diǎn)

的軌跡方程是()

(A)y2=2x-l(B)y2=2x—2

(C)y2=-2x+l(D)y2=-2x+2

例29(2007年北京理科第5題)記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排

成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有(B)

A.1440種B.960種C.720種D.480種

10逆推驗(yàn)證法一當(dāng)題干提供的信息較少或丁結(jié)論是一些具體的數(shù)字時，我們可以從選

擇支人手，逐檢驗(yàn)是否與題干相容，這種方法稱為逆推驗(yàn)證法.逆向思維法

例30若正棱錐的底面邊長與側(cè)棱長相等，則該棱錐一定不是()

(⑷三棱錐伊)四棱錐(C)五棱錐(。)六棱錐

解：假如是六棱錐，則這個六棱錐的底面外接圓半徑、底面邊長、側(cè)棱長都相等，這是

不可能的。

答案：D.

點(diǎn)評：當(dāng)問題從正面考慮比較困難時，采用逆向思維的方法來作出判斷的方法稱為逆跑圜維

二項(xiàng)式定理也是必考的題，但主要是一道小題約占5分。通常是求展開式的常數(shù)項(xiàng)或

是某一項(xiàng)，有時也要逆向思維。同時要學(xué)會把二項(xiàng)式中的項(xiàng)整理成(。+力)”的形式。

例31(2007年全國I卷理科第10題)(X2一_1)”的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為15,則0=(D)

由答題指津

從考試的角度來看，解選擇題只要選對就行，至于用什么“策略”，“手段”都是無關(guān)緊

要的.所以人稱可以“不擇手段”.但平時做題時要盡量弄清每一個選擇支正確的理由與錯誤

的原因，另外，在解答一道選擇題時,往往需要同時采用幾種方法進(jìn)行分析、推理，只有這

樣，才會在高考時充分利用題目自身提供的信息，化常規(guī)為特殊，避免小題大作，真正做到

型確和快蓬

總之，解答選擇題既要看到各類常規(guī)題的解題思想原則上都可以指導(dǎo)選擇題的解答，但更應(yīng)

該充分挖掘題目的“個性”，尋求簡便解法，充分利用選擇支的喑示作用，迅速地作出正確

的選擇.這樣不但可以迅速、準(zhǔn)確地獲取正確答案，還可以提高解題速度，為后續(xù)解題節(jié)省

時間.

今%8模擬:

高考數(shù)學(xué)應(yīng)試選擇題百題

1、同時滿足①"之{1,2,3,4,5};②若“6",貝的非空集合“有()。

(Z)16個(B)15個(07個(Q)8個

提示：著重理解“W”的意義，對M中元素的情況進(jìn)行討論，分別討論“一個、兩個、

三個、四個、五個元素”等幾種情況，得出相應(yīng)結(jié)論。

2、函數(shù)內(nèi)(x)是夫上的增函數(shù)，則。+6>0是的()條件。

CA)充分不必要(B)必要不充分

(C)充要(D)不充分不必要

提示:由a>?b以及y=f(x)在R上為增函數(shù)可知：f(a)>f(b),f(b)>f(-a),

反過來，由增函數(shù)的概念也可推出，a+b>(-a)+(1)。

3、函數(shù)鼠》12(彳\+；)，若且。6R，則下列點(diǎn)一定在函數(shù)尸g(x)的圖象上的是

)。

(A)(-a,-g(-a))(B)(a,g(-a))(C)(a,-g(a))(D)(-a,-g(a))

提示：本題從函數(shù)的奇偶性入手。

2112

4、數(shù)列｛a〃｝滿足0=1,。2=—，且-----1-----=——（〃22）,則為等于（)。

3an_xan+la?

2222

(Z)----(8)(一尸(C)(-)n(D)-----

n+133n+2

提示：用驗(yàn)證法篩選可得。

5、由1,2,3,4組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，按從小到大的順序排成一個數(shù)列｛%｝,其

中陽等于()。

(Z)1243(B)3421(C)4123(￡?3412

提示：用間接法，由大到小排列。

(44a44"吟

6、若lim—+—+……+”—=9,則實(shí)數(shù)〃等于()。

“-811-a1-al-a>

提示：運(yùn)用無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式。

7、己知圓錐內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱，若圓柱的側(cè)面積最大，則此圓柱的上底面將已知圓錐的

體積分成小、大兩部分的比是()。

(4)1:1(8)1:2(C)1:8(。)1:7

提示：運(yùn)用圖象，幫助解題。

8、下列命題中，正確的是()。

(4)尸。rccosx是偶函數(shù)(B)arcsin(sinx)=x,x^R

TUTU.*

(C)sin(5csin§§(Z))若-lvx〈0,則-萬口尸可!!^。

提示：反三角函數(shù)的概念、公式的理解與運(yùn)用。

\-2x

9、函數(shù)月'(x)的反函數(shù)/匕尸-----(xe火且x#-3),則內(nèi)'(x)的圖象()。

3+x

(A)關(guān)于點(diǎn)(2,3)對稱(8)關(guān)于點(diǎn)(-2,-3)對稱

(C)關(guān)于直線尸3對稱D)關(guān)于直線x=-2對稱

提示：主要考核反函數(shù)的概念與對稱性的知識。

io、兩條曲線^與x=-的交點(diǎn)坐標(biāo)是()。

(A)(-1,-1)(8)(0,0)和(-1,-1)(C)(-1,1)和(0,0)(。)(1,-1)和(0,0)

提示：從定義域、值域、特殊值等角度加以驗(yàn)證。

51

11>已知。,6￡凡加=—----,n=--b+-b2r則下列結(jié)論正確的是()。

364-163

(A)m<n(B)m^n(C)rn>n(￡>)m^n

提示：由題意可知mWL、n=-(b-l)2+-o

232

12、正方體/8C3-4&GQ中，E尸是異面直線/C、小。的公垂線，則E尸和8"的關(guān)系是

()。

")垂直(B)平行(C)異面(。)相交但不垂直

提示：理解公垂線的概念，通過平行作圖可知。

13、直線以+6.9=0夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段的垂直平分線是/,則/的方程是()。

(Z)24x-16yM5=0(5)24x-16^-15=0

(C)24x+16jH-15=0(。)24x+16^-15=0

提示：通過兩線垂直與斜率的關(guān)系，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式。

14、函數(shù)/(x尸log“(辦2_x)在xG[2,4]上是增函數(shù)，則“的取值范圍是()。

(A)a>\(5)a>0且aWl(C)051(￡>)a三?

提示：分類討論，考慮對稱軸與單調(diào)區(qū)間的概念。

7CTC

15、函數(shù)y=cos2(x-五)+sin2(x+五)-1是()。

(J)周期為2頁的奇函數(shù)(B)周期為"的偶函數(shù)

(C)周期為n的奇函數(shù)(。)周期為2n的偶函數(shù)

提示：用倍角公式化簡。

16、若a,b?R,那么」成立的一個充分非必要條件是()。

ab

(A)a>h(B)ah(a-h)<0(C)a<h<0(￡))a<h

提示：理解條件語句，用不等式的性質(zhì)解題。

175函數(shù)yMCOs'x-sin'x圖象的一條對稱軸方程是()?

(4)x=--(B)x=--(C)x=-(D)x=-

2484

提示：先降次，后找最值點(diǎn)。

18、已知/、機(jī)、〃為兩兩垂直且異面的三條直線，過/作平面a與加垂直，則直線〃與平面

a的關(guān)系是()。

(J)n//a(8)〃//€1或〃<=(1

(C)〃Ua或〃不平行于a(Q)"Ua

提示：畫草圖，運(yùn)用線面垂直的有關(guān)知識。

19、若Z|,Z2WC,憶1|=憶21=1且arg(Z|尸150°,arg(z2)=300°,那么arg(z〕+z2)為()。

(A)450°(5)225°(C)150°(D)45°

提示：旋轉(zhuǎn)與輻角主值的概念。

20、已知。、6、c成等比數(shù)列，。、X、6和6、/c都成等差數(shù)列，且kW0,那么旦+土的

xy

值為()。

(4)1(B)2(C)3(￡?4

提示：運(yùn)用等比、差中項(xiàng)概念，通分求解。

21、如果在區(qū)間[1,3]上，函數(shù)/口內(nèi)2切x+q與g(x)=x+-^?在同一點(diǎn)取得相同的最小值，那

x

么下列說法不對的是()o

(Z)/(x)23(xG[l,2])(fi)/(x)^4(xe[l,2])

(C)/(x)在xd[l,2]上單調(diào)遞增(￡>)/(x)在xd[1,2]上是減函數(shù)

提示：通過最值定理、二次函數(shù)的對稱軸與最值等求出p、q,再行分析。

22、在(2+近y00展開式中，有理數(shù)的項(xiàng)共有()。

(力)4項(xiàng)(8)6項(xiàng)(025項(xiàng)(0)26項(xiàng)

提示：借助二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式來分析。

23、在正四棱柱一小BiGG中，M為AD中點(diǎn),。為側(cè)面44渡6的中心，尸為側(cè)棱

CG上任意一點(diǎn)，那么異面直線0P與所成的角是()。

CA)90°(B)60°(C)45°(￡>)30°

提示：運(yùn)用平行和垂直的有關(guān)知識。

S

24、等比數(shù)列｛《,｝的公比如0,前〃項(xiàng)和為$“,7；=，^,則有()。

(Z)Ti<Tg(B)71=79(C)Tt>T9(L?大小不定

提示：7]=1,用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求n

25、設(shè)集合/=0,集合8=｛0｝,則下列關(guān)系中正確的是()

(A)A=B(B)A三B(C)AczB(D)AAB

提示：主要考核空集的概念、以及集合與集合的關(guān)系。

26、已知直線/過點(diǎn)河(一1,0),并且斜率為1,則直線/的方程是()

Ax+y+l^O(B)x-j+l=0

(Ox+y—1=0(￡))x—y—1=0

提示：直線方程的點(diǎn)斜式。

7T

27、已知a—6=—,tga=3m,tgB=3R，則的值是()?

6

(4)2(8)--(C)-2(。)-

32

提示：通過tanatanP=1,以及tan(a—p)的公式進(jìn)行求解。

28、已知集合/=｛整數(shù)｝,8=｛非負(fù)整數(shù)｝，/是從集合/到集合8的映射，且/：xf丁=

x2(x^A,yGB),那么在/的作用下象是4的原象是()

(4)16(B)±16(C)2(。)±2

提示：主要考核象和原象的概念。

3307L513

29、有不等式①cos^ccosO.，；②log0.50.7<log2-；③0.5-<2:④arctg—<arctg—。

其中成立的是()。

U)僅①②(8)僅②③(C)僅③④(。)①②③④

提示：主要考核三角函數(shù)、對數(shù)、指數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)的知識。

X

30、己知函數(shù)了=——，那么()

X—1

(4)當(dāng)xd(-OO,1)或xd(1,+oo)時，函數(shù)單調(diào)遞減

(5)當(dāng)xG(—8,1)u(1,+°°)時，函數(shù)單調(diào)遞增

(C)當(dāng)Xd(—8,-1)U(-1,+8)時，函數(shù)單調(diào)遞減

(Z))當(dāng)XW(—8,—1)U(―1,+8)時，函數(shù)單調(diào)遞增

提示：先對函數(shù)式進(jìn)行變形，再運(yùn)用有關(guān)大小比較的知識解題。

31、若一3五<2。4之嘰那么三角函數(shù)式J'+』cos2a化簡為()

22V223

(A)sin—(B)-sin-(C)cos-(D)-cos-

3333

提示：主要運(yùn)用半角公式及三角函數(shù)單調(diào)性等知識。

32、如圖，在直三棱柱/8C—小8c|中，底面/8C是等腰直角三角.CiBi

AL-

形，斜邊側(cè)棱44=2出點(diǎn)。是/小的中點(diǎn)，那么截面。8c與

D

底面所成二面角的大小是()CD

(A)30°(8)45°(C)60°(。)非以上答案A

提示：實(shí)際上是要求角DCA的大小。

33、加工某?機(jī)械零件，需要經(jīng)過兩個工序，完成第一個工序有3種不同的方法，完成第二

個工序有4種不同的方法，那么加工這一零件不同的方法種數(shù)有()

(/)12種(B)7種(C)4種(。)3種

提示：運(yùn)用乘法原理解題。

34、在(2—4)8的展開式中，第七項(xiàng)是()

(4)112x3(8)—112x3(C)16x3Vx(￡>)—16x3Vx

提示：運(yùn)用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，注意：r=6。

35、在一8,-6,-4,-2,0,1,3,5,7,9這十個數(shù)中，任取兩個作為虛數(shù)〃十方的

實(shí)部和虛部(a,bGR,a^b),則能組成模大于5的不同虛數(shù)的個數(shù)有()。

(4)64個(8)65個(C)72個(。)73個

提示：虛部不能為0,模大于5,最好用“樹圖”來討論。

36、直線x—ay+J而=0(白>0且。#1)與圓的位置關(guān)系是()

(Z)相交(8)相切(C)相離(。)不能確定

提示：運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，比較半徑與距離的大小。

37、在正方體ZG中，過與頂點(diǎn)N相鄰的三個頂點(diǎn)作平面a,過與頂點(diǎn)G相鄰的三個頂點(diǎn)

作平面B,那么平面a與平面B的位置關(guān)系是()

(A)垂直(B)平行(C)斜交(。)斜交或平行

提示：作圖后，找線線關(guān)系，由線線平行得出線面平行，從而求得面面平行。

38、有下列三個對應(yīng)：①/=夫+,B=R,對應(yīng)法則是“取平方根"；②/={矩形},8=夫+,對

應(yīng)法則是“求矩形的面積”；③/={非負(fù)實(shí)數(shù)},B=(0,1),對應(yīng)法則是“平方后與1的

和的倒數(shù)”，其中從4到8的對應(yīng)中是映射的是()。

(A)②(B)②，③(C)①，②，③(。)①，②

提示：映射的概念。

39、設(shè)/1={川9+C彳+0=0},3="|#+9-1"+24=0},若2^8={1},則()。

AA\JB(B)A=B

(C)AUB={1,1,2}(￡?)/IU5=(l,-2)

提示：考察集合與集合的關(guān)系。

40>能夠使得siru>0和tgr>0同時成立的角x的集合是()。

冗713冗

(A){x|0<x<一}(B){x|0<x<—或；rvxv——}

jljl

(C){x\k7t<x<kTC+—,k^Z}(￡)){x\lk7t<x<2k7r+—,k^Z}

提示：通過不同象限，三