小學數(shù)學難題解法大全-第五部分-典型難題講析(七-四)整除的有關問題

小學數(shù)學難題解法大全第五局部典型難題講析〔七之四〕整除的有關問題〔四〕整除的有關問題1.整除及數(shù)字整除特征【數(shù)字整除特征】例142□28□是99的倍數(shù)，這個數(shù)除以99所得的商是__?！采虾Ｊ械谖鍖眯W數(shù)學競賽試題〕講析：能被99整除的數(shù)，一定能被9和11整除。設千位上和個位上分別填上數(shù)字a、b，那么：各位上數(shù)字之和為[16+〔a+b〕]。要使原數(shù)能被9整除，必須使[16+〔a+b〕]是9的倍數(shù)，即〔a+b〕之和只能取2或11。又原數(shù)奇位上的數(shù)字和減去偶位上數(shù)字和的差是〔8+a-b〕或〔b-a-8〕，要使原數(shù)能被11整除，必須使〔8+a-b〕或〔b-a-8〕是11的倍數(shù)。經(jīng)驗證，〔b-a-8〕是11的倍數(shù)不合。所以a-b=3。又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。從而很容易求出商為427284÷99=4316。例2某個七位數(shù)1993□□□能同時被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位數(shù)字依次是__。〔1993年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題〕講析：因為2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍數(shù)是2520。而1993000÷2520=790余2200。于是再加上〔2520-2200〕=320時，就可以了。所以最后三位數(shù)字依次是3、2、0。例3七位數(shù)175□62□的末位數(shù)字是__的時候，不管千位上是0到9中的哪一個數(shù)字，這個七位數(shù)都不是11的倍數(shù)?！采虾Ｊ械谖鍖眯W數(shù)學競賽試題〕講析：設千位上和個位上的數(shù)字分別是a和b。那么原數(shù)奇位上各數(shù)字和與偶位上各數(shù)字之和的差是[3+〔b-a〕]或[〔a-b〕-3]。要使原數(shù)是11的倍數(shù)，只需[3+〔b-a〕]或[〔a-b〕-3]是11的倍數(shù)。那么有b-a=8，或者a-b=3。①當b-a=8時，b可取9、8；②當a-b=3時，b可取6、5、4、3、2、1、0。所以，當這個七位數(shù)的末位數(shù)字取7時，不管千位上數(shù)字是幾，這個七位數(shù)都不是11的倍數(shù)。例4下面這個四十一位數(shù)55……5□99……9〔其中5和9各有20個〕能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是__?！?991年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題〕講析：注意到111111÷7=15873，所以555555與999999也能被7整除。那么18個5或18個9組成的數(shù)，也能被7整除。要使原四十一位數(shù)能被7整除，只需55□99這個五位數(shù)是7的倍數(shù)。容易得出，中間方格內(nèi)的數(shù)字是6?！菊坷?一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，適合這些條件的最小數(shù)是______。〔天津市第一屆“我愛數(shù)學〞邀請賽試題〕講析：所求這個數(shù)分別除以3和7時，余數(shù)相同。3和7的最小公倍數(shù)為21。所以這個數(shù)是23。經(jīng)檢驗，23除以5商4余3，23是此題的答案。例2一個整數(shù)在3600到3700之間，它被3除余2，被5除余1，被7除余3。這個整數(shù)是__?！病冬F(xiàn)代小學數(shù)學》邀請賽試題〕講析：所求整數(shù)分別除以3、5、7以后，余數(shù)各不相同。但仔細觀察可發(fā)現(xiàn)，當把這個數(shù)加上4以后，它就能同時被3、5、7整除了。因為3、5和7的最小公倍數(shù)是105。3600÷105=34余30，105-30=75，所以，當3600加上75時，就能被3、5和7整除了。即所求這個整數(shù)是3675。例3在一個兩位數(shù)中間插入一個數(shù)字，就變成了一個三位數(shù)。如52中間插入4后變成542。有些兩位數(shù)中間插入某個數(shù)字后變成的三位數(shù)，是原兩位數(shù)的9倍。這樣的兩位數(shù)共有__個。〔中南地區(qū)小學數(shù)學競賽試題〕講析：因為插入一個數(shù)字后，所得的三位數(shù)是原兩位數(shù)的9倍，且個位數(shù)字相同。那么原兩位數(shù)的個位數(shù)字一定是0或5。又插入的一個數(shù)字，必須小于個位數(shù)字，否那么新三位數(shù)就不是原兩位數(shù)的9倍了。因此原二位數(shù)的個位不能為0，而一定是5。結合被9整除的數(shù)字特征，不難找到符合要求的兩位數(shù)有45、35、25和15共4個。例4a是一個自然數(shù)，a與a+1的各位數(shù)字之和都能被7整除，那么這樣的自然數(shù)a最小是__。〔1993年全國小學數(shù)學奧林匹克總決賽第一試試題〕講析：a與a+1的各位數(shù)字之和都是7的倍數(shù)。那么a的個位數(shù)字一定是9。因為如果個位上不是9時，假設a的各位數(shù)字之和是7的倍數(shù)，那么a+1的各位數(shù)字之和除以7以后，肯定余1。只有當a的個位上是9時，a+1之后，個位上滿十后向前一位進一，a+1的個位數(shù)字和才有可能是7的倍數(shù)。聯(lián)想到69，69+1=70，經(jīng)適當調(diào)整可得，符合條件的最小數(shù)a是69999。例5一個自然數(shù)被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后得到的一個商是a[見圖5.43〔1〕]，又知這個自然數(shù)被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到一個商是2a[見圖5.43〔2〕]，求這個自然數(shù)。〔北京市第九屆“迎春杯〞小學數(shù)學競賽試題〕講析：可從最后的商步步向前推算。由圖5.43〔1〕可得：第二次商是〔8a+7〕；第一次商是8×〔8a+7〕+1=64a+57；所求的自然數(shù)是8×〔64a+57〕+1=512a+457由圖5.43〔2〕得，所求的自然數(shù)是578a+259所以，512a+457=578a+259。解得a=3。故，這個自然數(shù)是512×3+457=1993。例6某住宅區(qū)有十二家住戶。他們的門牌號分別是1、2、3、……、12。他們的號碼依次是十二個連續(xù)的六位自然數(shù)，并且每戶的號碼都能被這戶的門牌號整除。這些號碼的首位數(shù)字都小于6，并且門牌號是9的這一家的號碼也能被13整除。問這一家的號碼是什么數(shù)？〔1993年全國小學數(shù)學奧林匹克總決賽第二試試題〕講析：設這十二家住戶的號碼依次是a+1、a+2、a+3、……，a+12。因為每戶的號碼都能被自己家的門牌號整除，所以數(shù)a能同時被1、2、3、……、12整除。而1、2、3、……、12的最小公倍數(shù)是27720，所以六位數(shù)中，能同時被1、2、3、……12整除的最小自然數(shù)是27720×4=110880現(xiàn)在考慮第九戶人家的號碼能被13整除問題。因為110880÷13，余數(shù)是12；27720÷13，余數(shù)是4。也就是在110889的根底上，再加上n個27720之后的和，能被13整除的數(shù)，就是所求的數(shù)。即12+4n，是13的倍數(shù)。顯然，當n=10時，12+4n是13的倍數(shù)。所以，門牌號碼是9的這家號碼是：110889+27720×10=388089。2.余數(shù)問題【求余數(shù)】〔1990年江蘇宜興市第五屆小學生數(shù)學競賽試題〕一組，就可得到331組，尚余4個6。而6666÷7=952……2。所以，原式的余數(shù)是2。例29437569與8057127的乘積被9除，余數(shù)是__?！病冬F(xiàn)代小學數(shù)學》邀請賽試題〕講析：一個數(shù)被9除的余數(shù)與這個數(shù)各位數(shù)字之和被9除的余數(shù)是一樣的。9437569各位數(shù)字之和除以9余7；8057127各位數(shù)字之和除以9余3。7×3=21，21÷9=2……3。所以，9437569與8057127的乘積被9除，余數(shù)是3。例3在1、2、3、4、……、1993、1994這1994個數(shù)中，選出一些數(shù)，使得這些數(shù)中的每兩個數(shù)的和都能被26整除，那么這樣的數(shù)最多能選出_______個。〔1994年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題〕講析：可將1、2、3、……、1994這1994個數(shù)，分別除以26。然后，按所得的余數(shù)分類。要使兩個數(shù)的和是26的倍數(shù)，那么必須使這兩個數(shù)分別除以26以后，所得的余數(shù)之和等于26。但此題要求的是任意兩個數(shù)的和都是26的倍數(shù)，故26的倍數(shù)符合要求。這樣的數(shù)有1994÷26=76〔個〕……余18〔個〕。但被26除余13的數(shù)，每兩個數(shù)的和也能被26整除，而余數(shù)為13的數(shù)共有77個。所以，最多能選出77個?！就鄦栴}】例1一個整數(shù)，除300、262、205，得到相同的余數(shù)〔余數(shù)不為0〕。這個整數(shù)是_____?！踩珖谝粚谩叭A杯賽〞初賽試題〕講析：如果一個整數(shù)分別除以另兩個整數(shù)之后，余數(shù)相同，那么這個整數(shù)一定能整除這兩個數(shù)的差。因此，問題可轉(zhuǎn)化為求〔300—262〕和〔262—205〕的最大公約數(shù)。不難求出它們的最大公約數(shù)為19，即這個整數(shù)是19。例2小張在計算有余數(shù)的除法時，把被除數(shù)113錯寫成131，結果商比原來多3，但余數(shù)恰巧相同。那么該題的余數(shù)是多少？〔1989年上海市小學數(shù)學競賽試題〕講析：被除數(shù)增加了131-113=18，余數(shù)相同，但結果的商是3，所以，除數(shù)應該是18÷3=6。又因為113÷6的余數(shù)是5，所以該題的余數(shù)也是5。例3五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡覺，明天再說。夜里，一只猴子偷偷起來，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡覺；第二只猴子起來，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡覺。第三、四、五只猴子也都這樣做。問：最初至少有______個桃子。〔哈爾濱市小學數(shù)學競賽試題〕講析：因為第一只猴子把桃5等分后，還余1個桃；以后每只猴子來時，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1個桃子。于是，我們可設想，如果另加進4個桃子，那么連續(xù)五次可以分成5等份了。加進4個桃之后，這五只猴每次分桃時，不再吃掉一個，只需5等份后，拿走一份。因為4與5互質(zhì)，每次的4份能分成5等份，這說明每次等分出的每一份桃子數(shù)，也能分成5等份。這樣，這堆桃子就能連續(xù)五次被5整除了。所以，這堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121〔個〕。例4在1、2、3、……、30這30個自然數(shù)中，最多能取出______個數(shù)，使取出的這些數(shù)中，任意兩個不同的數(shù)的和都不是7的倍數(shù)?！采虾Ｊ械谖鍖眯W數(shù)學競賽試題〕講析：我們可將1到30這30個自然數(shù)分別除以7，然后按余數(shù)分類。余數(shù)是0：7、14、21、28余數(shù)是1：1、8、15、22、29余數(shù)是2：2、9、16、23、30余數(shù)是3：3、10、17、24余數(shù)是4：4、11、18、25余數(shù)是5：5、12、19、26余數(shù)是6：6、13、20、27要使兩數(shù)之和不是7的倍數(shù)，必須使這兩個數(shù)分別除以7所得的余數(shù)之和不等于7。所以，可以取余數(shù)是1、2、3的數(shù)，不取余數(shù)是4、5、6的數(shù)。而余數(shù)為0的數(shù)只取一個。故最多可以取15個數(shù)。3.約數(shù)與倍數(shù)【約數(shù)問題】例1用1155個同樣大小的正方形拼成一個長方形，有______種不同的拼法?！采虾Ｊ械谖鍖眯W數(shù)學競賽試題〕講析：不管拼成怎樣的長方形，它們的面積都是1155。而長方形的面積等于長乘以寬。所以，只要將1155分成兩個整數(shù)的積，看看有多少種方法。一般來說，約數(shù)都是成對地出現(xiàn)。1155的約數(shù)共有16個。16÷2=8〔對〕。所以，有8種不同的拼法。例2說明：360這個數(shù)的約數(shù)有多少個？這些約數(shù)之和是多少？〔全國第三屆“華杯賽〞決賽第一試試題〕講析：將360分解質(zhì)因數(shù)，得360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。所以，360的約數(shù)個數(shù)是：〔3+1〕×〔2+1〕×〔1+1〕=24〔個〕這24個約數(shù)的和是：例3一個數(shù)是5個2，3個3，2個5，1個7的連乘積。這個數(shù)當然有許多約數(shù)是兩位數(shù)，這些兩位的約數(shù)中，最大的是幾？〔全國第一屆“華杯賽〞決賽第一試試題〕講析：這個數(shù)是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。把兩位數(shù)從99、98、……開始，逐一進行分解：99=3×3×11；98=2×7×7；97是質(zhì)數(shù)；96=2×2×2×2×2×3。發(fā)現(xiàn)，96是上面數(shù)的約數(shù)。所以，兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。例4有8個不同約數(shù)的自然數(shù)中，最小的一個是______。〔北京市第一屆“迎春杯〞小學數(shù)學競賽試題〕講析：一個自然數(shù)N，當分解質(zhì)因數(shù)為：因為8=1×8=2×4=2×2×2，所以，所求自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，可能為：27，或23×3，或2×3×5，……不難得出，最小的一個是24。【倍數(shù)問題】例16枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高，如果分別用1分、2分、5分硬幣疊成的三個圓柱體一樣高，這些硬幣的幣值為4元4角2分，那么這三種硬幣總共有______枚?！采虾Ｊ械谖鍖眯W數(shù)學競賽試題〕講析：因為6枚1分的硬幣與5枚2分的一樣高，所以36枚1分的硬幣與30枚2分的一樣高。6枚2分的硬幣與5枚5分的一樣高，所以30枚2分的硬幣與25枚5分的一樣高。因此，36枚1分的硬幣高度等于30枚2分的高度，也等于25枚5分的高度。它們共有：1×36+2×30+5×25=221〔分〕。4元4角2分=442〔分〕，442÷221=2。所以，1分的硬幣共36×2=72〔枚〕，2分的硬幣共30×2=60〔枚〕，5分的硬幣共25×2=50〔枚〕，即總共有182枚。例2從1、2、……、11、12中至多能選出______個數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的2倍?！?990年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題〕講析：1、3、5、7、9、11是奇數(shù)，不可能是任何整數(shù)的2倍。剩下的數(shù)有2、4、6、8、10、12六個數(shù)，且6是3的2倍，10是5的2倍。如取2，那么4、8、12就都不能取；如取4，那么2、8不能取，故只可取12；如取8，那么2、4不能取，故只可取8。所以至多能選取8個數(shù)。例3小明的兩個衣服口袋中各有13張卡片，每張卡片上分別寫著1、2、3、……13。如果從這兩個口袋中各拿出一張卡片來計算它們所寫兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積，那么，其中能被6整除的乘積共有______個?！脖本┦械诰艑谩坝罕曅W數(shù)學競賽試題〕講析：因為6=2×3，所以能被6整除的因數(shù)中，至少含有一個2和一個3。當一邊取6，另一邊取1、2、……、13時均成立，有13個積；當一邊取7、8、9、10、11、12、13，另一邊取12時，有7個積；當一邊取10，另一邊取9時，有1個積。所以，不相等的乘積中，被6整除的共有：13+7+1=21〔個〕。例4設a與b是兩個不相等的自然數(shù)。如果它們的最小公倍數(shù)是72，那么a與b之和可以有______種不同的值?！脖本┦械诰艑谩坝罕曅W數(shù)學競賽試題〕講析：因為72=23×32，它共有約數(shù)〔3+1〕×〔2+1〕=12〔個〕這12個約數(shù)，每個約數(shù)與72的最小公倍數(shù)都是72，a、b之和有12種不同的值；當a=22×32=36時，b可取23=8或23×3=24，a、b之和有2種不同的值；當a=23×3=24時，b可取32=9或2×32=18，a、b之和有2種不同的值。當a=2×32=18時；b可取23=8，a、b之和有1種不同的值。所以，滿足條件的a與b之和共有17種不同的值。4.附錄：奇數(shù)偶數(shù)與奇偶性分析【奇數(shù)和偶數(shù)】例1用l、2、3、4、5這五個數(shù)兩兩相乘，可以得到10個不同的乘積。問乘積中是偶數(shù)多還是奇數(shù)多？〔全國第二屆“華杯賽〞決賽口試試題〕講析：如果兩個整數(shù)的積是奇數(shù)，那么這兩個整數(shù)都必須是奇數(shù)。在這五個數(shù)中，只有三個奇數(shù)，兩兩相乘可以得到3個不同的奇數(shù)積。而偶數(shù)積共有7個。所以，乘積中是偶數(shù)的多。例2有兩組數(shù)，甲組：1、3、5、7、9……、23；乙組：2、4、6、8、10、……24，從甲組任意選一個數(shù)與乙組任意選出一個數(shù)相加，能得到______個不同的和?！病冬F(xiàn)代小學數(shù)學》邀請賽試題〕講析：甲組有12個奇數(shù)，乙組有12個偶數(shù)。甲組中任意一個數(shù)與乙組中任意一個數(shù)相加的和，必為奇數(shù)，其中最大是47，最小是3。從3到47不同的奇數(shù)共有23個。所以，能得到23個不同的和。此題中，我們不能認為12個奇數(shù)與12個偶數(shù)任意搭配相加，會得到12×12=144〔個〕不同的和。因為其中有很多是相同的?！酒媾夹苑治觥坷?某班同學參加學校的數(shù)學競賽。試題共50道。評分標準是：答對一道給3分，不答給1分，答錯倒扣1分。請你說明：該班同學得分總和一定是偶數(shù)。〔全國第三屆《從小愛數(shù)學》邀請賽試題〕講析：如果50道題都答對，共可得150分，是一個偶數(shù)。每答錯一道題，就要相差4分，不管答錯多少道題，4的倍數(shù)總是偶數(shù)。150減偶數(shù)，差仍然是一個偶數(shù)。同理，每不答一道題，就相差2分，不管有多少道題不答，2的倍數(shù)總是偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)之和為偶數(shù)。所以，全班每個同學的分數(shù)都是偶數(shù)。那么全班同學的得分之和也一定是個偶數(shù)。例25只杯子杯口全都朝上。規(guī)定每次翻轉(zhuǎn)4只杯子，經(jīng)過假設干次后，能否使杯口全部朝下？〔美國小學數(shù)學奧林匹克通訊賽試題〕講析：一只杯口朝上的杯子，要想使杯口朝下，必須翻轉(zhuǎn)奇數(shù)次。要想5只杯口全都朝上的杯子，杯口全都朝下，那么翻動的總次數(shù)也一定是奇數(shù)次才能辦得到。現(xiàn)在每次只翻轉(zhuǎn)4只杯子，無論翻多少回，總次數(shù)一定是偶數(shù)。所以，不能使杯口全部朝下。例3某班共有25個同學。坐成5行5列的方陣。我們想讓每個同學都坐到與他相鄰的座位上去?！仓盖啊⒑?、左、右〕，能否做得到？〔廣州市小學數(shù)學競賽預賽試題〕講析：如圖5.44，為了方便，我們將每一格用A或B表示，也就是與A相鄰的用B表示，與B相鄰的用A表示。要想使每位同學都坐到相鄰座位上去，也就是說坐A座位的同學都要坐到B座位上去，而坐B座位上的同學都要坐到A座位上去。但是，A座位共13個，而B座位共12個，所以，不管怎樣坐，要想坐A座位的同學都坐到B座位上去，是辦不到的。例4線段AB的兩個端點，一個標以紅色，一個標以藍色。在線段中間插入1991個分點，每個分點隨意標上紅色或藍色。這樣分得1992條不重疊的小線段，如果把兩端點顏色不同的小線段叫做標準線段，那么標準線段的條數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？〔1992年長沙市小學數(shù)學競賽預選賽試題〕講析：每插入一個點，無論其顏色怎樣，其非標準線段的條數(shù)增加0條或2條，所以插入1991個點后，非標準線段增加總數(shù)是一個偶數(shù)。又原非標準線段條數(shù)為1，是一個奇數(shù)，故最后得到的非標準線段必為奇數(shù)。非標準線段條數(shù)+標準線段條數(shù)=1992條。所以，標準線段的條數(shù)是奇數(shù)。5.附錄：乘方的性質(zhì)【求尾數(shù)】例150個7連乘積的末位數(shù)字是______。〔1992年無錫市小學數(shù)學競賽試題〕講析：因為7×7×7×7積的末位數(shù)字是1，于是可將上面50個7連乘式，按四個數(shù)一組進行分組：前12組中，每組的積的末位數(shù)都是1，只剩下最后兩個7相乘。所以，積的末位數(shù)字是9。例219911991×19921992末位數(shù)字是______?！?992年第三屆“新苗杯〞小學數(shù)學競賽試題〕講析：19911991=1991×1991×…1991，每個乘數(shù)的個1991個1991相乘位都是1，所以積的末位數(shù)也是1。而19921992=每組中積的末位是6，498個6相乘的末位數(shù)還是6。所以，19911991×19921922的末位數(shù)字是6。例31×2×3×4×……×50積的尾部有______個連續(xù)的0?！操F陽市第二屆小學數(shù)學競賽試題〕講析：但凡個位上有一個2和一個5相乘，積的末尾就會產(chǎn)生一個0。所以將上面乘積式中的每一個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，發(fā)現(xiàn)2的個數(shù)比5多。因此，積末尾的連續(xù)0的個數(shù)，由5的個數(shù)決定。在1至50的自然數(shù)中，有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50中含有質(zhì)因數(shù)5，它們共有12個5。所以，原式積的末尾共有12個連續(xù)的0。例4要使乘積195×86×72×380×□的末五位數(shù)字都是0，□內(nèi)最小填______?！?992年第三屆“新苗杯〞小學數(shù)學競賽試題〕講析：積的末五位都是0，那么這個積一定是100000的倍數(shù)。因此因數(shù)中至少有5個2和5個5。195＝3×5×13；86＝2×43；72=2×2×2×3×3；380=2×2×5×19。以上四個數(shù)中已經(jīng)含有6個2和2個5，必須再乘以3個5〔即125〕。所以□內(nèi)最小填125?！就耆椒綌?shù)】例1寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)。〔全國第三屆“華杯賽〞決賽第二試試題〕講析：一般地，約數(shù)都是成對出現(xiàn)的，所以約數(shù)的個數(shù)都是偶數(shù)。但是完全平方數(shù)那么不然。因為它們其中有兩個約數(shù)是重復的，只能算作一個，所以完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是一個奇數(shù)。要寫出從360到630的自然數(shù)中有奇數(shù)個約數(shù)的數(shù)，實際上就是在360到630之間找出完全平方數(shù)。192=361，202=400，212=441，222=484，232=529，242=576，252=625。以上七個數(shù)即為所求。例2在一間房子里有100盞燈排成一行，按順序編上了號碼1、2、3、……、100。每盞燈上有一個拉線開關。開始的時候，電燈都是關著的。有100個同學排著隊，每人胸前也分別寫有號碼1、2、3、……100。然后從1號同學開始，依次走進去把編號為自己胸前號碼倍數(shù)的燈開關拉一下。這樣100個同學做完以后，共有哪幾盞燈是亮著的？〔第二屆“我愛數(shù)學〞邀請賽試題〕講析：100名同學依次走進去，將燈號是自己編號的倍數(shù)的電燈開關各拉一下，這樣進行完畢之后，每盞燈開關都是被自己燈號的約數(shù)拉了一下。因此，每盞燈開關所拉的次數(shù)，就是自己燈號的約數(shù)個數(shù)。開始時，燈全關著，因此每盞燈必須拉奇數(shù)次時，燈才會亮。于是，此題實際上只要找出哪些燈號含有奇數(shù)個約數(shù)。在1至100的自然數(shù)中，含有奇數(shù)個約數(shù)的，是完全平方數(shù)：12、22、32……102。所以，最后共有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100號共10盞燈是亮著的。6.整數(shù)的拆分【不連續(xù)加數(shù)拆分】例1將一根長144厘米的鐵絲，做成長和寬都是整數(shù)的長方形，共有______種不同的做法？其中面積最大的是哪一種長方形？〔1992年“我愛數(shù)學〞邀請賽試題〕講析：做成的長方形，長與寬的和是144÷2=72〔厘米〕。因為72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36，所以，一共有36種不同的做法。比擬以上每種長方形長與寬的積，可發(fā)現(xiàn)：當長與寬都是36厘米時，面積最大。例2將1992表示成假設