2024屆山西省渾源縣第七中學(xué)校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆山西省渾源縣第七中學(xué)校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知平面向量，，且，則等于（）A． B． C． D．2．已知且，則為（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列滿足，為其前項和，則不等式的的最大值為（）A．7 B．8 C．9 D．104．已知為的三個內(nèi)角的對邊，，的面積為2，則的最小值為().A． B． C． D．5．我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．646．某協(xié)會有200名會員，現(xiàn)要從中抽取40名會員作樣本，采用系統(tǒng)抽樣法等間距抽取樣本，將全體會員隨機按1~200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號，…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第1組至第3組抽出的號碼依次是（）A．3，8，13 B．2，7，12 C．3，9，15 D．2，6，127．已知，則=（）A． B． C． D．8．直線的斜率為（）A． B． C． D．9．在四邊形中，，，將沿折起，使平面平面，構(gòu)成三棱錐，如圖，則在三棱錐中，下列結(jié)論正確的是（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面D．平面平面10．若實數(shù)，滿足約束條件，則的最大值為（）A．－3 B．1 C．9 D．10二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績（單位：分），已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為17，則x的值為_________.12．如圖，直三棱柱中，，，，外接球的球心為О，點E是側(cè)棱上的一個動點．有下列判斷：①直線AC與直線是異面直線；②一定不垂直；③三棱錐的體積為定值；④的最小值為⑤平面與平面所成角為其中正確的序號為_______13．在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個表面積為的球，若，則的最大值是_______.14．設(shè)點是角終邊上一點，若，則=____.15．在高一某班的元旦文藝晚會中，有這么一個游戲：一盒子內(nèi)裝有6張大小和形狀完全相同的卡片，每張卡片上寫有一個成語，它們分別為意氣風(fēng)發(fā)、風(fēng)平浪靜、心猿意馬、信馬由韁、氣壯山河、信口開河，從盒內(nèi)隨機抽取2張卡片，若這2張卡片上的2個成語有相同的字就中獎，則該游戲的中獎率為________.16．一水平位置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底平行于軸，底角為，兩腰和上底長均為１的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍；（3）若方程在區(qū)間上有兩個相異的解、，求的最大值.18．為了評估A，B兩家快遞公司的服務(wù)質(zhì)量，從兩家公司的客戶中各隨機抽取100名客戶作為樣本，進(jìn)行服務(wù)質(zhì)量滿意度調(diào)查，將A，B兩公司的調(diào)查得分分別繪制成頻率分布表和頻率分布直方圖．規(guī)定分以下為對該公司服務(wù)質(zhì)量不滿意．分組頻數(shù)頻率0.4合計（Ⅰ）求樣本中對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶人數(shù)；（Ⅱ）現(xiàn)從樣本對A，B兩個公司服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶中，隨機抽取2名進(jìn)行走訪，求這兩名客戶都來自于B公司的概率；（Ⅲ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試對兩個公司的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評價，并闡述理由．19．2019年是中華人民共和國成立70周年，某校黨支部舉辦了一場“我和我的祖國”知識競賽，滿分100分，回收40份答卷，成績均落在區(qū)間內(nèi)，將成績繪制成如下的頻率分布直方圖.（1）估計知識競賽成績的中位數(shù)和平均數(shù)；（2）從，分?jǐn)?shù)段中，按分層抽樣隨機抽取5份答卷，再從對應(yīng)的黨員中選出3位黨員參加縣級交流會，求選出的3位黨員中有2位成績來自于分?jǐn)?shù)段的概率.20．在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.21．已知等比數(shù)列的首項為，公比為，它的前項和為.（1）若，，求；（2）若，，且，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

先由求出，然后按照向量的坐標(biāo)運算法則算出答案即可【題目詳解】因為，，且所以，即，所以所以故選：B【題目點撥】若，則2、B【解題分析】由題意得，因為，即，所以，又，又，且，所以，故選B．3、B【解題分析】

由題意，整理得出是一個首項為12，公比為的等比數(shù)列，從而求出，再求出其前項和，然后再求出的表達(dá)式，再代入數(shù)驗證出的最大值即可．【題目詳解】由可得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，所以，故，解得，（），所以的最大值為8.選B.【題目點撥】本題考查數(shù)列的遞推式以及數(shù)列求和的方法分組求和，屬于數(shù)列中的綜合題，考查了轉(zhuǎn)化的思想，構(gòu)造的意識，本題難度較大，思維能力要求高．4、D【解題分析】

運用三角形面積公式和余弦定理，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式和正弦型函數(shù)的值域最后可求出的最小值.【題目詳解】因為，所以，即，令，可得，于是有，因此，即，所以的最小值為，故本題選D.【題目點撥】本題考查了余弦定理、三角形面積公式，考查了輔助角公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力.5、A【解題分析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.6、B【解題分析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣原理求出抽樣間距，再根據(jù)第5組抽出的號碼求出第1組抽出的號碼，即可得出第2組、第3組抽取的號碼．【題目詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣原理知，抽樣間距為200÷40=5，

當(dāng)?shù)?組抽出的號碼為22時，即22=4×5+2，

所以第1組至第3組抽出的號碼依次是2，7，1．

故選：B．【題目點撥】本題考查了系統(tǒng)抽樣方法的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】由得：，所以，故選D.8、A【解題分析】

化直線方程為斜截式求解．【題目詳解】直線可化為，∴直線的斜率是，故選：A.【題目點撥】本題考查直線方程，將一般方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程即可得直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

折疊過程中，仍有，根據(jù)平面平面可證得平面，從而得到正確的選項.【題目詳解】在直角梯形中，因為為等腰直角三角形，故，所以，故，折起后仍然滿足.因為平面平面，平面，平面平面，所以平面，因平面，所以.又因為，，所以平面，因平面，所以平面平面.【題目點撥】面面垂直的判定可由線面垂直得到，而線面垂直可通過線線垂直得到，注意面中兩條直線是相交的．由面面垂直也可得到線面垂直，注意線在面內(nèi)且線垂直于兩個平面的交線.10、C【解題分析】

畫出可行域，向上平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界的位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【題目詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，向上平移基準(zhǔn)直線到的位置，此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值為.故選C.【題目點撥】本小題主要考查利用線性規(guī)劃的知識求目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)莖葉圖中數(shù)據(jù)和中位數(shù)的定義可構(gòu)造方程求得.【題目詳解】甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，解得：故答案為：【題目點撥】本題考查莖葉圖中中位數(shù)相關(guān)問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.12、①③④⑤【解題分析】

由異面直線的概念判斷①；利用線面垂直的判定與性質(zhì)判斷②；找出球心,由棱錐底面積與高為定值判斷③；設(shè),列出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合其幾何意義,求出最小值判斷④；由面面成角的定義判斷⑤【題目詳解】對于①,因為直線經(jīng)過平面內(nèi)的點,而直線在平面內(nèi),且不過點,所以直線與直線是異面直線,故①正確；對于②,當(dāng)點所在的位置滿足時,又,,平面,所以平面,又平面,所以,故②錯誤；對于③,由題意知,直三棱柱的外接球的球心是與的交點,則的面積為定值,由平面,所以點到平面的距離為定值,所以三棱錐的體積為定值,故③正確；對于④,設(shè),則,所以,由其幾何意義,即直角坐標(biāo)平面內(nèi)動點與兩定點,距離和的最小值知,其最小值為,故④正確；對于⑤,由直棱柱可知,,,則即為平面與平面所成角,因為,,所以,故⑤正確；綜上,正確的有①③④⑤,故答案為:①③④⑤【題目點撥】本題考查異面直線的判定,考查面面成角,考查線線垂直的判定,考查轉(zhuǎn)化思想13、【解題分析】

根據(jù)已知可得直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，代入球的表面積公式，即可求解.【題目詳解】由題意，因為，所以,可得的內(nèi)切圓的半徑為，又由，故直三棱柱的內(nèi)切球半徑為，所以此時的最大值為.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查了直三棱柱的幾何結(jié)構(gòu)特征，以及組合體的性質(zhì)和球的表面積的計算，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.14、【解題分析】

根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，列方程求出m的值．【題目詳解】P（m，）是角終邊上的一點，∴r＝；又，∴＝，解得m＝，，．故答案為．【題目點撥】本題考查了任意角三角函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

先列舉出總的基本事件，在找出其中有2個成語有相同的字的基本事件個數(shù)，進(jìn)而可得中獎率.【題目詳解】解：先觀察成語中的相同的字，用字母來代替這些字，氣—A，風(fēng)—B，馬—C，信—D，河—E，意—F，用ABF，B，CF，CD，AE，DE分別表示成語意氣風(fēng)發(fā)、風(fēng)平浪靜、心猿意馬、信馬由韁、氣壯山河、信口開河，則從盒內(nèi)隨機抽取2張卡片有共15個基本事件，其中有相同字的有共6個基本事件，該游戲的中獎率為，故答案為：.【題目點撥】本題考查古典概型的概率問題，關(guān)鍵是要將符合條件的基本事件列出，是基礎(chǔ)題.16、【解題分析】如圖過點作，，則四邊形是一個內(nèi)角為45°的平行四邊形且，中，，則對應(yīng)可得四邊形是矩形且，是直角三角形，．所以三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）；（3）；【解題分析】試題分析：(1)時，由已知得到;(2)方程有實數(shù)解即a在的值域上，（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組得出tana的范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出α+β的最值.試題解析：（1），或；（2）（3）因為方程在區(qū)間上有兩個相異的解、，所以18、（Ⅰ）3人；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率為，即概率為0.03，易求解．（Ⅱ）共有5名客服不滿意，將每種情況都列出來即可算出全來自于B公司的概率．（Ⅲ）可通過頻率對比，服務(wù)質(zhì)量得分的眾數(shù)，服務(wù)質(zhì)量得70分（或80分）以上的頻率幾個方面進(jìn)行對比．【題目詳解】（Ⅰ）樣本中對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率為，所以樣本中對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有人．（Ⅱ）設(shè)“這兩名客戶都來自于B公司”為事件M．對A公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有2人，分別記為，；對B公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的客戶有3人，分別記為，，．現(xiàn)從這5名客戶中隨機抽取2名客戶，不同的抽取的方法有，，，，，，，，，共10個；其中都來自于B公司的抽取方法有，，共3個，所以．所以這兩名客戶都來自于B公司的概率為．（Ⅲ）答案一：由樣本數(shù)據(jù)可以估計客戶對A公司的服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率比對B公司服務(wù)質(zhì)量不滿意的頻率小，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量比B公司的服務(wù)質(zhì)量好．答案二：由樣本數(shù)據(jù)可以估計A公司的服務(wù)質(zhì)量得分的眾數(shù)與B公司服務(wù)質(zhì)量得分的眾數(shù)相同，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量與B公司的服務(wù)質(zhì)量相同．答案三：由樣本數(shù)據(jù)可以估計A公司的服務(wù)質(zhì)量得70分（或80分）以上的頻率比B公司得70分（或80分）以上的頻率小，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量比B公司的服務(wù)質(zhì)量差．答案四：由樣本數(shù)據(jù)可以估計A公司的服務(wù)質(zhì)量得分的平均分比B公司服務(wù)質(zhì)量得分的平均分低，由此推斷A公司的服務(wù)質(zhì)量比B公司的服務(wù)質(zhì)量差．【題目點撥】此題考查概率，關(guān)鍵理解清楚頻率分布表和頻率分布直方圖表示的含有，簡單數(shù)據(jù)可通過列表法求概率或者可以組合數(shù)求解，屬于較易題目．19、（1）中位數(shù)為80.平均數(shù)為（2）【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖可知，利用中位數(shù)和平均數(shù)的計算公式，即可求解.（2）由頻率分布直方圖可知，分別求得，分?jǐn)?shù)段中答卷數(shù)，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計算公式，即可求解.【題目詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，前3個小矩形的面積和為，后2個小矩形的面積和為，所以估計中位數(shù)為80.估計平均數(shù)為.（2）由頻率分